計量経済、エコノメトリックス 練習問題 3 (12/01)

1

𝑖 𝑋 𝑌 𝑋 𝑋 𝑌 𝑌 𝑢 𝑢

1 5 4 25 20 4 0 0

2 1 1 1 1 1.2 -0.2 0.04

3 3 1 9 3 2.6 -1.6 2.56

4 2 3 4 6 1.9 1.1 1.21

5 4 4 16 16 3.3 0.7 0.49

合計 15 13 55 46 13 0 4.3

平均 3 2.6

(a) 最小二乗推定値

𝛽 =∑ 𝑋 𝑌 − 𝑛𝑋𝑌

∑ 𝑋 − 𝑛X=

46 − 5 × 3 × 2.6

55 − 5 × 9= 0.7

α = Y − β𝑋 = 2.6 − 0.7 × 3 = 0.5

s =1

n − 2u =

4.3

3= 1.433

(b) 講義ノートｐ293 のように、必要な数値をまとめる。

X = 3

X = 55

(X − X) = 𝑋 − 𝑛X = 55 − 5 × 9 = 10

s = √1.4333 = 1.197

(1) X = 3のとき、𝑌 の 95％信頼区間を求めなさい

(a) t 分布を使う：𝑡 / (𝑛 − 𝑘) = 𝑡 . (3) =3.182

(b) 𝑌 = 0.5 + 0.7 × 3 = 2.6

(c)（講義ノートｐ290 とｐ291 に参照）次の式(1)により、信頼係数 95％のY の信

頼区間の上限と下限を求められる。

Y ± 𝑡 / (𝑛 − 2) × s 1 +1

𝑛+

(𝑋 − 𝑋)

∑ (𝑋 − 𝑋)(1)

2.6 + 3.182 × 1.197 × 1 +1

5+

(3 − 3)

10≈ 6.7724

2.6 − 3.182 × 1.197 × 1 +1

5+

(3 − 3)

10≈ −1.5724

ゆえに、この信頼区間は(−1.5724,6.7724)である。

(2) 𝑋 = 0のとき、𝑌 の 95％信頼区間を求めなさい

(a) 問題(1)と同じように、𝑡 . (3) =3.182。また、𝑌 = 0.5 + 0.7 × 0 = 0.5

(b) 信頼係数 95％のY の信頼区間の上限と下限はそれぞれ、

0.5 + 3.182 × 1.197 × 1 +1

5+

(0 − 3)

10≈ 6.0196

0.5 − 3.182 × 1.197 × 1 +1

5+

(0 − 3)

10≈ −5.0196

ゆえに、この信頼区間は(−5.0196,6.0196)である。

2

(3) βは需要の所得弾力性を表す。まず、需要の所得弾力性とは何かを説明しなさい。次

に、推定結果から、生鮮魚介とはどのような財か説明しなさい。

(a) 需要の所得弾力性は、所得が 1％変化したとき、需要量が何％変化するのかを

測定するものである。これは、需要量の変化率

所得の変化率によって求められる。需要の所得弾力性

が 0 を上回れば、その財は正常財であり、負の値を取れば下級財である。正常財の

うち、所得弾力性が 1 を超えれば奢侈品であり、0~1 の間にあれば必需品である。

(b) 推定結果により、𝛽 = 3.0975であり、所得が 1％上昇するとき生鮮魚介への需

要量は 3.0975％上昇することがわかる。需要の所得弾力性が 1 より上回ることに

より、生鮮魚介は正常財で、奢侈品である。

(4) γ は需要の価格弾力性を表す。まず、需要の価格弾力性とは何かを説明しなさい。

次に、推定結果から、生鮮魚介とはどのような財か説明しなさい。

(a) 需要の価格弾力性は、ある財の価格が 1％変化したとき、その需要量が何％変

化するのかを表す指標である。これは、需要量の変化率

価格の変化率によって求められる。

(b) 推定結果により、𝛾 = −2.46563である。まず、需要の価格弾力性が負である

ため、通常の価格効果が働いていると言える。また、生鮮魚介への需要は弾力的で

あるため、問(3)と同じ、生鮮魚介は奢侈品であることがわかる。

(5) 𝛾 , 𝛾 は需要の交差価格弾力性を表す。まず、需要の交差価格弾力性とは何かを説明

しなさい。次に、推定結果から、生鮮魚介と生鮮肉との関係、生鮮魚介と生鮮野菜

との関係を説明しなさい（代替財か補完財か？）。

(a) 需要の交差価格弾力性は、他の財の価格が変化するときに、ある財の需要量の

変化を測定する。これは、ある財の需要量の変化率

他の財の価格の変化率によって求められる。需要の交差価格

弾力性が正の値であれば、他の財の価格の上昇により、ある財の需要量が上昇する

ため、代替財である。一方、需要の交差価格弾力性が負の値であれば補完財である。

(b) 𝛾 は生鮮魚介と生鮮肉の交差価格弾力性を表す。この値は正であるため、生鮮

肉の価格が上昇することにつき、生鮮魚介への需要量が増えるため、互いに代替財

である。

(c) 𝛾 は生鮮魚介と生鮮野菜の交差価格弾力性を表す。符号が正であれば代替財で

あり、負であれば補完財になります。しかし、この推定結果は統計的に有意ではな

く、𝛾 = 0との仮説を棄却できないため、生鮮魚介と生鮮野菜は互いに独立財であ

ることがわかる。

(6) すべての説明変数の係数がゼロという仮説、すなわち、β = γ = γ = γ = 0の仮設

を検定しなさい。教科書『計量経済学』（山本卓著）の分布表を用いてよい。

(a) 講義ノートｐ400~401 とｐ410 のように、決定係数を用いて簡単に検定する

ことができる。まず、仮設と F 統計量（分散分析表にも書かれている）を以下のよ

うにする。

(Note：𝐺 = 4 ； 𝑛 − 𝑘 = 20 − 5 = 15)

H : 𝛽 = 𝛾 = 𝛾 = 𝛾 = 0

𝐻 : 𝐻 ではない

R /G

1 − R /(n − k)=

0.908981/4

(1 − 0.908981)/15= 37.4502

(b) F 分布表により、𝐹 , , . = 3.061で37.4502より小さいため、𝐻 は有意水準 5％

で棄却される。

(7) 𝛽の 99％信頼区間を求めなさい。

(a) 自由度=15、α=0.01 であり、t 分布表よりt , . = 2.947がわかる。

(b) 𝛽の 99％信頼区間の上限と下限は𝛽 ± 𝑡 , . × 𝑠 より求められる：

𝛽 + 𝑡 , . × 𝑠 = 3.0975 + 2.947 × 0.950373 = 5.8982 𝛽 − 𝑡 , . × 𝑠 = 3.0975 − 2.947 × 0.950373 = 0.2968

ゆえに、𝛽の 99％信頼区間は(0.2968,5.8982)である。

1 F 分布表及びｔ分布表は教科書より引用。

(8) γ = 0という仮説を有意水準 1％で検定しなさい。（両側検定を用いなさい）

(a) 両側検定を使用するので、ここではｔ分布を使う。有意水準 0.01 で自由度=15

であるので、𝑡 , . = 2.947。①式の推定結果により、𝛾 のｔ値は 4.208344 で、

2.947を上回っているので、棄却域に入り、𝛾 = 0という仮説を棄却する。

(9) PF の係数推定値と𝑃𝑀 の係数推定値は符号が異なるが，絶対値で推定値が似た値に

なっていることと，𝑃𝑉 の係数はゼロを棄却できないので𝑃𝑉 を落として、②式を推

定し直すことにした。①式と②式を推定することで、何を検定しようとしているか

帰無仮説を書きなさい。

(a) ②式について、 𝑃𝐹𝑀 = 𝑃𝐹 − 𝑃𝑀𝑖であるので、以下のように書き換えられる。

𝐹 = 𝛼 + 𝛽Y + 𝛾 𝑃𝐹 − 𝛾 𝑃𝑀 + 𝑢

ここにおいて、①式と異なっている部分は、𝛾 = −γ と、γ 𝑃𝑉 がないことである。

ゆえに、帰無仮説は以下のように：

H ：𝛾 = −γ 𝑎𝑛𝑑 γ = 0

(10) 残差平方和をもとにして(9)を検定しなさい。2

(a) 講義ノートｐ380 にしたがい、F 統計量を計算する。

(∑ u − ∑ u )/G

∑ u /(n − k)=

(0.022024 − 0.021734)/2

0.021734/15= 0.1001~F(2,15)

(b) F 分布表により、F , , . = 3.68である。この検定において、0.1001 < 3.68であ

るため、帰無仮説を棄却できない。

(11) 決定係数を利用して(9)を検定しなさい。

(a) 講義ノートｐ401 にしたがい、F 統計量を計算する。

R − R /G

1 − R /(n − k)=

(0.908981 − 0.907765)/2

(1 − 0.908981)/15= 0.1002~F(2,15)

(b) F 分布表により、F , , . = 3.68である。この検定において、0.1002 < 3.68であ

るため、帰無仮説を棄却できない。

2 問（10）と問（11）では有意水準 5％で検定する。

(12) ダービン・ワトソン（DW）比を計算したところ，DW = 0.781 となった。②式の誤

差項に系列相関があるかどうかを検定しなさい。もし系列相関があった場合は正の

系列相関か負の系列相関かを答えなさい。

(a) 標本数n = 20、定数項を除く説明変数の数は𝑘 = 2である。講義ノートｐ425（ｐ

423 にも）の表を用いて有意水準 5％での dl と du を求めたところ、dl = 1.100, du =

1.537である。0.781 < 1.100となっており、領域 A に入るため、正の相関関係があ

ると判定される。

(13) もし系列相関があると判定された場合、最小二乗法の推定量にどのような影響があ

るのか説明しなさい。

(a) 系列相関がある場合、通常の最小二乗法を適用することは誤差項の共分散を無

視して回帰式の標準偏差を推定することとなる。そのため、求められた推定値には

以下のような問題が発生する。

1. 回帰式の標準誤差ｓは正しく推定されない。

2. 係数推定値β の標準誤差s a も正しく推定されない。

3. 係数推定値𝛽 のｔ値も正しくない。

→間違った信頼区間、間違った検定結果が得られる。

（Note：ただし、係数推定量は不偏性、一致性を持つ）