1

INTEGRAALREKENING.

Onder een primitieve funktie F(x) van een funktie f(x) verstaan

we de funktie F(x) waarvoor geldt:

F ' (x) = f (x)

B i j v. f (x) = 2x F (x) = x2 + c (c R)

een primitieve funktie f(x) = 2x F(x) = x2

de primitieve funktie f(x) = 2x F(x) = x2 + c

Rekenregels:

Als f(x) = c

f (x) = xn (n~1)

f (x) = 4(x) + v(x)

f (x) = sin x

f (x) =cos x

f (x) _ ~cos2x

f (x) = eX

f (x) = X (= x- ~)

Voorbeelden:

F(x) = cx + C

F (x) = n+1 xn+l + C

F (x) = U (x) + V(x) + C

F(x) _ - cos x + C

F (x) = s i n x+ C

F (x) = tan x + C

F(x) = eX + C

F (x) = In /x/+C

Vb : 1 . f (x) = 3x4 + x2 - g

~ _ 1 1

~ (" 3 5x5 + 3x3 - gx + C

~ 1 1 - 6/5f (x =~=X65= x

F ~ x ~ _ 1 - 1/ 5-1/5x

5 x -1 / 5 + c

= x~~5 + c = 55X + cV

Het bepalen van de primitieve funktie noemt men wel

onbepaald integreren.

2)

Integreren van samengestelde funkties:

vb: 2. f x2dx = 3 x3 + C

f (2x + 1) 2dx =

Noem: p = 2x + 1

dx = 2

dp = 2dx dx = Z dp f (2x + 1) 2 dx

d(2x + 1) = 2dx

dx = 2d (2x + 1) f (p) 2 2 dp

Z 3 (~b) 3 .

z 3 (2x+1) 3 +C

6 (2x + 1) 3 + C

(2x + 1) 2 .dx

_ (2x + 1) 2 Z d (2x + 1)

= Z (2x+1) 2 d(2x + 1)

= z p2. dp = 2 3 p3 + C

_ ~ (2x+1) 3 +C

Vb: 3. f sin 2x dx

Noem: p = 2x

dx 2

dp=2dx dx=z dp.

f s i n 2x dx

= j sin p. Z dp

= Zfsin p dp = 2 f sin p dp

= Z (- cos p) + C

_ -Z cos 2x + C

3)

Vb: 4. f s i n x cos x dx

Noem: p = sin x

dx = cos x

dp = cos x dx dx =cos x

f sinx cosx dx

= f p dp = Z p2 + C

= 2 s i n2x + C

Vb: 5. f x sin (3x2 - 4) dx

Noem: ~ _ 3x2 - 4

dp = 6x

dp = 6x dx

dx = x

p d 1f x sin ~= f 6 sin p dp = 6 sin p dp

6 (-cos p) + C = 6 (-cos 3x2 - 4) + C

_ -~ cos (3x2 -4) +C

Vb: 6• ~ sin2 5x dx p = 5x

d = 5

dx = 5 dp.

f sing 5x dx2 1= f sin p 5 dP ( cos 2 p = 1 - 2 sing p~

= 5 f sing p dp ~ 2 1 - cos -p~ sin p = 2

= 5 ~ ( 2 - 2 cos _Z p) dp

5 J 2 dp 5 J 2 cos2p dp

1 1 1 2 Zsin2p + C5 2 p _ ~

10 p 20 sin 2p + C

= 2x-20 sin 10x+C

4)

vb: 7.

i

f x cos(x2 + 1) dx

x cos (x2 + 1) dx

dgf x cos g Zx

Stel : g = (x2 + 1)

dg = 2x dx = Zg

f cos g Zg = ~ 2 cos g d ~g 2 f cos g dg

12 sin g+C

12 sin (x2 + 1) + C

4~~ dx Stel : g = x2 + 1x + 1 d

g =2xdx

dg = 2x dx

dx = gZ

4x d9 _ f 2 ~g = 2 f g d9f 9 2x

= 2 In / g / + C

= 2 to /x2 + 1 /+C

Een primitieve funktie wordt een logaritmevan:

c. K' (x)K x

Vb: 9• ( x eX2+4. dxJ

d= 1 x. e9 2g

( 12 eg dg

12 f eg dg

= 2 eg +C

2 eX2+4 + C .

Stel : g = x2 + 4

dg = 2x

dg = 2x dx

dx = 2g

indien f(x) de vorm heeft

5)

vb: ~o.cos x dx Stel : g = sin x

s in3x dgdx—cos x

s in-3x cos x dx dg = cos x dx

d d_ ( g-3 cos x dxcos x cos x .

f - 1g-3 dg __ fi g-2 + ~_ + CJ

22 sin x

6)

BEPAALDE INTEGRALEN EN OPPERVLAKTEBEREKENING.

Onder een bepaalde integraal , aangeduid metbf f(x) dx, verstaan we F(b) - F(a)a

f (x) hee.t de integrand. a = ondergrens.

b = bovengrens.

1Voorbeeld 1: f x.dx ~ x2 + C ~ _ (~ 2 1

o ~ 2 0 2 ~~~ + ~~ - ~Z.o2 + c)

= 2+c-o+c1

= 2 .Re els:

~ ~ b bf c. f (x) dx = c f f (x) dxa a b

Bew i j s: c f (x) dx = c F (x) a

= c F (b) - c F (a)

= c ( F(b) - F(a) )

= c. f (x) dx.

2 ~ b c bf f (x) dx = f f (x) dx + f' f (x) dx met a C c < ba a c

6f f(x) dx = F(b) - F(c) +

a

f f(x) dx + f f(x) dx = F(b) - F(a) (b f(x) dx .a c a

7)

~.~...~~

~ ' ,j x. dx + f x. dx = ~ ~ x2~ 2 + ~ ~ x27 3

1 2 1 J 2

_ (2 22 - 2 12) + (2 32 - 2 22) = 4.

f X.dx (2 X21 3 21 ~ 1

42 • .f /x-3 / dx

2

/ x-3 / x-3 als x ~ 3

- x+3 als x ~ 3

32 -2 .1.2 =4.

4 3 4f /x-3/dx= .1/x-3/dx+ j /x-3/dx2 2 3

3 4= l -(x-3) dx + .l (x-3) dx2 3

3 4,l (-x+3) dx + j (x-3) dx2 3

3 4C 1 x2 + 3x~ + L 1 X2 3x~2 2 2 3

= C - 29 +g) - (2.4+6) + (2 16- 12) ( 2 9 - 9 )

= Z- 4- 4+ 2= 1

2

OPPERVLAKTE BEREKENING.

x ~ --~ Ox 1

x2 --~ Ox 2

Bij elke x E ~a,b' behoort precies een Ox: dit is dus

een funktie 0(x)

p (x) = Ox )

p (x+h) = Ox+h ~ opp. P.QRS = Ox + h - Ox

opp. PQRS ~ h. f (x)

f (x) ~ p (x+h) - p (x)h.

1 im Pax+h) - P(x)f (x) =h ~ ~ h.

f (x) = p' (x)

p (x) = F(x) + C

p (a) = F(a) + C

p (a) = 0.

p (x) = F(x) - F(a)

F(a) + C = 0

C =- F(a)

opp. ABCD = pb(b) = F(b) - F(a)

opp. ABCD = ( f(x) dx..1a

Gegeven een funktie f(x) op C a,bJ

JJ

S tel l ing:

De oppervlakte van een positieve funktie tussen de grenzen

a,b is gel ijk aan bf f(x) dx .a

Indien de oppervlakte onder de x-as l igt geldt dat deze opper-

vlakte gel ijk is aan bf f (x) dxa

Voorbeeld 1: Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door

de 1 i jnen f (x) = x, (x = 0) , x = 4 en de x-as.

4 40 = ,~ f (x) dx = f x. dx =

0 0

Voorbeeld 2:

1 2 x2 4 = 2 42 - 2 02 = 8~ 0

Bereken de opp. ingesloten door f(x) = x2 - 4,

x = 0, x = 1 en de x-as.

1 10 = - j f (x) dx = - J (x2 - 4) . dx = - ~ 3x3 - 4x~

0 0

1

0

10)

Voorbeeld 3: Bereken de opp. van de vlakdelen ingesloten door

de grafieken van f(x) = cos x X = 0, X = i► en

de x-as.

.I[. Tt" "f"f2 2 2

q~ = J f(x) dx = J cos x dx = sin x10 0 0

zC= sin 2 - sin o = 1 - o = 1

T~ ~i'~

0~ _ - ✓ f (x) dx = - J cos x dx = - ~ s i n x~~ .~ ~2 2 2

_ - ( sin"1'I~' - sin' ) _ - (o - 1) _ - ( - 1) = 1

tot -~ +1 =2.

Voorbeeld 4: Als voorbeeld 3, maar f(x) = sing x.

~~

0 = f f(x). dx = ~ sin2x dx. f 1-c~s2x dx

0 0 0

cos2x = 1 - 2 s i n2x ,

= 2 cos2x - 1

2 sin2x = 1 - cos2x ,

s in2x = 1 - cos2x2

Tf= f c2 - 2 ~os2 x) dX

0

1 1 1 T_ ~ 2 x- 2 2 s i n ~y~0

-,(2 TI - 4 sirs~TT) - .(2.0 - 2. 2. sin2.0)

_L_L.2

Voorbeeld 5: De opp. van het vlakdeel ingesloten door

f (x) , y = 1 , y = 3 en de y-as;, a ~ s, f (x~ ~ 7x~-4

2 20 = f(x) dx = x+4.dx - ~n / x+4 /

-1 -1

= In 6 - In 3 = 1n36 = In 2

12)

Voorbeeld 6: Bereken de opp. van het vlakdeel

f (x) = x2 en g (x) = 2x + 3 .

f (x) = g (x)

x2 =2x+3

x2 - 2x - 3 = 0

3 30 = f g (x) dx - f f (x) dx

-1 -1

3 3

-1(2x + 3 - x2) dx

3_ ~x2 + 3x - 3x3, _ (g+9-g) - (1-3+ 3) = g + 1 3 10 2/3

-1

Berekening van de snijpunten:

2 + 4 + 12x ~~ 2 = ~ 2+42 x~ =3 x2=-1

13)

Voorbeeld 7: Opp. vlakdeel ingesloten door

f (x) = x2 - 2x - 4 en g (x) = x2 + x +

Snijpunten: f(x) = g(x)

x2 -2x-4=-x2 +x+1

2x2 - 3x - 5 = o

x =-1 v x=52

Snijpunt x-as: f(x) = 0: x2 - 2x - 4 = 0

X

2 + ~Z 0 '/—x1 ,2 2 x~ = 1 + 5x2 = 1 - V 5.

X1 ,2 -2 x1 2 } 2 ~ 5 X2 2 2 ~ 5 '

We verschuiven de x-as tot het to berekenen vlakdeel boven de

x-as komt to l iggen.

De x-as over 5 eenheden Haar beneden schuiven is hetzelfde als de

grafieken over 5 eenheden Haar boven schuiven. T.o.v. het nieuwe

assenstelsel worden de vergel ijkingen resp.

14)

f (x) = x2 - 2x - 4 + (5) = x2 - 2x + 1 .

g (x) =-x2 +x+ 1 + (5) _ -x2 +x+6.

5 50 = ! g(x) dx - 12 f(x).dx

-1 -1

52

= f g (x) - f (x) dx

-1

52

-1

52

3x3 + 2x2 + 5x~1

_ ( -224 +~8+~2 ) - (3+2 - 5)

254 225 300 68= C - 24 + ~2 + + 24 ~ - ~ - 24 )

34324

15)

Voorbeeld 8: f(x) = cos2x + 2 sin x met 0° ~~ x ~ 360°.

a) Snijpunten met de x-asb) Bepaa 1 f' (x)c) Bereken de lokale extremend) Bereken de buigpunten (x coordinaten)e) Bereken de opp. van het vlakdeel dat boven de

x-as l igt.

a ) Sni jpunten met de x-as:

f x = ~ cos2x + Z s i n x= 0

1 - sin2x + 2 sin x = 0

s in2x - 2 sin x - 1 = 0

s in 2 = 2 ± Vts2

s in x = 1 + ~2 v sin x= 1 - V 2

s in x = 2,4 v

geen opl .

b) f' (x): Stel : f' (x) = 0

sin x = - 0,4

x = 2050

x = 335°

- 2 cos x s i n x+ 2 cos x~ o

Z cos x (- sin x + 1) = 0

2 cos x= 0 v s i n .x = 1

cos x = 0 x = 90°.

x =9po

v x = 270°

f ~ + o _ o + 360°0 9~0 2700

max. min.F st. , dal . , st.

90° 27~°

16)

~~- ~~

c) Maximum voor x = g0°: f(9~~) = 02 + 2.1 = 2.

Minimum voor x = 270°: f(270°) = 02 - 2.1 = -2.

Randextremen voor x = 0° f(0) = 1.

Randextremen voor x = 360° f(0) = 1 .

d) Buigpunten.

f ' (x) _- 2 s i n x cos x+ 2 cos x

f " (x) = 2 sin x sin x - 2.cos x cos x - 2 sin x

= 2 sin2x - 2 sin x- 2 cost x

s in2x - sin x - cos2x = 0

s in2x - sin x + sin2x - 1 = 0

2 sin2x - sin x - 1 = 0

2 sin2x-2 sinx+sin x- 1 =0

s in x~ _ - Z sin x2 = 1 .

x ~ = 210° x2 = 9~~

v x~ = 33po

B.P. B.P.__ o+ — ~ 360

o g0° 210° 3300

BUICn n

i~~~ ~

17)

205° 360e) Otot. ~ f(x).dx +

~~ 335

205

f (x) dx of 0 = ~ f (x) . dxtot.

-X50

2052(cos x+ 2 s i n x) dx

-25

205

_ ~cos~x + 1 + 2 sin x)2-25

dx

205

_ ~ ~cos,~x + ~ + 2 sin x) dx2 2-25

3,61 1

~ 2 sin2x + 2 x - 2 cos x~ -0,44

4 sin 410° + 2 (3,6) - 2 cos 205° - 4 sin(-5~)~ + Z - 2.cos(-25) 0

-~4. 0,766 + 1,8 - 2. (-0,91), - C ~+ (0,766) - 0,22 - 2.0,91

= 0,191 + 1,8 + 1,81 - C- 0,191 - 0,22 - 1 ,82 _

_ (3,811) - (-2,231) = 6,042

18)

1Voorbeeld 9~ Gegeven: f(x) = x+4.

Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door

f (x) y= 3 y= 1 en de y -as .

1e manier: f(x) = 3 3 = ~ f(x) = 1 1 = X+4

3x+12= 1 x+4= 13x = -11 x = -3

x = - 113

1 7 33tot - 3 3=3= 11

02 = 3.7 = 3•

-31

~1 x+4 dx =

- 1 13

-3

1 n / x+4~~ _l"(-3

= In / -3+4 / - In /~+ 4 /

= In 1 - In 3 = 0 - In 3

= 0 - (ln 1 - In 3)

= 0 - (0 - In 3) = In 3•

tot 0 3 - 02 = 11 - 3 - 1 n 3

= 8- 1n 3•

x

f ~"~ - X+~-t .

,.,.~ y

y = 1~. --~ x= y+4. ~ y=X -4

3 30 = - (( -~ - 4).dx = - ~ 1n / x / - 4x~ ~

J1

_ -~(ln 3 - 12) - (ln 1 - 4)} _ - €ln 3 - 12 + 4~ _

~ ~ n3- 8~

= 8- ln3

20)

tVoorbeel d _1 D: Gegeven: f (t) = e1 tb ( _ = 10 sec)

Gevraagd: 1) Voor Welke t geldt f(t) = 0,8 fmax.

a ) Bereken fmax.

e = e

f ' ~t) = e-~'~ t - ~. 10

1 0 e~ 10

Df= ~t/t>, 0~

te ~ 10 ~ 0 voor elke t ~ f' (t) < 0 voor elke t

f ' (t) < 0 -~ f(t) datend voor elke t

f (t)

f (t) = 0,8 f max

e1-0,1t _ 0,8 e

dalend

Randmax. treedt op voor t = 0

f (0) = fmax = e~ -~ = e

In e1-0,1t _ ~n 0,8 e - 0,1t = In 0,8

(1-0,1t) 1 = In 0,8 + In e t = -10 In 0,8

1-0,1t = In 0,8 + 1

21)

2Voorbeeld 11: f(x) = x.e-x +1

a) Snijpunten met de x-as:2

2x = 0 v e-x +1 _ ~

Ov = x = 0 ~ S = (0,0)

2 2b) f' (x) - e-x +1 + x. (-2x) e-x + 1

2= e-x +1 ~ - 2x2 + 1~

E) Extremen waarden: Stel : f' (x) = 0

2e-x +1 _2x2 + 1) = 02e-x +1 _ 0 v -2x2 + 1 = 0

- 2x2 = -12 _ ,x - Z

x =+ 2 v x= - 2

b af - + -

- z ~2 +Z

f . dal . m;n st. max dal .

-Z 2 +Z 2

Minimum voor x = -21r2: f(-Z~2) _ -2 ~2.e2 = -2 ~2 ~e = -Z 2e ,~ - 1,16

Maximum voor x = z ~2: f(Z~)= Z V ~.e2 = 2 Y ~ e 1 ,16.

22)

d) Bereken de opp. van het gearceerde vlak:Z1~2 ZV2 2

0 = ~ f (x) dx = f x. e-x +1

0 0 2

Primitieve funktie ~ x e-X +1. dx

- ~ dgx. eg-2x

Zeg dg_

~

--

Z .eg + C

_ -2 e-x2+1 + C,~~/- 2 ~ Z

J0_ - 2 ~ + Z e

= 2 (e- 1~e)

. dx

S tel : g = -x2+1

gd = -2x

dx= d9-2x

x --~ c~ x + c~ exL— I = U )

23)

Voorbeeld 12:

x

F (x) = f t ~~ dt a) T.b F(x) = In / x - 1 /

° b) Ber. F(1), F(0) en F(1) -F(0)

x

a) F(x) _ ~ t~~ dt

0 x

= I ln / t-1 /] 0

= In/x-1 /- In/0-1 /

= In / x-1 /

b) F(1) = In / 1-1 / = In 0 bestaat niet.

F (0) = In / 0-1 / = In + 1: = 0

F (1) - F(0) bestaat niet want F(1) bestaat niet.

2Voorbeeld 13: f(x) = In xx1

Gevraagd: a) Domein

Oplossing:

_b)-Snijpun~en_met de x-a_sc ) Extremen en~'de waa'rden van x waarvoor

ze optredend) Grafieke) Buigpunten.

a) X2x_~ > 0

teller

noemer

breuk

Opl .: x , 1

+ + o + - +0

- - - Q + +1

o ~

2 2b) Snijpunt x-as: Stel : f(x) = 0: In X_~ = 0 X_~ = 7

x2 = x - 1

x2 -x+l =0

D ~ 0 ~ geen snijpunten.

24)

c ) f' (x) - x-1 2x (x-1) -x2 .x2 (x-1) Z

x-1= 2 .x

2x2 - 2x - x2(x-1) 2

2x - 2x - x2

x2 (x-1)

(x-1) .x (x-2)x2 (x-1) 2

x-2x x-1

x = 2.

f ' Q + + +~ X=2

f / ~ del min st.%1 x=2

M inimum voor x = 2

X= ~.

d)

f(2) = In 24 ~ = In 4

25)

e) Buigpunten: f' (x) = x-2 x-2x x-1 x2-2

f " (x) = 1. (x2-x) - (x-2) (2x - 1)

~ X2 - x) 2

-x2 + 4x - 2

x (x-1) 2

S tel : f"(x) = 0 - x2 + 4x - 2 = 0

-4 ± ~16r-~8x12 — -2

x ~ ~ 2 = -4 ± 2 ~2-2

x = 2 + ~ v x = ~ 2 -~Z vervalt (L 1)

+ Q -

1 2+ V 'L

Buigpunt voor x = 2 + V Z.