4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figu- ren LJ2P1... · PDF file 13 Bereken de...

Click here to load reader

  • date post

    08-Aug-2020
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figu- ren LJ2P1... · PDF file 13 Bereken de...

  • 28 28

    28 28

    1 BALK EN KUBUS

    lengte breedte

    hoogte

    Figuur 1

    In figuur 1 is een balk getekend. Bij een balk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken zijn rechthoekig.

    De oppervlakte van een balk kunnen we berekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken bij elkaar te tellen. Dus. oppervlakte = ×2 lengte × breedte + ×2 breedte × hoogte + ×2 lengte × hoogte. Of in formulevorm: A l b b h l h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2

    De inhoud of het volume berekenen we als volgt: Volume = lengte × breedte × hoogte. Of in formulevorm: V l b h= ⋅ ⋅

    zijde zijde

    zijde

    Figuur 2

    4 Oppervlakte en inhoudvan ruimtelijke figu- ren

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

  • 29 29

    29 29

    In figuur 2 zien we een kubus getekend, hierbij zijn alle zijden gelijk, dus lengte = breedte = hoogte. Zo’n zijde noemen we meestal ribbe.

    De oppervlakte van een kubus kunnen we weer berekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken bij elkaar te tellen. Omdat deze vlakken gelijke vier- kanten zijn, geldt voor de oppervlakte van een kubus:

    Oppervlakte = ×6 zijde × zijde Of in formulevorm: A z z z= ⋅ ⋅ = ⋅6 6 2

    Voor de inhoud van een kubus geldt: Volume = zijde × zijde × zijde Of in formulevorm: V z z z z= ⋅ ⋅ = 3

    Gegeven Voor een balk geldt: lengte = 2 m ; breedte = 3 m en hoogte = 25 dm .

    Gevraagd Oppervlakte en inhoud

    Oplossing Hoogte = =25 2 5dm m, A l b b h l h A

    = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = × × + × × + ×

    2 2 2 2 2 3 2 3 2 5 2 2m m m m, mm m m× =2 5 37 2,

    V l b h V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =2 3 2 5 15 3m m m m,

    Oefeningen

    1 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een balk met de volgende afmetingen: l b= =3 3m, dm en h = 15 cm .

    2 Bereken de oppervlakte en het volume van een kubus met een ribbe van 12 cm .

    3 Van een balk is de oppervlakte 1090 2cm . De lengte is 13 cm en de hoogte is 2 1, dm . Bereken de breedte en het volume van de balk.

    Vb. 1

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 25

  • 30 30

    30 30

    4 De inhoud van een balk is 533 52 3, cm . De breedte is 1 2, dm , terwijl de hoogte 5 7, cm is. Bereken de lengte en de totale oppervlakte van deze balk.

    5 Een kubus heeft een inhoud van 1728 3cm . Bereken de lengte van de zijde en de totale oppervlakte.

    6 De totale oppervlakte van een kubus is A = 726 2cm . Bereken de lengte van een zijde en de inhoud.

    2 HET PRISMA EN DE PIRAMIDE

    In figuur 3 is een driezijdig prisma getekend. Bij een prisma is de dwarsdoorsnede overal gelijk. Een prisma kan ook meer zijden hebben. Deze zijden kunnen recht- hoekig zijn, maar kunnen ook de vorm van een parallellogram hebben.

    hoo gte

    dwarsdoorsnede

    Figuur 3

    De oppervlakte van een prisma kunnen we berekenen door de oppervlakte van alle zijden bij elkaar op te tellen. Of in formulevorm: A Azijde= Σ

    De inhoud of het volume van een prisma berekenen we met: volume = oppervlakte dwarsdoorsnede × hoogte

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    26 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

  • 31 31

    31 31

    De dwarsdoorsnede loopt evenwijdig aan het grondvlak, de oppervlakte van de dwarsdoorsnede kunnen we vervangen door de oppervlakte van het grondvlak, dus ook geldt: volume = oppervlakte grondvlak × hoogte Of in formulevorm: V A hgv= ⋅

    In figuur 4 is een piramide getekend. Ook nu kunnen we een dwarsdoorsnede tekenen. Merk op dat deze naar boven toe steeds kleiner wordt.

    dwarsdoorsnede

    ho og

    te

    A B E

    C

    F E

    F

    D

    T T

    T1 T1

    Figuur 4

    De oppervlakte van een piramide berekenen we door de oppervlakten van de grensvlakken bij elkaar op te tellen. Voor de piramide in figuur 4 geldt dan: oppervlakte piramide = ×4 oppervlakte driehoek ABT + oppervlakte grondvlak Of in formulevorm: A z h z z h zz z= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +4 212

    2 2 waarbij z = zijde grond- vlak en hz = hoogte zijvlak.

    Tip: om de hoogte van driehoek ABT te berekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras.

    De inhoud of het volume van een piramide berekenen we met:

    volume = ×1 3

    oppervlakte × hoogte

    Of in formulevorm: V z h= ⋅ ⋅1 3

    2

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 27

  • 32 32

    32 32

    Gegeven Van de piramide uit figuur 4 is het grondvlak een vierkant met een zijde van 6 cm . De hoogte van de piramide is 7 cm .

    Gevraagd a. Bereken het volume. b. Bereken de totale oppervlakte.

    Oplossing

    a. V z h A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =1 3

    1 3

    6 7 842 2 3( cm) cm cm

    b. We berekenen eerst de hoogte hz van !ABT met de stelling van Pythagoras.

    h z2 2 23 7 58= + = ⇒ hz = =58 7 6, cm A z h zz= ⋅ ⋅ + ⇒2 2 A = × × + =2 6 7 6 6 127 22 2cm cm ( cm) cm, ,

    Gegeven Het prisma van figuur 3 heeft als grondvlak een driehoek met een basis van 8 cm en een hoogte van 6 cm . De hoogte van het prisma is 18 cm .

    Gevraagd Bereken het volume van het prisma.

    Oplossing V A h Vgv= ⋅ ⇒ = × × × =

    1 2

    8 6 18 432 3cm cm cm cm

    Oefeningen

    7 De dwarsdoorsnede van figuur 3 is een gelijkbenige driehoek met gelijke recht- hoekzijden van 6 cm . De zijvlakken zijn rechthoeken met een hoogte van 10 cm .

    a Bereken de schuine zijde s van de dwarsdoorsnede.

    b Bereken de oppervlakte van het prisma.

    c Bereken het volume van het prisma.

    Vb. 2

    Vb. 3

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    28 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

  • 33 33

    33 33

    8 Het grondvlak van de piramide is een vierkant met zijden van 5 cm . De hoogte TT1 15= cm .

    a Bereken de oppervlakte van de piramide.

    b Bereken de inhoud van de piramide.

    9 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De hoogte bedraagt 30 cm.

    a Bereken de oppervlakte van de piramide.

    b Bereken de inhoud van de piramide.

    10 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De inhoud bedraagt 2000 3cm .

    a Bereken de hoogte van de piramide.

    b Bereken de oppervlakte van de piramide.

    11 Het grondvlak van een prisma is een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden van 6 cm en 7 cm . De inhoud is 126 3cm .

    a Bereken de hoogte van het prisma.

    b Bereken de oppervlakte van het prisma.

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 29

  • 34 34

    34 34

    12 Het grondvlak van een recht regelmatig prisma heeft 6 zijden van elk 8 cm . De hoogte bedraagt 15 cm .

    a Bereken de omtrek van het grondvlak.

    b Bepaal de oppervlakte van het grondvlak.

    c Bereken de totale oppervlakte van het prisma.

    d Bereken het volume van het prisma.

    3 DE BOL

    De oppervlakte van een bol berekenen we met: oppervlakte bol = × ×4 π straal 2 Of in formulevorm: A r= ⋅ ⋅4 2π

    Voor de inhoud of het volume van een geldt: volume bol = × ×4 3

    π straal 3

    Of in formulevorm: V r= ⋅ ⋅4 3

    Gegeven Een bol heeft een straal van 1 5, m .

    Gevraagd Bereken de oppervlakte en de inhoud.

    Oplossing A r A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =4 4 1 5 28 32 2 2π π ( , ) ,m m

    V r V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =4 3

    4 3

    1 5 14 13 3 3π π ( , ) ,m m

    Vb. 4

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    30 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

  • 35 35

    35 35

    Oefeningen

    13 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een straal van 2 m .

    14 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een middellijn van 6 cm .

    15 Een bol heeft een oppervlakte van 100 2cm . a Bereken de straal van de bol.

    b Bepaal de inhoud van de bol.

    16 Een bol heeft een inhoud van 250 3cm . a Bereken de straal van de bol.

    b Bereken de oppervlakte van deze bol.

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 31

  • 36 36

    36 36

    4 DE CILINDER

    Bij een cilinder zijn het grond- en bovenvlak cirkels. Zie figuur 5. De uitslag van de mantel is een rechthoek. Zie figuur 6.

    dwarsdoorsnede

    h

    r

    Figuur 5

    mantel

    2 × π × r

    h

    Figuur 5

    Voor de oppervlakte van een cilinder geldt dan ook: oppervlakte cilinder = ×2 oppervlakte cirkel + oppervlakte mantel

    In formulevorm: A r r h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅2 22π π

    De inhoud of het volume van een cilinder berekenen we als volgt: volume cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte

    In formulevorm: V r h= ⋅ ⋅π 2

    © ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

    32 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

  • 37 37

    37 37

    Gegeven Een cilinder heeft een diameter van 18 cm en een hoogte van 22 cm .

    Gevraagd Bereken de oppervlakte. Bereken de inhoud.

    Oplossing r d r= ⋅ ⇒ = × =1

    2 1 2

    18 9cm cm A h A= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × + × × × =2 2 2 9 2 9 22 17532 2π