Post on 12-May-2015
Volumeberekening van omwentelingslichamen
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume: …
R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
HRV .. 2R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
Opmerking:
De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van
de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan ...
HRV .. 2R
H
1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en
bovenvlak en H als hoogte.
Deze ruimtefiguur ontstaat door
omwenteling van een rechthoek
met afmetingen R en H om een zijde
met lengte H.
Volume:
Opmerking:
De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van
de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan
HRV .. 2
RHV .. 2
R
H
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf KEGEL
2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.
Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:
BOL → halve schijf KEGEL → rechthoekige driehoek
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd
door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de
x-as, met f een continue functie in [a,b].
x
y
z
a
b
)(xfy
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
We krijgen een omwentelingscilinder met volume
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte
en breedte wentelen om de x-as.
We krijgen een omwentelingscilinder met volume
x
y
z
a
b
)(xfy
1, ii xx
iz
iii xxh 1)( izf
iiiii hzfhzfV .)(..)(. 22
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders
x
y
z
a
b
)(xfy
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders
x
y
z
a
b
)(xfy
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van
dit lichaam benaderd door:
x
y
z
a
b
)(xfy
Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van
dit lichaam benaderd door:
x
y
z
a
b
)(xfy
n
iii hzf
1
2.)(.
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
x
y
z
a
b
)(xfy
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
x
y
z
a
b
)(xfy
1
2.)(.i
ii hzfV
De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:
x
y
z
a
b
)(xfy
1
2.)(.i
ii hzfV
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].
De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings-
lichaam zijn dus gelijk aan:
x
y
z
a
b
)(xfy
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].
De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings-
lichaam zijn dus gelijk aan:
x
y
z
a
b
)(xfy
b
a
dxxfV 2)(.
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
x
y
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
x
y
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
x
yz
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
2
0
2 )(sin dxx x
yz
Voorbeeld:
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het
vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale
rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.
Oplossing:
2
0
2)(. dxxfV
2
0
2
0
2
2
)2cos(1)(sin dx
xdxx
2
2
0
2
00002
22
)2sin(
2
xx
x
yz