Volumeberekening van omwentelingslichamen

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

Volume: …

R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

Volume:

HRV .. 2R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

Volume:

Opmerking:

De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van

de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan ...

HRV .. 2R

H

1. Volume van een (omwentelings)cilinder

Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en

bovenvlak en H als hoogte.

Deze ruimtefiguur ontstaat door

omwenteling van een rechthoek

met afmetingen R en H om een zijde

met lengte H.

Volume:

Opmerking:

De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van

de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan

HRV .. 2

RHV .. 2

R

H

2. Volume van omwentelingslichamen

Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.

Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:

2. Volume van omwentelingslichamen

Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.

Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:

BOL

2. Volume van omwentelingslichamen

Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.

Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:

BOL → halve schijf

2. Volume van omwentelingslichamen

Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.

Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:

BOL → halve schijf KEGEL

2. Volume van omwentelingslichamen

Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen.

Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:

BOL → halve schijf KEGEL → rechthoekige driehoek

We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-

staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd

door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de

x-as, met f een continue functie in [a,b].

x

y

z

a

b

)(xfy

We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-

staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd

door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de

x-as, met f een continue functie in [a,b].

x

y

z

a

b

)(xfy

We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-

staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd

door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de

x-as, met f een continue functie in [a,b].

x

y

z

a

b

)(xfy

We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-

staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd

door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de

x-as, met f een continue functie in [a,b].

x

y

z

a

b

)(xfy

We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-

staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd

door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de

x-as, met f een continue functie in [a,b].

x

y

z

a

b

)(xfy

We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval

kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte

en breedte wentelen om de x-as.

x

y

z

a

b

)(xfy

1, ii xx

iz

iii xxh 1)( izf

We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval

kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte

en breedte wentelen om de x-as.

x

y

z

a

b

)(xfy

1, ii xx

iz

iii xxh 1)( izf

We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval

kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte

en breedte wentelen om de x-as.

We krijgen een omwentelingscilinder met volume

x

y

z

a

b

)(xfy

1, ii xx

iz

iii xxh 1)( izf

We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval

kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte

en breedte wentelen om de x-as.

We krijgen een omwentelingscilinder met volume

x

y

z

a

b

)(xfy

1, ii xx

iz

iii xxh 1)( izf

iiiii hzfhzfV .)(..)(. 22

Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-

aardige omwentelingscilinders

x

y

z

a

b

)(xfy

Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-

aardige omwentelingscilinders

x

y

z

a

b

)(xfy

Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-

aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van

dit lichaam benaderd door:

x

y

z

a

b

)(xfy

Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-

aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van

dit lichaam benaderd door:

x

y

z

a

b

)(xfy

n

iii hzf

1

2.)(.

De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de

verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

x

y

z

a

b

)(xfy

De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de

verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

x

y

z

a

b

)(xfy

1

2.)(.i

ii hzfV

De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de

verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

x

y

z

a

b

)(xfy

1

2.)(.i

ii hzfV

Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].

De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings-

lichaam zijn dus gelijk aan:

x

y

z

a

b

)(xfy

Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b].

De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings-

lichaam zijn dus gelijk aan:

x

y

z

a

b

)(xfy

b

a

dxxfV 2)(.

Voorbeeld:

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het

vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale

rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

Voorbeeld:

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het

vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale

rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

Oplossing:

x

y

Voorbeeld:

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het

vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale

rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

Oplossing:

2

0

2)(. dxxfV

x

y

Voorbeeld:

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het

vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale

rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

Oplossing:

2

0

2)(. dxxfV

x

yz

Voorbeeld:

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het

vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale

rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

Oplossing:

2

0

2)(. dxxfV

2

0

2 )(sin dxx x

yz

Voorbeeld:

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het

vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale

rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

Oplossing:

2

0

2)(. dxxfV

2

0

2

0

2

2

)2cos(1)(sin dx

xdxx

2

2

0

2

00002

22

)2sin(

2

xx

x

yz