Toepassingen met integralen

Met behulp van integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe ging dat ook alweer… ?

Beschouw een functie f: IR -> IR : x -> f(x)

die beschrijft hoe f(x) varieert als x verandert.

We nemen bijvoorbeeld de functie f met het functievoorschrift f(x)= - 0,125x³ + 0,75x².

Met integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe ging dat ook alweer… ?

Op de figuur zie je dat f(x) > 0 is in het interval [a, b].

Dan is de oppervlakte tussen de grafiek en de x-as in het interval [a,b] gelijk aan:

b

adx).x(fA

Een uitgewerkt voorbeeld.

Bereken de oppervlakte van een stuk grond met een maximale breedte aan de straatkant van 15 m. De grens achteraan wordt beschreven met de functie f(x) = -0,05x²+20.

15

0dx).20²x05,0(A

b

adx).x(fA

15

0

x203³x

05,0A

0.20

3³0

05,015.203³15

05,0A m75,243A

Voorbeeld…

dx).20²x05,0()x(A

dx).x(f)x(A

cx.203³x

.05,0)x(A

Bepaal nu ook de oppervlaktefunctie:

Met deze oppervlaktefunctie kan je de oppervlakte van de grond berekenen voor verschillende x-waarden (=breedtes).

De integratieconstante kan je als volgt bepalen: als de breedte van het perceel nul is, is de oppervlakte ook gelijk aan nul, dus: 0c0.20

3³0

.05,0 0)0(A 0c

Nu kunnen we integralen ook gebruiken in een aantal toepassingen…

1. Zwaartepunt van een figuur bepalen

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen

3. Tijdsafhankelijke processen

4. Arbeid bij variabele krachten berekenen

1. Zwaartepunt van een figuur bepalen…

Voor een figuur die begrensd wordt door 2 grafieken van functies fen g in een interval [a,b], berekenen we het zwaartepunt:

dx.)x(g)x(f

dx.)x(g)x(fxZ b

a

b

ax

dx.)x(g)x(f.2

dx.)x²(g)x²(fZ b

a

b

ay

Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

x

y

z

a

b

)(xfy

x

y

z

a

b

)(xfy

Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

x

y

z

a

b

)(xfy

Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

x

y

z

a

b

)(xfy

Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

x

y

z

a

b

)(xfy

Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

x

y

z

a

b

)(xfy

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

Dan kunnen we het volume van dit omwentelingslichaamberekenen met de formule:

b

adx).x²(f.V

2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…

VOORBEELD:Bereken het volume dat ontstaat door de ingekleurde gebieden te wentelenOm de x-as:

07,537V

2

0

2 dx.³)x(πV 4

2

2 dx.)x10(π

7

4

7

4

22 dx.)4x(πdx.)x10(π

65,16997,30945,57V

3. Tijdsafhankelijke processen…

Tijdsafhankelijke processen zijn bijvoorbeeld: de snelheid van een wagen in functie van de tijd, de versnelling van een vliegtuig in functie van de tijd, het debiet van een rivier in functie van de tijd, …

Als we deze processen beschrijven met een functie f(t), dan merken we opdat de oppervlakte onder de grafiek een betekenis heeft:

voor een snelheidsfunctie is de oppervlakte onder de grafiek een maatvoor de afgelegde weg,

voor een versnellingsfunctie is de oppervlakte onder de grafiek een maatvoor de snelheidsverandering.

3. Tijdsafhankelijke processen…

VOORBEELD:als we de snelheid van een wandelaar uitdrukken infunctie van de tijd, bijvoorbeeld v(t)= -4t³+12t,

dan is

de afgelegde weg

ofwel

En dus

dt).t(v)t(s

dt.t12³t4)t(s

c²t.6t)t(s

c2²t

.124t

.4)t(s

4

4

( met c=0, want s(0)=0)

3. Tijdsafhankelijke processen…

VOORBEELD:als we de versnelling van een vallend voorwerpuitdrukken in functie van de tijd, bijv.: a(t)= 9,81(een constante versnelling uitgedrukt in m/s²),

dan is

de snelheidsverandering

en dus

dt).t(a)t(v

dt.81,9)t(v

ct.81,9)t(v

( met c=0, want v(0)=0)

4. Arbeid bij variabele krachten berekenen…

Voor constante krachten geldt: W = F.s W = arbeid in JF = kracht in Ns = verplaatsing in m

Wanneer de geleverde krachten echter variabel zijn in functie van de verplaatsing, dan geldt:

ds).s(F)s(W

Om de geleverde arbeid te kunnen berekenen, moeten we dus de functie van de kracht integreren. We moeten dus bepalen hoe de kracht verandertals de verplaatsing varieert.

4. Arbeid bij variabele krachten berekenen…

VOORBEELD:Een kabel met een gewicht van 40 N per meter wordt afgerold van een cilinder. De kracht die hiervoor nodig is, is gelijk aan het gewicht van het reeds afgerolde stuk.Bereken de arbeid die nodig is om 10 m af te rollen.

ds.s.40ds).s(F)s(W

1. We bepalen eerst hoe de kracht verandert als de verplaatsing verandert:

0 m afgerold: F= 40 N/m . 0 m = 0 N

1 m afgerold: F= 40 N/m . 1 m = 40 N

2 m afgerold: F= 40 N/m . 2 m = 80 N

s m afgerold: F= 40 . s

2.De geleverde arbeid berekenen we dan via

3. De arbeid om 10 m af te rollen, is dan:

J20002

²0.40

2

²10.40

2

²s.40ds.s.40W

10

0

10

0