PORTFOLIO 16

DEEL XI HOOFDSTUK 2 TOEPASSINGEN OP BEPAALDE INTEGRALEN

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klas: . . . . . . . . . . . . . . . Nr.: . . . . .

2 Toepassingen op bepaalde integralen Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.1 Oppervlakte tussen grafieken 12

12

23

124

5

2.2 Gemiddelde waarde van een functie 67

8 9 10 11

2.3 Inhoud van een omwentelingslichaam 12 13 14 15 16 17 18 19

2.4 Toepassingen uit fysica 20 21 22 2324

25 26

Oefeningen bij §2.1Oefening 1. Bereken telkens algebraısch de oppervlakte van het aangeduide gebied. Eventuele snijpunten moet jealgebraısch berekenen.

y

x

f(x) = x2 + 1, g(x) = −x

f

g

−1 2

B (a)

y

x

f

f(x) = x3 − x2 − 6x

B⋆ (c)

y

x

f(x) =√x, g(x) = −x+ 6

f

g

B⋆ (b)

y

x

f

gV (d)

k(y) = 3− y2, g(x) = x− 1Po-59

Oefe

nin

g2.

Ber

eken

telk

ens

alge

bra

ısch

de

opp

ervla

kte

van

het

gebie

db

egre

nsd

door

alle

gra

fiek

enva

nde

opgeg

even

funct

ies

enre

chte

n.

B(a

)f

(x)

=−x2

+6,

g(x

)=x

1 x

B(b

)f

(x)

=x3,

g(x

)=x

metx≥

01 x

B(c

)f

(x)

=x2−

2,g(x

)=x

1 x

B(d

)f

(x)

=2x,

g(x

)=

3x,

x=

21 x

B?

(e)f

(x)

=ex,

g(x

)=e−

x,

x=

21 x

B??

(f)f

(x)

=√

2x,

g(x

)=x2 2

B??

(g)f

(x)

=x2,

g(x

)=

16 x2,

y=

0,x

=4

1 x

V(h

)y

=1

1+

3x2,

y=

−1

1+

3x2,

x=−

1,

x=

1

B??

Oefe

nin

g3.

Ber

eken

alg

ebra

ısch

de

opp

ervla

kte

van

het

geb

ied

beg

rensd

tuss

ende

grafiek

vanf

(x)

=x3−

6x2

+8x

endex

-as.

Even

tuel

esn

ijpunte

nm

oet

jeal

gebra

ısch

ber

eken

en.

VO

efe

nin

g4.

Ber

eken

alg

ebra

ısch

de

opp

ervla

kte

van

het

gebie

db

egre

nsd

tuss

ende

par

abooly2

=4x

ende

rech

tey

=2x−

4.

Even

tuel

esn

ijpunte

nm

oet

jeal

gebra

ısch

ber

eken

en.

V?

Oefe

nin

g5.

Ber

eken

alge

bra

ısch

de

opp

ervla

kte

van

het

gebie

dtu

ssen

de

funct

iesf

(x)

=ex

eng(x

)=

lnx

,en

de

x-a

s,dey-a

s,de

rech

tex

=4

ende

rech

tey

=4.

Oefeningen

bij

§2.2

BO

efe

nin

g6.

Han

slo

opt

naa

rhet

bos

,dat

10km

van

zijn

huis

verw

ijder

dis

.H

ijlo

opt

aan

een

snel

hei

dva

n10

km/u.

Een

saan

gek

om

enin

het

bos

ishij

uit

geput,

enst

rom

pel

thuis

waa

rts

aan

een

const

ant

tem

po

van

2,5

km/u.

(a)

Tek

enhet

snel

hei

d-t

ijd

dia

gram

.

(b)

Bep

aal

de

gem

iddel

de

snel

hei

dva

nH

ans

over

het

ganse

tijd

sinte

rval

[0,5

].

BO

efe

nin

g7.

Inee

nst

adw

ord

tde

tem

per

atuur

(in

grad

enC

elsi

us)

opti

jdst

ipt

(in

ure

n,

van

0to

t24

na

mid

der

nac

ht)

gem

odel

leer

ddoor

de

funct

ie

T(t

)=

10−

5si

n

(πt

12

).

Wat

isde

gem

iddel

de

tem

per

atuur

tuss

en12

u.

’sm

iddag

sen

24u.

mid

der

nac

ht?

Afr

onden

op1◦

Cnau

wke

uri

g.

B?

Oefe

nin

g8.

Geg

even

isde

funct

ief

(x)

=2x

3−

10x

+4.

(a)

Bep

aal

alg

ebra

ısch

de

gem

iddel

de

waa

rde

van

de

funct

ief

over

[−2,2

].

(b)

Inw

elkex

-waa

rde(

n)

ber

eiktf

dez

ege

mid

del

de

waa

rde?

Ber

eken

alge

bra

ısch

enduid

de

mee

tkundig

eb

etek

enis

aan

opee

nsc

het

s.

de

Beu

rsva

nB

russ

el

B??

Oefe

nin

g9.

Een

beu

rsgo

eroe

hee

ftee

nfo

rmule

gev

onden

voor

de

koer

sva

nee

naa

ndee

l:

k(t

)=

700

t+

5m

et0≤t≤

30

waa

rbijk

de

waa

rde

van

het

aandee

lis

(in

euro

)op

tijd

stipt

(in

dage

n).

(a)

Wat

was

de

oor

spro

nke

lijk

ew

aar

de

van

het

aandee

l?

(b)

Bep

aal

de

koer

sna

30

dag

en.

(c)

Bep

aal

alge

bra

ısch

de

gem

iddel

de

waa

rde

van

het

aandee

lge

dure

nde

de

eers

teti

endag

en.

(d)

Op

wel

kti

jdst

ipb

isde

gem

iddel

de

waa

rde

over

[0,b

]ge

lijk

aan

67eu

ro?

Po-

60

VO

efe

nin

g10.

Bes

chouw

de

funct

ief

met

als

(mee

rvou

dig

)voor

schri

ft

f(x

)=

−1

alsx<

0

2al

s0≤x<

2

1al

sx>

2.

(a)

Ber

eken

alge

bra

ısch

de

gem

iddel

de

funct

iew

aard

eva

nf

over

[−3,

3].

(b)

Waa

rom

ber

eikt

de

funct

ief

zijn

gem

iddel

de

waa

rde

over

[−3,

3]nie

t?

(c)

Bep

aala<

2w

aaro

ver

de

funct

ief

zijn

gem

iddel

de

waa

rde

over

[a,3

]w

elb

erei

kt.

U?

Oefe

nin

g11.

Zijf

een

funct

ieen

a,b∈

Rzo

dat

fco

nti

nu

isov

er[a,b

].T

oon

aan

dat

erc 1,c

2∈

]a,b

[b

esta

an

waa

rvoor

:

f(c

1)

+f

(c2)

=2

b−a

∫b

a

f(x

)dx.

Maa

kee

nsc

het

sw

aaro

pje

de

mee

tkundig

eb

etek

enis

van

dez

eei

gensc

hap

aanduid

t.

Oefeningen

bij

§2.3

BO

efe

nin

g12.

Ber

eken

telk

ens

de

inhou

dva

nhet

omw

ente

lings

lich

aam

vanf

over

[a,b

].M

aak

ook

telk

ens

een

aansc

hou

wel

ijke

voor

stel

ling

van

het

omw

ente

lingsl

ichaa

m.

(a)

f(x

)=e−

x2

[a,b

]=

[−10,1

0]

(b)

f(x

)=

lnx

[a,b

]=[ e−1,e]

B?

Oefe

nin

g13.

Ber

eken

telk

ens

alg

ebra

ısch

de

inhou

dva

nhet

omw

ente

lings

lich

aam

vanf

over

[a,b

].W

erk

met

exact

ew

aard

en.

Maa

kook

telk

ens

een

aansc

houw

elij

kevo

orst

elling

van

het

omw

ente

lingsl

ichaam

.

(a)

f(x

)=−√x

[a,b

]=

[0,4

](c

)f

(x)

=1

cosx

[a,b

]=[ −

π 4,π 4

]

(b)

f(x

)=

2x[a,b

]=

[1,4

](d

)f

(x)

=x√

2−x2

[a,b

]=[ −√

2,√

2]

B??

Oefe

nin

g14.

Ber

eken

telk

ens

alge

bra

ısch

de

inhou

dva

nhet

om

wen

telings

lich

aam

dat

verk

regen

wor

dt

door

het

vla

kdee

lb

egre

nsd

door

de

geg

even

kro

mm

ente

wen

tele

nom

dex

-as.

Eve

ntu

ele

snij

punte

nm

oet

jealg

ebra

ısch

ber

eken

en.

Maa

kook

telk

ens

een

aansc

hou

wel

ijke

voor

stel

ling

van

het

omw

ente

lings

lich

aam

.

(a)

y=x2,

y2

=x

(c)

4x2−y2

=4,

x=

2

(b)

y=x2

+2x,

y=

4x−x2

(d)

y=

1 2(6−x

),y

=√

6−x

VO

efe

nin

g15.

Ber

eken

alge

bra

ısch

de

inhou

dva

nhet

omw

ente

lingsl

ichaa

mva

nde

funct

ief

(x)

=si

nx

over

[0,2π

].W

erk

met

exac

tew

aar

den

.M

aak

ook

een

aan

schou

wel

ijke

voors

tellin

gva

nhet

omw

ente

lings

lich

aam

.

V?

Oefe

nin

g16.

Tot

opee

nhoog

teva

n2,8

cmvo

lgt

het

bin

nen

ste

van

een

wij

ngla

see

npar

ab

olis

che

vorm

met

verg

e-

lijk

ingy

=x2 8.

Ver

der

wor

dt

het

glas

naa

rb

oven

toe

smal

ler,

zow

orden

geu

ren

bet

erin

het

gla

sge

vange

n.

Een

goed

eso

mm

elie

rvult

de

gla

zen

tot

een

hoogt

eva

nnet

2,8

cm.

Hoev

eel

glaz

enhaa

ltee

nob

eruit

een

fles

van

75cl

?B

erek

enal

gebra

ısch

.

UO

efe

nin

g17

(para

bolo

ıde).

Een

para

bol

oıde

ishet

om

wen

telings

lich

aam

dat

ver

kre

gen

wor

dt

door

een

para

bool

P:y2

=2px

met

p∈R

+ 0

tew

ente

len

omdex

-as

(zie

onder

staa

nde

figu

ur)

.B

epaal

de

inhoud

van

een

par

abol

oıde

over

een

inte

rval[0,k

]w

aar

bij

k>

0.

U?

Oefe

nin

g18

(ell

ipso

ıde).

Een

ellipso

ıde

ishet

omw

ente

lings

lich

aam

dat

ver

kre

gen

wor

dt

door

een

ellips

E:x2

a2

+y2 b2

=1

meta,b∈R

+ 0

tew

ente

len

omdex

-as

(zie

onder

staa

nde

figuur)

.

(a)

Bep

aal

de

inhou

dva

nee

nel

lipso

ıde.

(b)

Lei

dhie

ruit

de

inhou

dva

nee

nb

olm

etst

raalr

af. P

o-61

U??

Oefe

nin

g19

(hyp

erb

olo

ıde).

Een

(een

bla

dig

e)hyp

erb

olo

ıde

ishet

om

wen

telingsl

ichaam

dat

ver

kre

gen

word

tdoor

een

hyp

erb

ool

H:x2

a2−y2 b2

=1

meta,b∈R

+ 0

tew

ente

len

om

dey-a

s(z

ieon

der

staa

nde

figu

ur)

.B

epaa

lde

inhoud

van

een

hyp

erb

oloı

de

over

een

inte

rval

[−k,k

]w

aarb

ijk>

0.

para

bolo

ıde

ellipso

ıde

eenbla

dig

ehyp

erb

olo

ıde

Oefeningen

bij

§2.4

BO

efe

nin

g20.

De

ver

keer

sdru

kte

over

een

via

duct

wor

dt

tuss

en0

uur

en12

uur

gem

odel

leer

ddoor

de

funct

ie

f(t

)=

15·

8+

(14−t)t2

2

waa

rbijf

(t)

staat

voor

het

aanta

lw

age

ns

per

uur

opti

jdst

ipt

inure

n.

Hoev

eel

wag

ens

zijn

erge

pas

seer

dtu

ssen

7uur

en10

uur?

B?

Oefe

nin

g21.

De

snel

hei

dsf

unct

ieva

nee

nb

eweg

end

voor

wer

pw

ordt

bes

chre

ven

door

v(x

)=−x3

+3x2

waa

rbij

0≤x≤

4

metv

de

snel

hei

d(i

nkilom

eter

per

uur)

opti

jdst

ipx

(in

ure

n).

(a)

Sch

ets

de

grafi

ekva

nde

snel

hei

dsf

unct

ie.

(b)

Wat

isde

ver

snel

ling

van

het

voor

wer

pop

tijd

stipx

=2?

Ber

eken

alg

ebra

ısch

enfo

rmule

erdaa

rna

de

mee

tkun-

dig

eb

etek

enis

van

dez

eve

rsnel

ling

op

de

grafiek

van

de

snel

hei

dsf

unct

ie.

(c)

Wel

keaf

stan

dhee

fthet

voor

wer

pna

twee

ure

naf

gel

egd?

Ber

eken

alge

bra

ısch

enfo

rmule

erdaa

rna

de

mee

tkun-

dig

eb

etek

enis

van

dez

eaf

stand

opde

grafiek

van

de

snel

hei

dsf

unct

ie.

waars

chuw

ingsb

ord

B??

Oefe

nin

g22.

Op

een

warm

ezo

mer

dag

laat

een

fam

ilie

het

opbla

asbaa

rzw

embad

vollop

envo

or

de

kin

der

en.

Ze

dra

aien

de

kra

an

op

enen

het

wate

rst

room

tin

het

zwem

bad

met

een

deb

iet

van

20lite

rp

erm

inuut.

Na

een

hal

fuur

ishet

zwem

bad

vol.

Vij

ftie

nm

inute

nla

ter

kom

tee

nkin

dje

huilen

dbin

nen

enze

gt

dat

het

zwem

bad

stuk

is.

Vad

ergaa

tev

enkij

ken

enm

erkt

inder

daa

ddat

eree

ngat

inis

.E

rzi

tnie

tsander

sop

dan

tew

achte

nto

thet

wat

erp

eil

tot

op

de

hoog

teva

nhet

lek

geza

kt

is.

Dit

duurt

zo’n

45

min

ute

n.

We

vero

nder

stel

len

dat

het

wate

rst

art

met

weg

stro

men

ophet

mom

ent

dat

het

kin

dje

bin

nen

kom

t,m

etee

nuit

stro

men

ddeb

iet

van

10lite

rp

erm

inuut.

Dat

nee

mt

linea

iraf

tot

het

wat

erp

eil

op

de

hoog

teva

nhet

lek

gekom

enis

.

(a)

Hoev

eel

wate

rka

ner

inhet

zwem

bad

?B

epaa

lm

etb

ehulp

van

een

bep

aald

ein

tegr

aalen

maa

kdaa

rna

een

schet

sw

aar

op

jede

mee

tkundig

eb

etek

enis

toel

icht

enuit

schri

jft.

(b)

Hoev

eelw

ater

zit

ernog

inhet

zwem

bad

nad

athet

lekke

nst

opt?

Ber

eken

met

beh

ulp

van

een

bep

aald

ein

tegr

aal.

(c)

Gee

fee

nuit

dru

kkin

gvoor

het

volu

me

wat

erin

het

zwem

bad

opel

kti

jdst

ipx≥

0.

Los

opm

etb

ehulp

van

bep

aald

ein

tegr

alen

.Sch

ets

daa

rna

de

grafi

ekva

ndez

evol

um

efunct

ie.

Po-

62

wet

van

Coulo

mb

UO

efe

nin

g23

(wet

van

Cou

lom

b).

De

aantr

ekkin

gs-

ofaf

stoti

ngs

kra

cht

tuss

entw

eeel

ektr

isch

ela

din

genq 1

enq 2

wor

dt

volg

ens

de

wet

van

Cou

lom

bge

gev

endoor:1

F(r

)=k·q

1q 2r2

met

.F

de

aantr

ekkin

gs-

of

afst

otin

gskra

cht

indie

nneg

atie

fre

sp.

pos

itie

f(u

itged

rukt

inN

ewto

n)

infu

nct

ieva

nde

afst

and

tuss

enb

eide

ladin

gen

(uit

ged

rukt

inm

eter

),

.q 1

,q 2

de

abso

lute

waa

rde

van

de

ladin

gen

(uit

ged

rukt

inC

oulo

mb),

.k

=8,

9876·1

09de

const

ante

van

Cou

lom

b(u

itged

rukt

inN

m2/C

2).

De

mee

ste

elek

tris

che

ladin

gen

blijk

enee

nve

elvo

ud

tezi

jnva

nde

zoge

naa

mde

elem

enta

ire

ladin

g:2

e=

1,60

219

2·1

0−19C.

De

kern

van

een

wat

erst

ofat

oom

bev

atee

npro

ton

(ladin

g+e)

enee

nel

ektr

on(l

adin

g−e)

op

een

afs

tand

van

5,3·

10−11

mva

nel

kaar

verw

ijder

d.

Ber

eken

de

arb

eid

die

nodig

isom

het

elek

tron

twee

keer

zove

rva

nhet

pro

ton

tebre

nge

n.

Afr

onden

tot

op4

bed

uid

ende

cijf

ers.

UO

efe

nin

g24

(wet

van

Hooke).

Wan

nee

ree

nve

eraa

nhet

ene

uit

einde

wor

dt

vast

gekle

md,

dan

isde

kra

cht

die

het

ander

euit

einde

onder

vin

dt

volg

ens

de

wet

van

Hook

ege

lijk

aan

:3

F(x

)=kx

met

.x

de

afst

and

van

het

uit

einde

van

de

veer

tot

de

even

wic

hts

stan

d(u

itge

dru

kt

inm

),

.k

de

veer

con

stan

tedie

uit

dru

kt

hoe

stij

fof

stug

de

veer

is(u

itge

dru

kt

inN/m

).

Ste

ldat

een

veer

inru

st10

cmla

ng

isen

eree

nkra

cht

van

100

Nnodig

isom

de

veer

1cm

uit

tere

kke

n.

Wel

kear

bei

dm

oet

dan

verr

icht

wor

den

,w

ilm

ende

veer

uit

rekke

nva

nee

nto

tale

lengt

eva

n11

cmto

tee

nto

tale

lengt

eva

n12

cm?

U?

Oefe

nin

g25

(aanta

lom

wente

lin

gen

uit

toere

nta

l).

Het

toer

enta

l(o

fde

omw

ente

lings

freq

uen

tie)ω

ishet

aanta

lom

wen

telinge

ndat

een

dra

aie

nd

voor

wer

p(b

ijvo

orb

eeld

een

gram

mof

oon

pla

at,

een

wie

lof

de

asva

nee

nm

oto

r)p

erti

jdse

enhei

dom

een

omw

ente

lings

asm

aak

t.

Een

was

mac

hin

edoet

een

laat

ste

zwie

rbeu

rtin

5m

inute

n.

Het

toer

enta

lw

ordt

bes

chre

ven

door

:

ω(t

)=−

224t2

+11

20t

waa

rbijω

wor

dt

uit

ged

rukt

inaa

nta

lom

wen

telingen

per

min

uut

ent

wor

dt

uit

gedru

kt

inm

inute

n.

(a)

Hoe

kun

jem

etb

ehulp

van

dez

efu

nct

iehet

aanta

lom

wen

telinge

nN

tuss

entw

eeti

jdst

ipp

ent

=a

ent

=b

bep

alen

?Sch

rijf

jere

den

erin

gvo

lled

iguit

.

(b)

Bep

aal

het

aanta

lom

wen

telingen

tijd

ens

de

laat

ste

zwie

rbeu

rt.

(c)

Wat

was

het

gem

iddel

dto

eren

tal?

U??

Oefe

nin

g26

(kost

pri

jsu

itm

arg

inale

kost

en

fun

cti

e).

Bij

het

pro

duct

iepro

ces

van

een

bed

rijf

han

gtde

tota

leko

stpri

jsp

erpro

duct

afva

nhet

aanta

lpro

duct

enq

dat

men

pro

duce

ert.

De

mat

eva

nde

vera

nder

ing

van

de

tota

leko

stpri

jsK

per

pro

duct

wor

dt

de

marg

inale

kost

genoem

d,

enw

ordt

door

gaan

sge

not

eerd

metMK

,in

sym

bol

en:

K′ (q)

=dK dq

=MK

(q).

Inhet

bij

zonder

dru

kt

mar

ginal

eko

sten

het

bed

rag

aan

waa

rmee

de

tota

leko

sten

toen

emen

als

een

bed

rijf

een

extr

apro

duct

pro

duce

ert.

De

pro

duct

ieva

nde

eers

tetw

eekilo

wasp

oed

erko

st10

euro

.D

em

argin

ale

kost

,die

aan

geef

tm

etw

elk

tem

po

de

pro

duct

ieko

sten

Kev

olu

eren

als

de

pro

duct

ieq

toen

eem

t,w

ord

tb

esch

reve

ndoor

de

funct

ie

MK

(q)

=7 2−

3 40q

waa

rbij

q∈

[2,3

6].

(a)

Hoe

kun

met

beh

ulp

van

dez

efu

nct

iede

ver

ander

ing

van

kost

pri

jsK

tuss

ende

pro

duct

iesq

=a

enq

=b

bep

alen

?Sch

rijf

jere

den

erin

gvo

lled

iguit

.

(b)

Bep

aal

de

tota

leko

stom

36kilo

was

poed

erte

pro

duce

ren.

1C

harl

es-A

ugu

stin

de

Cou

lom

b1780.

2N

iet

all

eel

ektr

isch

ela

din

gen

zijn

een

vee

lvou

dvane.

Ind

eja

ren

’60

ontd

ekte

men

dat

qu

ark

sel

ectr

isch

ela

din

gen

heb

ben

inee

nh

eden

van

e 3en

2e 3

.S

trik

tgen

om

enis

de

term

elem

entairelading,

die

ver

wij

stn

aar

de

elec

tris

che

lad

ing

van

een

elec

tron

,n

iet

lan

ger

corr

ect.

3R

ob

ert

Hooke

1678

[?].

Po-6

3

ReflectieVul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je

• leerproces,

• efficientie van werken,

• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.

Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.

vb.

datum

oefeningafgew

erkt

oefeningnummer

oefeningverbeterd?(kruisje)

Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?

• voldoende tijd besteed?

• opgave goed gelezen?

• nauwkeurig gewerkt?

• modelvoorbeelden bekeken?

• opgave begrepen?

• leerstof voldoende begrepen?

Welke fouten heb ik gemaakt?

• notatiefout (NF)

• eenheden (EF)

• grafisch rekenmachine (GF)

• rekenfout (RF)

• interpretatie van de opgave (IF)

• denkfout (DF)

verder

oefenen

nodig?(kruisje)

31/12 99a X gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden EF, NF