VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 6

HUISWERKBespreken uit §5.3 oefening 15

Huiswerk §5.3 opdracht 15Bij y = x² hoort het brandpunt F(0, ¼) en richtlijn r: y = -¼. Laat zien dat de punten (1,1) en (2,4) voldoen aan d(P, F) = d(P, r). d((1,1), (0,¼)) = √((1-0)² + (1-¼)²) =1¼ d((1,1), y = -¼)) = 1 + ¼ =1¼ d((2,4), (0,¼)) = √((2-0)² + (4-¼)²) =4¼ d((2,4), y = -¼)) = 4 + ¼ =4¼ Stel dat je voor alle punten P op y = x² hebt bewezen dat geldt d(P, F) = d(P, r). Waarom is dan y = x² nog niet zeker een parabool volgens deze definitie? Het gaat hier om een meetkundige plaats en dus moeten we het ook nog andersom bewijzen. We moeten nog bewijzen dat als geldt voor een punt P(x,y) dat d(P, F) = d(P, r), dan ligt het punt op y = x².

NOG MEER CONFLICTEN5-4 Ellips en hyperbool

Een ellips is de verzameling punten P bij een tweetal brandpunten F₁ en F₂ waarvoor geldt dat de som van de afstand van een punt P tot de brandpunten constant is, ofwel d(F₁, P) + d(F₂, P) = k. De afstand tussen de brandpunten noemen we de brandpuntsafstand. Een ellips heeft twee symmetrieassen. De delen die binnen de Ellips liggen noemen we de korte as en de lange as. De vier toppen van de ellips zijn de snijpunten van de ellips met de symmetrieassen.

Definitie ellips

Gegeven zijn de punten F₁ en F₂. Teken om deze punten een ellips door eerst 8 punten P te vinden waarvoor geldt dat d(F₁, P) + d(F₂, P) = 8.

Voorbeeld 1

Het tekenen van een ellips is echter niet zo makkelijk. Echter is de ellips ook de conflictlijn van een cirkel en een punt P binnen de cirkel. Dus als we een cirkel c(M, r) hebben en een punt F binnen de cirkel, dan geldt dat de punten P waarvoor geldt d(P,F) = d(P,c) op een ellips liggen met brandpunt M en F. De cirkel noemen we ook wel de richtcirkel. Met dit gegeven kunnen we de constructie eenvoudiger maken.

De conflictlijn ellips

1. Kies een punt op de richtcirkel. 2. Teken de straal vanuit het punt op de richtcirkel. 3. Teken de middelloodlijn van het punt op de richtcirkel en het punt

binnen de cirkel. 4. Het snijpunt van de getekende straal en de middelloodlijn is een

punt op de ellips.

Het tekenen van een ellips

Gegeven is de cirkel met middelpunt F₁. Binnen de cirkel ligt het punt F₂. Teken de conflictlijn tussen dit punt en de cirkel. Voer minimaal 5 keer de constructie uit.

Voorbeeld 2

Voorbeeld 2

Een hyperbool is de verzameling punten P bij een tweetal brandpunten F₁ en F₂ waarvoor geldt dat het verschil van de afstand van een punt P tot de brandpunten constant is, ofwel: |d(F₁, P) - d(F₂, P)| = k. Een hyperbool heeft twee symmetrieassen en twee hyperbooltakken. De twee toppen van de hyperbool zijn de snijpunten van de hyperbool met de symmetrieas die door de brandpunten heen gaat. Het tekenen van een hyperbool is echter niet zo gemakkelijk…

Definitie hyperbool

Gelukkig is de hyperbool (per tak) ook de conflictlijn van een cirkel en een punt P buiten de cirkel. Dus als we een cirkel c(M, r) hebben en een punt F buiten de cirkel, dan geldt dat de punten P waarvoor geldt d(P,F) = d(P,c) op een hyperbool liggen met brandpunt M en F. De cirkel noemen we ook wel de richtcirkel. De richtcirkel van de andere hyperbooltak is de cirkel (F, r). Met dit gegeven kunnen we de constructie eenvoudiger maken.

De conflictlijn hyperbool

1. Kies een punt op de richtcirkel. 2. Teken de straal vanuit dit punt op de richtcirkel door tot buiten de

cirkel. 3. Teken de middelloodlijn van het punt op de richtcirkel en het punt

buiten de cirkel. 4. Het snijpunt van de getekende straal en de middelloodlijn is een

punt op de hyperbool.

Het tekenen van een hyperbool

Gegeven is de cirkel met middelpunt F₁. Buiten de cirkel ligt het punt F₂. Teken de conflictlijn tussen dit punt en de cirkel door gebruik te maken van de getekende punten P.

Voorbeeld 3

Voorbeeld 3

HEEL VEEL CIRKELS5-5 van onbekend naar bekend.

Een cirkel is voor conflictlijnen niet anders dan een “opgeblazen” punt. We weten dat de conflictlijn tussen ene punt en een lijn een parabool is. Als we het punt “opblazen” tot een cirkel en we vragen de conflictlijn tussen de cirkel en de lijn. Dan blijft dit een parabool. Twee cirkels, die niet even groot zijn, kunnen op vier manieren ten opzichte van elkaar liggen: • concentrisch: de cirkels hebben hetzelfde middelpunt, • niet-concentrisch: de cirkels hebben niet hetzelfde middelpunt, maar

de kleine cirkel ligt wel volledig in de grote cirkel, • snijdend of • geen overlap.

conflictlijnen bij twee cirkels

In deze vier gevallen is de conflictlijn te vinden door terug te kijken naar een bekend geval. Uiteindelijk zijn er vijf verschillende conflictlijnen bij cirkels:

Conflictlijnen bij twee cirkels

Uiteindelijk staan in het onderstaande schema alle conflictlijnen:

Om de conflictlijn te vinden van een samengesteld gebied, deel je het op in kleinere delen en benoem de conflictlijn eerst voor jezelf.

Samenvatting

punt lijn cirkelpunt middelloodlijn

lijn parabool

bissectrice (snijdende lijnen)middenparallel (evenwijdige lijnen)

cirkel

ellips (punt binnen cirkel)hyperbool (punt buiten cirkel)

parabool

cirkel (concentrisch)ellips (niet-concentrisch)hyperbool (overige gevallen)middelloodlijn (gelijke cirkels)

Voorbeeld 4Door een expeditie van Rusland, Nederland en Amerika zijn er in de Stille oceaan drie stukjes nieuw land gevonden. Al snel waren ze er uit wie welk land zou krijgen, zie de figuur op je werkblad Rusland, Nederland en Amerika willen nu de twee watergebieden gaan verdelen. Verdeel de watergebieden volgens het recht van nabijheid. De bogen zijn allemaal (delen van) cirkel.Let op: Teken (en dat is dus niet construeren) minimaal 5 punten van een ellips, hyperbool, cirkel of parabool alvorens je deze tekent.

Voorbeeld 4

Voorbeeld 4

Het antwoord krijg je in week 7.

Huiswerk

Maken:

§5-4 opdrachten 16 t/m 20.

§5-5 opdrachten 21 t/m 26.

Tussentoets opdrachten T-1(a en b), T-3 t/m T-6.