Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische

systemen

Johan Deprez12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009tekst: zie T3-cahier 19 (www.t3vlaanderen.be)

slides: www.t3vlaanderen.be en www.ua.ac.be/johan.deprez

Overzicht

1. Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen♦ Lineaire recursievergelijkingen♦ Tabel♦ Webgrafiek♦ Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt♦ Limietgedrag bij lineaire recursievergelijkingen

2. Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

Voorbereiding:lineaire recursievergelijkingen

Lineaire recursievergelijkingen

• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)

• voorbeeld: zn=2zn-1+5

• rij is slechts éénduidig vastgelegd als een beginwaarde z0 gegeven is

• voorbeeld (bis): z0=10, zn=2zn-1+5

10, 25, 55, 115, 235, ...• voluit: lineaire recursievergelijking van de eerste

orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid (met beginvoorwaarde)

• voorbeelden...

Lineaire recursievergelijkingen

• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)• ...• voorbeelden

♦ aantal deelnemers aan het T3-symposium: An=0.8An-1+20, A1=60(An = aantal deelnemers op n-de symposium, 80% komt het jaar nadien terug, elk jaar 20 nieuwe deelnemers)

♦ medicijnspiegel: Hn=0.75Hn-1+1500, H0=1500(Hn = hoeveelheid medicijn in bloed na n dagen, elke dag inname van 1500 mg, per dag verdwijnt 25%)

♦ sparen via annuïteit: Bn=1.04Bn-1+1000, B0=0(Bn = bedrag op rekening na n jaar, elk jaar 1000 EUR storten, elk jaar 4% intrest)

♦ b=0: zn=azn-1, meetkundige rijen met reden a♦ a=1: zn=zn-1+b, rekenkundige rijen met verschil b

• ...

Lineaire recursievergelijkingen

• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)

• ...• van een rij die beschreven wordt door een

dergelijke recursievergelijking (van dit type!) met beginvoorwaarde kan de expliciete vergelijking gemakkelijk bepaald worden (zie cahier)

Tabel

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

Grafische voorstellingen:TIME- en WEB-grafiek

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

TIME-grafiek = ‘gewone grafiek’n op de horizontale as, zn op de verticale as

grafiek bestaat uit punten, die hier verbonden zijn door lijnstukjesverloop: gedempt schommelend met limiet 20

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

WEB-grafiek = type grafiek specifiek voor (sommige) rijen die bepaald worden door een recursievergelijking

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

1ste bissectrice(komt in elk webdiagram terug)

368.0 xy

gebaseerd op de recursievergelijking

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

x-coördinaat van de cursor is z0

368.0 xy

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

y-coördinaat van de cursor is z1

1ste bissectrice

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

x- en y-coördinaat van de cursor zijn z1

368.0 xy

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

1ste bissectrice

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek

368.0 xy

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

1ste bissectrice

x-coördinaat van de cursor is z1

y-coördinaat van de cursor is z2

Grafische voorstellingen: WEB-grafiekLimiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:

z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...

verloop: gedempt schommelend met limiet 20

naar binnen gaande spiraal rond snijpunt (20,20) van de twee rechten y=0.8x+36 en y=x

opeenvolgende waarden van z:-zie x-waarden van opeenvolgende verticale lijntjesOF- zie y-waarden van opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

368.0 1 nn zz 150 zvoorbeeld:

andere beginwaarde, zelfde verloop!

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

368.0 1 nn zz 200 zvoorbeeld:

rij is constantsysteem is in evenwicht20 is evenwichtswaarde

het evenwicht is stabiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht

op de vorige slides was 20 de limietwaarde

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

22.1 1 nn zz 150 zvoorbeeld:

verloop: versneld stijgend met limiet plus oneindig

‘trap’ met groeiende treden die weggaat van snijpunt (10,10) van de twee rechten y=1.2x-2 en y=x

beginwaarde 5 i.p.v. 15: versneld dalend met limiet min oneindig

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

22.1 1 nn zz 100 zvoorbeeld:

rij is constant10 is evenwichtswaarde

het evenwicht is labiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het niet terug naar het evenwicht

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

overzicht (versie 1)• een getal E is een evenwichtswaarde van

een recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is

• stabiel versus labiel evenwicht• evenwicht wordt bepaald door het snijpunt

van de twee rechten uit het WEB-diagram• ALS er een eindige limietwaarde is, is deze

gelijk aan de evenwichtswaarde

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

368.0 1 nn zzrecursievergelijking

de recursievergelijking bepaalt• één rechte uit WEB• functie f: y=-0.8x+36

)( 1 nn zfz

)(xfy

snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram bepalen:

xy

xfyyx

)(dat zo ),?(

)(dat zo ? xfxx

we zoeken een vast punt (dekpunt) van f,20 is een vast punt (dekpunt) van f

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

2516 23.217.44 20

20 is een aantrekkend vast punt

368.0 1 nn zzrecursievergelijking 250 z

baan van 25:

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

10 15 18.6416 17.2

10 is een afstotend vast punt

recursievergelijking 22.1 1 nn zz 150 z

baan van 15:

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt

overzicht (versie 2)• getal E is een evenwichtswaarde van een

recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is• stabiel versus labiel evenwicht• evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de

twee rechten uit het WEB-diagram• ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk

aan de evenwichtswaarde• een recursievergelijking bepaalt een functie f• de ene rechte uit het WEB-diagram is de grafiek van

deze functie• evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f• stabiel evenwicht geeft een aantrekkend vast punt• labiel evenwicht geeft een afstotend vast punt

|a|>1|a|=1

Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag

zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0)

a<0

a>0

|a|<1

stabiel evenwichtaantrekkend vast punt

limietwaarde

labiel evenwichtafstotend vast puntgeen limietwaarde

Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag

zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0)

verloop van de rij wordt bepaald door de helling van de tweede rechte uit de webgrafiek:

♦ positief/negatief♦ absolute waarde groter/kleiner dan 1

Leerplan

• geen verplichte leerstof!• past wel binnen

♦ het onderwerp discrete wiskunde (verplicht in aso 6u vrij onderwijs)

♦ keuzeonderwerp iteratie uit aso 6u, aso 4u, tso 6u, ...

♦ vrije ruimte

Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

De recursievergelijking

211)1( nnn zbzbz

(b een positief getal)

niet lineair omwille van het kwadraat!

oorsprong:discrete versie van logistische groei

(cfr. cahier),maar we zullen de

recursievergelijking buiten dat domein ook gebruiken

expliciet voorschrift is niet gekend!

Voorbeeld: b=0.75

211 75.075.1 nnn zzz 05.00 z

eerste bissectrice en parabool y=1.75x-0.75x2

limietwaarde 1,in de omgeving

van 1: ‘trap’ met kleiner en kleiner wordende treden

limietgedrag wordt bepaald door de helling van de raaklijn

aan de parabool in 1

Voorbeeld: b=0.75

211 75.075.1 nnn zzz

vaste punten?snijpunten van parabool en rechte?

275.075.1)( xxxf

0 en 1(0,0) en (1,1)

helling raaklijn is 1.75: 0 is afstotend

vast punt

helling raaklijn is 0.25: 1 is aantrekkend vast

punt

Opdracht 1: b=1.75

211 75.175.2 nnn zzz

Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een♦ tabel♦ TIME-grafiek♦ WEB-grafiek

en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.Hulp bij de rekenmachinetechnische aspecten: zie bladHet maken van een tabel, TIME- en WEB-grafiek gebeurt in SEQ-modus. Onderzoek naar de vaste punten gebeurt in de FUNC-modus (of met het blote hoofd).

05.00 z

Opdracht 1: b=1.75

voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1

Opdracht 1: b=1.75

voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1

in 0: helling raaklijn is 2.75, afstotend vast puntin 1: helling raaklijn is -0.75, aantrekkend vast punt met schommelende convergentie

Opdracht 2: b=2.25

211 25.225.3 nnn zzz

Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een♦ tabel♦ TIME-grafiek♦ WEB-grafiek

en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.

05.00 z

Opdracht 2: b=2.25

1 is geen limietwaarde meerook 1 is nu een afstotend vast punt

Opdracht 2: b=2.25

een nieuw fenomeen: 2 limietwaarden!aantrekkende 2-cykel

ophopingspunten!

n

n

nzc

oneven

1 lim...17.1

n

n

nzc

even

2 lim...71.0

f(c1)=c2 en f(c2)=c1

f(f(c1))=c1 en f(f(c2))=c2

c1 en c2 zijn vaste punten van f2 met f2(x)=f(f(x))

Opdracht 2: b=2.25

f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1

Opdracht 2: b=2.25

f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1

c1 en c2 zijn aantrekkende vaste punten van f2

0 en 1 zijn afstotende vaste punten

)(

)()(

)())(()(

22

12

1112

cf

cfcf

cfcffcf

22

22

)1()1(

)0()0(

ff

ff

Opdracht 3: b=2.5

211 5.25.3 nnn zzz

Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een♦ tabel♦ TIME-grafiek♦ WEB-grafiek

en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. vaste punten.

05.00 z

Opdracht 3: b=2.5

aantrekkende 4-cykel!bepaald door de aantrekkende vaste punten van f4, met

f4(x)=f(f(f(f(x))))

(veelterm van de 16-de graad!)

Opdracht 3: b=2.5

0 en 1: afstotende vaste punten van f en f2 en f4 en ...

c1=0.6 en c2=1.2: afstotende vaste punten van f2 en f4 en ...

d1=0.53..., d2=1.15..., d3=0.70... en d4=1.22...: aantrekkende vaste punten van f4 en ...

En verder?

b (tussen 1.625 en 2.85)

ophopingspunten (=

‘limietwaarden’ van de rij)

b = 1.75

limiet 1

b = 2.25

twee ophopingspunten

vier ...

b = 2.5

b > 2.692... : chaos

En verder?

b (tussen 1.625 en 2.85)

TI84-programma: voor ‘elke’ waarde van b worden de punten (b,zn) met 50<n100 uitgezet (cfr. cahier)

b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5

Niet in het cahier!

paragraaf 10 a lijkt niet toevallig heel erg op paragraaf 10 b!recursievergelijking uit paragraaf 10 a gaat over in die uit paragraaf 10 b via de volgende substituties:

♦ tn=(a-1)/a zn

♦ b=a-1

Bedankt voor uw aandacht!

slides (binnenkort) op www.ua.ac.be/johan.deprez en

www.t3vlaanderen.be