Hoofdstuk 4Kansrekening

Marnix Van DaeleMarnix.VanDaele@UGent.be

Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

Universiteit Gent

Kansrekening – p. 1/29

Gebeurtenissen• experiment : gooien met een dobbelsteen

• uitkomst is gebeurtenis = verschijnsel = event

• A : oneven aantal ogen gooien

• B : hoogstens 4 ogen gooien

samengestelde

gebeurtenissen

• E1 : 1 oog gooien

• E2 : 2 ogen gooien

• E3 : 3 ogen gooien

• E4 : 4 ogen gooien

• E5 : 5 ogen gooien

• E6 : 6 ogen gooien

enkelvoudige

gebeurtenissen

Kansrekening – p. 2/29

Gebeurtenissen• het resultaat van een experiment is dus steeds juist één

enkelvoudige gebeurtenis.

• een gebeurtenis is een verzameling van één of meer

enkelvoudige gebeurtenissen

• de verzameling van alle enkelvoudige gebeurtenissen

geassocieerd met een experiment wordt de resultatenruimte

(sample space) genoemd (notatie : S)

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................

E1

E2

E3E4

E5E6

A

••

•

•••

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

S

Kansrekening – p. 3/29

Bewerkingen op gebeurtenissenDe som G1 + G2 van twee

gebeurtenissen G1 en G2 is de

gebeurtenis dat minstens één van

beide gebeurtenissen optreedt.

Deze gebeurtenis komt overeen

met de verzameling G1 ∪ G2.

........

..............................................

.....................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........

..............................................

.....................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.

G1 G2

G1 ∪ G2

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

S

G1 of G2

Het product G1 · G2 van twee

gebeurtenissen G1 en G2 is het ver-

schijnsel dat beide gebeurtenissen

optreden. Deze gebeurtenis komt

overeen met de verzameling G1 ∩G2.

........

...............................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........

...............................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.

G1 G2

G1 ∩ G2

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

S

G1 en G2Kansrekening – p. 4/29

Gebeurtenissen• Twee gebeurtenissen sluiten elkaar uit indien, bij het

optreden van één van de gebeurtenissen, de andere niet kan

optreden.• Twee gebeurtenissen die elkaar uitsluiten vormen samen de

volstrekt onmogelijke gebeurtenis, genoteerd als �.• Een gebeurtenis die overeenkomt met de resultatenruimte S

treedt zeker op bij een volgend experiment en wordt het

absoluut zeker verschijnsel genoemd en genoteerd als U .• De gebeurtenis die optreedt als en slechts als A niet

optreedt wordt de complementaire gebeurtenis van A

genoemd en genoteerd als A. Ze komt overeen met de

verzameling S \ A.

A · A = � A + A = UKansrekening – p. 5/29

Voorwaardelijke gebeurtenissenDe voorwaardelijke gebeurtenis A |B beschrijft het optreden van

het verschijnsel A op voorwaarde dat het verschijnsel B is

opgetreden.

• A : oneven aantal ogen gooien

• B : hoogstens 4 ogen gooien

B |A = (E1 + E3) | (E1 + E3 + E5)

A |B = (E1 + E3) | (E1 + E2 + E3 + E4)

Kansrekening – p. 6/29

Rekenen met gebeurtenissen

A · (B + C) = A · B + A · C� �

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Kansrekening – p. 7/29

KansDe kans (waarschijnlijkheid, probabiliteit) P(A) geassocieerd

met een gebeurtenis A is een maat voor het geloof dat de

gebeurtenis zal optreden bij een volgende herhaling van het

experiment.

• theoretisch :

P(A) =aantal gunstige gevallen

totaal aantal (even mogelijke) gevallen

• praktisch :

P(A) = limn→∞

fA = limn→∞

nA

n

Kansrekening – p. 8/29

Axioma’s• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P(U) = 1

• P(�) = 0

• P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A · B)

Optellingswet

A A

B x x

B x

• P(A · B) = P(A) P(B |A) = P(B) P(A |B)

Vermenigvuldigingswet

0 ≤ P(Ei) ≤ 1 ∀ Ei P(∑

i

Ei) = 1

Kansrekening – p. 9/29

Afgeleide formules

A · A = � en A + A = U

P(A · A) = 0 en P(A + A) = 1

1 = P(A + A) = P(A) + P(A) − P(A · A) = P(A) + P(A)

P(A) = 1 − P(A)

P(B) = P(U · B) = P((A + A) · B)

= P(A · B + A · B)

= P(A · B) + P(A · B) − P(A · A · B)

= P(A · B) + P(A · B)

P(A · B) = P(B) − P(A · B)Kansrekening – p. 10/29

Afgeleide formules

P(A + B + C)

= P(A + (B + C))

= P(A) + P(B + C) − P(A · (B + C))

= P(A) + P(B) + P(C) − P(B · C) − P(A · B + A · C)

= P(A) + P(B) + P(C) − P(B · C) − P(A · B) − P(A · C)

+ P((A · B) · (A · C))

= P(A) + P(B) + P(C) − P(A · B) − P(A · C) − P(B · C)

+ P(A · B · C)

P(A ·B ·C) = P(A) P((B ·C) |A) = P(A) P(B |A) P(C | (A ·B))

Kansrekening – p. 11/29

Afgeleide formules

A A

A + B : B x x

B x

• P(A + B) = 1 − P(A · B)

• P(A · B) = 1 − P(A + B)

A + B = A · B A · B = A + B

Kansrekening – p. 12/29

Onafhankelijke verschijnselenTwee verschijnselen A en B zijn onafhankelijk als

P(B |A) = P(B)

of, equivalent daarmee, als

P(A |B) = P(A) .

De vermenigvuldigingswet

P(A · B) = P(A) P(B |A) = P(B) P(A |B)

wordt dan vereenvoudigd tot

P(A · B) = P(A) P(B)

Kansrekening – p. 13/29

Onafhankelijke verschijnselen• A : oneven aantal ogen gooien

• B : hoogstens 4 ogen gooien

A en B zijn onafhankelijk, want

P (A) = P (E1 + E3 + E5) =3

6=

1

2

P (A |B) = P ((E1 + E3) | (E1 + E2 + E3 + E4)) =2

4=

1

2

P (B) = P (E1 + E2 + E3 + E4) =4

6=

2

3

P (B |A) = P ((E1 + E3) | (E1 + E3 + E5)) =2

3

Kansrekening – p. 14/29

Afgeleide formulesVereenvoudiging van optellings- en vermenigvuldigingswet

• als A en B elkaar uitsluiten : P(A + B) = P(A) + P(B)

• als A en B onafhankelijk zijn : P(A · B) = P(A) P(B)

Kansrekening – p. 15/29

De regel van BayesGegeven :

• k toestanden S1, S2, . . ., Sk

Si · Sj = � als i �= j

S1 + S2 + . . . + Sk = U

• P(S1), P(S2), . . ., P(Sk)

• P (A |Si) voor i = 1, 2, . . . k

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................

.........................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

S3S1 S2 S4

A

S

..............................................................

......................

.............

S1 ∩ A

Gevraagd : P (Si |A) =P(A · Si)

P(A)=

P(Si) P(A |Si)

P(A)A = A ·U = A ·(S1+S2+· · ·+Sk) = A ·S1+A ·S2+· · ·+A ·Sk

P(A) = P(A · S1) + P(A · S2) + · · · + P(A · Sk)

= P(S1) P(A |S1) + P(S2) P(A |S2) + · · · + P(Sk) P(A |Sk)

Kansrekening – p. 16/29

De regel van BayesGegeven :

• k toestanden S1, S2, . . ., Sk

Si · Sj = � als i �= j

S1 + S2 + . . . + Sk = U

• P(S1), P(S2), . . ., P(Sk)

• P (A |Si) voor i = 1, 2, . . . k

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................

.........................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

S3S1 S2 S4

A

S

..............................................................

......................

.............

S1 ∩ A

Gevraagd : P (Si |A)

Oplossing :

P (Si |A) =P(Si) P(A |Si)

P(S1) P(A |S1) + P(S2) P(A |S2) + · · · + P(Sk) P(A |Sk)

=P(Si) P(A |Si)

k∑

j=1

P(Sj) P(A |Sj)Kansrekening – p. 17/29

Nuttige telregels• algemeen principe

• variaties

• permutaties

• combinaties

• . . .

Kansrekening – p. 18/29

Algemeen principeStel dat een eerste experiment n1 uitkomsten heeft, een tweede

n2, . . . , en uiteindelijk een k-de experiment nk uitkomsten, dan

geven de k experimenten in die volgorde aanleiding tot

n1 n2 . . . nk

verschillende uitkomsten.

Kansrekening – p. 19/29

VariatiesEen variatie van n elementen in groepen van k is een geordend

k-tal verschillende elementen uit een gegeven verzameling van n

elementen.

V kn is het aantal variaties van n elementen in groepen van k

Kansrekening – p. 20/29

Voorbeeldvariaties van n = 5 elementen A, B, C, D, E in groepen van k

• k = 1: V 15 = 5 V 1

n = n

• k = 2: V 25 = 5 × 4 V 2

n = n (n − 1)

• k = 3: V 35 = 5 × 4 × 3 V 3

n = n (n − 1) (n − 2)

• . . .

• k : V kn = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)

ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED

BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED

CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED

DAB DAC DAE DBA DBC BBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC

EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDCKansrekening – p. 21/29

Variaties

V kn = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)

(n − k) (n − k − 1) . . . 2 1

(n − k) (n − k − 1) . . . 2 1

=n!

(n − k)!

Opgelet : 0! = 1

Kansrekening – p. 22/29

VoorbeeldBepaal het aantal manieren waarop je de medailles kunt verdelen

bij een wedstrijd met 8 atleten.

Dit is een variatie-probleem, want

• herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de

uitslag bezetten)

• de volgorde (goud, zilver, brons) is belangrijk

V kn = V 3

8 =8!

(8 − 3)!= 8 × 7 × 6 = 336

Kansrekening – p. 23/29

PermutatiesPermutaties zijn bijzondere gevallen van variaties.

Een permutatie van n elementen is een variatie van n elementen

in groepen van n.

Pn is het aantal permutaties van n elementen

Pn = V nn

=n!

(n − n)!

= n!

Kansrekening – p. 24/29

VoorbeeldBepaal het aantal manieren waarop de uitslag van een wedstrijd

met 8 atleten kan eindigen.

Dit is een permutatie-probleem, want

• herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de

uitslag bezetten)

• de volgorde is belangrijk

Pn = P8 = 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

Kansrekening – p. 25/29

CombinatiesEen combinatie van n elementen in groepen van k is een

ongeordend k-tal verschillende elementen uit een gegeven

verzameling van n elementen.

Ckn is het aantal combinaties van n elementen in groepen van k.

Kansrekening – p. 26/29

CombinatiesDe bepaling van Ck

n gebeurt in twee stappen :

• doe alsof de volgorde wel een rol speelt en tel

• hou daarna wel rekening met de volgorde

Kansrekening – p. 27/29

Voorbeeldcombinaties van n = 5 elementen A, B, C, D, E in groepen van 3

• stap 1 :

• stap 2 :

C35 = aantal = V 3

5 /P3 = 5 × 4 × 3/3! = 60/6 = 10

ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED

BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED

CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED

BAB DAC DAE DBA DBC BBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC

EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC

ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED

BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED

CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CEDKansrekening – p. 28/29

VoorbeeldBepaal het aantal manieren waarop de lotto kan ingevuld worden.

Dit is een combinatie-probleem, want

• herhaling is onmogelijk (elk getal kan slechts 1 keer

aangekruist worden)

• de volgorde (waarin de getallen aangekruist worden) is

onbelangrijk

Ckn = C6

42 =42!

36! 6!=

42 × 41 × 40 × 39 × 38 × 37

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 5 245 786

Kansrekening – p. 29/29