CT2121 EXPERIMENT

31 Augustus 2011

cursusjaar 2011-2012

1

VoorwoordHet vak CT2121 Experiment (2 ECTS) is een onderdeel van de opleiding bachelor Civiele Techniek. Het vak bestaat uit een samenhangend geheel van experimenten, met het doel de studenten te leren hoe ze voor een wetenschappelijk onderzoek verschillende grootheden kunnen meten en hoe ze hierbij om moeten gaan met de eventuele fouten behorende bij de gebruikte meetmethode. Tijdens de experimenten wordt er gemeten aan civieltechnische materialen als beton, hout, staal, aluminium en bitumen. Bij het materiaal aluminium bijvoorbeeld rekent de student de E-modulus uit op twee verschillende manieren en analyseert hij of zij de krachtswerking in een statisch bepaalde constructie. Het experiment van beton is zo opgezet, dat de studenten hun eigen betonkubussen ontwerpen, maken en testen. De sectie Civieltechnische Materiaalkunde is hoofdverantwoordelijke voor het vak en verzorgt de experimenten 2, 3, 6 en 7. De sectie Constructie Mechanica verzorgt experiment 1, dat ongeveer een vierde van de tijdsbesteding van de student voor het vak beslaat. Tenslotte nemen de sectie Verkeersbouwkunde en de sectie Staal en Houtconstructies respectievelijk experiment 4 en 6 voor hun rekening. Het dictaat bestaat uit een theoretisch gedeelte (hoofdstuk 2 tot en met 4) en het gedeelte waarin alle experimenten beschreven staan (hoofdstuk 5). Wij vernemen graag alle op- en aanmerkingen die een bijdrage kunnen leveren aan de verbetering van dit vak. Namens Sectie Civieltechnische Materiaalkunde Dr. Henk M. Jonkers, CT2121-cordinator, kamer 6.19, tel. 015-2782313, E-mail: h.m.jonkers@.tudelft.nl Oghuzan Copuroglu, UD, CiTG/Materials & Environment Student assistenten EXPERIMENT kamer 6.01, E-mail: sa.ctm@citg.tudelft.nl Dit dictaat is gebaseerd op het dictaat van voorgaande jaren samengesteld door de heer Dr. Alex L.A. Fraaij, UHD, CiTG/Materials & Environment

2

InhoudsopgaveVoorwoord 1 2 Studiehandleiding CT2121 Meettheorie2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Grootheid, eenheid en dimensie Meetmethoden, fouten en enige statistische principes Enige instrumentkarakteristieken bij statische metingen Afronding, significante cijfers en het verwerpen van getallen Het trekken van een rechte lijn door een reeks meetpunten (kleinste kwadratenmethode) Fouten voortplanting 3 5 9 9 13 18 22 25 29 35 35 37 39 40 43 44 45 45 46 47 50 52 54 55 56 59 61 69 70

3

Meetinstrumenten3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 De schuifmaat De schroefmicrometer De digitale voltmeter De bepaling van de temperatuur: thermometer, thermokoppel en bimetaal De meetbeugel De LVDT (Linear Variable Differential Transformer)

4

Het rekstrookje4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Inleiding Rekstrookjes Brug van Wheatstone Meetschakelingen Normaalkracht Buigend moment Dwarskracht Randapparatuur voor de rekstrookjes: de Peekelkast

5

Experimenten5.1 Experiment 1 Onderzoek naar validiteit van buigingstheorie Bijlage 5.1.1: Het tekenen van regressielijnen Bijlage 5.1.2: Het gebruik van Maple bij Constructie Mechanica

3

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

5.7

Experiment 2 Bepaling E-modulus van aluminium op twee manieren Experiment 3: Vervalt Experiment 4 Bepaling van penetratie-index (PI) van bitumen Experiment 5 Staal Experiment 6 Hout: Onderzoek naar de samenwerking van een samengestelde houten ligger Opdracht Hout-1 Opdracht Hout-2 Experiment 7 Bepaling sterkte-eigenschappen van zelfverdichtend, hoge sterkte beton 5.7.1. Inleiding 5.7.2. Opdrachten 5.7.3. De aandachtsgebieden en de te volgen stappen bij de (handmatige) berekening van betonmengsels Bijlage 5.7.4: Het materiaal beton en haar toepassing Bijlage 5.7.5: Nog enige opmerkingen over beton en betonsterkte Bijlage 5.7.6: Niet-destructief onderzoek Bijlage 5.7.7 Constructieve aspecten van gewapend beton Bijlage 5.7.8 Productinformatie cementsoorten

79 90 100 103 106 118 136 136 138 148 172 175 179 182 186

4

1

Studiehandleiding CT2121

In deze handleiding vind je informatie over de zaken over de organisatie van het vak CT2121.

Algemene vakbeschrijvingHet Experiment CT2121 is een verplicht tweedejaars vak voor Bachelors studenten Civiele Techniek. De omvang van het vak is 2 ECTS. In dit vak leert de student het omgaan met meettechnieken en het bepalen en berekenen van de nauwkeurigheid van deze meetmethoden. Het meten van bepaalde grootheden is een vereiste om fysische en mechanische eigenschappen van een materiaal of een constructie te onderzoeken. Het gaat hierbij om eigenschappen die relevant zijn voor de civiele wetenschap, onder andere de sterkte en de stijfheid van verschillende materialen. Het Experiment is geroosterd in de kwartalen 1, 2 en 4 van het collegejaar en bestaat uit 7 verplichte experimenten, verdeeld over 6 practicummiddagen. Daarnaast is er een introductiecollege.

RoosteringAlle deelnemers aan het vak CT2121 delen zich op in 50-60 groepen, afhankelijk van het totaal aantal studenten. Dit gebeurt bij het intekenen voor de verschillende practicumdagen. Elke groep bestaat uit 5 studenten. Wanneer je jezelf voor een groep hebt ingetekend, staan de weken waarin je een practicummiddag hebt vast. Reguliere tweedejaars dienen als eerste groep in te tekenen. Studenten die niet het gehele tweede jaar nog moeten doorlopen, moeten zich aansluitend als tweede groep inschrijven. In het startcollege zal een korte introductie gegeven worden voor het vak CT2121 en hoofdstuk 2 tot en met 4 van het dictaat behandeld worden en wordt ingegaan op de theorie van experiment 7: Bepaling sterkte-eigenschappen van zelfverdichtend beton.

Organisatie experimentenHet EXPERIMENT begint met het introductiecollege voor alle studenten gezamenlijk. Aan het einde van het cursusjaar wordt de Eindtoets afgenomen. Deze toets gaat voor het grootste deel over hoofdstuk 2 maar nu ook over hoofdstuk 5.7. De zeven verplichte experimenten (beschreven in hoofdstuk 5) zijn onderverdeeld in 6 practicummiddagen. Van alle experimenten zijn invulbladen beschikbaar, deze zullen uitgereikt worden tijdens het betreffend experiment. Voor experiment 2 tot en met 7 geldt dat de invulbladen na afloop van een experiment van een cijfer worden voorzien. Om experiment 1 te kunnen uitvoeren, heb je een computerprogramma nodig en twee invulbladen. Deze zijn te vinden op de site van de student-assistenten constructie5

mechanica www.mechanics.citg.tudelft.nl/~studass/CT2121/vakbeschrijving/. Een uitleg over het computerprogramma en over de opgave is te vinden op de bovengenoemde website. Om dit experiment goed te laten keuren dien je een afspraak te maken bij de studentassistenten constructiemechanica op kamer 6.68. Het maken van een afspraak doe je door je in te tekenen op n van de lijsten die buiten de kamer aan de muur hangen. Ook voor vragen mag je intekenen. Voor aanvang van de eerste practicummiddag waarin experiment 7 gegeven wordt, dient een betonmengselberekening gemaakt te worden. Dit gebeurt in overleg met Dr. Ir. Oghuzan Copuroglu. Nadere informatie zal tijdens de cursus via Blackboard verstrekt worden.

IntekenenIntekenen voor de experimentele practicumdagen is verplicht voor aanvang van de cursus, en dit kan op de intekenlijst op het publicatiebord bij kamer 6.01. Ingetekend dient te worden voor vijf practicumdagen, en een tijdstip voor wanneer je aan Experiment 1 kunt beginnen. Reguliere tweedejaars dienen zich uiterlijk woensdag 7 september 17:30 te hebben ingetekend. Studenten die niet het gehele tweede jaar nog moeten doorlopen, moeten zich op donderdag 8 of vrijdag 9 september inschrijven. Op de intekenlijst worden 50-60 groepen onderscheiden van 5 personen. Je tekent je nmaal in voor een groep en dan staan de data voor de vijf practicummiddagen en de begindatum voor experiment 1 vast. Het is tevens verplicht om je aan te melden via Blackboard en te enrollen in de cursus CT2121. Hierop komt alle actuele informatie te staan, zoals cijferlijsten, aankondigingen en resultaten van (deel)experimenten.

HerkansingsmogelijkhedenWanneer je met goede reden niet bij een practicummiddag aanwezig kunt zijn, meld dit dan van te voren bij de student-assistenten. Er zal dan gezocht worden naar een inhaalmogelijkheid. Wanneer je niet van te voren hebt afgemeld en geen goede reden kan geven, volgt uitsluiting van het betreffende experiment.

CijferregelingDe sectie Civieltechnische Materiaalkunde is verantwoordelijk voor de verwerking van de cijfers en het doorgeven van de cijfers aan de Onderwijsadministratie. Voor alle (deel)experimenten en de eindtoets wordt een cijfer toegekend. Het gemiddelde van deze cijfers is het eindcijfer voor het vak.

6

ContactpersonenVoor algemene zaken en organisatie betreffende het vak CT2121 en voor de organisatie van experiment 2 tot en met 7 (intekenen, inhalen e.d.) zijn de studentassistenten van Civieltechnische Materiaalkunde de contactpersonen, kamer CT 6.01, tel. 015-2787953, email: sa.ctm@citg.tudelft.nl Voor inhoudelijke vragen over de experimenten 2 tot en met 7 kun je n van de studentassistenten Civieltechnische Materiaalkunde raadplegen, kamer CT 6.01, tel. 0152787953, email: sa.ctm@citg.tudelft.nl of dr. Henk M. Jonkers (k. 6.19; tel. 82313; h.m.jonkers@tudelft.nl) Voor inhoudelijke vragen en vragen met de betrekking tot de organisatie van experiment 1 (Mechanica-proef) kun je terecht bij de studentassistenten Constructie Mechanica, kamer CT 6.68, tel. 015-2783654, email: studass.cm@citg.tudelft.nl

Inhoud dictaatDe hoofdstukken in deze handleiding hebben de volgende onderwerpen: - In hoofdstuk 2 en 3 wordt de theorie gepresenteerd die nodig is voor het begrijpen van de meetapparatuur en de meettechnieken en voor het bepalen van de nauwkeurigheid van een meetmethode. - In hoofdstuk 4 wordt het rekstrookje beschreven. Dit meetinstrument wordt in een apart hoofdstuk beschreven omdat dit bij verschillende experimenten een belangrijk meetinstrument is, vooral bij experiment 1: onderzoek naar de validiteit van buigingstheorie, en bij experiment 2: bepaling E-modulus van aluminium op twee manieren. - Na dit theoretisch gedeelte van het dictaat worden de 7 experimenten elk apart beschreven. Van elk experiment wordt eerst een uitleg gegeven wat het doel van het experiment is en hoe het experiment uitgevoerd kan worden. Daarna zijn er nog eventuele toelichtingen en bijlagen te vinden voor extra informatie betreffende het experiment. Leesadvies: Bestudeer hoofdstuk 2 en : 3.1 t/m 3.4 en :3.6. Lees : 4.1 t/m 4.4, :4.6 en :4.8 eens een keertje door. Lees : 5.1 t/m 5.4, :5.6 en :5.7 door voordat je de betreffende proef gaat doen en bestudeer :5.7.3. (De aandachtsgebieden en de te volgen stappen bij de (handmatige) berekening van betonmengsels)

7

8

2

Meettheorie

2.1 Grootheid, eenheid en dimensieBij het construeren moeten we de afmetingen berekenen van een constructie. Om dit te kunnen doen moeten we: a. de belastingen schatten b. de materiaaleigenschappen kennen c. aan de hand van de belastingen de spanning- en rektoestanden in de constructie uitrekenen We weten dat er niet n belasting op een constructie aangrijpt, maar dat er bepaalde kansen zijn op een bepaald belastingsniveau (a). We hebben kansrekening en statistiek nodig om de ontwerpbelasting te bepalen. Ook in de materiaaleigenschappen zit een spreiding (b). Je weet nooit precies hoe sterk een constructie in bijvoorbeeld beton is. De materiaalkunde kan de materiaaleigenschappen echter heel precies afschatten. Als derde moeten de belastingen en materiaaleigenschappen gekoppeld worden (c). Daarvoor is mechanica nodig. Met mechanica kan je controleren of de materialen in de constructie de ontwerpbelasting kunnen dragen. De materiaaleigenschappen karakteriseren we door grootheden (zoals druksterkte, permeabiliteit, uitzettingscofficint en warmtegeleiding). Een materiaal moet dus een bepaalde functie vervullen, bijvoorbeeld een draagfunctie. Hiertoe moet het bepaalde eigenschappen bezitten, zoals sterkte, en die sterkte moet een bepaalde waarde bezitten, zie figuur 2.1. (1) Functie draagfunctie afsluitende functie figuur 2.1 (2) Eigenschappen sterkte waterdichtheid (3) Grootheden druksterkte permeabiliteit (4) Waarden x (MPa) x (m/s)

van functie naar eigenschappen naar grootheden en naar waarden

Grootheden bezitten dus een dimensie. We kunnen immers niets anders doen dan de zaken te vergelijken met bepaalde standaarden. Dus grootheid = getalwaarde * eenheid. Een meting levert een getal op dat de verhouding is tussen de waarde van een fysische grootheid en de eenheid waarin deze wordt uitgedrukt. We maken sinds 1960 gebruik van een internationale stelsel van eenheden; Systme International (SI). In tabel 2.1 wordt een overzicht gegeven van de basisgrootheden, hun symbool, de SIeenheid die daarbij hoort en het symbool van de eenheid.

9

We drukken de in de techniek gebruikte grootheden uit in de grondeenheden. Hierbij maken we gebruik van fysische betrekkingen tussen de diverse grootheden. We spreken dan ook van afgeleide grootheden, zie tabel 2.2. tabel 2.1 Grootheid Lengte Massa Tijd Temperatuur Elektrische stroomsterkte Hoeveelheid lichtsterkte Vlakke hoek 1) Overzicht van grondgrootheden en grondeenheden van het S.I. eenhedenstelsel Symbool van de grootheid l m t T I Iv Eenheid van de grootheid meter kilogram seconde kelvin ampre candela radiaal steradiaal mol Symbool van de eenheid m kg s K A cd rad sr mol Dimensie [L] [M] [T] [] [I] [J] [-] [-] [N]

Ruimtehoek 1) Hoeveelheid n materie 1) aanvullende grootheden. tabel 2.2 Grootheid Frequentie Kracht Energie Vermogen Elektrische lading Elektrische potentiaal Elektrische weerstand Elektrische capaciteit Elektrische geleiding Magnetische flux Zelfinductie Magnetische inductie Lichtstroom (flux) Verlichtingssterkte Druk Radioactiviteit Afgeleide eenheden

Eenheid van de afgeleide grootheid hertz newton Joule watt coulomb volt ohm farad siemens weber henry tesla lumen lux pascal becquerel

Symbool van de eenheid Hz N J W C V F S Wb H T lm lx Pa BQ

Definitie 1 Hz = 1 s-1 1 N = 1 kg.m/s2 1 J = 1 Nm 1 W = 1 J/s 1 C = 1 A.s 1 V = 1 J/C 1 = V/A 1 F = 1 C/V 1 S = 1 -1 1 Wb = 1 Vs 1 H = Vs/A = Wb/A 1 T = 1 Wb/m2 = 1 Vsm 2 1 lm = 1 cd.sr 1 lx = 1 lm/m2 1 Pa = 1 N/m2 Aantal splitsingen per seconde

10

Voorbeeld 1 Snelheid v= dx/dt met: x = afgelegde weg in meters, t tijd in seconde, dus v is in (m/s). De dimensie is dan [L/T]. Voorbeeld 2 Lineaire uitzettingscofficint =

d dT

met: = l/l l = oorspronkelijke proefstuklengte l = (delta l ) de lengtetoename. Let op: in dit geval is l niet een meetfout maar een lengteverandering. We drukken dus uit in K-1 (dimensie [-1])Voorbeeld 3 Soortelijke massa massa/volume dus: = m/V met m = massa (met eenheid kg) en V = volume (met eenheid m3) De eenheid van is dus kg/m3 (dimensie [M/L3]) Voorbeeld 4 Spanning = kracht/oppervlak dus: = Newton/meter2 = N/m2 = Pa. Voorbeeld 5 Elasticiteitsmodulus E volgens de wet van Hooke bij lineaire elasticiteitE= d N/m 2 dus E is in = Pa d m/m

Bij de berekeningen kunnen zeer grote of juist zeer kleine getallen ontstaan. We gebruiken in dit geval voorvoegsels die een vermenigvuldigingsfactor betekenen, bijvoorbeeld deci, micro, etc. De regel is dat van decimale veelvouden gebruik wordt gemaakt, dus van machten van 10, bijvoorbeeld 2,8x106. Zie tabel 2.3.

11

tabel 2.3

Erkende voorvoegsels

Voorvoegsel yotta zetta exa peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca

Symbool Y Z E P T G M k H da

Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Voorvoegsel deci centi milli micro Nano Pico Femto atto Zepto yocto

Symbool d c m N p F a Z y

Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Het is gebruikelijk om het aantal factoren 10 een veelvoud van 3 te laten zijnVoorbeeld 6 Massa m = 4.000.000 kg wordt m = 4.106 kg. Spanning = 240.000.000 N/m2 = 240.106 N/m2 = 240 MPa. Estaal = 2,1.105 N/mm2 = 2,1.1011 N/m2 wordt ook wel geschreven als E = 210.109 N/m2 = 210 GPa.

12

2.2 Meetmethoden, fouten en enige statistische principesAls observeren met het blote oog niet nauwkeurig genoeg is, gebruiken we instrumenten om te meten. Maar ook instrumenten geven geen exacte uitkomsten. Er zijn altijd onnauwkeurigheden en fouten. Degene die de meting uitvoert moet zich hiervan bewust zijn. Hij of zij moet kunnen aangeven waar de fouten (marges) liggen en hoe deze doorwerken in het eindresultaat. In deze paragraaf worden een aantal dingen behandeld die meespelen in de foutenanalyse.

Toevallige fouten (imprecision)Hier gaat het om metingen waarbij steeds een andere uitkomst wordt verkregen. De afwijkingen t.o.v. de gemiddelde waarde kan men niet echt voorspellen. Het blijkt dat wl statistiek kan worden toegepast op dit soort fouten. Dit zijn niet reproduceerbare fouten. Deze worden veroorzaakt door: variaties in proefstukafmeting, dus het proefstuk zelf; fouten door degene die de meting uitvoert; fouten gentroduceerd via de meetopstelling.

Enige statistische principesHet gemiddelde van een meetserie: Stel dat een individuele meting de waarde xi oplevert. Na n metingen kan men dan het rekenkundig gemiddelde uitrekenen:

xix=i

n

(2.1)

n

Als de meetserie groot is, zeggen we dat het gemiddelde nadert naar de verwachtingswaarde . De standaard afwijking s: Ook kan men een spreidingsmaat uitrekenen die aangeeft in welke mate de getallen onderling afwijken. We kunnen dan uit een steekproef van n getallen de standaard afwijking s uitrekenen volgens de formule:

( x i -x )sn =i

n

2

(2.2)

n-1

13

Hoe groter sn, des te meer wijken de getallen xi van elkaar af. In de literatuur kom je in plaats van de standaardafwijking s ook vaak de notatie tegen, die men ook wel standaarddeviatie noemt. Ruwweg geldt sn als n groot is (n oneindig). Men noemt 2 de variantie. Weergave van metingen in histogrammen: We kunnen een reeks getallen (onze herhaalde metingen xi) ook in een histogram weergeven. In figuur 2.2 is een histogram getekend van sterktecijfers van betonkubussen. Het histogram geeft per kolom het aantal kubussen dat we aantreffen in een bepaald sterktegebiedje.ni = frequentie = aantal kubussen in sterkteklasse i met fractie klassenmidden xi (MPa) gemiddelde: x = xi ni ni ( MPa )

0,4 0,3 0,2 0,1 30 35 40 45 50 55 uitkomst

n = totaal aantal waarnemingen = ni s= ( ni * ( xi x ) )2

( ni ) 1

= standaard afwijking

Bi = klassenbreedte (MPa) = in dit voorbeeld 5 Mpa

figuur 2.2

Histogram

Door het histogram te normeren kunnen we de Gauss-curve construeren. De afleiding wordt niet gegeven, wl het resultaat, zie figuur 2.3. Het totale oppervlak onder de Gausscurve is gelijk aan 1.1 2

fractie

Gauss-curve F ( x ) =

e

( x )2 2 2

uitkomst

Gemiddelde = Standaardafwijking = (pas op: verwar het symbool hier niet met het door ons gebruikte symbool voor spanning. De dimensie van gemiddelde en standaardafwijking kan uiteraard wl kracht/oppervlak zijn, dus uit te drukken in N/mm2).

figuur 2.3

Gauss-curve of normale verdeling voor betonkubussen

Een uitspraak over de gemiddelde meetuitkomst en de foutenmarge hierin: Een uitspraak over een gemiddelde meetuitkomst en de foutenmarge hierin zou kunnen zijn:

14

Er is een kans van Y% dat de uitkomst zich bevindt tussen x - x en x + x . Hierbij is Y bijvoorbeeld 64% of 90% of 95% en is x > 0 de meetfout. De waarnemer bepaalt de grootte van Y naar eigen goeddunken en de waarde x volgt uit de standaardafwijking sn f uit de instrumentkarakteristieken (zie paragraaf 2.3). In het algemeen gebruikt men (als een grootheid via meerdere metingen bepaald is) de formule:x= x

k.s n = x k.Sn = x x met x = gemiddelde meetuitkomst n

(2.3)

De factor k in formule 2.3 is een statistische factor die afhangt van de gekozen waarde Y en van het aantal metingen n. Een aantal waarden voor k zijn gegeven in tabel 2.4. In de literatuur noemt men Sn = sn/n ook wel de standaardfout. In het engels heet Sn the best estimate of standard error. Als Y = 68,3% is k = 1. Als Y = 90% is k = 1,65 en als Y = 95%, is k = 1,96 (we moeten n wl voldoende groot nemen, bijv. n > 12).tabel 2.4 k-waarden

Aantal metingen 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Betrouwbaarheidsinterval 90% 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,645 95% 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 1,960

De bovengenoemde waarde (zie formule 2.3) x noemen we de absolute fout. Onder de relatieve fout verstaan we het getal:x x 100%

(2.4)

Soms doet zich het probleem voor dat men slechts n meting (= x) kan doen. Toch zal men een uitspraak moeten doen over de absolute fout x. Hierbij zal men gebruik moeten maken van de instrumentkarakteristieken. Er geldt dan: meetuitkomst = x xvolgens opgave instrumentbouwer (2.5)

15

Voorbeeld 7 Iemand meet 12 maal met een duimstok met millimeterschaal de lengte van een stalen staafje en vindt xgem = 129,5 mm en s12 = 0,003 mm. Mag hij dan stellen: x = 129,5 1,96x0,003/12 = 129,5 0,0017? (nog onafgerond)

Duidelijk is dat bij een meting xi = 129,5 mm net zo goed 129,3 of 129,7 mm had kunnen worden afgelezen. Het is dus reler om een deel van het kleinste meetinterval, in dit geval is het meetinterval 1 mm, als meetfout te nemen. Hij/zij zou dan een bepaald percentage hiervan, (bijvoorbeeld 50%, 15% of 10% afhankelijk van de scherpte van de ogen en de spierbeheersing) kunnen nemen. Nemen we van het kleinste meetinterval, dan is: x = = 0,3 mm en volgt x = 129,5 0,3 mm. De door de medewerker gevonden waarde van x = 129,5 mag je gerust als juist aannemen, maar de x = 0,0017 is irreel klein gezien de toepassing van een duimstok.Voorbeeld 8 Iemand wil met een digitale weegschaal het gewicht van een proefstuk bepalen. Hij leest op de digitale display af: x = 1295,1. Zijn weegschaal geeft de uitkomst in grammen (let op: dit is massa), dus x = 1295,1 10-3 kg. Aangezien het om een digitale display gaat, kan de meetuitkomst liggen tussen 1295,1 x 1295,2 gram. Het aardige van digitale weegschalen is dat het aantal digits bepalend is voor de nauwkeurigheid. In dit voorbeeld gaat het om 5 cijfers in de display. Was het proefstuk bijvoorbeeld 129,462 gram, dan had er in de display gestaan: x = 129,46 gram. In de handleiding van de door de waarnemer gebruikte digitale weegschaal staat echter dat het apparaat tot op 0,1% van de displayuitkomst + de laatste digit nauwkeurig is. Dit betekent dat in het eerste geval x gelijk is aan 0,1. 1295,1 / 100 + 0,1 = 1,2951 + 0,1 = 1,3951 g. Dit getal moeten we uiteraard afronden dus x = 1,4 g. Let op: met de laatste digit wordt bedoeld een 1 op de positie van het meest rechter getal op display, dus x blijft 1,4 ook als x = 1295,6 (in dit geval vinden we dus eveneens x = 1,2956 + 0,1 = 1,4 na afronden).

In het tweede geval geldt dan: x = 0,12946 + 0,01 = 0,139 kg, afgerond 0,14 kg. De afrondingsfout die de display maakt om 129,45 < x < 129,47 (in grammen) af te ronden tot x = 129,46 gram is dus kleiner dan de werkelijke nauwkeurigheid van het apparaat, immers x = 0,14 en dit is veel groter dan x = 0,01 gram.Voorbeeld 9 Iemand leest een digitale klok af die de tijd in minuten aangeeft. Het kleinste meetinterval is dus 1 minuut. In het algemeen kunnen we stellen dat de grootst mogelijke fout de helft is van dit kleinste interval. In dit geval dus een halve minuut. Als de aflezing 36 minuten is, kan je de meetuitkomst opschrijven als: meetuitkomst = 36,5 0,5 min.

16

Voorbeeld 10 Iemand leest bij een analoog instrument (dat is een instrument met een wijzer en een afleesschaal) een waarde af van 5,87 V. Het laatste cijfer heeft hij geschat (zie figuur 2.4). De uitkomst zal liggen tussen 5,865 en 5,875 V bij iemand met scherpe ogen. Realistischer is het om te stellen dat de uitkomst ligt tussen 5,86 en 5,88 V. Dus: meetuitkomst = 5,87 0,01 V.

figuur 2.4

aflezing bij een analoge voltmeter

Systematische fouten (bias)Hierbij maakt men met het meetinstrument een fout die in het algemeen alleen op te sporen is met een ander instrument. Men moet dan nagaan of bij n van beide, of bij allebei, iets mis is. Voorbeelden zijn: meetklokken die te snel of te langzaam lopen, een schuifmaat die in een verkeerd temperatuurdomein wordt toegepast. Een systematische fout komt steeds terug bij iedere meting en is dus reproduceerbaar. Door een goede calibratie (zie paragraaf 2.3, nummer 11) en een goede nulpuntinstelling kan men de systematische fouten verminderen. Bij een toevallige fout voor grootheid x schrijven we: meting = x x met x > 0, bij een systematische fout geldt: meting = x + (x)syst waarbij x zowel positief als negatief kan zijn. De fout werkt maar in n richting door. De toevallige fout kan de gemiddelde uitkomst zowel vergroten als verkleinen.

17

2.3 Enige instrumentkarakteristieken bij statische metingenTolerantieDe tolerantie (lineariteitsfout, (in)accuracy, error, tolerance, onnauwkeurigheid) geeft aan in welke mate een aflezing fout kan zijn. Door de fabrikant van het apparaat wordt dit vaak als een percentage van de volle-schaal (= full scale reading) aflezing opgegeven bij analoge instrumenten.Voorbeeld 11 Een manometer geeft aan: Inaccuracy is 1% f.s. ( f.s. = full scale). Het meetbereik (range) is 0 - 10 bar. De maximale fout is dan 0,1 bar. Stel dat de aflezing is: 1,0 bar. De mogelijke fout is bij analoge instrumenten nog steeds 0,1 bar, dus: meetuitkomst = 1,0 0,1 bar. Voor een nauwkeuriger meting moet de onderzoeker een instrument kiezen met een kleiner meetbereik en met een kleinere onnauwkeurigheid.

PrecisieDe precisie (precision) is gekoppeld aan herhaalbaarheid (repeatability) en reproduceerbaarheid (reproducibility). Instrumenten met een hoge precisie (high precision instruments) geven na vele metingen van dezelfde grootheid een geringe spreiding in uitkomsten. Let op: precisie is niet gelijk aan nauwkeurigheid (accuracy). Neem als voorbeeld een robot die met twee motoren in x- en y-richting een proefstuk onder een boor moet plaatsen (Zie figuur 2.5). Het centrum van het assenstelsel is het raak(target)punt.

lage precisie, lage nauwkeurigheidfiguur 2.5

grote precisie, grote precisie, lage precisie, lage nauwkeurigheid grote nauwkeurigheid grote nauwkeurigheid

Vergelijking onnauwkeurigheid en precisie

Met herhaalbaarheid wordt aangegeven of bij herhaalde metingen bij dezelfde omgevingscondities de meetresultaten dicht bij elkaar liggen. Met reproduceerbaarheid kijkt

18

men naar het dicht bij elkaar liggen van de meetresultaten bij herhaalde metingen als kleine wijzigingen zijn opgetreden in de locale meetcondities.

MeetbereikMet het meetbereik (range of span) worden de minimale en de maximale waarden die door een instrument te meten zijn vastgelegd.

Statische afwijkingDe statische afwijking (offset of bias) is een constante meetfout. Vaak gaat het om een fout in de nulaf-lezing (dus terwijl je nul moet aflezen, lees je een waarde 0 af). Deze fout is door calibratie (zie hieronder) te verwijderen.

LineariteitMet lineariteit (linearity) geeft het instrument een lineair verband tussen de gemeten grootheid (input) en de aflezing (output reading), zie figuur 2.6.

figuur 2.6

het meetinstrument is lineair tussen de punten A en B.

Statische gevoeligheidDe statische gevoeligheid (sensitivity) geeft aan in welke mate het uitgangssignaal, dus de aflezing (= output) verandert als het ingangsignaal (= meting, input) verandert. In figuur 2.5 is dit: output tg = gevoeligheid = (2.6) input

19

Nulpuntafwijking en schaalfactorafwijkingNulpuntafwijking (zero drift) en schaalfactorafwijking (sensitivity drift of scale factor drift) geeft aan hoe de aflezing (output) verandert als de omgevingscondities veranderen (vaak door temperatuur, relatieve vochtigheid, luchtdruk etc.), zie figuur 2.7.

gemeten aflezing (y)

gemeten

gemeten

normaal gemeten grootheid Zero drift

normaal Sensitivity drift

normaal Zowel nulpuntverschuiving als verandering in gevoeligheid

figuur 2.7

nulpuntafwijking en schaalfactorafwijking, de stippellijn geeft de calibratielijn weer onder standaardcondities.

HystereseMet hysterese (hysteresis) wordt bedoeld dat het verloop van het uitgangssignaal bij toenemend ingangssignaal verschilt van de curve die wordt verkregen bij afnemend ingangssignaal (zie figuur 2.8).uitgangssignaal (output reading)

gemeten grootheid (ingangssignaal; input)

figuur 2.8

hysterese

DrempelwaardeDe drempelwaarde (treshold value). Als het ingangssignaal langzaam stijgt vanaf de nulwaarde, zal pas na een bepaalde minimum waarde de meetwijzer zichtbaar verplaatsen. Een voorbeeld is de snelheidsaanwijzing in een auto, die pas begint bij 15 km/uur. Zie ook figuur 2.9b.

20

ResolutieBij de resolutie (resolution of readability) gaat het om een minimale ingangssignaalverandering die nodig is om een afleesbare verandering in uitgangssignaal te krijgen in vol bedrijf. Het hangt sterk af van hoe de outputschaal is onderverdeeld (zie figuur 2.9).30 50 70 90 110 120 km/uur De resolutie is hier x 20 = 5 km/uur aflezing = 80 5 km/uur

figuur 2.9a Snelheidsmeter van een auto

2.9b) Drempelwaarde en resolutie (Uit: E. Doebelin, Engineering Experimentation,McGraw-Hill)

CalibratieDe calibratie (calibration) is het experimenteel bepalen van het verband tussen ingangsen uitgangsgrootheid.

IJkingEen ijking (calibration by a National Bureau of Standards) is een calibratie door een officieel erkende bevoegdheid.

Gedrag van meetinstrumenten bij dynamische metingenAls de ingangsgrootheid snel in de tijd verandert, kan het uitgangssignaal naijlen t.o.v. het reeds veranderde ingangssignaal. Men moet zijn meetinstrument dus zorgvuldig kiezen al naar gelang de omgeving- en tijdfactoren. In het kader van dit practicum wordt hier verder niet meer op ingegaan. Wel wordt erop gewezen dat u bij een bepaalde practicumproef de temperatuur van opwarmend water moet kunnen meten. Houdt er rekening mee dat een kwik- of alcoholthermometer niet onmiddellijk de juiste temperatuur aanwijst.

21

2.4 Afronding, significante cijfers en het verwerpen van getallenSignificante cijfersEen onderzoeker leest op een analoge weerstandmeter 8,36 af. De wijzerschaal is onderverdeeld in streepjes met als kleinste interval 0,1 . De 6 in 8,36 is geschat en we zijn er niet echt zeker van. Het voorlaatste cijfer 3 is wel zeker. Bij het noteren van getallen houden we de regel aan dat het voorlaatste getal zeker is en het laatste getal niet zeker is. Het getal 4,860 is alleen juist als de nul geschat is, en als de 6 zeker is. Significante nullen, rechts achter de komma, mogen niet weggelaten worden. We geven de foutenmarge in een meting dus aan via het aantal significante cijfers, dit zijn dan de betekenisvolle cijfers in een gemeten of berekende grootheid. Het laatste (meest rechter) cijfer van de significante cijfers is dan het cijfer waar we niet meer echt zeker van zijn. In het voorbeeld van de 8,36 hebben we te maken met 3 significante cijfers. De 6 is niet geheel zeker.

Voorbeeld 12Iemand meet met een maatcilinder een volume van 6 ml. De uitkomst had 5 ml dan wel 7 ml kunnen zijn, dus volume = 6 1 ml. Bij de uitkomst van Volume = 6 weten we dat het om 1 significant cijfer gaat. Stel hij vond Volume = 6.0 ml. Dit getal bestaat uit 2 significante cijfers. De onzekerheid zit in de 0.

Voorbeeld 13De soortelijke massa van een legering: (7,87 0,04).103 kg/m3 is goed (7,9 0,04).103 kg/m3 is fout (7,874 0,04).103 kg/m3 is fout (7874 40) kg/m3 is fout In het tweede en derde geval klopt het aantal cijfers achter de komma bij de meetuitkomst niet met dat van de mogelijke absolute fout. Bij het laatste voorbeeld had een macht van 10 opgegeven moeten worden; bij voorkeur 103 dus: (7,874 0,040).103 zonder nog even rekening te houden met eventuele afronding.

AfrondingBij het weglaten van niet-significante cijfers (= afronden) wordt een cijfer beneden de 5 zonder meer weggelaten. 8,41 wordt dus 8,4. Bij een cijfer boven de 5 moeten we het voorafgaande cijfer met n vermeerderen. 9,28 wordt dus 9,3. Willen we een 5 afronden dan gold de regel dat het nieuwe laatste cijfer altijd even is: 6,35 wordt 6,4 en 6,45 wordt

22

ook 6,4 (volgens de norm NEN 1047, 1967). In veel handboeken stelt men echter dat 6,45 afgerond moet worden tot 6,5. Het afronden laten we (volgens de norm NEN 1047) afhangen van de uitkomst van de standaardafwijking sn. Is bijvoorbeeld sn = 0,03 dan bepalen we de grootste decimale eenheid a uit s/2 waarbij we alleen kijken naar 10; 1; 0,1; 0,01 als afrondingseenheid. Dus: a = 0,03/2 geeft 0,01. Een uitkomst x = 7,264 wordt dan 7,26.

Het afronden bij optellen en aftrekkenLet hierbij op het getal met het minste aantal significante cijfers achter de komma; dit aantal is maatgevend: 89,332 + 1,1 wordt 90,4 na afronden. 2,097 0,12 wordt 1,98 na afronden. 3,80 102 + 1,16 = 380 + 1,16 = 381,16. Na afronden volgt: 381 (= 3,81.102).

Het afronden bij vermenigvuldigen en delenLet hierbij op het getal met het minste aantal significante cijfers; dit aantal is maatgevend. 2,8 4,9039 = 12,6109 wordt: 13 (2 significante cijfers i.v.m. 2,8). 6,85 / 112,04 = 0,06113888 wordt: 0,0611. (3 significante cijfers i.v.m. 6,85).

Exacte getallenBij een vermenigvuldiging of deling met een exact getal stellen we per definitie dat, dat getal in principe uit een oneindig aantal significante cijfers bestaat. 8 voorwerpen van 0,2786 kg wegen samen 2,229 kg en niet 2 kg. Het cijfer 8 is immers 8,0000

Opmerking over het afrondenDe hierboven beschreven regels werden met name gebruikt in de tijd dat men nog geen beschikking had over computers en rekenmachines en tussentijds moest afronden om de berekeningen mogelijk te maken. Tegenwoordig, met alle elektronische hulpmiddelen, maken we gebruik van de afrondingsprocedures in de rekenmachine zelf. We ronden bij het EXPERIMENT alleen de einduitkomst handmatig af, aan de hand van de berekende spreiding in de uitkomsten (in de formule: uitkomst = gemiddelde x). Vervolgens zorgen we ervoor dat de absolute fout past bij het aantal significante cijfers, zie voorbeeld 13. Als we meer dan n decimaal willen afronden, dan moet dat in n stap gebeuren. Stel s = 0,2 dan afronden op het eerste cijfer na de komma. Is de uitkomst 9,245 dan wordt dit na afronden 9,2. Als we een grootheid moeten uitrekenen aan de hand van een aantal andere meetuitkomsten, dan moeten we er voor waken om in een te vroeg stadium af te ronden, omdat we

23

dan een cumulatie van afrondingsfouten krijgen. Bij tussenuitkomsten laten we daarom vaak twee onzekere cijfers toe. Pas in de einduitkomst moeten we afronden op n onzeker laatste cijfer.

Voorbeeld 14A B = C en C D = E. A = 3,66; B = 8,45 en D = 2,11 3,66 8,45 = 30,927 nu nog niet afronden op drie significante cijfers 30,9 maar: 30,93 2,11 = 65,3 (3 significante cijfers).

Nullen in een getalEn nul links van het meest linkercijfer 0 telt niet als een significant cijfer: 0,0000349 bevat 3 significante cijfers. Een nul tussen 2 cijfers 0 telt mee als een significant getal: 803 is een getal van 3 significante cijfers. Een nul rechts van het meest rechtercijfer 0 telt wel mee als significant getal, behalve als het gaat om een getal met laatste nullen zonder komma. Daar is het per definitie niet gedefinieerd. 4,860 bevat 4 significante cijfers. 0,00003490 bevat 4 significante cijfers. 400: Bij dit getal weten we niet of het om 1, 2 of 3 significante cijfers gaat. 4.102 is daarentegen een getal met 1 significant cijfer. 4,0.102 is een getal met 2 significante cijfers. 4,00.102 heeft 3 significante cijfers (we zien immers een komma in het getal).

Het criterium van ChauvenetStel dat iemand n metingen verricht en dat er een sterk afwijkend xi getal wordt gevonden. Mag hij dat getal dan weglaten? Chauvenet heeft hier een toets voor ontwikkeld. Men bepaalt uit de n waarnemingen het gemiddelde xgem en de standaardafwijking sn. Alsxi x sn

groter dan een bepaalde toetswaarde wordt, dan mag het getal weggelaten

worden. De toetswaarde hangt af van het aantal waarnemingen (zie tabel 2.5). Let op: Het is de bedoeling dat de test slechts n keer op een reeks getallen wordt toegepast.tabel 2.5 toetswaarden voor het verwerpen van een meting

Aantal metingen 3 4 5 6 7 10 15

Toetswaarde 1,38 1,54 1,65 1,73 1,80 1,96 2,13

24

Voorbeeld 15Iemand bepaalt de druksterkte van 15 betonkubussen. Hij vindt n uitschieter, namelijk kubus nr. 6 (zie tabel 2.6). Bij de zesde kubus vindt hij voor x6 x / sn een waarde van 3.43. Deze waarde is groter dan de waarde 2,13 (tabel 2.5), dus hij mag kubus nr. 6 weglaten. De uitkomst voor de druksterkte wordt nu: druksterkte = 44,2 k.3,6/14. Bij een betrouwbaarheid van y = 90% was k = 1,64; dus volgt er: druksterkte = 44,2 1,6 MPa.tabel 2.6 uitkomsten bij 15 betonkubussen

kubusnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

druk in MPa 40,0 44,0 45,0 46,0 40,0 13,0 47,0 46,5 44,5 50,0 36,0 44,0 43,0 45,5 47,5

|Xi-Xgemiddeld|/sn 0,26 0,21 0,33 0,45 0,26 3,43 verwijder 0,56 0,62 0,27 0,92 0,73 0,21 0,09 0,39 0,62

vr de toets n = 15 xgem = 42,1 MPa s15 = 8,8 MPa

n de toets n = 14 xgem = 44,2 MPa s14 = 3,6 MPa

2.5 Het trekken van een rechte lijn door een reeks meetpunten (kleinste kwadratenmethode)In een x-y grafiek zetten we op de x-as (= de abscis) de onafhankelijke parameter uit en op de y-as (= de ordinaat) de afhankelijke parameter. Bij het meten gaat het om respectievelijk het ingangssignaal (= xi) en het uitgangssignaal (= yi). Zie figuur 2.10. Hier is 22 maal een meting verricht bij steeds een ander ingangssignaal (= input xi). Zo op het oog lijkt het er op dat het verband tussen y en x lineair is. Door het gemiddelde over xi en het gemiddelde over yi te bepalen kan je de centrode of het zwaartepunt van de lijn vastleggen, dit is het punt (x, y ) . De beste schatting van de rechte lijn gaat in ieder geval door de centrode. De formule van een rechte lijn is y = ax + b. Hier is a de richtingscofficint en b het snijpunt met de y-as. Ter schatting van de mogelijke fouten zijn nog twee gestippelde lijnen getrokken. Lijn l2 laat men zo goed mogelijk aansluiten bij de groep meetpunten die rechts van de centrode boven de getrokken beste rechte (= l1) liggen en die links daarvan

25

onder l1 liggen. De richtingscofficint 2 van l2 kan men opvatten als de grootst mogelijke geachte waarde van de gezochte rechte. Lijn l3 geeft dan op dezelfde wijze de kleinst mogelijke waarde voor . Dit maakt het ons mogelijk om een schatting te geven van de helling van de lijn en zijn fout: helling = . Op dezelfde wijze is het snijpunt b met de y-as af te schatten: snijpunt met y-as = b b.

x

y

figuur 2.10

grafiek van meetpunten met onbekende fout

In veel gevallen is het ingangssignaal nauwkeurig bekend, dus x 0. Er treedt alleen spreiding op in de yi waarden. Zonder bewijs wordt gegeven hoe men dan a, b, a en b kan uitrekenen.a= nx y ( x )( y ) i i i i 2 2 n x ( x ) i i

met n = aantal meetpunten

(2.7)

2 (y )(x ) (x y )(x ) i i i i i b= 2 2 nx (x ) i i

(2.8)

uitkomst helling = a k Sn ( a) met: Sn (a) = standard error van de hellinga= n n ( n 2) ( nxi (xi )2 2

(2.9)

(2.10)

met:

26

n n = nyi (yi ) 2 2 2 2

( nxi yi xi yi ) ( nxi (xi ) )2 2

2

(2.11)

enk S n ( a ) = a

Voor het snijpunt met de y-as geldt: snijpunt met y-as = b k.Sn(b) = b b (2.12)

waarbij bijvoorbeeld k = 1 kan worden aangehouden (dus betrouwbaarheid y = 68,3%). met:S n (b ) = n n (xi )2

n( n 2)( nxi (xi ) )2 2

(2.13)

Men kan ook de correlatiecofficint r uitrekenen uit:r= nxi yi xi yi ( nxi (xi ) ) ( nyi (yi ) )2 2 2 2

(2.14)

Als alle punten echt op n rechte lijn liggen is |r| = 1. Als er helemaal geen sprake is van een rechte lijn, maar van een puntenwolk, dan zal |r| naar nul toe gaan. Als |r| > testwaarde rtest mag men stellen dat het om een redelijk rechtlijnig verband gaat. Hiervoor kan tabel 2.7 gebruikt worden.tabel 2.7 rtest bij verschillend aantal meetpunten, als rtest < rmeting wijst dit op een rechtlijnig verband

Aantal meetpunten 3 4 5 6 7 8 9

rtest bij 90% betrouwbaarheid 0,988 0,900 0,805 0,729 0,669 0,621 0,582

Aantal meetpunten 10 11 12 13 14 15 122

rtest bij 90% betrouwbaarheid 0,549 0,521 0,497 0,476 0,457 0,441 0,150

De waarden a, b, Sn(a), Sn(b), en r zijn met een spreadsheet (LOTUS, EXCEL of QUATTRO) programma eenvoudig te bepalen. Tijdens de experimenten kunt u gebruikmaken van de in de practicumruimte aanwezige computers en van de spreadsheet. Tabel 2.8 geeft een voorbeeld van hoe zon spreadsheet de regressiegegevens weergeeft. 27

tabel 2.8

Voorbeeld regressieberekening met een spreadsheetprogramma

x 0 0.5 0.9 1.0 3.2 4 5 6.1 7.3 8 9 10 10

y-cord. 0.2 0.5 0.1 1 3.8 4.4 4.8 5 7 7.8 11 10 13

Regressie Output snijpunt - 0,3733 (= b) Std Error of Y Est 1,036 (Sn= (b)) 2 r 0,9465 (= r2) 13 aantal 11 vrijheidsgraden 1,1300 (= a) helling 0880 (=(Sn(a)) Std Err of Coeff. dus r = 0,973 > rrest = 0,476

Wat te doen als er sprake is van x n van y?Zijn er onzekerheden in de ingang- en de uitgangsignalen, dus zijn er bij ieder meetpunt een duidelijke x en een y, dan kan men te werk gaan zoals in figuur 2.11. De beste rechte is die rechte die door de centrode gaat en die zo goed mogelijk bij alle meetpunten aansluit (dit is dus lijn l ). De lijnen c en d worden gebruikt om de uiterste waarden voor de richtingscofficint te bepalen. De lijnen a en b geven een soort bandbreedte aan. Als er zowel negatieve als positieve x-cordinaten voorkomen, kan men de lijnen a en b gebruiken om b te bepalen met b = snijpunt van de beste rechte met de y-as. In figuur 2.11 met alleen xi > 0 zal men de lijnen c en d gebruiken om b te bepalen.x

y

figuur 2.11

grafiek van meetpunten en foutengebiedjes

28

2.6 Fouten voortplantingIn een experiment worden vaak verschillende grootheden (a, b, c, ...) gemeten waarvan de waarde in een formule moeten worden ingevuld om de uiteindelijk gewenste grootheid te berekenen. Stel het gaat om een grootheid y. (Noot: verwar deze y niet met de Y % gebruikt bij formule 2.3). y = f (a, b, c, ...) (2.15)

Nu zal iedere subgrootheid (a, b, c, ...) zijn eigen absolute meetfout met zich meebrengen, zie figuur 2.12.ware fout Gevonden waarde: a Maximale absolute fout: a Werkelijke, maar onbekende waarde: a a Relatieve fout a = a

amin a

a

a a

amax

onzekerheidsinterval van a

figuur 2.12

onzekerheidsinterval van grootheid a

We zeggen dus: uitkomst bij een grootheid (a) = a a, of als we statistiek kunnen toepassen: uitkomst = agem k.Sn = agem k.sn/n met n = aantal metingen. Hoe kom je nu tot een schatting van het onzekerheidsinterval voor de grootheid y; dus hoe schat je nu y of Syn in: uitkomst = y y of uitkomst y k.Syn? In de literatuur worden 3 methoden gegeven die hieronder zonder bewijs zijn overgenomen. Het gaat hier om de product- en optelregel, de foutenberekening via de totale differentiaal en de foutenvoortplantingwet van Gauss. Er wordt alleen uitgegaan van toevallige fouten en van de aanname dat de fouten a, b, c, ..onafhankelijk van elkaar zijn. In de formules hieronder wordt steeds gesproken over a, b, c,..., y, maar je kan hiervoor ook invullen San, Sbn, Scn, ... Syn. (2.16)

29

2.6.1 De optel- en productregel Optelling en aftrekkingHierbij telt men de absolute fouten op, dus: als y = a + b dan y = a + b als y = a - b dan ook y = a + b (2.17) (2.18)

Vermenigvuldigen en delenHierbij telt men de relatieve fouten op:als y = a b c ... dan y y y y y y = a a a a + b b + c c + ..

(2.19)

als y = a / b dan ook

=

+

b b

(2.20)

als y = a dan geldtn

= n

a a

(2.21)

Een constante Cals y = C .a geldt y y = C C + a a = a a

(2.22)

C = 0 dus : y =

a a

y = C a

Opmerking: Als een grootheid meer dan eenmaal in een formule voorkomt, mogen we in verband met een mogelijke afhankelijkheid deze regels niet zonder meer toepassen.Voorbeeld 16y= a a y y =2 a a

Het is duidelijk dat y = 1 en y = 0. De uitkomst is fout omdat y =a + a a + a = 1 f y= a a a a = 1 mogelijk zijn,

maar niet: y =

a a a + a

er is immers maar n grootheid a in het geding.

30

Voorbeeld 17y= a+b b y y = a a + b b

Men dient hier de formule te schrijven als: y = a/b + 1. Er volgt dan: .

2.6.2 Foutenberekening via toepassing van de totale differentiaalAls y = f(a, b, c, ..) dan geldt:y =

f a

a +

f b

b +

f c

c + ...

(2.23)

De fout (y) wordt hier gelijkgesteld aan de som van: de partile afgeleide van f naar a maal de fout in a (a) + de partile afgeleide van f naar b maal de fout in b (b) + de partile afgeleide van f naar c maal de fout in c (c). Deze formule is zeer geschikt voor het doorrekenen van systematische fouten.Voorbeeld 18

Hier wordt dus gebruik gemaakt van de partile differentiaal een eenvoudige berekening van de partile differentiaal: stel:y= ab c6

y x

. In dit voorbeeld volgt

dan geldt er:

y = ab c6

1

voor de berekening van de partile differentiaal stant zijn. Voor de berekening vany ab6

dy a

wordt verondersteld dat b en c con-

y b

en

y c=

worden a en c resp. a en b constant veron6

dersteld. Voor de partile differentialen volgt nu:= c ;

y b

=

a 6b c

5

en

y c

ab c2

2.6.3 De fouten voortplantingswet van Gauss bij statistisch genterpreteerde foutenintervallenAls y = f (a, b, c, ...) en enz. zijn bekend, dan geldt:S ny =

f S 2 + f S 2 + f S 2 + ..... an bn cn a b c

2

2

2

(2.24)

31

Voorbeeld 19: bepaling E via de fouten-voortplantingwet van Gauss Iemand wil de E-modulus van staal bepalen. Hij gebruikt de wet van Hooke: = E dus E =

Hij gebruikt een stalen staaf met rechthoekige doorsnede d x d = d2 met dikted = 10, 00 0, 05 mm, dus d d = 0, 005 = 0, 5%

Hij meet de lengte (L) en hij meet over die lengte (L) de verlenging (e) als er een kracht (F) wordt toegepast. Volgens de waarnemer was meetlengteL = 100, 0 0, 5 mm dus d d = 0, 005 = 0, 5% e e = 0, 01 = 1%.

Hij vindt voor de verlenging e een uitkomst 0,100 0, 001 mm dus De toegepaste kracht was F = (21, 0 0,1)103 N dusE=

F F

= 0, 005 = 0, 5%2

=

F/A e/ L

=

FL d e2

=

21, 0 10 103

2

Vervolgens moet E bepaald worden: E F 2 + E L2 + E d 2 + E e 2 = E = F L d e 10 0, 01 10 + 4, 4 10 0, 5 + 1764 10 0, 05 + 4, 4 10 10 =2 6 6 2 6 2 12 62 2 2 2

10 102

1

= 2,10 10 N / mm5

10 + 1,1 10 + 4, 4 10 + 4, 4 10 =6 6 6 6

10, 8 10 = 0, 03 10 N / mm6 5

2

dus E = (2,10 0,03) x 105 N/mm2 met

E E

= 1, 6% .

32

Voorbeeld 20: bepaling van E via totale differentiaalE= F .L d e2

= f ( F , L, d , e )

E F E L

=

L d .e F d .e2 2

=

2,10 x 10 21, 0 x 10 E L

5 3

= 10

neem aan dat L, d en e constant zijn= = = 2,10 x 10 1005

= 2,1 x 10

3

neem aan dat F, d en e constant zijnE 2 F L 2E 2 x 2,1 x 105 = 3 = = = 42 x 103 d .e d 10 d

neem aan dat F, L en e constant zijnE e= F L d .e2 2

=

E e

=

2,1 x 10 101

5

= 2,1 x 10

6

neem aan dat F, L en d constant zijn dus:E =

E F

f +

E L

L +

E d3

d +

E e

e =

10 x 0,1 10 + 2,1 10 x 0, 5 + 42 10 x 0, 05 + 2,1 10 x 10 =3 3 6

3

0,0110 5 + 0,01 10 5 + 0,02 10 5 + 0,02 10 5 = 0,06 10 5 N / mm 2

Voorbeeld 21: bepaling van E via de productregelE E = F F + L L + 2 d d + e e5

= 0, 005 + 0, 005 + 0, 01 + 0, 01 = 0, 03 = 3%

E = 0, 03 E = 0, 063 x 10 dus E = (2,10 0, 06) 10 N / mm5

2

Deze benadering geeft dus een wat grotere onzekerheidsinterval dan de foutenvoortplantingwet van Gauss.

33

34

3 Meetinstrumenten3.1 De schuifmaatBij de schuifmaat maken we gebruik van de gewone millimeterverdeling (1 schaaldeel = 1 sd = 1 mm) en van een nonius (of vernier). Zie figuur 3.1 en figuur 3.2.

1 outside jaws 2 inside jaws 3 depth bar 4 step surface 5 main beam 6 slider 7 main scale 8 nonius scale 9 clamp screw 10 reference surface

figuur 3.1

Schuifmaat

In figuur 3.2 zien we 10 noniusdelen (10 nd) op 9 schaaldelen (9sd). Dus 1 nd = 0,9 sd en 1 sd - 1 nd = 0,1 sd. De afleesfout is dan te schatten uit:afleesfout = 1 2 ( sd - nd ) = 1 2 10 (

1

sd ) = 0, 05 sd

(3.1)

Hebben we een nonius met 20 nd op 19 sd dan is 1 nd = (19/20).sd en is de afleesfout:afleesfout = 1 2 ( sd nd ) = 1 1 2 20

(

sd ) = 0, 025 sd

(3.2)

Meestal stelt men dat de meetfout tweemaal de afleesfout is. De reden is dat in gesloten stand de schuifmaat niet exact de waarde nul oplevert (en ook niet een afleesfout van nul geeft). Een lengte bepaling volgt dan uit L = (meting nulstand) met L = meetfout + meetfout = 2 maal meetfout.0 0 5 5 N 10 L 10 15 20 sd nd

sd-nd b. afleesfout nonius

(sdnd)

a. nonius

figuur 3.2

nonius en afleesfout

35

In figuur 3.2 vind je de nulwaarde van de nonius tussen de 5 en de 6 van de hoofdschaalverdeling. Het 4e noniusstreepje valt samen met een deelstreep van de hoofdverdeling. De aflezing wordt dan: (met 1 sd - 1 nd = 0,1 sd): 5 sd + 4 (1 sd - 1 nd) = 5 + 0,4 = 5,4 sd.Voorbeeld 22 Zie figuur 3.3. Hier gaat het om een schuifmaat met 20 nd op 39 sd.

Denk in gedachten tussen ieder noniusstreepje nog een extra deelstreep. Dan hebben we 40 nd op 39 sd, met1 nd = 39 40 sd = 0, 975sd en 1 sd 1 nd = 0, 025mm

Nu is dat extra streepje er echter niet, dus het getal achter de komma volgt uit het 1e noniusstreepje dat samenvalt met de mm-verdeling maal (nu) 2 x 0,025 = 0,05 mm. In figuur 3.3b valt het 3e noniusstreepje samen met de hoofdschaalverdeling, dus is de aflezing: A: 9 mm B: 3 x 0,05 = 0,15 mm + aflezing = 9,15 0,05 mm

a. nonius

b. meting

figuur 3.3 Voorbeeld 23

schuifmaat 20 nd op 39 sd

Zie figuur 3.4, het gaat om een schuifmaat met 50 nd op 49 sd, met1 sd 1 nd = 1 50 = 0, 02mm. De aflezing wordt dan:

1 nd =

49 50

sd .

A: 9 mm B: 13 x 0,02 = 0,26 mm Aflezing: 9,26 0,02 mm

+

36

a. de nonius

b. een aflezing

figuur 3.4

schuifmaat 0,02 mm

3.2 De schroefmicrometerBij gebruik houd je handvat C in je handpalm en neem je het proefstuk tussen A en A1. Je schuift A1 naar A toe door aan de knop K te draaien. De aflezing van schaal P geeft boven de getrokken lijn, in lengterichting, schaaldelen in mm, dus 1 sd = 1 mm. Onder de lijn staan streepjes die halve mm markeren. De trommels s en O draaien met K mee, evenals de trommel-schaal LM. De schaal LM is opgedeeld in 50 sd die nmaal geheel rond gaan als A1 een halve mm is verplaatst. Dit betekent dat 1 trommelschaaldeel = 0,5/50 = 0,01 mm. Een zeer geoefende waarnemer kan de trommelschaaldelen nog in tienden nauwkeurig aflezen. De meest nauwkeurige aflezing is dan in:1 10 1 50 1 2 = 10 -3 mm = 1 m

Meestal neemt men als afleesfout het dubbele, dus 0,002 mm. Bij een diktemeting geldt evenals bij de schuifmaat dat de uitkomst volgt uit: uitkomst = diktemeting - nulmeting. Dit brengt de absoluut mogelijke fout in een diktemeting op 0,002 + 0,002 = 0,004 mm.

A

A1 F P

S O L S C M O K

B

figuur 3.5

de schroefmicrometer

37

Voorbeeld 24 Zie figuur 3.6.

De aflezing is: hoofdschaal trommelschaal Aflezing

7 mm 0,370 mm 7,37 mm

+

L 1 sd = 0,01 mm draairichting

bij nauwkeurige aflezing 1 micron verschil

P

M hoofd as met schaalverdeling 1 sd = 1 mm

2 micron verschil

figuur 3.6

schroefmicrometer 0,01 mm

Voorbeeld 25 De schroefmicrometer met nonius (figuur 3.7). In dit geval vinden we 10 nd op 9 sd (van de trommelschaal). Nu is 1 sd van deze trom-

melschaal 0,01 mm dus 1 nd = De aflezing wordt dan: Hoofdschaal Trommelschaal nonius : 3 x 0,001 Aflezing

0, 09 10

= 0, 009 sd met 1 sdtrommel - 1 nd = 0,001 mm.

6 0,21 0,003 6,213

mm mm mm + mm

figuur 3.7

schroefmicrometer met nonius

38

3.3 De digitale voltmeterBij het experiment is de METRA Hit 12S in gebruik (zie figuur 3.8). Bij het meten van spanningsverschillen in gelijkstroom moet u knop 6 op V zetten. Hierdoor worden de twee linker stekkeringangen (7) geopend. U kunt hier nu bijvoorbeeld de stekkers van een thermokoppel of van een meetbeugel (zie respectievelijk paragraaf 3.4 en 3.5) in steken. Zet u knop 6 op en oC dan kunt u weerstanden meten. Door daarna op de gele knop 5 te drukken komt u in het (in geel aangegeven) oC domein terecht en kunt u met een speciale taster temperaturen meten, zie paragraaf 3.4. Volgens de fabrikant is de fout afhankelijk van het ingestelde meetbereik en van wat u meet (volts, Ohms, oC, etc.), zie tabel 3.1.tabel 3.1 fouten bij de digitale aflezing

Meetfunctie 30 mV 300 mV 3V 3 0 V o C

Fout opgegeven als (% aflezing + n digits) = intrinsic error (0,5 % + 3 digits) (0,5 % + 3 digits) (0,25% + 1 digit) (0,25% + 1 digit) 1%

Gevoeligheid 10 V 100 V 1 mV 10 mV 0,1 oC

Door achter elkaar op knop 4 (auto/man) te drukken kunt u de range instellen als u Volts of mV wilt meten. U ziet rechts op de display de letter V dan veranderen in mV. Als u door blijft drukken komt u weer in het V-bereik terecht, etc. Let er op dat u bij uw voltmetingen met gelijkstroom V bezig bent, dus rechtsboven in de display staat dan DC (= direct current).

39

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

LCD scherm ON / OF knop knop voor data opslag range selectie multi-functie knop schakelaar voor meet functies verschillende ingangen symbool voor continu aan digitaal display met weergave van decimaal punt en polariteit weergave van manuele range, data opslag en min/max data weergave van geselecteerde functie eenheid weergave buiten range weergave weergave van analoge indicatie schaal van analoge indicatie indicatie van negatieve analoge range overschrijding batterij indicatie zoemer bij indicatie eenheid weergave bij temperatuur indicatie

figuur 3.8

digitale voltmeter

3.4 De bepaling van de temperatuur: thermometer, thermokoppel en bimetaal3.4.1 De thermometerHierbij gaat het om vloeistof in glas meetinstrumenten (zie figuur 3.9). Er zijn diverse temperatuurschalen in gebruik. Het verband tussen F en oC is als volgt:o

F = 32, 0 +

9 5

o

C

(3.3)

Hoge precisie thermometers zijn af te lezen tot 0,05 oC. Ook geeft men bij dergelijke instrumenten wel een nauwkeurigheid van 0,15% van de volle schaal (f.s.). Voor gewone thermometers geldt een nauwkeurigheid van 1% van volle schaalaflezing.

40

veiligheidsreservoir

capillaire buis

stam

temperatuur sensor

figuur 3.9

Kwik in glasthermometer en verband tussen Kelvin, Celcius, Fahrenheit en Rankine schalen

3.4.2 Het bimetaalHet bimetaal (zie figuur 3.10) bestaat uit twee metaalstrookjes met verschillende thermische uitzettingscofficinten die op elkaar zijn geplakt.r

figuur 3.10

een bimetaal

3.4.3 (Elektrische) weerstand-temperatuurdetectorenBij elektrische geleiders is de weerstand (R) afhankelijk van de temperatuur (T). Men legt voor metalen het gedrag van zo'n geleider vast middels de temperatuurcofficint voor de weerstand (w):w =1 dR R dT ( C )o 1

(3.4) (3.5)

Voor grote temperatuurbereiken gebruikt men de relatie:R = Ro (1 + 1T + 2T + ...)2

41

tabel 3.2

Elektrische weerstandscofficint w

Metaal Nikkel Staal Aluminium Koper Platina

w (oC-1) 0,0067 0,002 tot 0,006 0,0045 0,0043 0,00392

Bij het practicum kunt u gebruik maken van alcohol- en kwikthermometers en van temperatuurtasters die u direct op de voltmeter kunt aansluiten.

3.4.4 De thermokoppelsHierbij maakt men gebruik van het ontstaan van een potentiaalverschil als twee vlakken van verschillende metalen elkaar raken. Er zijn vele thermokoppels op de markt. Het gaat hier om dunne metaaldraadjes van koper, staallegeringen, constantaan, platina, enz. Het spreekt vanzelf dat het uitgangssignaal afhangt van de 2 metalen die aan elkaar geknoopt zijn n van de temperatuur. Figuur 3.11 geeft een gebruikelijke meetopstelling.voltmeter metaal M1 metaal M1 T = meetpunt waar met de warme las de temperatuur wordt gemeten K = koude las in water met smeltend ijs, ter referentie.

T metaal M2

K

figuur 3.11

Thermokoppel circuit ter bepaling van de temperatuur T

Bij het practicum is een koperdraadje vastgeknoopt aan een koper-nikkel-legeringdraadje. We gebruiken bij het meten steeds twee thermokoppels. En las wordt gebruikt bij het meetpunt (T in de figuur) en de tweede thermokoppel wordt in smeltend ijs gehouden. Bij de opstelling van figuur 3.11 is er voor gezorgd dat de 2 takken die naar de voltmeter gaan van hetzelfde materiaal zijn. Er geldt bij benadering: (3.6) Hierbij is T1 de temperatuur van het meetpunt en T0 de temperatuur van (in het geval van figuur 3.11) smeltend ijs in water.output ( mV ) = C1 (T1 To ) + C 2 (T1 T0 ) + .......2 2

42

Bij het experiment meten we in het temperatuurbereik van 0 - 100 oC. In dit geval mag men nog uitgaan van een lineair verband tussen het ingang- en het uitgangsignaal: T = 0 + 1.x(3.7)

met T = temperatuur in oC en x = thermokoppel potentiaalverschil tussen metaal A en B in mV. De output van de thermokoppels kunt u tijdens het practicum opmeten met de digitale voltmeter. U moet wl het meetbereik handmatig instellen op mV.

3.5 De meetbeugelDe meetbeugel is een roestvaststalen strip die gebogen is in een U-vorm (zie figuur 3.12). Op positie A zijn aan twee kanten rekstrookjes geplakt. De meetbeugel wordt tussen twee nokken B en C geklemd. Deze nokken zijn op het proefstuk geplakt. Als het proefstuk vervormt, zal de meetbeugel mee vervormen, dus meer of minder uitbuigen. Het meetcircuit is gelijk aan de halve brug (van Wheatstone) bij buiging, zie paragraaf 4.3.A meetbeugel asjes met schroefdraad

vergrote meetbeugel

figuur 3.12

meetbeugelingang rekstrook meetversterker voor halve brug

uitgang

figuur 3.13 Front van kastje behorende bij de meetbeugel Bij de meetbeugel hoort een (voeding)kastje waarin meteen de versterker, de brug van Wheatstone en de voeding zijn opgenomen. Deze kastjes hebben een blauw frontplaatje, met tekst en stekkerbusjes zoals weergegeven in figuur 3.13. De stekkers van de meetbeugels worden op de ingangsbussen van de versterker z aangesloten, dat de kleuren van

43

de stekkers en bussen hetzelfde zijn, hierbij is D-G de voedingsspanning van de brug en F de meetspanning. De uitgangsgelijkspanning wordt gemeten met de universeelmeter METRAHit 12 S op het bereik -6 < Volt < +6. Het grote voordeel van een meetbeugel is dat u deze van het proefstuk kan verwijderen en dat u dus niet steeds rekstrookjes hoeft te plakken.

3.6 De LVDT (Linear Variable Differential Transformer)Bij dit instrument beweegt een metalen kern in een stelsel van spoelen. Het apparaat is als het ware een transformator met een uitgangsspanning die afhankelijk is van de verplaatsing van de kern ten opzichte van het spoelensysteem n van de grootte van de voedingsspanning (zie figuur 3.14).output voltage

secundaire spoel kern

verplaatsing primaire spoel

input voltage

figuur 3.14

schema van een LVDT

De LVDTs die bij het practicum gebruikt worden zijn van het type DC (gelijkspanning). Bij deze LVDTs zit een elektronische oscillator en demodulator ingebouwd. De LVDT moet worden aangesloten op een RS Power Supply (12 Volt 5 Volt). Deze verzorgt de voedingsspanning van de LVDT. De rode en zwarte banaanstekker van de LVDT worden aangesloten op de overeenkomstige bussen van een RS Power Supply. De uitgangsspanning wordt gemeten met de universeel meter METRAHit 12S op. De V kabeltjes van het uitgangssignaal worden in de voltmeter geplugd. Gebruik hier de groene en witte banaanstekkers voor. De stekkers hebben verschillende kleuren om te voorkomen dat de ingangsstekkers in de bussen voor het uitgangssignaal worden geplugd en omgekeerd. Een LVDT geeft in een beperkt domein een lineair verband tussen de verplaatsing van de kern en het aantal volts als uitgangssignaal, dus: Volt = a0 + b0 L met L = verplaatsing van het kernstaafje. Hier wordt dus niet een absolute fout bedoeld, maar een verplaatsing ter grootte L.

44

4 Het rekstrookje4.1 InleidingIn de civiele techniek speelt in veel gevallen de grootheid spanning een belangrijke rol. Vaak is het immers deze grootheid waaraan de bruikbaarheid van een constructie(deel) of de toelaatbaarheid van een belasting wordt beoordeeld. De grootheid spanning is in feite een hypothetische grootheid. De definitie van spanning impliceert namelijk een continue structuur van het materiaal, terwijl deze in werkelijkheid voor elk materiaal discontinu is. Ondanks deze toch wel sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid blijkt het spanningsbegrip voldoende mogelijkheden te bieden om het gedrag van materialen en van constructies op realistische wijze te kunnen beschrijven. Vervormingen tengevolge van een verandering van de spanningstoestand kunnen gemeten worden. Als voorbeeld kan dienen de prismatische staaf in figuur 4.1 Deze staaf met een dwarsdoorsnede A heeft in onbelaste toestand een lengte l en na het aanbrengen van een trekkracht N een lengte l.

figuur 4.1

een trekstaaf

Bij zeer goede benadering gedragen veel materialen zich lineair-elastisch. Er bestaat dan een lineair verband tussen de trekkracht N en de verlenging l = l - l:N= EA

(4.1)

In termen van spanningen ( = N/A ) en de rekken ( = l/l ) staat deze betrekking bekend als de wet van Hooke: = E.

(4.2)

Hierin is de elasticiteitsmodulus E een materiaalconstante. De rekmeting berustte in aanvang op het rechtstreeks meten van een lengteverandering en was, ondanks de vernuftige apparatuur die men in de loop der jaren hiervoor ontwikkelde, niet heel erg nauwkeurig. Pas in 1939 hebben Simons en Ruge het rekstrookje ontdekt. Dit maakt gebruik van de eigenschap dat de weerstand van een metalen elektrische geleider benvloed wordt door een mechanische belasting. Dit had Lord Kelvin reeds in

45

1856 ontdekt. Het mechanisch effect wordt dus met een rekstrookje omgezet in een elektrisch effect, wat veel nauwkeuriger te meten is.

4.2 RekstrookjesEen rekstrookje bestaat uit een drager van isolerend materiaal waarin (veelal opgevouwen) een elektrische geleider is ingebed. Er bestaan verschillende typen, zoals draadstrookjes, foliestrookjes en halfgeleiderstrookjes (figuur 4.2). Het geheel is zo geconstrueerd dat, wanneer een rekstrookje op de juiste wijze op een oppervlak is aangebracht, de geleider nauwkeurig de vervorming van dit oppervlak volgt.

figuur 4.2

voorbeelden van rekstrookjes

Voor de elektrische weerstand R [ , Ohm] van een geleider geldt:R= A

(4.3)

Hierin is l de lengte, A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede en de soortelijke weerstand. Om een indruk te krijgen van de grootte van volgen hieronder enkele waarden (bij kamertemperatuur):

Constantaan AluminiumKoper

= 49 108 m

= 2, 6 10 8 m = 1, 6 10 8 m

Als de temperatuur verandert, verandert ook de soortelijke weerstand . Voor constantaan is de temperatuurcofficint verwaarloosbaar klein (/ per graad Kelvin), namelijk 10-5K-1. Koper heeft een temperatuurcofficint die bijna 400 maal groter is. Bij het gebruik van rekstrookjes zal men rekening moeten houden met deze weerstandsverandering door temperatuurwisselingen.

46

In het lineair-elastische gebied van het geleidemateriaal blijkt een vrijwel lineair verband te bestaan tussen de weerstandsvariatie (R/R) en de rek ( = l/l ):R R =K = K

(4.4)

De evenredigheidsconstante K wordt door de fabrikant van de rekstrookjes opgegeven. Constantaan heeft een K-waarde van ongeveer 2,2.

4.3 Brug van Wheatstone4.3.1 InleidingEen rekstrookje is geen meetelement, bij vervorming verandert de weerstand en deze weerstandsverandering moeten we meten. Dit doen we door de rekstrookjes in een brug van Wheatstone te schakelen. De brug wordt naar Wheatstone genoemd als in de vier takken uitsluitend weerstanden zijn opgenomen (zie figuur 4.3).

figuur 4.3

brug van Wheatstone

Wanneer op de brugschakeling een voedingsspanning Uin wordt gezet, kunnen we met behulp van de wet van Ohm de waarden van de stromen I1 en I2 berekenen.I1 = U in R1 + R2

en

I2 =

U in R3 + R4

(4.5a; 4.5b)

De uitgangsspanning Uuit wordt met een zodanig hoge weerstand belast dat daar geen stroom doorgaat. Dat wil zeggen dat I1 door R2 gaat en I2 door R4. De spanningen over de weerstanden R2 en R4 bedragen dan:U 2 = I1 R2 = R2 R1 + R2 U in en U 4 = I 2 R4 = R4 R3 + R4 U in

(4.6a; 4.6b)

47

De uitgaande spanning is: ofwel:U uit = U 2 U 4 =

R2

R1 + R2R4

U in R3 + R4 R4

(4.7)

U uit U in

=

R2 R1 + R2

R3 + R4

(4.8)R1 R2 R3 R4

De brug is in evenwicht als U2 = U4, Uuit is dan nul en er geldt dan:

=

Stel dat R3 en R4 vaste weerstanden zijn met bekende waarden. Het quotint R3/R4 wordt de brugverhouding genoemd. Voor R2 nemen we een variabele weerstand met afleesbare waarde (weerstandsbank). R1 is een weerstand met een onbekende waarde, een (belast) rekstrookje. Door Uin aan te brengen en R2 zodanig in te stellen dat Uuit = 0, kunnen we R1 berekenen uit:R1 = R2 R3 R4

(4.9)

4.3.2 Kwart brugStel R1 is een rekstrookje dat op een materiaal is geplakt (zie figuur 4.4). In onbelaste toestand is de brug in evenwicht. Na het belasten van het materiaal is de weerstand R1 + R1proefstrook F R1 = actief rekstrookje F

figuur 4.4

kwartbrug: slechts 1 variabele weerstand

De uitgangsspanning wordt dan:U uit U in = R2 R1 + R1 + R2 R4 R3 + R4

(4.10)

Als alle vier de weerstanden dezelfde orde van grootte R hebben, dus: R1 R2 R3 R4, dan geeft dit: U uit R R1 R (4.11) = 1U in

( 2R

+ R1 ) 2 R

4R

Worden als brugweerstanden rekstrookjes opgenomen, dan zijn volgens formule 4.4 de weerstandsveranderingen evenredig met de rekken.R R = K

(4.12)

48

Door deze uitdrukking te substitueren in formule 4.11 ontstaat:1 = 4 U uit K U in

(4.13)

Dit voorbeeld, waarbij n rekstrookje (R1) belast is, noemen we een kwart brug. Om weerstandsveranderingen ten gevolge van temperatuurveranderingen te elimineren kan voor R3 een zelfde rekstrookje als R1 genomen worden. Dit identieke rekstrookje dient op een onbelast deel van het materiaal geplakt te worden dat in dezelfde fysische omstandigheden verkeert als R1 (zie figuur 4.5). De meting is dan temperatuur gecompenseerd.R1 = actief F F

dummy

R3 = passief

(spanningsloos) (zelfde materiaal) (zelfde temperatuur)

figuur 4.5

kwartbrug met temperatuur compensatie

4.3.3 Halve brugAls R1 en R2 beide op het belaste materiaal geplakt zijn, dan krijgen we als uitgangsspanning:U uit U in = R2 + R2 R1 + R1 + R2 + R2 R4 R3 + R4

(4.14)

Als alle vier de weerstanden dezelfde orde van grootte R hebben, dus: R1 R2 R3 R4, dan geeft dit:U uit U in =

( 2 R + R1 + R2 ) 2 R

R ( R2 R1 )

R2 R1 4R

=

1 4

K ( 1 + 2 )

(4.15)

Als R1 en R2 even groot zijn en hetzelfde teken hebben dan wordt het quotint nul. Zijn R1 en R2 in absolute waarde even groot, maar R1 is negatief, dan krijgen we:U uit U in = R 2R

=

2 U uit K U in

(4.16)

Dit voorbeeld waarbij twee rekstrookjes belast zijn, noemen we een halve brug.

4.3.4 Volle brugAls alle vier de weerstanden een verandering ondergaan geldt:U uit U in = R2 + R2 R1 + R1 + R2 + R2 R4 + R4 R3 + R3 + R4 + R4

(4.17)

49

Als alle vier de weerstanden dezelfde orde van grootte R hebben, dus: R1 R2 R3 R4, dan geeft dit:U uit U in 1 4R ( R1 + R2 + R3 R4 ) = K 4 ( 1 + 2 + 3 4 ) = 1 4 K m

(4.18)

Dit is de werkformule voor de brug van Wheatstone als rekmeter. Uit deze formule blijkt dat, wanneer voor alle vier de weerstanden in de brug rekstrookjes worden opgenomen, de rekwaarde m onafhankelijk is van de (voor alle rekstrookjes gelijk veronderstelde) weerstandsverandering door temperatuurwisselingen en de meting dus temperatuurgecompenseerd is. Door de schaal van de spanningsmeter zodanig te ijken, dat niet het gemeten spanningsverschil maar de rekwaarde m wordt afgelezen, werkt het instrument als een rechtstreekse spanningsmeter. Deze schakeling wordt de volle brug genoemd omdat alle vier de rekstrookjes een weerstandsverandering ondergaan. De gevoeligheid van een halve brug is tweemaal zo groot als die van een kwart brug en die van een volle brug tweemaal zo groot als die van een halve brug. De keuze voor soort schakeling hangt echter niet alleen af van de gevoeligheid maar ook van wat er gemeten moet worden.

4.4 MeetschakelingenDe rekmetingen worden verricht aan een (vlak) model dat is opgebouwd uit staven met een rechthoekige doorsnede. Figuur 4.6 toont een stukje van een staaf waarop ter plaatse van doorsnede I de rekstrookjes a, b en c zijn aangebracht, en ter plaatse van doorsnede II de rekstrookjes e en g. Voorts zijn er nog twee dummy rekstrookjes d.

figuur 4.6

aangebrachte rekstrookjes

50

figuur 4.7

rekverloop in doorsnede I t.g.v. N en M

De wijze van opleggen en belasten van het model is zodanig dat de staaf wordt belast in het (x-z)-vlak. Op grond van de hypothese van Bernoulli (vlakke doorsneden blijven vlak) is het rekverloop in een doorsnede in het algemeen geval lineair in z (zie figuur 4.7):( z ) = + z

(4.19)

is de rek van de vezel in de x-as; is de helling van het rekdiagram.

Is de staaf prismatisch en wordt de x-as gekozen in het normaalkrachtencentrum van de doorsnede, dan zijn de constitutieve betrekkingen:N = EA( T ) M = EI ( T )

(4.20) (4.21)

T en T karakteriseren het rekverloop T ten gevolge van een temperatuurverandering van de vezels wanneer de staaf vrij kan vervormen en dus spanningsloos blijft (N= 0 en M= 0). Dit is weergegeven in figuur 4.8a. Op grond van de kleine afmetingen en de goede warmtegeleiding wordt aangenomen dat overal in het model dezelfde temperatuur heerst. Een wijziging van de omgevingstemperatuur heeft dus slechts een gelijkmatige temperatuurverandering in model en dummy tot gevolg. Als de lineaire uitzettingscofficint is ondergaan alle vezels in dat geval een gelijke rek .T (zie figuur 4.8b), zodat geldt: T = .T en T = 0 .

figuur 4.8

rekverloop t.g.v. temperatuurverandering bij vrije staafvervorming

51

De constitutieve vergelijkingen worden nu:N = EA( T )

(4.22) (4.23)

M = EI

De waarden van , en .T kunnen worden gevonden uit de rekmetingen:= = a + c

2 a + ch

(4.24) (4.25)

De lengte veranderingen van de vezels ten gevolge van uitsluitend een temperatuurverandering is aan de dummy te meten: T = d

(4.26)

Voor had ook de rek in rekstrookje b kunnen worden aangehouden, ter hoogte van het normaalkrachtencentrum, maar dan had dit rekstrookje wel op precies de goede plaats moeten worden aangebracht. Het zal duidelijk zijn dat de meting volgens bovenstaande uitdrukking nauwkeuriger werkt en daarom de voorkeur verdient. Substitueer formule 4.24, formule 4.25 en formule 4.26 in formule 4.22 en formule 4.23 en voer in, het weerstandmoment W (formule 4.27),W = I 1 2 h

(4.27)

dan vindt men:N= 1 2 1 2 EA( a + c 2 d )

(4.28) (4.29)

M =

EW ( a + c )

Uit de meting van de rekken a, c en a kan rechtstreeks de grootte van de normaalkracht N en het buigend moment M (in doorsnede I) worden berekend.

4.5 NormaalkrachtTer bepaling van de normaalkracht N in doorsnede I zal men de rekstrookjes a en c als R2 en R3 opnemen in de brug van Wheatstone. Voor de overblijvende weerstanden R1 en R4 worden twee dummy rekstrookjes gebruikt (zie figuur 4.9). Volgens (4.18) (U uit U in = K 4 ( 1 + 2 + 3 4 ) = 1 4 K m ) wordt nu gemeten:

52

m = d + a + c d = a + c 2 d

(4.30)

en vindt men voor de normaalkracht volgens formule 4.31:N=

1 2

EA m

(4.31)

figuur 4.9

halve brug

Deze schakeling is een halve brug, een andere mogelijkheid voor het meten van de normaalkracht is een schakeling in de vorm van een kwart brug (zie figuur 4.10). Deze is echter twee maal minder gevoelig.

figuur 4.10

kwart brug

Volgens formule 4.18 wordt nu gemeten: m = d + a + d d = a d

(4.32)

en vindt men voor de normaalkracht:N = EA m

(4.33)

53

4.6 Buigend momentVoor het bepalen van het buigend moment in doorsnede I hoeft men in de brugschakeling alleen de weerstanden R1 en R2 (rekstrookje a en een dummy rekstrookje) om te wisselen, zie figuur 4.11.

figuur 4.11

halve brug

Men meet dan: m = a + d + c d = a + c

(4.34)

en vindt men voor het buigend moment M volgens formule 4.29:M=

1 2

EW m

(4.35)

Deze schakeling is een halve brug, een andere mogelijkheid voor het meten van het buigend moment is een schakeling in de vorm van een volle brug (zie figuur 4.12). De gevoeligheid van deze schakeling is tweemaal zo groot.

figuur 4.12

volle brug

Volgens de werkformule wordt nu gemeten: m = a + c + c a = 2 a + 2 c

(4.36)

en vindt men voor het buigend moment:M=

1 4

EW m

(4.37)

54

4.7 DwarskrachtVoor het meten van de dwarskracht maakt men gebruik van de uit het momentenevenwicht van een staafelementje afgeleide betrekking (zie: Toegepaste Mechanica , deel 1 Evenwicht - C. Hartsuijker):V = lim M xx 0

=

dM dx

(4.38)

De dwarskracht V kan men dus vinden als de helling van de momentenlijn. Als dus het buigend moment lineair verloopt tussen de doorsneden I en II, dan is in dat gebied de dwarskracht V constant en geldt:V= M x = M ( II ) M ( I )

(4.39)

waarbij l de afstand is tussen beide doorsneden. De weerstanden R1 t/m R4 worden in de brug van Wheatstone gevormd door de rekstrookjes bij resp. e, g, a en c. Dit is weergegeven in figuur 4.13.

figuur 4.13

meting voor dwarskracht

Overeenkomstig formule 4.29 geldt:M ( II ) M ( I ) =

1 2

EW

{(

e

+ g ( a + c ) =

)

}

1 2

EW e + g + a c

(

)

(4.40)

Volgens de werkformule meet men nu: m = e + g + a c

(4.41)

en levert de schakeling een methode om het momentenverschil en daarmee de dwarskracht te meten:V= M ( II ) M ( I ) =

1 EW 2 l

m

(4.42)

Als het buigend moment niet lineair verloopt tussen de doorsneden I en II is de dwarskracht niet meer constant. De dwarskracht, gemeten op de hiervoor beschreven wijze, geeft in het algemeen een goede benadering van de werkelijkheid, zolang de afstand x in figuur 4.13 voldoende klein wordt genomen.

55

4.8 Randapparatuur voor de rekstrookjes: de Peekel-kastBij de metingen worden rekstrookjes gebruikt die op een proefstuk zijn geplakt. Rekstrookjes zijn stukjes metaal waarvan de elektrische weerstand verandert als de rek verandert. Door deze rekstrookjes aan een stekkerdoosje (zie figuur 4.14) te verbinden, die is aangesloten op een voedings- en meetkast, kunnen de microrekken van deze strookjes afgelezen worden op de Peekelkast, figuur 4.15.D R E actief F actief of dummy R G R D-G voedingsspanning van de brug van Wheatstone E-F meetspanning F en F' doorverbinden bij 1/4 brug Dit kastje is via een kabel aangesloten op de ingangsplug aan de voorzijde van de Peekelkast. Op dit kastjes worden de rekstrookjes aangesloten. inplugpunt D G E F Halve brug rode stekker zwarte stekker niet gebruikt gele stekker

F

figuur 4.14

bovenaanzicht van het stekkerdoosje en schakelsysteem bij rekstrookproeven.

De gebruikte voedings- en meetkast is type CA 660 van het fabrikaat Peekel: de zogenaamde Peekelkast. Op het stekkerdoosje dat hierop aangesloten wordt is een grafische voorstelling van de Brug van Wheatstone aangebracht. Bovendien is een kleurcode op het doosje n op de stekkers aangebracht, zodat u de kwartbruggen n de halve brug zelf kunt samenstellen. Bij deze oefening worden alleen de halve bruggen gebruikt. Door de juiste stekkers in de juiste gaatjes te stoppen, schakelt u de weerstanden R1, R2, R3 en R4 op de juiste wijze aan en uit (zie ook figuur 4.14). De Peekelkast heeft een analoog uitgangssignaal met een (wijzer)schaal van 0 tot 100% (zie figuur 4.15). Rechts op het front zit een schakelknop Range. Als de Rangeknop op 100 staat, betekent dit dat (bij een kwartbrug met K = 2) bij een wijzeruitslag van 100% de rek gelijk is aan 100 . Als de Rangeknop op 1000 staat, geldt dat dan een 100% wijzeruitslag gelijk is aan 1000 . In formule: wijzeruitslag range 2 aantal = (4.43) 100 K is een correctiefactor. De grootte van de factor is gegeven in tabel 4.1.

56

input brug configuratie output

range selector calibratie knop power knop accu controle meter polariteit grove balans grove balans fijne balans

figuur 4.15 tabel 4.1

Peekelkast Overzicht correctiefactoren 1 1/(1+) *) 1/4

Brugtype: kwartbrug halve brug bij trekproef met 1 langs- en 1 dwarsstrookje halve brug bij buiging met 1 strookje op trek en 1 strookje op druk Volle brug bij buiging*)

= dwarscontractiecofficint

Links onder op de Peekelkast zitten knoppen waarmee u in onbelaste toestand de brug moet balanceren. Vrdat u gaat meten moet dus eerst de wijzer op nul staan. De meetfout volgt uit de afleesfout (aflees) n de nauwkeurigheidsspecificatie van het apparaat (specificaties). De afleesfout kan op 0,2 sd gesteld worden. Volgens de specificaties is specificaties = 1% van de volle uitslag.

57

Voorbeeld 26 Bepaling m.b.v. een rekstrookje met K-waarde = 2. Stel de rangeknop staat op 1000 en = 1 (dus kwartbrug). Er geldt dan bij volle uitslag ( wijzeruitslag = 100% ) range 100 1000100 sd 100 = 100 = 1000

1% van 1000 geeft = 10 De afleesfout ( )aflees = 0, 2 sd =

0, 2 1 1000 100

= 2 omdat 1 sd = 10

De absolute fout die we nu op het practicum aanhouden is dan = 10 .Voorbeeld 27 Bepaling als range = 100, K = 2 en = 1.100sd (volleuitslag ) wijzeruitslag range 100 100 = = 100 100 100

spec is 1% van 100 = 1

De afleesfout is: aflees = 0, 2 sd =

1 x 100 100

x 0, 2 = 0, 2 omdat 1 sd = 1

We houden dus aan: = 1 , aannemende dat bij de nulstelling geen fouten worden gemaakt.

58

5

Experimenten

In dit hoofdstuk worden alle te verrichten experimenten behandeld. Per experiment is het doel, de opdracht, de uitvoering van de opdracht en het beschikbare materiaal beschreven. Bij sommige experimenten zijn toelichtingen en bijlagen te vinden, die van nut kunnen zijn voor het beter begrijpen van het desbetreffende experiment. Aan het eind van iedere experimentbeschrijving zijn invulbladen te vinden, die gebruikt dienen te worden tijdens de practicummiddagen.

59

60

5.1 Mechanica Experiment5.1.1 Handleiding Experiment 1Met de theorie uit het eerste studiejaar kunnen eenvoudige statisch bepaalde constructies worden geanalyseerd. Hiervoor is een berekeningsmethodiek gepresenteerd voor buiging en extensie waarvan de modelvorming gebaseerd is op een aantal aannamen die in de boeken van Hartsuijker te vinden zijn.Doel Het doel van dit experiment is de buigingstheorie te valideren, gebruikmakend van een statisch bepaald spant. De werkelijke krachtsverdeling en vervorming van het spant wordt gemeten met behulp van rekstrookjes. Deze gemeten krachtsverdeling kan vervolgens vergeleken worden met de analytisch berekende waarde. Model In onderstaand figuur 5.1.1 staat een voorbeeld van een statisch bepaalde constructie waarin de krachtsverdeling gemeten kan worden. Hiervoor zijn langs de staven op verschillende plaatsen rekstrookjes bevestigd (figuur 5.1.2).

Figuur 5.1.1 driescharnierenspant

Figuur 5.1.2 foto van rekstrookjes

61

In dit experiment wordt geen gebruik gemaakt van een fysiek model. De meetopstelling wordt door een (Windows) computerprogramma gesimuleerd. Dit computerprogramma kan zowel thuis als op de faculteit gedownload worden vanaf Blackboard of van de onderstaande website: http://www.mechanics.citg.tudelft.nl/~wmn/edu/TUD_CT/software/experiment/ Installeer het programma op je eigen computer of laptop. Het programma kan niet worden genstalleerd op de onderwijscomputers op de faculteit maar kan in de COO-zalen wel vanaf een usb-stick worden gedraaid. In het computerprogramma wordt een tekening gegeven van het spant zoals dit gesimuleerd wordt. In totaal zijn er 3 verschillende spanten aanwezig in het programma. In de tekeningen van deze spanten zijn een aantal parameters weergegeven die van belang zijn voor het uitwerken van het experiment. De parameters zijn voor elke student verschillend.

A t/m E en S, (hoek)punten van de constructie (in model 1 bestaat punt E niet) a t/m f: afmetingen van de constructie (in model 1 en 4 bestaat f niet) bb en hh zijn de doorsnede afmetingen E is de elasticiteitsmodulus F is de puntlast op de constructie r1 t/m r4 zijn de locaties van de doorsneden waar de rekstrookjes zitten

Zoals gezegd zijn de locaties van de rekstrookjes vastgelegd met parameters r1 t/m r4. In deze doorsneden is aan de bovenkant, en aan de onderkant een rekstrookje bevestigd. In de meting die met het programma gedaan wordt worden dan ook voor elke doorsnede rekken aan de onder- en bovenkant van die doorsnede gegeven.Verslaglegging en assistentie Alle opgaven dienen op een verzorgde wijze, in de vorm van een verslag, ingeleverd te worden. Dit betekent niet dat alles uitgetypt dient te worden. Een net, handgeschreven verslag voldoet, en heeft de voorkeur. Bij het gebruik van Maple is een uitdraai van de maplesheet voldoende en hoeven de vergelijkingen niet helemaal overgetypt / overgeschreven te worden. Hierbij dient wel vermeld te worden dat het een compleet en duidelijk leesbaar verslag moet zijn! Voordat het verslag kan worden ingeleverd dient het compleet goedgekeurd te zijn door de studentassistenten. Van iedere student wordt verwacht dat zij zich eenmaal intekent op de lijsten bij de studentassistenten op kamer 6.68 om het uiteindelijke verslag van het experiment te laten goedkeuren. Wanneer er tussendoor vragen zijn of u wilt deelvragen laten aftekenen kunt u natuurlijk altijd langskomen of een afspraak maken door in te tekenen op de lijsten bij kamer 6.68.

Ervaring wijst uit dat het experiment nog wel eens moeilijkheden kan opleveren. Begin op tijd (minimaal twee weken voor de onderstaande inleverdatum!), ga met duidelijke vragen naar de studentassistenten (k6.68) en werk zorgvuldig! De deadline die je hieron-

62

der kunt vinden voor het inleveren van het verslag is een harde; Te laat is te laat en heeft de consequentie dat het vak volgend jaar over gedaan moet worden!Aansluiting Practicum CT2031 Dit Experiment wordt opgevolgd door het Matrixframe Practicum van het vak CT2031. Enkele resultaten die je gevonden hebt tijdens dit experiment heb je nodig bij dit practicum. De resultaten die je nodig zal hebben bij het volgende practicum moet je invullen op het resultatenformulier. Dit formulier is samen met het aftekenformulier te vinden bij deze opdracht. Bewaar dit formulier goed. Zonder dit formulier kun je niet beginnen aan het Matrixframe Practicum. Wanneer je geen formulier hebt, houdt dit in dat je de benodigde waarden opnieuw zult moeten uitrekenen! Voorkennis Bij dit experiment wordt uitgegaan van voorkennis die is opgedaan bij de volgende vakken: CT1031: Statica CT1041: Sterkteleer Inleverdata De actuele inleverdata per groep zijn te vinden op de Blackboard pagina van het vak CT2121 en op http://www.mechanics.citg.tudelft.nl/~studass/CT2121/inleverdata. Maple Het gebruik van Maple wordt ten zeerste aangeraden bij het uitwerken van het experiment. In Bijlage 5.1.2 (vanaf blz. 70) wordt een korte introductie gegeven voor het gebruik van Maple. Ook zijn er extra voorbeelden te vinden op: www.mechanics.citg.tudelft.nl/~studass onder het kopje extra informatie.

63

CT2121Naam Model:

EXPERIMENT 1ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER Studienummer Inleverdatum: Projectgroep

LET OP: NA HET JUIST INVULLEN VAN DE VERPLAATSINGEN BIJ ONDERDEEL 4 KRIJG JE EEN AUTORISATIECODE TE ZIEN. DEZE CODE IS SLECHTS 1 KEER ZICHTBAAR! SCHRIJF DEZE DAAROM DIRECT OP IN HET DAARVOOR BESTEMDE VAK HIERONDER!!Autorisatie code:

De ruimte hieronder niet beschrijven!Vraag 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 4.2 Paraaf Opmerkingen

64

De opdrachtDit experiment bestaat uit vier onderdelen:

ONDERDEEL 1: BEPALING EXACTE KRACHTSVERDELINGIn dit onderdeel moet een handberekening worden gemaakt waarbij gebruik gemaakt wordt van de kennis die is opgedaan bij CT1031. Dit zou geen problemen mogen opleveren. Mocht dit toch voorkomen fris je kennis dan weer eens op met Hartsuijker, Toegepaste Mechanica, Deel 1.

ONDERDEEL 2: BEPALING SPANNINGENIn dit onderdeel moeten voor een doorsnede het normaalspanningsdiagram en het schuifspanningsdiagram berekend en getekend worden. Hiervoor wordt verwezen naar Hartsuijker, Toegepaste Mechanica, deel 2, H4 en H5.

ONDERDEEL 3: HET EXPERIMENTIn dit onderdeel wordt het experiment gesimuleerd met behulp van het computerprogramma. Door de vragen een voor een netjes uit te werken is het mogelijk een experimentele krachtsverdeling te vinden. Aangeraden wordt om nog eens H4 uit Hartsuijker, Toegepaste Mechanica, Deel 2 door te lezen. Bij dit onderdeel moet je zelf de gemeten rekken om te zetten naar de vervormingsgrootheden van de doorsnede (nc en ).

ONDERDEEL 4: BEPALING VERVORMINGEN EN VERPLAATSINGENBij dit onderdeel wordt gekeken naar de theoretische vervormingen en verplaatsingen van het spant. De krachtsverdeling zoals die in onderdeel 1 is gevonden is dus de basis voor dit onderdeel. Er wordt alleen gekeken naar de vervormingen en verplaatsingen ten gevolge van buiging. Voor de bepaling van de verplaatsingen door buiging wordt verwezen naar: Hartsuijker, Toegepaste Mechanica, deel 2, H8 en voor informatie over de differentiaalvergelijking voor buiging wordt verwezen naar H8.2.

65

OpgavenIn onderstaande tekst wordt telkens aangegeven wanneer het programma benodigd is om gegevens in te voeren of op te zoeken. Het is de bedoeling dat in het verslag zowel de antwoorden op de onderstaande vragen als de antwoorden die in het programma moeten worden ingevoerd worden gepresenteerd.Onderdeel 1: Bepaling exacte krachtsverdeling Open het programma en voer je studienummer in, in het daarvoor bestemde invoerveld. Je krijgt nu links in beeld je parameters te zien. Voor een overzicht van de constructie waarvoor je de berekeningen moet uitvoeren kun je rechts op de knop view a drawing drukken (druk dit figuur af voor in je verslag en schrijf het modelnummer op het aftekenblad).

Gevraagd: 1.1 Bepaal de oplegreacties en teken deze zoals ze in werkelijkheid werken. Bereken tevens de krachten in het scharnier S (N, V en M). 1.2 Teken de momentenlijn voor de constructie.* 1.3 Teken de dwarskrachtenlijn voor de constructie.* 1.4 Teken de normaalkrachtenlijn voor de constructie.** Gebruik de juiste vervormingstekens!

NB: Maak duidelijke tekeningen en de schrijf de waarden bij alle karakteristieke punten erbij. Bewaar je verslag en hiermee ook deze resultaten goed. Bij het 2e jaars Matrixframe practicum in de 2e periode ga je met deze resultaten verder rekenen.

Onderdeel 2: Bepaling spanningen In dit onderdeel wordt gevraagd de spanningen in een bepaalde doorsnede te berekenen en te tekenen. Het profiel van de staaf is te vinden in de figuur die je door het programma hebt laten genereren, de maten bb en hh zijn parameters gegeven door het computerprogramma. Let goed op de richting waarin de dwarskracht werkt. Gevraagd: 2.1 Bereken en teken het normaalspanningsdiagram voor staaf BS bij B. 2.2 Bereken en teken het schuifspanningsdiagram voor staaf BS bij B. Integreer de oppervlakte van het diagram door gebruik te maken