dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20071

samenvatting week 3• vectoren:• inproduct: component langs de vector

geeft scalar. Dus b.v. energie: inproduct kracht en weg

• uitproduct: component loodrecht op beide vectoren geeft nieuwe vector. b.v. kracht: product snelheid en

magneetveld.

• vectorvergelijkingen: kunnen worden opgeschreven als vergelijkingen voor de afzonderlijke componenten dus: bij b.v. vallend

projectiel ontkoppelen de bewegingen in de x, y, en z richting!

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20072

Samenvatting week 3• bewegingsvergelijkingen in 3 dimensies:

plaats, snelheid, versnelling zijn allen vectoren. afgeleide van een vector naar een scalar is weer een

vector

• versnelling: zowel verandering van grootte als van richting snelheid.

• speciale voorbeelden: kogelbanen, circelbanen

x0( )t

0

0

0

x

O y

z

y0

0

0

0

ˆ ˆ ˆ

cos ( )

sin ( )

2;

ˆ

; ( )

x y z

z

r xe ye ze

x x r t

y y r t

z z

tT

e

v r a v r

r

sinr

v r

22

, sin

( )

sinsin

v r v r

a r

va r

r

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20074

samenvatting week 3• Newtons wetten:

eerste wet: inertial law. Eenparige rechtlijnige beweging bij ontbreken externe kracht.

tweede wet:

derde wet: actie is reactie.

• 4 fundamentele interacties: zwaartekracht electromagnetisme zwakke wisselwerking - deeltjesverval sterke wisselwerking - kernkrachten

• contactkrachten: normaalkracht, wrijving, veerkracht

• free body diagrams

m c

ext

dp dmvF ma

dt dt

, ,A B B AF F

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20075

Hondenslee race• kracht tuig: 150 N, hoek 25 graden t.o.v. ijs.• massa slee+passagier: 80 kg.

,

,

2

0

sin

sin 721

cos1.70

n

n x x

n y y

n

F w F ma

F w

F F w mg

F mg F N

F ma

m s

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20076

Bergbeklimmers• probleem met twee

objecten.• Free body diagram

voor ieder object.• massaloos,

wrijvingsloos touw.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20077

Bergbeklimmers1) maak diagram2) Tweede hoofdwet voor

Steve:

3) Tweede hoofdwet voor Paul:

2,x P x P xT m g m a

1,

, 0

x s x s x

n y s y

T m g m a

F m g

, ,

2, 1,

S x P x

x x

a a

T T

sinsin p sS S

P P P s

m mT m g m aa g

T m g m a m m

4) touw blijft strak:

5) Alles invullen:

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20078

gekromde beweging• Centripetale kracht :

component loodrecht op de bewegingsrichting.

• versnelling in circel: a=v2/r

2 2

2 2

pt tt p

pb bb p

F mgv va F m g

r m r

F mgv va F m g

r m r

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20079

Wrijving

• Statische wrijving: statische wrijving: kracht langs

oppervlak die beweging tegengaat (b.v. object liggend op een kleine helling).

,maxs s nf F

• Wrijving: noodzakelijk bij voortbeweging (lopen, rijden).

hangt af van normaalkracht op oppervlakte

(als je harder drukt op het oppervlak, wordt er meer wrijving uitgeoefend).

hangt af van de materiaalsoorten

• Hangt niet af van grootte oppervlakte!

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200710

kinetische wrijving• kinetische

wrijvingskracht :

langs oppervlak, tegen beweginsrichting in

onafhankelijk van de snelheid en van grootte oppervlak

kleiner dan de statische wrijvingscoefficient

k k nf F

r r nf F

• rollende wrijvingskracht remt wiel af

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200711

wrijvingscoefficienten

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200712

Wrijving• voorbeeld: slee

grootte wrijvingskracht als functie van de externe kracht langs het oppervlak

• gaat de slee glijden? 0.2

0.15

50

S

k

sleem kg

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200713

Voorbeeld: slee1. Free body diagram

2. Bereken Fn: 3. Bereken maximale

f

sinnF mg T

,max max max

max

( sin ) cos

110cos sin

s s

ss

f mg T T

mgT N

4. Als T>Tmax: glijden

2

( sin )

cos

60.1140

0.943

k k

x k

k

x

f mg T

F T f

f NT N m

as

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200714

Auto• aandrijving: typisch 2

wielen.• als banden niet slippen:

statische wrijving. Te veel gas: wielen spinnen, minder versnelling

• remmen: ABS: wiel slipt niet (dus blijft draaien)

• slippen: minder remkracht, geen controle richting auto.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200715

Drag: vloeistof en luchtweerstand

• drag: hangt af van vorm object hangt af van medium hangt af van snelheid.

• lage snelheid: lineair met snelheid• hoge snelheid: quadratisch met snelheid• vrije val: eindsnelheid “terminal velocity”

1/

ndrag

zw

n

eind

F bv

F mg

mgv

b

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200716

Luchtweerstand:• quadratische term domineert al vrij snel.• kleine objecten, lage snelheden: lineair.

b.v. bacterie in water. Stokes: viscose vloeistoffen:

• Lucht:

-3 6 5

6

Bacterie in water:

10 / , 10 , 10 /

0.2

d

d

F bv

b r

kg ms r m v m s

F pN

2

3

1ˆ

2: ongeveer frontaal oppervlak

: eenheidsloze constante: auto: 0.25-0.45. bol: 0.1

: dichtheid (~1.3kg/m )

d d

d

F v AC v

A

C

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200717

Arbeid en Energie• Arbeid:

inproduct: W is scalaire grootheid met eenheid Nm=J (energie)

als een kracht arbeid verricht, wordt er energie overgedragen.

vrij deeltje, constante kracht: kinetische energie

dl

W F x F dx

2

2

1

21

2

f i i

i

f i

F ma

x x v t at

x v t at

v vt

a

2

2 2

2

1 1

2 2

1:

2

f i f ii f i

f i

v v v vF x ma v a m v v

a a

T mv W F x T T

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200718

• een object opgetild houden: geen arbeid wel energie: op cellulair niveau wordt er wel arbeid

verricht en warmte geproduceerd.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200719

Voorbeeld in 1 dimensie• Vrachtwagen: 10 ton• Kraan: kracht 110 kN

omhoog• Afstand: 2m

2

22

220

196

23.8

223.8 2.18 /

1.19 /

1 41.83

2 1.19 /2.18 /

K

g

K g

f f f

K zw

W F x kNm

W F x mg x kNm

K W W kNm

K kNm v K m sm

ma F F a m s

mx a t t s

m sv a t m s

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200720

Integraal Fdx• Arbeid: oppervlakte onder de

curve van F als functie van x.

• Meer richtingen: integreer langs het pad en neem het inproduct van de kracht met de raaklijn langs de afgelegde weg.

f

i

x

x

W F ds

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200721

Voorbeeld: veer• 4 kg. blok• veerkracht:

• begin: -5cm, v=0• snelheid bij x=0?

, 400 /F kx k N m

0022

5 5

22 22 1 2 2

1 400 /0 0.05 0.5

2 2

10.5 0.25 0.5 /

2

N mW kxdx kx m J

mm v v J v m s

s

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200722

Kracht in 3 dimensies• Tangentiale component: inproduct, verricht

arbeid verandert de kinetische energie

• centripetale component: verandert de richting, maar niet de kinetische energie. Verricht geen arbeid.