Modelleren(en(Simuleren(((Opdracht(5(:(ISS(Docking(&(thruster(control(!

!!Een!belangrijke!fase!in!het!bevoorraden!van!het!ISS!ruimte!station!is!het!koppelen!van!het!ISS!met!het!bevoorradingsschip.!De!positie!van!het!bevoorradingsschip!xt!wordt!geregeld!met!behulp!van!thrusters.!De!thrusters!leveren!een!versnelling!at$.!De!positie!xt,!snelheid!vt!en!versnelling!at!verhouden!zich!als!! !!waarin!de!tijd!is!gediscretiseerd!in!stappen!t$=!0,1,2,,T.!Aangenomen!mag!worden!dat!de!positie!van!het!ruimteschip!ten!opzichte!van!het!ISS!constant!is!op!tijdstip!t0$(x0=0,$v0=0)!en!dat!docken!plaats!vindt!op!tijdstip!tT!waarbij!geldt!dat!!!xT$=!1,$vT$=$0!en$T$=!10.!!Doel!van!de!opdracht!is!om!de!versnelling!at!te!bepalen!waarbij!het!brandstofverbruik!van!de!thrusters!zo!klein!mogelijk!is.!!Hiervoor!zijn!drie!mogelijkheden.!De!eerste!mogelijkheid!is!het!minimaliseren!van!!! !!waarbij!het!totale!brandstof!gebruik!wordt!geminimaliseerd.!!!

xt+1 = xt + vt

vt+1 = vt + at

T1Xt=0

|at|

Niels Dekker

Een!tweede!mogelijkheid!is!het!minimaliseren!van!!! !!waarbij!de!maximale!thrust!wordt!geminimaliseerd.!!De!derde!en!laatste!mogelijkheid!is!het!minimaliseren!van!!! !!waarbij!zowel!de!totale!hoeveelheid!brandstof!als!de!maximale!thrust!wordt!geminimaliseerd.!!Opdracht!:!! 1) Formuleer!het!Linear!programming!probleem!2) Bereken!en!plot!xt$,$vt$,$at!voor!t=0,,T!waarbij!T=10!voor!de!gevallen!dat!a. Het!totale!brandstof!gebruik!geminimaliseerd!wordt!b. Het!maximale!brandstof!gebruik!geminimaliseerd!wordt!c. De!combinatie!van!het!totale!brandstof!gebruik!en!het!maximum!gebruik!geminimaliseerd!wordt.!3) Analyseer!de!resultaten.!!Bij!het!opstellen!van!het!Linear!programming!probleem!kan!gebruik!gemaakt!worden!van!de!hieronder!beschreven!mathematica!voorbeelden.!!

!waarbij!cc!een!constraint!vergelijking!wordt!in!de!vorm!

!!Het!gebruik!van!Table!voorkomt!het!invoeren!van!grote!hoeveelheden!vergelijkingen.!!!! !

maxt=1,. . . ,T1

|at|

T1Xt=0

|at|+ maxt=1,. . . ,T1

|at|

Een!tweede!voorbeeld!is!het!verwerken!van!absolute!waarden!in!de!objective!functie.!Het!optimalisatie!probleem!!! !!is!equivalent!aan!!

! !!hetgeen!makkelijk!in!te!zien!is!omdat! !het!kleinste!getal! !is!dat!voldoet!aan!!en! .!Het!laatste!voorbeeld!betreft!het!plotten!van!resultaten!verkregen!met!Minimize!!

!!Met!Append!en!Prepend!worden!elementen!voor!en!achter!een!lijst!toegevoegd!en!met!het!statement!Table!wordt!de!data!uit!de!data!vector!gereconstrueerd.!Merk!op!dat!de!ordening!in!dit!geval!x,v,a!en!z!is!en!dat!x2!dus!vier!elementen!na!x1!komt.!

MinimizenX

i=1

|xi|

Subject toAx b,

MinimizenX

i=1

zi

Subject toAx b,xi zi, i = 1, 2, . . . , n,

xi zi, i = 1, 2, . . . , n.|xi| zi

xi zi xi zi