8C120

InleidingMeten en Modelleren

8C120Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny

Faculteit Biomedische Technologie

Biomedische Beeld Analyse

www.bmia.bmt.tue.nl

8C120

De Meetcyclus

Object Signaal Meting Analyse Informatie

Control en/ofFeedback

8C120

De Meetcyclus: cardiofitness

HartElectrischepotentiaal

ECGFourieranalyse

Hartslag

Tempoaanpassen

8C120

Fourier series - properties

De Fourier series beschrijven niet alleen de functie g(t) op het interval [−p,p], maar ook de periodieke uitbreiding buiten [−p,p]

Definitie: T [s] is de periode van functie g(t) als geldt g(t+T) = g(t) voor iedere t

Frequentie f = 1/T [Hz = 1/s], Hoekfrequentie ω = 2f [rad/s]

8C120

Fourier series - properties

Voor een gegeven functie g(t) moeten we dus de Fourier series voor één periode berekenen

De beschrijving van een functie (of een signaal in de tijd) in termen van sinussen en cosinussen is van belang voor het begrip van de verwerking van het signaal door een “processing unit”

8C120

Fourier series - properties

In veel gevallen hebben we alleen de sinussen of de cosinussen nodig om een functie te beschrijven

Dit wordt bepaald door het feit of de functie even is of oneven (engels: odd)

Functie f(t) is even als f(−t) = f(t)Functie f(t) is oneven als f(−t) = −f(t)

Voorbeeld:cos is even, want cos(−t) = cos(t)sin is oneven, want sin(−t) = −sin(t)

8C120

Fourier series - properties

Eigenschappen voor even en oneven functies:

1. Product van twee even functies is even

2. Product van twee oneven functies is even

3. Product van een even en een oneven functie is oneven

4. Som (verschil) van twee even functies is even

5. Som (verschil) van twee oneven functies is oneven

8C120

Fourier series - properties

Eigenschappen voor even en oneven functies:

Als f(t) even:

Als f(t) oneven:

0

( ) 2 ( )

( ) 0

p p

p

p

p

f t dt f t dt

f t dt

8C120

Fourier analysis - interpretation

Een biologisch signaal g(t) begint op tijdstip t

= 0 en is vaak periodiek

Stel signaal heeft periode T:

g(t + nT) = g(t), voor n = 0,1,2,...

t=0 t=T t=2T

8C120

Fourier analysis - interpretation

Fourierreeks voor periodiek signaal g(t) met één

periode op het interval [a,b], periode T = b-a

8C120

Fourier analysis - interpretation

Eerste component (n=0): average of DC value

Tweede component (n=1): first harmonic of groundfrequencyFrequentie 1/T; hoekfrequentie 2π/T

Hogere componenten (n>1):second and higher harmonicsFrequentie n/T; hoekfrequentie: 2πn/T

8C120

Fourier analysis - interpretation

In het algemeen geldt:Bijdrage van hogere componenten wordt kleinerHoe steiler het signaal, hoe belangrijker de

hogere componenten

Componenten n>10 zijn meestal verwaarloosbaar

Maar niet altijd: Het aantal componenten wordt bepaald door:De steilheid van het signaalDe toepassing (gewenste nauwkeurigheid)

8C120

Fourier analysis - interpretation

8C120

Representing the Fourier series

Constructie van het Fourier spectrum op basis van de waarden voor a0, an, bn

Fourier spectrum of the amplitudes:Horizontaal: frequentie (f of ω)Verticaal: lengte (norm) van de vector (an,bn)

Fourier spectrum of the phase:Horizontaal: frequentie (f of ω)Verticaal: hoek Φn die de vector (an,bn) maakt:

tanΦn = bn/an

8C120

Representing the Fourier series

Lengte (norm) vector (an,bn):

Hoek Φn van vector (an,bn):

2 2| ( , ) |n n n na b a b

an

bn

Φn

tan nn

n

b

a

8C120College 4 8E020 Inleiding Meten 16

Estimating the Fourier series