Post on 22-Jul-2020
Lijnen en vlakken in Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2
2
1. Coördinaten in R³ ........................................................................................................ 3
2. De vergelijking van een vlak (1) ................................................................................. 5
3. De vectorvoorstelling van een lijn .............................................................................. 7
4. De vectorvoorstelling van een vlak ............................................................................. 8
5. Het inprodukt en normaalvectoren .............................................................................. 9
6. De vergelijking van een vlak (2) ............................................................................... 10
7. Middelloodvlakken ................................................................................................... 12
8. Het snijpunt van twee lijnen ..................................................................................... 14
9. Het snijpunt van een lijn en een vlak ........................................................................ 15
10. De snijlijn van twee vlakken ................................................................................. 17
11. Samenvatting......................................................................................................... 20
12. Oefenopgaven ....................................................................................................... 21
13. Antwoorden........................................................................................................... 23
3
1. Coördinaten in R³
1) De oorsprong O ( 0, 0, 0 ) en de punten A ( 4, 0, 0 ), C (0, 4, 0 ), D ( 0, 0, 4 )
zijn hoekpunten van de kubus OABC DEFG. a) Noem de coördinaten van
i) het punt G ii) het snijpunt van de diagonalen AC en OB. iii) het snijpunt van BG en CF. iv) het midden van het lijnstuk OF.
b) R is het punt (4, 0, 1 ). S is het snijpunt van de lijn DR met de x-as. Bereken de coördinaten van S.
c) Teken in de figuur alle punten P op de kubus waarvoor geldt: zP = 3. d) Arceer alle punten Q op de kubus waarvoor geldt: yQ = 4. e) Voor welke punten Q op de kubus geldt: yQ = 4 en xQ = zQ ?
4
2) Van de piramide T ABCD is het grondvlak ABCD een vierkant. Hoekpunten van het
grondvlak zijn A(5, 0, 0 ), B( 0, 5, 0 ), C ( −5, 0, 0 ) en T is het punt ( 0, 0, 7 ). a) Teken de piramide. b) Bereken de lengte van de ribben van het grondvlak en de lengte van de
opstaande ribben. c) Teken in de figuur alle punten P op de piramide waarvoor geldt: zP = 3. d) Voor welke punten Q op de piramide geldt: 7xQ +7yQ + 5zQ = 35?
3) De kubus hieronder heeft ribben met de lengte 4.
a) Bereken de afstand AD. b) Het punt (3, 0, p ) ligt op een afstand van 5 van D. Bereken p. c) Welk punt op de zijvlaksdiagvonaal CF ligt op een afstand 5 van de oorsprong?
5
2. De vergelijking van een vlak (1) STELLING: Een vlak in R³ kan aangegeven worden door de vergelijking ax + by + cz = d. Voorbeeld 1 Gegeven is vlak V: 12432 zyx . Bereken de coördinaten van de snijpunten van V met de x-as, de y-as en de z-as. Oplossing. Voor het snijpunt A met de x-as geldt: A = (p, 0, 0). Invullen levert op: 2p +3.0 + 4.0 = 12 dus p=6 en dus A = (6, 0, 0). Net zo vinden we B= (0, 4, 0) en C = (0, 0, 3) voor de overige twee snijpunten De driehoek ABC is een gedeelte van het vlak V.
4) Het vlak in het voorbeeld hierboven bevat het punt (1, 1, p) .
a) Bereken p. b) Voor het punt D op V geldt: xD = yD = zD. Bereken de coördinaten van D.
6
5) De kubus OABC DEFG hieronder heeft ribbe 6. a) Geef de coördinaten van F. b) Het vlak W heeft als vergelijking x + y + z = 9. K, L en M zijn de snijpunten van
W met de x-as, de y – as en de z-as. Bereken de coördinaten van deze punten. c) Teken het vlak W. d) Bereken de coördinaten van het snijpunt P van W met AE. e) Teken de doorsnede van het vlak W met de kubus. Deze doorsnede is een zeshoek
PQRSTU. f) Bereken de oppervlakte van PQRSTU.
7
3. De vectorvoorstelling van een lijn Voorbeeld 2 De kubus hieronder heeft ribbe 6.
Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn door R en K.
Methode: Bepaal een steunvector en een richtingsvector.
Antwoord: steunvector
0
3
6
OR en richtingsvector
1
1
2
ˆ3
3
6
RK
i. Dus de vectorvoorstelling is:
RR waarbij
1
1
2
0
3
6
:
z
y
x
RK.
AFSPRAAK: in het vervolg worden richtingsvectoren vereenvoudigd. Dit maakt de berekeningen eenvoudiger. 6) Zie de kubus hierboven.
a) Bereken de vectorvoorstelling van (vereenvoudig de richtingsvector): (1) .i. OE .ii. BE .iii. BD .iv. AK
b) De lijn AK bevat het punt ( 3, 3, q ) . Bereken q.
c) De lijn
pz
y
x
l 1
0
0
0
3
: snijdt het lijnstuk AK middendoor. Bereken p.
7) Gegeven is dat de lijnen
1
2
1
1
3
2
z
y
x
en
2
4
a
b
1
0
z
y
x
samenvallen.
Bereken a en b.
8
4. De vectorvoorstelling van een vlak
Voorbeeld 3 Gegeven zijn de punten P ( 2, 0, 2 ) , Q ( 2, 9, 8 ) en R ( −1, 7, 2 ). Gevraagd: een vectorvoorstelling van het vlak PQR. Methode: Bepaal een steunvector en twee richtingsvectoren.
Antwoord: steunvector
2
0
2
OP en richtingsvectoren
2
3
0
ˆ
6
9
0
PQ en
0
7
3
PR Dus de
vectorvoorstelling is: RR waarbij
0
7
3
2
3
0
2
0
2
:
en
z
y
x
PQR .
8) Bereken een vectorvoorstelling van het vlak door (vereenvoudig de richtingsvectoren) a) A ( 4, 5, 2 ) , B ( 5, 9, −8 ) en C ( 1, 0, 0 ).
b) A (5, 0, 3 ) en k:
1
2
1
0
3
1
z
y
x
c) k:
1
2
1
1
3
2
z
y
x
en m:
1
2
1
0
3
4
z
y
x
9
5. Het inprodukt en normaalvectoren
Definitie: Het inprodukt ),( ba van twee vectoren
3
2
1
a
a
a
a en
3
2
1
b
b
b
b is het
getal 332211 bababa .
STELLING: Als het inprodukt van twee vectoren gelijk is aan nul dan staan ze loodrecht. En andersom: voor loodrechte vectoren is het inprodukt gelijk aan nul. Ofwel:
baba
0),(
9)
a) Bereken het inprodukt van de vectoren
4
3
5
en
0
2
1
.
b) De vectoren
4
3
5
en
1
5
p staan loodrecht. Bereken p.
c) De vector
q
p
1
staat loodrecht op
1
1
0
èn
1
0
2
. Bereken p en q.
10) Een vector die loodrecht op een lijn staat heet een normaalvector van de lijn.
a) Geef twee normaalvectoren van de lijn .
7
6
10
2
0
3
:
z
y
x
l
b) Stel een vectorvoorstelling op van het vlak dat loodrecht staat op l dat gaat door A ( 2, −3, 7 ).
c) OB een normaalvector van l. Bereken p en Het punt B ( p, q, 0 ) ligt op een
afstand van 34 van de oorsprong O. Verder is q.
10
6. De vergelijking van een vlak (2) Definitie: Een normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht op het vlak staat.
STELLING:
c
b
a
is een normaalvector van het vlak V : ax + by + cz = d.
Voorbeeld 4
Bereken de vergelijking van het vlak V door A ( 1, 2, 3 ), B ( 1, 3, 0 ) en C ( 3, 2, 1 ).
Methode: Bereken eerst de normaalvector van V en daarna de vergelijking door één van de punten in te vullen. Voor de normaalvector geldt
q
p
ac
ab
c
b
a
nV
11
. De getallen p en q berekenen we door te gebruiken dat de
normaalvector loodrecht staat op AB en AC
Antwoord:
3
1
2
ˆ3
1
2
AB en
1
2
1
ˆ
2
4
2
AC
032
1
qp
q
pAB en 021
1
qp
q
pAC
Dit levert het stelsel:
12
23
qp
qp
Oplossen (met schoorsteenmethode) geeft: 7
5p en
7
3q
en dus
3
5
7
737
5
1
Vn en dus V : 7x + 5y 3z = d
Invullen van A ( 1, 2, 3 ) levert 7.1 + 5.2 3.3 = d dus d = 8 en
dus V : 7x + 5y 3z = 8
11
11) Gegeven is het vlak
1
0
2
1
1
0
0
1
0
:V z
y
x
.
a) Bereken een normaalvector van V. b) Bereken een vergelijking van V. c) Bereken de coördinaten van het snijpunt van V met de z-as.
12) Gegeven zijn A ( 0, 1, 1 ) , B ( −3, 1, 2) en C ( 2, 2, 1 ).
a) Bereken een vergelijking van het vlak V door A, B en C. b) Het punt ( p, p−1, 2p+3 ) ligt op V. Bereken p.
13) Zie de figuur hieronder. Geef een vergelijking van het vlak V dat de lijn
1
0
1
2
0
0
: z
y
x
l
bevat en evenwijdig is met de lijn
1
2
0
5
2
1
: z
y
x
m .
12
7. Middelloodvlakken DEFINITIE: Het middelloodvlak van een lijnstuk AB is het vlak door het midden van A en B
dat de vector AB als normaalvector heeft. (i) Notatie MLV(A, B)
STELLING: Het middelloodvlak van een lijnstuk AB bevat alle punten P waarvoor geldt: PA = PB.
Voorbeeld 5 Gegeven zijn de punten A ( 1, 4, 6 ) en B ( 3, 2, 6 ) Bereken een vergelijking van het middelloodvlak V van A en B.
Methode: AB is de normaalvector van V; het midden van A en B ligt op V. Antwoord:
0
3
1
ˆ0
6
2
ABnV en M = ( 2, 1, 6 ) dus V: x 3y = d
Invullen van M ( 2, 1, 6 ) levert 2 3.1 = d dus d = 1 en dus V : x 3y = 1
13
14) Bereken een vergelijking van het middelloodvlak van A( 1, 3, 4 ) en B ( 7, 9, 0 ).
15) De kubus OABC DEFG hieronder heeft ribbe 6. a) Stel een vergelijking op van het middelloodvlak V van O en F. b) Teken in de kubus de doorsnede van V en de kubus. c) Bereken de oppervlakte van de doorsnede.
14
8. Het snijpunt van twee lijnen Voorbeeld 6 Zie de kubus hieronder. Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen AK en CT. Oplossing:
Er geldt:
6 2
: 0 2
0 1
x
AK y
z
en
0 1
: 6 1
0 2
x
CT y
z
Dit levert het volgende stelsel:
6 2
2 6
2
Uit de tweede en derde vergelijking volgt met de schoorsteenmethode dat 12
5 en 6
5 .
Deze waarden voldoen ook in de eerste vergelijking. Er is dus een snijpunt S. Substitutie van 12
5 of 6
5 geeft S= 1 4 2
, ,5 5 5
1 4 2 .
16) Zie de kubus hierboven.
a) Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen DR en AG. b) Geef alle lichaamdiagonalen die de lijn OA kruisen. c) Geef alle zijvlaksdiagonalen die evenwijdig zijn met EG. d) Bereken de coördinaten van het snijpunt van de zwaartelijnen van ATG.
17) Gegeven zijn de lijnen
2
0
1
1
2
5
: z
y
x
l ,
1
1
2
4
3
5
: z
y
x
m
4
0
2
11
2
0
: z
y
x
n , en
3
1
0
1
1
1
: z
y
x
p .
Bepaal de onderlinge ligging en (zo mogelijk) de coördinaten van het snijpunt van: a. l en m b. l en n c. l en p d. n en m
15
9. Het snijpunt van een lijn en een vlak Voorbeeld 7
Bereken de coördinaten van het snijpunt S van
5
2
2
3 1-
1-
: z
y
x
l en V:
2423 zyx Oplossing: S ligt op l dus S= ),,( 52321 . Substitutie in de vergelijking van V geeft:
245223213 ).()().( . De oplossing hiervan is 2 . Dus S= (3, 1, 8) 18)
a) Bereken een vergelijking van het middelloodvlak V van A( 1, 3, 4 ) en B ( 7, 9, 0 ).
b) Bereken de coördinaten van het snijpunt van V en de lijn OA.
c) Bereken het snijpunt van
0
3
2
0
0
2
0
6
2
:W z
y
x
en de lijn AB.
19)
a) Onderzoek de onderlinge ligging van
1
2
3
0
0
1
: z
y
x
l en
1
1
0
1
0
1
1
2
2
:V z
y
x
. Kies uit: l snijdt V, l ligt in V en l is
evenwijdig met V. Verklaar je antwoord.
b) De lijn
0
p
1
0
5
p
: z
y
x
k ligt in W: (2 p)x py + (p 4)z = p.
Bereken p.
16
20) Gegeven zijn P ( 2, 2, 2 ) en
1
0
0
: z
y
x
l .
a) Bereken een vergelijking V van het vlak door P en l. b) Bereken een vectorvoorstelling van de lijn k die door P gaat en die de lijnen
1
0
0
: z
y
x
l en
0
0
1
3
3
0
: z
y
x
m snijdt.
21) Gegeven is het vlak
2
3
5
1
1
1
0
0
1
:V z
y
x
. De lijn k gaat door P( 0, 11, 3 )
en staat loodrecht op V. a) Bereken een vectorvoorstelling van k. b) Bereken het snijpunt S van k en V. ( Dit snijpunt heet de loodrechte projectie van
P op V) c) P wordt gespiegeld in V. Bereken de coördinaten van het beeldpunt.
22) Gegeven is het vlak V door de oorsprong, A (1, 0, 1 ) en B ( 1, 2, 0 ) en de lijn l door
de oorsprong en C (1, 2, 3 ). a) Bereken een vergelijking van V. b) Toon aan dat l niet loodrecht op V staat. c) Bereken de coördinaten van de loodrechte projectie van C op V. d) De lijn k bevat de oorsprong, ligt in V en staat loodrecht op l. Bereken een
vectorvoorstelling van k. e) Bereken een vergelijking van het vlak W dat de lijn l bevat en dat het vlak V
snijdt volgens een lijn die loodrecht op l staat.
17
10. De snijlijn van twee vlakken 23) De kubus OABC DEFG heeft ribbe 6. Teken bij elk onderdeel de genoemde vlakken
in een kubus hieronder. Noem hun snijlijn.
a)
6
12
y
zyx
b)
6
12
zx
zyx
c)
0
6
yx
zyx
d)
6
6
zyx
zyx
e)
62
02
zx
zy
18
Voorbeeld 8 Gegeven zijn 734 zyx:U en 1922 zyx:V . Bereken de vectorvoorstelling van de snijlijn k. Methode: Druk x, y en z uit in één variabele.
2
1
2
1 11151510
1
2
1922
734
zyzy
zyx
zyx
_________________
Substitutie in de eerste vergelijking geeft: zxzzx 31731142
1
2
1 .
Dus
zz
zy
zx
10
11
31
2
1
2
1
ofwel
1
1
3
0
1
1
2
1
2
1 z
z
y
x
. Een vectorvoorstelling van k is dus
2
3
6
0
1
1
2
1 z
z
y
x
.
24) Gegeven zijn U: x 2y + z = 1 en V: 2x + y 3z = 12.
a) Bereken een vectorvoorstelling van de snijlijn s van U en V. b) Bereken de coördinaten van het snijpunt van s en W: 7x + 3y - 5z = 21
25)
a) Gegeven zijn de vlakken U: 2x 3y + z = 12 en V:
3
1
0
1
1
2
0
0
5
z
y
x
. Bepaal
de onderlinge ligging van U en V. Kies uit: samenvallen, evenwijdig of snijden. Verklaar je antwoord.
b) De vlakken W1: 3x 2y + z = 2 en W2:
c
b
a
z
y
x
1
0
1
2
0
0 vallen samen.
Bereken a, b en c.
19
26) a) Bereken een vectorvoorstelling van de snijlijn k van U: 2x 3y + z = 12 en
V:
1
0
1
2
1
0
0
0
5
z
y
x
.
b) W is het vlak door de oorsprong en k. Bepaal een vectorvoorstelling van de snijlijn van U en W.
27) Bereken een vectorvoorstelling van de lijn l gegeven door de
vergelijkingen
52
32
zx
yx .
28) Gegeven zijn de punten A( 1, 0, 0) , B(1, 2,
−2) en C(−3, 0, 2). a) Zie de figuur. Bereken een vectorvoorstelling
van de snijlijn k van het middelloodvlak van het lijnstuk AB en MLV(A,C).
b) Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en het vlak ABC.
c) Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van A, B en C.
29) Gegeven is het vlak V: 2x y z = 6 en het punt M (1, 0, 0 ).
a) Zie de figuur. Het vlak V heeft precies één snijpunt P met een bol met middelpunt M. Bereken de coördinaten van P.
b) W is evenwijdig aan V en heeft ook precies één snijpunt met de bol. Bereken een vergelijking van W.
20
11. Samenvatting LOODRECHTE VECTOREN
baba
0),( 0332211 bababa waarbij
3
2
1
a
a
a
a en
3
2
1
b
b
b
b
NORMAALVECTOR
Een normaalvector Vn
van het vlak V : ax + by + cz = d is
c
b
a
.
BASISKENNIS
Vlakken: van vectorvoorstelling naar vergelijking Snijpunt lijn/lijn; lijn/vlak Snijlijn vlak/vlak middelloodvlak
21
12. Oefenopgaven 30) Gegeven zijn de punten A ( 3, 4, 1), B ( 6, 2, 1 ), en C ( 5, 2, 2 ).
a) Bereken een vergelijking van het vlak V door A, B en C. b) Geef een vergelijking van het vlak door D ( 4, 1, 0 ) dat evenwijdig is met V. c) Bereken de coördinaten van de loodrechte projectie van D op V..
31) Gegeven zijn A ( 1, 2, 3 ) en
1
1
2
0
1
2
: z
y
x
l .
a) Bereken een vergelijking van het vlak V door A en l. b) Bereken de coördinaten van het snijpunt van V en de y-as.
c) Het punt ( p, 5, p) ligt in het vlak W dat de lijnen l en
1
1
2
2
1
0
: z
y
x
m
bevat. Bereken p. 32) Gegeven zijn de punten A ( 3, 2, 6), B ( 1, −4, 2 ), en C (7, 0, 4 ).
a) Geef een vergelijking van de verzameling van de punten P waarvoor geldt: PA = PB.
b) Geef een vectorvoorstelling van de verzameling van de punten Q waarvoor geldt: QA = QB = QC.
c) Op het lijnstuk AB ligt een punt R zodat AR : RB = 3 : 1. Bereken de coördinaten van R.
33) Gegeven zijn de punten P( a − 1, 3, −5 ) en Q ( 0, 1, a ) en de lijn
2
0
3
1
2
4
: z
y
x
l . De
lijn l snijdt het lijnstuk PQ middendoor. Bereken a. 34) Van een piramide T ABCD is het grondvlak ABCD een vierkant met A (4, 4, 0 ) , B ( 4,
4, 0 ) , C ( 4, 4, 0 ) en D ( 4, 4, 0 ) als hoekpunten. De top is T ( 0, 0, 8 ).
a) Teken deze piramide. b) Toon aan dat BC in het vlak V: 2y 3z = 8 ligt. c) Bereken de coördinaten van de snijpunten P en Q van de ribben AT en DT met het vlak
V. d) Teken de doorsnede van V en de piramide.
e) De lijn
2
3
2
1
: ba
z
y
x
l ligt in V. Bereken a en b. Teken l.
f) Bereken de coördinaten van het snijpunt van l en de lijn PQ.
22
35) Gegeven zijn de vlakken
U:
1
1
0
0
0
1
2
0
0
z
y
x
, V:
1
1
1
1
1
2
0
0
2
z
y
x
en
W:
0
1
2
1
0
0
0
2
0
z
y
x
.
a) Toon aan dat de oorsprong een punt van V is. b) Toon aan dat U en V evenwijdig zijn. c)
i) Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van U en W. ii) Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van V en W.
36) De lijn
1
1
: a
z
y
x
l ligt in V:
1
0
3
5 a
a
z
y
x
. Bereken a.
37) In het vlak V:
2
3
1
4
0
3
0
3
2
z
y
x
ligt de lijn k die de z-as snijdt en die
evenwijdig is met het XOY-vlak. Bereken een vectorvoorstelling van k.
23
13. Antwoorden 1) a.i (0, 4, 4) ii. ( 2, 2, 0 ) iii. (2, 4, 2 ) iv. (2, 2, 2 ) b. 0,0,5
3
1 d. diagonaal CF
2) b. 5 2 , 74 d. Zijvlak ABT
3) a. 4 2 b. p= 0 of p = 8 c. 2
1
2
1 4,4,4
4) a. 3
41 b.
3
1
3
1
3
1 1,1,1
5) a. ( 6, 6, 6 ) b. K( 9, 0, 0 ); L ( 0, 9, 0 ); M( 0, 0, 9 ) d. P( 6, 0, 3 ) eii 27 3
6) ai
1
0
1
z
y
x ii
1
1
0
0
6
6
z
y
x iii
1
1
1
0
6
6
z
y
x iv
1
2
2
0
0
6
z
y
x
b. 1½ c. ½ 7) a = 2 en b = 1
8) a.
1
1
0
10
4
1
0
0
1
z
y
x b.
1
1
2
1
2
1
3
0
5
z
y
x c.
1
6
6
1
2
1
0
3
4
z
y
x
9) a. 1 b. 7 c. p = 2 en q = 2
10) a. bijvoorbeeld
6
7
0
en
0
5
3
b.
0
5
3
6
7
0
7
3
2
z
y
x
a) c. p = 3 en q = 5 of p = 3 en q = 5
11) a.
2
2
1
b. x 2y + 2z = 2 c. ( 0, 0, −1 )
12) a. x 2y + 3z = 1 b. 2 13) 2x + y + 2z = 4 14) 4x + 3y 2z = 26
15) a. x + y + z = 9 c. 27 3 16) a. ( 4, 2, 2 ) b. BD en CE c. AC d. ( 3, 3, 4 ) 17) a. snijden in ( 3, 2, 5 ) b. vallen samen c. kruisen d. snijden in ( 3, 2, 5 )
18) a. 4x + 3y 2z = 26 b. 3
2
3
2 34,26,8 c. ( 7, 9, 0 )
19) a. l ligt in V. b. p = 2
20) a. x y = 0 b.
5
1
1
2
2
2
z
y
x
21) a.
2
7
5
3
11
0
z
y
x
b. ( 5, 4, 1 ) c. (10, 3, 1 )
24
22) a. 2x + y + 2z = 0 c. 9
7
9
8
9
2 ,,1 d.
3
4
1
z
y
x
e. 9x +3y + z = 0
23) a.BG b. BG c. SF (S is het midden van het grondvlak) d. DF e. MN ( M is het midden van OA en N is het midden van EF)
24) a.
1
1
1
0
2
5
z
y
x
b. ( 1, 2, 4 )
25) a. evenwijdig b. a = 3
2, b = 2
2
1 en c = 2
26) a.
7
3
1
5
1
2
z
y
x
b.
7
3
1
5
1
2
z
y
x
27)
1
4
2
2
3
0
2
1
z
y
x
28) a.
2
2
1
3
5
0
z
y
x
b. 3
1
3
2
3
2 ,1,1 c. 10
29) a. P 3
2
3
2
3
1 ,,2 b. 2x y z = −2
ANTWOORDEN OEFENOPGAVEN
30) a. 2x + y + 2z = 8 b. 2x + y + 2z = 9 c. 9
2
9
8
9
7 ,,3
31) a. 6x 5y + 7z = 17 b. 0,3,05
2 c. 2
32) a. 2x + 3y + 2z = 7 b.
13
8
1
19
15
0
z
y
x
c. 3,2,02
1
33) 3 34) c. ( 8, 8, −8 ) en ( 8, 8, −8 ) e. a=3 en b=7 f. ( 10, 2, 4 )
35) ci.
1
1
2
0
2
0
z
y
x
ii.
1
1
2
0
0
4
z
y
x
36) a=0 of a=2
37)
0
6
5
6
0
0
z
y
x