Post on 16-Mar-2016
description
Herhaling richtingscoeumlfficieumlnt of helling van de lijn AB
yB
yA
0
y
x
∆x
∆y
∆yomhoog
∆xrechts
dus rc = ∆y ∆x
xA xB
A
B
yB ndash yA = ∆y
xB ndash xA = ∆x
121
xA a xB b
Differentiequotieumlnt
x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆ x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt is ∆y ∆x
is de gemiddelde verandering van y op [xA xB]
is rc of helling van de lijn AB
= =
yA
yBf(b)
f(a)
121
Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiek
vb s = -tsup2 + 10t
a) De gemiddelde snelheid op [25]
∆s 25 ndash 16
∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16
∆t 4 ndash 2
∆s 21 ndash 16
∆t 3 ndash 2
∆s 1875 ndash 16
∆t 25 ndash 2
b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de
rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
121
differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA
Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie
[ ]dy
dx x = xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A
- Helling van de grafiek in A
- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA
De GR bezit een optie om dydx te berekenen
121
Differentieumlren
Regels voor het differentieumlren
f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel
121
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt
of
f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt
Algemeen
f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))
x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)
121
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
xA a xB b
Differentiequotieumlnt
x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆ x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt is ∆y ∆x
is de gemiddelde verandering van y op [xA xB]
is rc of helling van de lijn AB
= =
yA
yBf(b)
f(a)
121
Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiek
vb s = -tsup2 + 10t
a) De gemiddelde snelheid op [25]
∆s 25 ndash 16
∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16
∆t 4 ndash 2
∆s 21 ndash 16
∆t 3 ndash 2
∆s 1875 ndash 16
∆t 25 ndash 2
b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de
rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
121
differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA
Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie
[ ]dy
dx x = xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A
- Helling van de grafiek in A
- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA
De GR bezit een optie om dydx te berekenen
121
Differentieumlren
Regels voor het differentieumlren
f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel
121
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt
of
f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt
Algemeen
f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))
x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)
121
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiek
vb s = -tsup2 + 10t
a) De gemiddelde snelheid op [25]
∆s 25 ndash 16
∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16
∆t 4 ndash 2
∆s 21 ndash 16
∆t 3 ndash 2
∆s 1875 ndash 16
∆t 25 ndash 2
b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de
rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
121
differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA
Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie
[ ]dy
dx x = xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A
- Helling van de grafiek in A
- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA
De GR bezit een optie om dydx te berekenen
121
Differentieumlren
Regels voor het differentieumlren
f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel
121
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt
of
f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt
Algemeen
f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))
x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)
121
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA
Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie
[ ]dy
dx x = xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A
- Helling van de grafiek in A
- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA
De GR bezit een optie om dydx te berekenen
121
Differentieumlren
Regels voor het differentieumlren
f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel
121
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt
of
f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt
Algemeen
f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))
x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)
121
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Differentieumlren
Regels voor het differentieumlren
f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel
121
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt
of
f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt
Algemeen
f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))
x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)
121
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Raaklijn en afgeleide
Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt
of
f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt
Algemeen
f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))
x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)
121
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Snelheid en afgeleide
O x
y
a
rc = f rsquo(a)
De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))
rc = snelheid = frsquo(a)
Je berekent de snelheid dus met de afgeleide
f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a
f(a)A
121
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
De afgeleide van y = axn
f(x) = ax3
f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
Algemeen geldt
k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn - 1
Oude exponent ervoor zetten
Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)
122
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 13
f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide
f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)
122
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1
a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of
omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
71
26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
radicx = x
radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen
ook geldt (a gt 0)
nn aa1
3
3
Machten met gebroken exponenten
qp
q p aa
28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Extreme waarden berekenen met de afgeleide
Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden
1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip
Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
122
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 21 a
0)(
4816)( 32
xfextreemvoorxx
xf
23
32
32
4816
4816
48160
xxxx
xx
315
300)3(16
048162
23
ynietvoldoet
xxxx
xx
2
24168)(xx
xf 21 24168)( xxxf
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 21 b
32
4816)(xx
xf
10)2(64)2(
848
416)2(
)2(48
)2(16)2( 32
ff
f
f
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 21 campd
32
4816)(xx
xf
6296527175
214
014432
014432
14432
43
43
y
x
xxx
xxf
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
3)3(
24)3(
168)( 2
adusxx
xf
Opgave 21 e
32
24168)(xx
xf
)3150(
)3153(
naarmoetdeze
Top
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn
Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten
123
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 24 a amp b
tttB 21
4)(
sec15470
13
2)3(
2dm
B
ttB 4
0)(max
tBimumvoor
0122)4(
14
2)4(
kloptdus
B
B
12)(
12)( 21
ttB
ttB
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven
informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden
123
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x
b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3
c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04
dl dx
dl dx
4
Ox
l
04
064
x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m
Voorbeeld
Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
opgave 33 O = x middot y
lengte = 4x + 2y
lengte = 400
O = x(-2x + 200)
O = -2x2 + 200x
= -4x + 200
= 0 geeft
-4x + 200 = 0
-4x = -200
x = 50
Uit de schets volgt dat
O maximaal is voor x = 50
x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100
De afmetingen zijn 100 bij 50 meter
Ox
O
50
4x + 2y = 400
2y = -4x + 400
y = -2x + 200
dO dxdO dx
123
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel
K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050
K = 075x2 + xh
I = x2 h
I = 12
b) K = 075x2 + 12x-1
geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash
= 0
geeft 15x - = 0
15x =
15x3 = 12
x3 = 8
x = 2
Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2
x = 2 geeft h = = 3
Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal
x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot
K = 075x2 + 12 x2
12 x2
12 x
dK dx
dK dx
12 x2
12 x2
12 x2
12 22
x
K
2
123
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Marginale kosten
De marginale kosten MK
bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK
dq
124
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =
De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt
Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor
GW = en GR =
GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt
K q
W q R q
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
opgave 51
a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar
b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos
Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar
c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar
d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad
Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar
e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks
Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro
Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro
20 2
720 2
180 2
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
De kettingregel
Kettingregel
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie
y = f (x) als volgt te werk
bull Schrijf f als een ketting van twee functies
bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide
bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x
dy dy dudx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de
schakels
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
vb kettingregel
xxx
xxxdxdu
dudy
dxdy
50304
)52()5(223
2
dy dy dudx du dx
234
22
2510
)5()(
xxx
xxxf
xxxxf 50304)( 23 u
dudy 2
2uy
52 xdxdu
xxu 52
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 59a
6)52(3 xy
5)52(36 xdxdy
dy dy dudx du dx
2)52(18 5
xdxdy
dxdu
dudy
dxdy
518ududy
63uy
2dxdu
52 xu
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 59f
23 xy
23 x
xdxdy
dy dy dudx du dx
xxdx
dydxdu
dudy
dxdy
2321
2
uu
dudy
21
21 2
1
2
1
uy
xdxdu 223 xu
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 62 a
101000 3 qTK
dqdTKMK
21
3 )10(1000 qTK
21
500
ududy
23 qu
21
1000uy
103 qu
101500
3
2
q
qdq
dTK
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren
Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR
10
1500)302(7003
2
q
qqdqdW
101000)7030(700 32 qqqW
0dqdW
411
10
1500)302(7003
2
1
qgeeftzerooptie
q
qqy
GRinInvoeren