overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal

laagste punt

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen.

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen

hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen

hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top v.d. grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

pos.

pos.

Hellinggrafieken schetsen

6.1

a x < -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op ⟨ , -3 ⟩

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op ⟨ -3 , 0 ⟩d hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 4

6.1

m.b.v. GRTI MATH – MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN – CALC – menuoptie d/dxvb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8

en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)

of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)

Hellinggrafiek plotten

6.1

[ ]

a voer in y1 = -0,1x³ + x² - 2x + 5

en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)

of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)

kies Xmin = -2 , Xmax = 10 , Ymin = -10 , Ymax = 10

b helling = = y2(7) = -2,7

y

xO

helling

xO

dalend

top

0 0

top

dalend

stijg

end

top

dydx

x = 7

opgave 7

a voer in y1 = (5x² - 38)/(x² + 4)

en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)

of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)

kies Xmin = -5 , Xmax = 5 , Ymin = -10 , Ymax = 5

b voer in y3 = 3

optie intersect met y2 en y3 geeft

x ≈ 0,458 en x ≈ 2,354aflezen helling > 3 voor 0,458 < x < 2,354

y

xO

O x

helling

3

0,458 2,354

opgave 9

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctie.i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie : f’ (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x :- de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt

3.4

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x, x + h ] , dus naar

∆y ∆x

=f(x + h) – f(x)

=x + h - x

f(x + h) – f(x) h

Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft

f(x + h) – f(x) h een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f

in het bijbehorende punt.

O x x+h x

yf(x+h)

f(x)h

f(x+h) – f(x)

O x x+h x

y

f(x+h)f(x)

h

f(x+h) – f(x)h klein

f(x + h) – f(x) h

de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide f’(x)

de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is

f’(x) = lim f(x + h) – f(x) h h 0 3.4

1242)( 2 xxxf

h

xxhxhx

hx

y

h

xfhxf

hx

y

)1242()12)(4)(2(

0

lim

)()(

0

lim

22

h

xxhxhhxx

hx

y 12421244)2(2

0

lim 222

h

hhhx

hx

y

h

xxhxhhxx

hx

y

424

0

lim

12421244242

0

lim

2

222

4240

lim

hxhx

y

44

xx

y

Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :

Bij een functie hoort een hellingfunctie.i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax

De afgeleide functie

6.2

f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van differentiëren

opgave 14a

6.2

h(x) = 5(x – 3)² + 5(x – 1) + 8h(x) = 5(x – 3)(x – 3) + 5x – 5 + 8h(x) = 5(x² - 6x + 9) + 5x + 3h(x) = 5x² - 30x + 45 + 5x + 3h(x) = 5x² - 25x + 48h’(x) = 2 · 5x – 25h’(x) = 10x - 25

opgave 15c

k(x) = -3(x – 1)(5 – 2x) – 8(x – 7)k(x) = -3(5x – 2x² - 5 + 2x) – 8x + 56k(x) = -15x + 6x² + 15 – 6x – 8x + 56k(x) = 6x² - 29x + 71k’(x) = 2 · 6x – 29k’(x) = 12x - 29

opgave 15d

f(x) = ax3

f’(x) = 3ax²g(x) = ax4

g’(x) = 4ax3

h(x) = ax5

h’(x) = 5ax4

algemeen geldt:k(x) = axn

k’(x) = n · axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3)

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = 5x4 – 3x3 + 2xf’(x) = 4 · 5x3 – 3 · 3x2 + 2f’(x) = 20x3 – 9x2 + 2

opgave 17a

g(x) = 7(3x – 2)(x² + 2x)g(x) = 7(3x3 + 6x2 - 2x2 – 4x)g(x) = 21x3 + 42x2 – 14x2 – 28xg(x) = 21x3 + 28x2 – 28xg’(x) = 3 · 21x2 + 2 · 28x – 28g’(x) = 63x2 + 56x - 28

opgave 18b

h(x) = 3px8 – px4

h’(x) = 8 · 3px7 – 4 · px3

h’(x) = 24px7 – 4px3

opgave 18d

Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoff’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt.

algemeen:f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f’(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

6.3

a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4xstel k : y = ax + bxA = 4

a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8dit geeft k : y = 8x + by = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2

dus k : y = 8x - 30

2 = 8 · 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 20

6.3

b stel m : y = ax + bxB = -1

a = f’(-1) = 1,5 · (-1)2 – 4 · -1 = 5,5dit geeft m : y = 5,5x + by = f(-1) = 0,5 · (-1)3 – 2 · (-1)2 + 2 = -0,5

dus m : y = 5,5x + 5

-0,5 = 8 · -1 + b-0,5 = -5,5 + bb = 5

opgave 20

a h(x) = (x – 1)(x – 4)h(x) = x2 – 4x – 1x + 4 h(x) = x2 – 5x + 4h’(x) = 2x - 5stel k : y = ax + bxA = 6

a = h’(6) = 2 · 6 - 5 = 7dit geeft k : y = 7x + by = h(6) = 5 · 2 = 10

dus k : y = 7x - 32

10 = 7 . 6 + b10 = 42 + bb = -32

opgave 23

b stel m : y = ax + bde grafiek h snijdt de y-as in punt B xB = 0

a = h’(0) = 2 · 0 - 5 = -5dit geeft m : y = -5x + by = f(0) = 4B(0, 4)dus m : y = -5x + 4

opgave 23

c de grafiek h snijdt de x-as y = 0h(x) = 0 (x – 1)(x – 4) = 0

x = 1 ⋁ x = 4 stel de raaklijn in (1, 0) is m : y = ax + ba = h’(1) = 2 · 1 – 5 = -3dit geeft n : y = -3x + b (1, 0)dus n : y = -3x + 3

stel de raaklijn in (4, 0) is p : y = ax + ba = h’(4) = 2 · 4 – 5 = 3dit geeft p : y = 3x + b

(4, 0)dus p : y = 3x - 12

0 = -3 · 1 + bb = 3

0 = 3 · 4 + bb = -12

opgave 23

Teken f(x) = x² - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eén van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is B.Bereken de coördinaten van Brc = 2 dus f’(xB) = 2

xB berekenen

f’(x) = 2 oplossenf’(x) = 2x – 3f’(x) = 2

xB = 2,5

yB = f(2,5) = -0,25

B(2,5; -0,25)

2x – 3 = 22x = 5x = 2,5

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B●

x

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient

6.3

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

x

f(x) = -x² + 2x + 3a rcraaklijn = 4

dus f’(x) = 4f’(x) = -2x + 2

xA = -1

yA = f(-1) = 0

A(-1, 0)b k : y = -6x + 8

rcraaklijn = -6

dus f’(xB) = -6

f’(x) = -2x + 2

xB = 4

yB = f(4) = -5

B(4, -5)

-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1

A●

f

k

-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4

opgave 25

6.3

a f(x) = -x³ + x² + 1f’(x) = -x² + 2xstel l : y = ax + bxA = 3

a = f’(3) = -3² + 2 · 3 = -3l : y = -3x + bf(3) = 1

dus l : y = -3x + 10b rcm = rcl = -3 f’(x) = -3

-x² + 2x = -3x² - 2x – 3 = 0(x + 1)(x – 3) = 0x = -1 v x = 3xB = -1

yB = 2

1 = -3 . 3 + b1 = -9 + bb = 10

m : y = -3x + b B(-1, 2 )

dus m : y = -3x -

2 = -3 · -1 + b2 = 3 + bb = -

opgave 27

werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden

1 Bereken f’(x)2 Los algebraïsch op f’(x) = 03 Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …

raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide

6.3

f(x) = x³ + 3½x² + 10x + 5f’(x) = x² + 7x + 10f’(x) = 0 geeftx² + 7x + 10 = 0(x + 2)(x + 5) = 0x = -2 ⋁ x = -5voer f in op je GRoptie maximummax. is f(-5) = enoptie minimum min. is f(-2) = -3 O-2-5

x

y

●

●

opgave 30a

a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10f’(x) = -3x² - 6x + 24f’(x) = 0 geeft-3x² - 6x + 24 = 0x² + 2x – 8 = 0(x + 4)(x – 2) = 0x = -4 ⋁ x = 2voer f in op je GRoptie minimummin. is f(-4) = -70optie maximummax. is f(2) = 38

b f(x) = -50 3 oplossingeny = -50 snijdt de grafiek van f 3 keerf(x) = 50 1 oplossingy = 50 snijdt de grafiek van f 1 keer

O 2-4x

y

●

●

-50

50

c f(x) = p 3 oplossingen-70 < p < 38

d f(x) = p 1 oplossingp < -70 ⋁ p > 38

-70

38

opgave 32

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:• Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?• Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?• Bij welke route horen de laagste kosten ?

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

6.4

a stel AD = xCD + 2x = 40CD = 40 – 2xO = AD · CDO = x(40 – 2x)O = 40x – 2x²

b = 40 – 4x

= 040 – 4x = 0-4x = -40x = 10AD = 10 m.CD = 40 – 20 = 20 m.

dO dx

dO dx

Ox

O

10

200

opgave 35

6.4

Extra opgaveDe totale lengte van het hekwerk is 160 meter.

Druk de oppervlakte van het perceel uit in x?

Voor welke x is de oppervlakte van het grasland maximaal?

a 4 · lengte + 4 · hoogte + 4 · breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 – 5x

b I = l · b · hI = 4x · x · (3 – 5x)I = 4x²(3 – 5x)I = 12x² - 20x³

c = 24x – 60x² = 024x – 60x² = 012x(2 – 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 – 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 0,4

dl dx

dl dx

:4

Ox

l

0,4

0,64

x = 0,4 lmax = 0,64 m³

bij x = 0,4 hoort h = 3 – 5 · 0,4 h = 1 m.

opgave 42

y = 9 - x²op de parabool ligt punt P met xP = p

PQ = yP

PQ = 9 - p²O(∆OPQ) = ½ · OQ · PQO(∆OPQ) = ½p · (9 - p²)O(∆OPQ) = 4,5p – 0,5p³ = 4,5 – 1,5p²

= 04,5 – 1,5p² = 0-1,5p² = -4,5p² = 3p = √3 ⋁ p = -√3

yP

dO dpdO dp

Omax = 4,5 · √3 – 0,5 · (√3)³

Omax = 4,5√3 – 0,5 · 3√3

Omax = 4,5√3 – 1,5√3 = 3√3

Op

O

√3

3√3

opgave 44

f(x) = 1 - x²g(x) = 1 - x³verticale lijn : x = pO = O(∆OPR) – O(∆OPQ)O = O(∆OQR)O = ½ · OP · QRO = ½ · p · ((1 - p³) – (1 - p²))O = ½p(p²- p³)O = ½p³ - ½p4

= 1½p² - 2p³

= 01½p² - 2p³ = 0p²(1½ - 2p) = 0p = 0 ⋁ 1½ - 2p = 0

dO dp

dO dp

p = 0 ⋁ 2p = 1½p = 0 ⋁ p = ¾O is maximaal voor p = ¾

Op

O

¾

0,05

1

opgave 45