Herhaling richtingscoeumlfficieumlnt of helling van de lijn AB

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

B

yB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

121

xA a xB b

Differentiequotieumlnt

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆ x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x

is de gemiddelde verandering van y op [xA xB]

is rc of helling van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

121

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiek

vb s = -tsup2 + 10t

a) De gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16

∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16

∆t 4 ndash 2

∆s 21 ndash 16

∆t 3 ndash 2

∆s 1875 ndash 16

∆t 25 ndash 2

b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de

rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

121

differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dx x = xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A

- Helling van de grafiek in A

- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

121

Differentieumlren

Regels voor het differentieumlren

f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

121

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt

of

f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt

Algemeen

f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)

121

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

xA a xB b

Differentiequotieumlnt

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆ x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt is ∆y ∆x

is de gemiddelde verandering van y op [xA xB]

is rc of helling van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

121

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiek

vb s = -tsup2 + 10t

a) De gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16

∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16

∆t 4 ndash 2

∆s 21 ndash 16

∆t 3 ndash 2

∆s 1875 ndash 16

∆t 25 ndash 2

b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de

rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

121

differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dx x = xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A

- Helling van de grafiek in A

- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

121

Differentieumlren

Regels voor het differentieumlren

f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

121

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt

of

f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt

Algemeen

f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)

121

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Snelheid en richtingscoeumlfficieumlnt

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiek

vb s = -tsup2 + 10t

a) De gemiddelde snelheid op [25]

∆s 25 ndash 16

∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16

∆t 4 ndash 2

∆s 21 ndash 16

∆t 3 ndash 2

∆s 1875 ndash 16

∆t 25 ndash 2

b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de

rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

121

differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dx x = xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A

- Helling van de grafiek in A

- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

121

Differentieumlren

Regels voor het differentieumlren

f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

121

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt

of

f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt

Algemeen

f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)

121

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

differentiaalquotieumlnt dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dx x = xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A

- Helling van de grafiek in A

- Snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

121

Differentieumlren

Regels voor het differentieumlren

f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

121

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt

of

f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt

Algemeen

f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)

121

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Differentieumlren

Regels voor het differentieumlren

f(x) = a geeft f rsquo(x) = 0f(x) = ax geeft f rsquo(x) = af(x) = axn geeft f rsquo(x) = n middot axn-1 voor n = 23hellipf(x) = c middot g(x) geeft f rsquo(x) = c middot grsquo(x)f(x) = g(x) + h(x) geeft f rsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x) somregel

121

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt

of

f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt

Algemeen

f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)

121

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Raaklijn en afgeleide

Je weet dat de afgeleide f rsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt

of

f rsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt

Algemeen

f rsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a f(a))

x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f rsquo(xA)

121

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Snelheid en afgeleide

O x

y

a

rc = f rsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))

rc = snelheid = frsquo(a)

Je berekent de snelheid dus met de afgeleide

f rsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a

f(a)A

121

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

De afgeleide van y = axn

f(x) = ax3

f rsquo(x) = 3axsup2g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

Algemeen geldt

k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn - 1

Oude exponent ervoor zetten

Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3)

122

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 13

f(x) = x3 + 5xsup2f rsquo(x) = 3xsup2 +10xfrsquo rsquo(x) = 6x +10 ze doet twee maal de afgeleide

f(x) = x4 - 3x frsquo(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als frsquo(x)

122

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)⅛ = 8-1

a-n = (a ne 0)de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of

omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

71

26 = 6425 = 3224 = 1623 = 822 = 421 = 220 = 12-1 = frac122-2 = frac14

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

radicx = x

radicx = x 4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen

ook geldt (a gt 0)

nn aa1

3

3

Machten met gebroken exponenten

qp

q p aa

28 = 25624 = 1622 = 421 = 22 frac12 = radic2 2 frac14 = radic radic2 = radic2 4

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Extreme waarden berekenen met de afgeleide

Werkschema het algebraiumlsch berekenen van extreme waarden

1) Bereken f rsquo(x)2) Los algebraiumlsch op f rsquo(x) = 03) Voer de formule van f in op de GR Plot en schets de grafiek Kijk in de grafiek of je met max enof min te maken hebt4) Bereken de y-cooumlrdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max is f(hellip) = hellip en min is f(hellip) = hellip

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

122

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 21 a

0)(

4816)( 32

xfextreemvoorxx

xf

23

32

32

4816

4816

48160

xxxx

xx

315

300)3(16

048162

23

ynietvoldoet

xxxx

xx

2

24168)(xx

xf 21 24168)( xxxf

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 21 b

32

4816)(xx

xf

10)2(64)2(

848

416)2(

)2(48

)2(16)2( 32

ff

f

f

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 21 campd

32

4816)(xx

xf

6296527175

214

014432

014432

14432

43

43

y

x

xxx

xxf

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

3)3(

24)3(

168)( 2

adusxx

xf

Opgave 21 e

32

24168)(xx

xf

)3150(

)3153(

naarmoetdeze

Top

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn

Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken Bij welke route horen de laagste kosten

123

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 24 a amp b

tttB 21

4)(

sec15470

13

2)3(

2dm

B

ttB 4

0)(max

tBimumvoor

0122)4(

14

2)4(

kloptdus

B

B

12)(

12)( 21

ttB

ttB

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

OptimaliseringsproblemenWerkschema het algebraiumlsch oplossen van optimaliseringsproblemen1 Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen2 Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 13 Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven

informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele4 Schrijf G als functie van eacuteeacuten variabele door 2 en 3 te combineren5 Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden

123

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

a 4 middot lengte + 4 middot hoogte + 4 middot breedte = 12lengte + hoogte + breedte = 34x + h + x = 35x + h = 3h = 3 ndash 5x

b I = l middot b middot hI = 4x middot x middot (3 ndash 5x)I = 4xsup2(3 ndash 5x)I = 12xsup2 - 20xsup3

c = 24x ndash 60xsup2 = 024x ndash 60xsup2 = 012x(2 ndash 5x) = 012x = 0 ⋁ 2 ndash 5x = 0x = 0 ⋁ -5x = -2x = 0 ⋁ x = 04

dl dx

dl dx

4

Ox

l

04

064

x = 04 lmax = 064 msup3bij x = 04 hoort h = 3 ndash 5 middot 04 h = 1 m

Voorbeeld

Stel het raamwerk is in totaal 12 meter langDe verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 33 O = x middot y

lengte = 4x + 2y

lengte = 400

O = x(-2x + 200)

O = -2x2 + 200x

= -4x + 200

= 0 geeft

-4x + 200 = 0

-4x = -200

x = 50

Uit de schets volgt dat

O maximaal is voor x = 50

x = 50 geeft y = -2 middot 50 + 200 = 100

De afmetingen zijn 100 bij 50 meter

Ox

O

50

4x + 2y = 400

2y = -4x + 400

y = -2x + 200

dO dxdO dx

123

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 38 a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel

K = x2 middot 025 + 4xh middot 025 + x2 middot 050

K = 075x2 + xh

I = x2 h

I = 12

b) K = 075x2 + 12x-1

geeft = 15x ndash 12x-2 = 15x ndash

= 0

geeft 15x - = 0

15x =

15x3 = 12

x3 = 8

x = 2

Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2

x = 2 geeft h = = 3

Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal

x2h = 12 dus h = K = 075x2 + x middot

K = 075x2 + 12 x2

12 x2

12 x

dK dx

dK dx

12 x2

12 x2

12 x2

12 22

x

K

2

123

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Marginale kosten

De marginale kosten MK

bull is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1bull benader je door de afgeleide dK

dq

124

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Gemiddelde kostenDe gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product dus GK =

De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt

Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor

GW = en GR =

GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt

K q

W q R q

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 51

a) Bestelkosten = 4 middot 35 = 140 euro per jaar

b) Gemiddeld in voorraad = = 90 accursquos

Voorraadkosten = 90 middot 3 = 270 euro per jaar

c) Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar

d) Elke maand 60 accursquos dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accursquos in voorraad

Totale kosten = 12 middot 35 + 30 middot 3 = 510 euro per jaar

e) Drie keer per maand dus 36 bestellingen van 20 stuks

Totale kosten = 36 middot 35 + middot 3 = 1290 euro

Eeacuten keer per jaar geeft totale kosten = 1 middot 35 + middot 3 = 1115 euro

20 2

720 2

180 2

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

De kettingregel

Kettingregel

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie

y = f (x) als volgt te werk

bull Schrijf f als een ketting van twee functies

bull Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide

bull Druk het product van de afgeleide functies uit in x

dy dy dudx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de

schakels

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

vb kettingregel

xxx

xxxdxdu

dudy

dxdy

50304

)52()5(223

2

dy dy dudx du dx

234

22

2510

)5()(

xxx

xxxf

xxxxf 50304)( 23 u

dudy 2

2uy

52 xdxdu

xxu 52

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 59a

6)52(3 xy

5)52(36 xdxdy

dy dy dudx du dx

2)52(18 5

xdxdy

dxdu

dudy

dxdy

518ududy

63uy

2dxdu

52 xu

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 59f

23 xy

23 x

xdxdy

dy dy dudx du dx

xxdx

dydxdu

dudy

dxdy

2321

2

uu

dudy

21

21 2

1

2

1

uy

xdxdu 223 xu

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 62 a

101000 3 qTK

dqdTKMK

21

3 )10(1000 qTK

21

500

ududy

23 qu

21

1000uy

103 qu

101500

3

2

q

qdq

dTK

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Opgave 62b 101000 3 qTK )7030(700 2 qqR

10

1500)302(7003

2

q

qqdqdW

101000)7030(700 32 qqqW

0dqdW

411

10

1500)302(7003

2

1

qgeeftzerooptie

q

qqy

GRinInvoeren

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31