Herhaling kansrekenen ?!?Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel van deze uitkomsten er gunstig zijn.Hiervoor is het goed als je handig kan tellen en de rekenformules van de combinatoriek goed kent en beheerst. Het volgende schema kan hier handig bij zijnHerhaling toegestaanHerhaling niet toegestaanVolgorde niet van belangVolgorde wel van belangnPrnCr

Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.

VoorbeeldenPin codeAfspelen van 9 nummers van een CDToto voor een competitie met 13 wedstrijdenVoorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 ledenGroepsvertegenwoordiging van 3 uit 28Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 drankenGironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnenScoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen Verdeling van de kaarten bij klaverjassen4 ringscombinatieslot ?!?

Kansen en combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7

Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als

Spreek uit : 7 boven 4

Het aantal manieren om k dingen uit n dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n, is7 4n k9.1

Kansen en combinatiesOok bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.P(2r, 2w, 1b) = ?Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans

Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.Dat kan op manieren.

Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.Dat kan op

P(4r, 1w, 2b) = 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten15 58 24 23 18 24 23 115 5..manieren8+4+3=152+2+1=5P(G) =..9.1

Vaas met3 Rode 6 Blauw en 7 witte knikkers.Wat is de kansverdeling voor X= aantal Blauwe knikkers als Eline 3 knikkers pakt?

P(0 blauw) =

P(1 blauw) =

P(2 blauw) =

P(3 blauw) = 10316 3 opgave 510216 3 10116 3 10016 3 6 16 26 3

Het vaasmodelBij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel

9.1

probleemGloeilampen in dozen van 20 stuks.Willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd.Alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd.In een doos zitten precies 2 defecte lampen.vaasmodelVaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen.antwoord

P(goedkeuring) = P(4 goed) = 18 420 4 0,632opgave 9

probleem500 appels wordt verpakt in 20 dozen van elk 25 stuks.Bij deze 500 appels zijn er 10 met een rotte plek.Bereken de kans dat alle appels in de doos gaaf zijn.vaasmodelVaas met 500 knikkers waarvan 10 rood (de appels met een rotte plek) en 490 groen, je pakt 25 knikkers uit de vaas.antwoord

P(alle appels gaaf) = P(geen rode) = 490 25500 25 0,596opgave 10

probleemIn een restaurant zijn bij de ingang 20 kapstokken.Er komt een gezelschap van 18 personen binnen.Willekeurig worden de jassen opgehangen.Hoe groot is de kans dat de kapstokken 3 en 12 leeg blijven.vaasmodelVaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de nummers 3 en 12) en 18 groen.antwoord

P(3 en 12 blijven leeg) = 2 020 18 0,00518 18.opgave 11

De somregelAls de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben,dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten dan geldt de somregel .Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten,dan geldt de somregel niet. Zo is als we kijken naar het aantal ogen bij het gooien van tweedobbelstenen P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan,P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen som is 4 en product is 4 hebben de uitkomst gemeenschappelijk

Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel:

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)

9.2

In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers,Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas.aP(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood)

bP(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen)

4 210 36 1.4 310 36 0.=+ 0,3334 010 36 3.4 110 36 2.=+ 0,667opgave 20

De complementregelP(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 P(complement-gebeurtenis)P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 P(8 witte)9.2

Vaas met 60 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst).Aafke pakt 12 knikkers (de doos met de 12 glazen).

aP(minstens 1 glas met barst) = 1 P(geen glas met een barst)

= 1

bP(alle kapotte glazen in de doos) = 60 1256 12 0,6014 460 1256 8. 0,001opgave 299.2

Vaas met 30 knikkers waarvan 20 rood (minder dan 10 km van school).P(minstens 6 minder dan 10 km van school) = P(6) + P(7) + P(8)

=20 630 810 2.20 730 810 1.+ 0,45220 830 810 0.+opgave 35a

Vaas met 30 knikkers waarvan 12 rood (de jongens).P(minder dan 7 jongens) = 1 (P(7 jongens) + P(8 jongens))

=12 730 818 1.12 830 818 0.+ 0,997opgave 35b

Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood.(de meisjes die minder dan 10 km van school wonen)P(3 meisjes die minder dan 10 km van school wonen) =13 330 817 5. 0,302opgave 35c

De productregelVoor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt :

P(G1 en G2) = P(G1) P(G2)

9.3

KansbomenBij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken.Je gaat als volgt te werk :Zet de uitkomsten bij de kansboom.Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt.Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst.9.3

Draaiende schijvenWelke kansboom hoort er bij het draaien van de schijven?

Oefenopgave 1aP(ba,ba,ba)= 2/4 1/3 1/4= 2/24 0,083bP(ke,ke,ke)= 1/4 1/3 1/2 = 1/24 0,042cP(ci,ci,ba)= 1/4 1/3 1/2= 1/24 0,042dP(ci,ci,ci)= 1/4 1/3 0= 0

opgave 2aP(geen banaan) = P(bbb)= 2/4 2/3 3/5= 12/60 = 0,2bP(2 citroenen en 1 banaan)= P(ccb) + P(cbc) + P(bcc)= 1/4 1/3 2/5 + 1/4 1/3 2/5 + 2/4 1/3 2/5= 8/60 0,133cP(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk)= 2/4 1/3 2/5 + 1/4 1/3 2/5 + 1/4 1/3 1/5= 7/60 0,117dP(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk)= 1/4 1/3 4/5 + 1/4 2/3 1/5 + 3/4 1/3 1/5= 9/60 = 0,15eP(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb)= 2/4 2/3 3/5 + 2/4 1/3 3/5 + 2/4 2/3 2/5= 26/60 0,433

Een experiment 2 keer of vaker uitvoerenHet 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment.Ook in zon situatie gebruik je de productregel om kansen teberekenen.

De productregel gebruik je ook als je hetzelfde kansexperiment 2 of meer keren uitvoert.9.3

Oefen opgave 3aP(3 rode) = P(r r r)= 2/5 2/5 2/5 = 0,064

bP(geen rode) = P(r r r)= 3/5 3/5 3/5 = 0,216

cP(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r)= 3 2/5 2/5 1/5 = 0,096

dP(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r)= 3 2/5 2/5 3/5 = 0,288 = (2/5)2 (3/5)1 2 rood van de 53 niet rood van de 52 rood van de 51 blauw van de 52 rood van de 53 niet rood van de 5De schijf wordt drie keer rondgedraaid.31

opgave 46De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2.aP(3 keer doorlopen) = P(r, r, r)= (1 - 0,4) x (1 - 0,7) x (1 - 0,2)= 0,144bP(n keer wachten, niet voor de derde)= P(r, r, r) + P(r, r, r)= (0,4 x 0,3 x 0,8) + (0,6 x 0,7 x 0,8)= 0,432 - -- -- - -

aP(tweejarige wordt 4)= 0,40 x 0,25 = 0,1bP(pasgeboren muis gaat op driejarige leeftijd dood)= 0,42 x 0,60 x 0,40 x (1 0,25) 0,076cP(pasgeboren muis wordt geen 3 jaar)= 1 P(pasgeboren muis wordt 3 jaar)= 1 0,42 x 0,60 x 0,40 0,899opgave 48

leeftijd in jaren01234kans0,420,600,400,250,05

Experimenten herhalen totdat succes optreedtIn het volgende voorbeeld pak je n voor n knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uiteen nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoorper keer.9.3

aP(Sanne wint in 2 sets)= P(SaSa)= 0,6 0,6= 0,36bP(Johan wint de 1e en Sanne de volgende twee sets)= P(JSS)= 0,4 0,6 0,6= 0,144cP(de partij duurt 3 sets)= P(SJS) + P(SJJ) + P(JSS) + P(JSJ)= 0,6 0,4 0,6 + 0,6 0,4 0,4 + 0,4 0,6 0,6 + 0,4 0,6 0,4= 0,48opgave 60

startSSSSSSSStoelatings- examen eerste herkansing tweede herkansing derde herkansing0,60,40,30,30,30,70,70,7aP(bij de 2e herkansing slagen)= P(S S S)= 0,4 0,7 0,3 = 0,084bP(definitief afgewezen)= P(S S S S)= 0,4 0,7 0,7 0,7 0,137opgave 62

opgave 65Kansen en formulesIn vaas I zitten 11 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart.In vaas II zitten 6 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart.

aP(rr) =

bP(zr) =

cVoer in y1 =

Maak een tabel:Je ziet dat dat y1 maximaal 0,4545 is bij x = 5 en x = 6.Dus bij 5 rode en 6 zwarte knikkers in vaas I en5 rode en 1 zwarte knikker in vaas II.En bij 6 rode en 5 zwarte knikkers in vaas I en6 rode en geen zwarte knikkers in vaas II.

Trekken met en zonder terugleggen9.4

aP(2r) = P(2r en 3w) = 0,417

bP(2r) = P(2r en 3w) = 0,316

cP(2r) = P(2r en 3w) = 0,309

dP(2r) = P(2r en 3w) = 0,309

327310530270310053002700310005...opgave 733000270003100005.9.4

Kleine steekproef uit grote populatieBij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvattenals trekken met terugleggen.9.4

opgave 75aP(geen bijtende stoffen) = 0,8510 0,197

bP(8 brandende en 2 bijtende) = 0,608 0,152 0,017

cP(minstens 9 brandbare) = P(9 brandbare) + P(10 brandbare)

= 0,609 0,40 + 0,6010 0,046 1081099.4

opgave 79aP(n van de twee) = 0,18 0,82 0,295

bP(minstens 2 van de 8) = 1 P(0 of 1) = 1 (P(0) + P(1))

= 1 (0,828 + 0,18 0,827) 0,437

c20% van 85 is 0,2 85 = 17

P(17 van de 85) = 0,1817 0,8268 0,09621818517

************************************