COMBINATORIEK 1. Eenvoudige telproblemen In het 4de jaar hebben we kennis gemaakt met eenvoudige telproblemen. Om deze telproblemen op te lossen leerden we het aantal tellen met behulp van o.a. boomdiagrammen. Vb1. We werpen 3 maal met een muntstuk. Gebruik een boomdiagram: a) Welke zijn de mogelijke uitkomsten? b) Hoeveel mogelijke uitkomsten heb je? Vb2. Hoeveel verschillende natuurlijke getallen van drie cijfers kan je vormen? Gebruik een boomdiagram. Merk op dat het berekenen van aantallen hier uiteraard beperkt is tot het kunnen tekenen van het boomdiagram. Als we geen boomdiagram kunnen tekenen moeten we beroep doen op een aantal regels waarvan we er in het 4de een drietal hebben gezien: 1. Productregel: Als een samengestelde handeling bestaat uit het nemen van enkelvoudige handelingen A, B en C dan is het aantal mogelijke samengestelde handelingen het product van het aantal handelingen in A, B en C Formule: #(A en B en C) = #A . #B . #C Voorbeeld: Het aantal codes bestaande uit een cijfer gevolgd door 2 letters. 2. Somregel: Als een experiment bestaat uit handeling A OF handeling B dan is # (A of B) = # A + #B als A∩B = ∅ # (A of B) = # A + # B - # (A∩B) als A ∩ B ≠ ∅ Voorbeeld 1: We vormen paswoorden bestaande uit een cijfer gevolgd door een letter. Hoeveel paswoorden zijn er die beginnen met 1 of eindigen met B? Voorbeeld 2: We vormen paswoorden bestaande uit 3 letters. Hoeveel paswoorden beginnen met A of eindigen met de letter B?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 1

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 2

3. Complementregel:

Als A het complement is van A dan is # (A− −

) = #U - #A Hierbij is #U het totale aantal mogelijkheden. Voorbeeld: We vormen codes bestaande uit 3 letters. a) Hoeveel codes kunnen we vormen? b) Hoeveel codes bevatten niet de letter a? c) Hoeveel codes bevatten minstens éénmaal de letter a? Oefeningen: 1. In een kamer zijn 15 personen aanwezig en iedereen geeft elkaar de hand. Hoeveel handdrukken zijn er in totaal? 2. Een autofabrikant biedt zeven verschillende modellen aan. Voor elk model kan men kiezen uit vijf kleuren en drie soorten binnenbekleding. Uit hoeveel verschillende wagens kan men kiezen? 3. Bij het opnieuw aanzetten van je gsm wordt er gevraagd naar het invoeren van een

pincode. Deze code bestaat uit 4 cijfers. a) Hoeveel mogelijke pincodes zijn er? b) Hoeveel van deze codes beginnen met 1 en eindigen op 9? c) Hoeveel van deze codes bevatten juist éénmaal het cijfer 0? d) Hoeveel van deze codes bevatten het cijfer 0 niet? 4. Met de cijfers 1,2,3,4,5,6en 7 vormen we getallen van 5 verschillende cijfers. a) Hoeveel dergelijke getallen bestaan er? b) Hoeveel van deze getallen beginnen met het cijfer 3? c) Hoeveel van deze getallen eindigen op het cijfer 6? d) In hoeveel van deze getallen staan de cijfers 1, 2 en 3 in deze volgorde naast elkaar? e) Hoeveel van deze getallen bevatten het cijfer 5? f) Hoeveel van deze getallen zijn even? g) Hoeveel van deze getallen bevatten niet de cijfers 2 en 4? 5. In een meerkeuzetoets worden 4 vragen gesteld, met op elke vraag drie mogelijke antwoorden. Op hoeveel manieren kan men een toetsformulier invullen als je weet dat er voor elke vraag juist één antwoord mogelijk is? 6. Hoeveel getallen van vier verschillende cijfers liggen er tussen 2000 en 6000?

7. Een vereniging telt 4 mannelijke en 5 vrouwelijke atleten. a) Op hoeveel manieren kunnen we één afgevaardigde van de atleten kiezen? b) Op hoeveel manieren kunnen we één mannelijke en één vrouwelijke atleet kiezen? 8. In een bibliotheek zijn 5 wetenschappelijke verhandelingen, 10 detectiveverhalen en 18 romans beschikbaar. a) Op hoeveel manieren kan iemand één van de boeken kiezen? b) Op hoeveel manieren kan hij 3 boeken kiezen (elke soort één ) c) Op hoeveel manieren kan hij 2 boeken kiezen van verschillende soort? 9. De catalogusnummers voor een museum bestaan uit twee letters gevolgd door 3 cijfers. a) Hoeveel catalogusnummers zijn er? b) Hoeveel zijn er met 2 gelijke letters? c) Hoeveel zijn er met minstens twee gelijke cijfers? 10. Bij de aankoop van een fiets hebben we de keuze tussen 3 modellen voor het frame, 2 soorten zadels, 7 kleuren en 2 types versnellingsapparaten. Hoeveel verschillende fietsen kunnen we kiezen? 11. Hoeveel getallen van 5 cijfers kunnen we vormen door uitsluitend de cijfers 7 en 8 te gebruiken? En hoeveel met alleen de cijfers 1,2,3,4? 12. Hoeveel codes van 4 letters bestaan er die beginnen en eindigen met een klinker? 13. Bij een schoolwedstrijd met 2 ploegen, die elk uit 6 deelnemers bestaan moet elke deelnemer van de ene ploeg tegen elke deelnemer van de andere ploeg 2 partijen spelen. Hoeveel partijen zijn er in totaal?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 3

2. Telproblemen algemeen Het kan soms gebeuren dat we met bovenstaande methode niet in staat zijn aantallen te tellen. In dit geval kunnen we steeds beroep doen op een meer algemene methode via het herkennen van het soort telprobleem en dan de juiste formule te gebruiken. 2.1 Variaties zonder herhaling vb. Hoeveel codes van vier letters uit het Nederlandstalige alfabet kan je vormen als een letter maar eenmaal mag voorkomen? In dit geval kiezen we 4 letters uit een totaal van 26 letters. Kenmerkend voor deze keuze is: elke letter mag slechts éénmaal voorkomen (geen herhaling) en de volgorde waarin we de letters kiezen is van belang gezien het gaat om een code. In dit geval spreken we van variaties van 4 elementen uit een totaal van 26. Het aantal variaties van 4 elementen uit 26 wordt genoteerd als 26

4V Hier bekomen we: = 26 . 25 . 24 . 23 4

26V In woorden kunnen we zeggen: een product van 4 factoren dalend vanaf 26 Het berekenen van een dergelijke aflopende vermenigvuldiging wordt in de wiskunde anders genoteerd. We voeren het begrip n-faculteit in.

n! n.(n 1).(n 2).......3.2.11! 10! 1

= − −

=

=

aldus krijgen we: 426V = 26! 26!

22! (26 4)!=

−

Besluit: Een variatie van p elementen uit n verschillende elementen (p kleiner of gelijk aan n) is een keuze van p verschillende elementen uit de gegeven n elementen, waarbij de volgorde van kiezen van belang is.

Formule: pn

n!V product van p factoren vanaf n = (n-p)!

=

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 4

Oefeningen variaties: 14. Op hoeveel manieren kunnen we paswoorden vormen van 5 verschillende cijfers waarbij de cijfers genomen worden uit {1,2,3,4,5,6,7,8,9}? 15. Bij een paardenwedstrijd moeten we de eerste 3 paarden aanduiden. Als er 12 paarden zijn, op hoeveel manieren kan dit? 16. Hoeveel nummerplaten bestaan er als je weet dat deze gevormd worden door 3 verschillende letters te kiezen ( zonder O ) gevolgd door 3 verschillende cijfers (zonder 0). 17. Jan, Lieve, Bart en Valerie zijn de 4 leden van het kernbestuur van de jeugdclub. Onder hen moet een voorzitter, ondervoorzitter en een secretaris worden gekozen. Op hoeveel manieren kan dit? 18. In een klas staan 20 stoelen. Op hoeveel verschillende manieren kan een klas bestaande uit 16 leerlingen plaats nemen? 19. Aan een paardenkoers nemen acht paarden deel. Er wordt gevraagd de eerste 4 paarden in de juiste volgorde te geven. Hoeveel van dergelijke voorspellingen zijn er mogelijk? 20. In een voetbalcompetitie zijn er 20 ploegen. Alle ploegen moeten tweemaal tegen elkaar spelen. ( 1 maal thuis en 1 maal op verplaatsing ) Hoeveel wedstrijden worden er gespeeld? 21. Met de cijfers 1 tem. 9 vormen we getallen van 6 verschillende cijfers. a) Hoeveel dergelijke getallen bestaan er? b) Hoeveel van deze getallen beginnen niet met 2? c) Hoeveel ervan beginnen niet met 23? d) Hoeveel ervan bevatten het cijfer 4 maar niet het cijfer 5 e) Hoeveel ervan bevatten noch het cijfer 8, noch 9? 22. Een nummerplaat moet bestaan uit 2 verschillende letters, gekozen onder de letters A,B,C,D en E, gevolgd door 3 verschillende cijfers, gekozen uit de cijfers 1,2,3,4,5,6. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 5

2.2 Permutaties vb.: Hoeveel codes van 5 verschillende cijfers kun je vormen met de cijfers 1,2,3,4 en 5? In dit geval kiezen we zonder herhaling 5 elementen uit een verzameling van 5 elementen waarbij de volgorde van belang is. Het zijn dus variaties van 5 elementen uit een verzameling van 5 elementen. Omdat het aantal te kiezen elementen gelijk is aan het aantal elementen spreken we van permutaties van 5 elementen. Notatie: P5 = product van 5 factoren vanaf 5 = 5.4.3.2.1 = 5! Besluit: Een permutatie van n verschillende elementen is een keuze van n verschillende elementen uit een totaal van n elementen waarbij de volgorde van belang is. Formule: Pn = n! Oefeningen permutaties 23. In een klas zitten 7 leerlingen die na elkaar mondeling examen moeten afleggen. Op hoeveel verschillende manieren kan je een rooster opstellen met de volgorde waarin ze moeten komen? 24. Hoeveel anagrammen bestaan er van het woord “wiskunde” 25. Men beschikt over 4 verschillende kleuren en wensen daarmee 4 klaslokalen elk in een verschillende kleur te schilderen. Op hoeveel manieren kan dit? 26. 6 atleten lopen de 100 meter. Hoeveel mogelijke uitslagen bestaan er? 27. Op hoeveel manieren kunnen we 15 verschillende strips verdelen over 15 leerlingen? 28. In een klas staan 10 stoelen voor 10 leerlingen. Op hoeveel manieren kunnen we de leerlingen laten plaatsnemen?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 6

2.3 Combinaties Vb. We beschikken over 4 verschillende grondkleuren. Door er 3 verschillende te kiezen en te mengen bekomen we een nieuwe kleur. Hoeveel nieuwe kleuren kan men op deze manier kiezen? Merk op dat een nieuwe kleur in feite het kiezen is van 3 kleuren uit een totaal van 4 zonder herhaling en waarbij de volgorde NIET van belang is ( we mengen de kleuren) In dit geval spreken we van een combinatie van 3 elementen uit een totaal van 4 De notatie hiervoor is 3

4C . Noteren we eens alle mogelijkheden die we kunnen hebben bij het kiezen van de 3 kleuren: abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb In feite zijn dit de variaties van 3 elementen uit een totaal van 4. Alle keuzes van de 1ste regel geven dezelfde nieuwe kleur. Analoog voor 2de, 3de en 4de regel zodat er dus 4 nieuwe kleuren zijn.

Dit aantal is dus gelijk aan 34V 4.3.2

3! 3.2.1=

Besluit: Een combinatie van p verschillende elementen uit n verschillende elementen is een keuze van p elementen uit die n elementen waarbij de volgorde van kiezen van geen belang is.

Formule: p

p nn

product van p factoren vanaf n V n!Cp! p! p!(n p)!

= =−

=

Eigenschap van combinaties : p n

n nC C p−= : wordt voornamelijk gebruikt als

vereenvoudiging bij berekeningen vb. : C C 10 212 12=

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 7

Oefeningen combinaties: 29. In een klas zitten 22 leerlingen. Men wenst 3 leerlingen te kiezen voor de leerlingenraad. Op hoeveel manieren kunnen we een afvaardiging kiezen? 30. In een klas zitten 10 jongens en 12 meisjes. We wensen een afvaardiging te kiezen. Op hoeveel manieren kan dit: a) Als we 4 willekeurige leerlingen kiezen? b) Als we 2 jongens en 2 meisjes moeten kiezen c) Als er één jongen en 3 meisjes moeten gekozen worden. 31. Op een blad papier zetten we 20 willekeurige punten waarvan geen drie op eenzelfde rechte gelegen zijn. Door 3 punten te verbinden bekomen we een driehoek. Hoeveel verschillende driehoeken kunnen we tekenen? 32. Op hoeveel manieren kunnen we een lottoformulier invullen? ( 6 cijfers aanduiden van 1 tot en met 42) 33. Je beschikt over 15 boeken. Je wenst ze te verdelen zodat Karel 5 boeken krijgt en Piet er 10 krijgt. Op hoeveel manieren kan dit? 34. Dezelfde boeken wens je te verdelen maar nu mag Karel er slechts 3 krijgen en Piet 8. Op hoeveel manieren kan dit? 35. Acht vrienden gaan samen tennissen. a) Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen? b) Hoeveel verschillende partijen dubbelspel kunnen ze spelen? 36. Bij een receptie zijn 150 genodigden. Iedereen geeft elkaar de hand. Hoeveel handjes worden geschud? 37. Op hoeveel manieren kunnen we 5 knikkers nemen uit een bak van 15 knikkers? 38. Op hoeveel manieren kun je 3 verschillende cijfers in

gedachten nemen en deze dan in stijgende orde geven?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 8

2.4 Herhalingsvariaties Vb. Bij een voetbalpronostiek moet je kiezen uit de symbolen 1,2 en X. Hoeveel mogelijke manieren van invullen zijn er bij een pronostiek met zes voetbalwedstrijden? We kiezen hier 6 keer een symbool uit een totaal van 3 symbolen: herhaling is uiteraard toegelaten, de volgorde is van belang. We bekomen hier herhalingsvariaties van 6 elementen uit 3 elementen. Notatie: 6 6

3V 3=

Formule: p pnV n=

Oefeningen herhalingsvariaties: 39. Op hoeveel manieren kunnen we paswoorden maken van 5 cijfers als we mogen kiezen uit {1,2,3,4,5,6,7,8,9}? 40. In een geheugenplaats van een computer is er plaats voor 32 bits. Hoeveel verschillende getallen kan men in deze geheugenplaats voorstellen? 41. In een vierkant tekenen we de diagonalen: zo ontstaan er 4 driehoeken. Op hoeveel manieren kunnen we deze figuur inkleuren als we beschikken over 8 verschillende kleuren? 42. We wensen paswoorden te vormen bestaande uit 5 letters. a) Hoeveel dergelijke paswoorden bestaan er? b) Hoeveel van dergelijke paswoorden bevatten precies éénmaal de letter a? c) Hoeveel van dergelijke paswoorden bevatten de letters a en b naast elkaar? 2.5 Herhalingspermutaties Een herhalingspermutatie is een permutatie van n elementen waarbij één of meerdere letters meerdere keren voorkomen. vb. hoeveel anagrammen bestaan er van het woord “kop” hoeveel anagrammen bestaan er van het woord “kok”

Formule: α,β,γ

nn!P hierbij is n het totaal aantal letters

α !β !γ !α,β en γ zijn de aantallen keren dat de gelijke letters voorkomen

=

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 9

2.6 Herhalingscombinaties Als we p elementen moeten kiezen uit een totaal van n elementen, herhaling is toegelaten en de volgorde speelt geen rol dan spreken we van herhalingsvariaties:

ppn n p 1C C + −=

vb. Een broodjeszaak verkoopt 3 soorten broodjes: kaas, ham, ei. We moeten 5 broodjes hebben. Op hoeveel manieren kan dit?

GEMENGDE OEFENINGEN 43. Een klas telt 20 leerlingen. Op hoeveel manieren kunnen we 3 leerlingen kiezen die de klas zullen vertegenwoordigen op een vergadering? 44. In een scholengemeenschap met 8642 leerlingen wordt elke leerling aangegeven

met een code bestaande uit de letters r,s,t,u en v. Uit hoeveel letters moet een dergelijke code minimaal bestaan om elke leerling zijn code te kunnen geven?

45. In een kamer staan zes stoelen rond een tafel. Er komen 4 personen de kamer binnen. Op hoeveel manieren kunnen deze personen plaatsnemen? 46. Een volleybaltornooi wordt gespeeld door 6 ploegen. Elke ploeg moet tegen elke andere ploeg een uitwedstrijd en een thuiswedstrijd spelen. Hoeveel wedstrijden zijn er in totaal? 47. Een vlag moet bestaan uit drie verticale banen met verschillende kleur. Men beschikt over 7 verschillende kleuren. Hoeveel vlaggen kan men samenstellen? 48. Met de cijfers 0 tot en met 9 worden getallen van 5 verschillende cijfers gevormd. a) Hoeveel van deze getallen bevatten het cijfer 6? b) Hoeveel van deze getallen bevatten de cijfers 0 en 7? c) Hoeveel van deze getallen bevatten het cijfer 8 en zijn deelbaar door 5?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 10

49. Tien spurters staan klaar voor de 100m. Hoeveel mogelijke uitslagen kan deze sprint hebben? 50. Aan een paardenkoers nemen acht paarden deel. Er wordt gevraagd de eerste 4 paarden in de juiste volgorde te geven. Hoeveel van dergelijke voorspellingen zijn er mogelijk? 51. Acht vrienden gaan samen tennissen. Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen? Hoeveel partijen dubbelspel? 52. Op hoeveel manieren kun je drie gelijke rode balletjes in vijf verschillende bakken A, B, C, D en E plaatsen als er in elke bak hoogstens één balletje mag liggen? 53. Op hoeveel manieren kunnen we 4 kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten als er bij deze 4 kaarten a) precies 2 azen zitten b) precies 2 azen en 2 heren zitten? c) enkel rode kaarten zitten? 54. In een klas zitten 10 meisjes en 15 jongens. Op hoeveel manieren kan men een panel voor een klasdebat samenstellen bestaande uit drie jongens en 2 meisjes? 55. In de plaatselijke supermarkt heeft men twee jobstudenten nodig. Er zijn zeven

gegadigden. Op hoeveel manieren kan de gerant zijn keuze bepalen? 56. De pincode van een bankkaart bestaat uit 4 cijfers. a) Hoeveel codes zijn er mogelijk? b) Hoeveel codes met 4 verschillende cijfers zijn er

mogelijk? c) Hoeveel codes bestaande uit oneven cijfers zijn er mogelijk? d) Hoeveel codes bevatten het cijfer 2? 57. We beschikken over 8 verschillende boeken. Op hoeveel manieren kun je deze boeken verdelen over 2 leerlingen zodat ze elk 4 boeken hebben? 58. In een bedrijf werken 150 arbeiders, 80 bedienden en 18 bestuurders. Men wenst een ondernemingsraad samen te stellen bestaande uit 7 arbeiders, 4 bedienden en 3 bestuurders. Op hoeveel verschillende manieren kan dit? 59. In Colorado bestaan de nummerplaten voor de auto’s uit drie cijfers, gevolgd door 3 letters. a) Hoeveel nummerplaten zijn er in totaal mogelijk? b) Bij hoeveel van de nummerplaten zijn er geen gelijke letters? c) Bij hoeveel zijn er geen gelijke letters en ook geen gelijke cijfers?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 11

60. We beschikken over 10 verschillende prentkaarten die we verdelen onder 2 personen: de eerste krijgt er 5, de tweede krijgt er 3. De rest van de kaarten houden we. Op hoeveel manieren kunnen we de kaarten verdelen? 61. Een slordige postbode werpt 9 brieven die hij voor de 9 verschillende bewoners van een flatgebouw bij heeft in de 9 verschillende brievenbussen, in elke brievenbus één brief. Op hoeveel verschillende wijzen kan hij dit doen? 62. Hoeveel verschillende sommen kan men bekomen als men vier van de getallen 15, 19, 21, 103, 205 en 1356 optelt? 63. Hoeveel diagonalen heeft een convexe 7-hoek? 64. Hoeveel paswoorden van 2 letters zijn er waarbij a) de eerste letter een klinker is en de 2de letter een

medeklinker? b) beide letters klinkers zijn. 65. In een klas met 15 leerlingen wordt een schaaktornooi georganiseerd. Alle leerlingen van de klas nemen er aan deel. Elke leerling speelt tweemaal tegen elke andere leerling. Hoeveel spelen zullen er plaatshebben in dit tornooi? 66. Hoeveel woorden van 5 verschillende letters bestaan er indien a) a als 1ste letter voorkomt? b) a niet als eerste letter voorkomt en tegelijk b niet als tweede letter voorkomt? 67. In een auto zijner 4 plaatsen, de bestuurdersplaats inbegrepen. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 4 personen in deze wagen plaatsnemen als je weet dat slechts 2 van hen de wagen kunnen besturen. 68. Op hoeveel manieren kunnen we 30 gasten laten plaatsnemen als er 30 plaatsen beschikbaar zijn? 69. In een kaartspel met 4 spelers worden 52 speelkaarten verdeeld zodat iedere speler 13 kaarten krijgt. Op hoeveel manieren kunnen de kaarten verdeeld zijn? 70. De invoerder van zuivelproducten verkoopt negen kaassoorten. Bij een promotieactie stelt hij korfjes samen met 4 verschillende kaassoorten. Hoeveel verschillende korfjes kan hij zo samenstellen?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 12

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 13

71. We vormen getallen van 5 verschillende cijfers. a) Hoeveel getallen zijn er? b) Hoeveel getallen zijn er die de cijfers 2 en 3 niet bevatten? c) Hoeveel getallen beginnen met 12 en zijn deelbaar door 2 en 5? 72. Hoeveel getallen groter dan 50000 kan men vormen met de cijfers van het getal 34567 als elk cijfer juist éénmaal mag worden gebruikt? Wat als de cijfers meerdere keren mogen worden gebruikt? 73. Op een vragenblad staan 20 vragen die moeten worden beantwoord met waar of vals. Een leerling moet minstens 12 vragen juist beantwoorden om geslaagd te zijn. Op hoeveel verschillende wijzen kan een leerling die geslaagd is zijn antwoordblad hebben ingevuld? 74. Hoeveel woorden van 7 letters kan men vormen als de eerste 4 medeklinkers moeten zijn en de laatste 3 klinkers moeten zijn? 75. In een stad is het aantal vertegenwoordigers van partij A, B, C en D respectievelijk 25, 16, 12 en 8. Er moet een afvaardiging worden gekozen voor een internationale conferentie en men besluit van elke partij 3 vertegenwoordigers te nemen. Op hoeveel manieren kan dit? 76. Een zanger heeft een repertoire van 35 liedjes. Bij een optreden moet hij 4 liedjes naar voor brengen. a) Op hoeveel manieren kan hij zijn keuze maken? b) Op hoeveel manieren kan dit als zeker één van de 35 liedjes er moet toe behoren? 77. In een zakje zitten 5 rode, 5 gele, 5 blauwe en 5 groene knikkers. Men neemt 5 knikkers na elkaar. Op hoeveel manieren kan dit? (één manier is bvb 3 groene, één gele en één blauwe ) 78. We beschikken over 5 knikkers en hebben 3 mandjes A,B en C waar men de knikkers kan inleggen. Op hoeveel verschillende manieren kan dit? 79. Een examen bestaat uit 10 vragen. Elke vraag wordt ofwel als “juist” (1p) ofwel als “fout” (0p) beoordeeld. a) Op hoeveel manieren kan men 8 punten halen? b) Op hoeveel manieren kan men 8 halen als je weet dat de eerste 2 vragen correct waren opgelost. c) Op hoeveel manieren kan men 8 halen, wanneer je weet dat minstens drie van de eerste vier vragen correct werden beantwoord?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 14

80. Juffrouw Laura heeft 12 vriendinnen. a) Op hoeveel manieren kan ze zes van deze vriendinnen uitnodigen op een koffiekransje? b) Op hoeveel manieren kan ze zes vriendinnen uitnodigen indien 2 van de twaalf vriendinnen zussen zijn en je deze samen wil uitnodigen. c) Op hoeveel manieren kan ze zes vriendinnen uitnodigen als twee van deze vriendinnen ruzie hebben en elkaar niet willen ontmoeten? 81. We hebben 3 hokken en 5 konijnen. Op hoeveel manieren kunnen we de konijnen in de hokken plaatsen? ( één van de manieren is vb. in het 2de hok 3 en 2 in hok 3 of vb. alle vijf in het eerste hok ) 82. Acht vrienden gaan kamperen. Ze hebben twee tenten. Op hoeveel manieren kunnen ze ’s avonds slapen als er in de ene tent vijf slaapplaatsen zijn en in de andere drie? 83. De pincode van een bankkaart bestaat uit 4 cijfers. a) Hoeveel codes zijn er mogelijk? b) Hoeveel codes bestaan enkel uit even cijfers? c) Hoeveel codes van 4 verschillende oneven cijfers zijn er? d) Hoeveel codes bestaande uit slechts twee cijfers zijn er mogelijk? 84. Een leraar moet zijn 15 leerlingen beoordelen met een letter A, B, C, D of E Op hoeveel verschillende manieren kan hij zijn beoordelingslijst invullen? 85. 4 jongens en 3 meisjes moeten na elkaar een rij vormen. Er mogen geen 2 jongens achter elkaar staan. Op hoeveel manieren is dit mogelijk? 86. Uit twintig personen moeten drie commissies samengesteld worden: twee van zes en één van vijf personen. Op hoeveel manieren kan dit als: a) een persoon maar in één commissie kan zitten b) een persoon in beide commissies mag zitten. 87. In 1838 stelde Samuel Morse het morsealfabet op. Hij gebruikte punten en strepen ( korte en lange pulsen ) a) Hoeveel letters kon hij vormen door 1, 2, 3 tekens te gebruiken? b) Kon hij met maximaal 4 tekens het gehele alfabet vormen? 88. Stef gooit tien keer met een muntstuk. Telkens noteert hij K (kop) of M (munt). a) Hoeveel mogelijke reeksen zijn er? b) Hoeveel reeksen zijn er met precies achtmaal kop? c) Hoeveel reeksen zijn er met M als vijfde worp? d) Hoeveel reeksen zijn er met precies evenveel K als M?

89. Van drie personen, in een bepaalde volgorde gegeven, moeten we de verjaardagen raden. We gaan er van uit dat een jaar 365 dagen telt. a) Hoeveel mogelijkheden zijn er? b) Hoeveel mogelijkheden zijn er als minstens 2 van de 3 verjaardagen samenvalt? 90. Op hoeveel manieren kunnen we vijf identieke rode ballen, vier identieke blauwe en drie identieke gele ballen rangschikken? 91. Zeven verschillende evenwijdige

rechten worden gesneden door 4 verschillende evenwijdige rechten. Hoeveel parallellogrammen krijgen we?

92. Een cultureel centrum biedt de mogelijkheid om zelf een abonnement van vijf voorstellingen samen te stellen uit een aanbod van 20 voorstellingen. Hoeveel mogelijkheden zijn er? 93. Op hoeveel manieren kun je met 4 soorten snoepjes een zakje met dertien snoepjes samenstellen? 94. We vormen een rij met 3 jongens en 5 meisjes. a) Hoeveel mogelijke rijen zijn er? b) In hoeveel rijen staan en de jongens en de meisjes na elkaar? c) In hoeveel rijen staan de jongens naast elkaar? d) In hoeveel rijen staat Johan naast Sofie ( alle namen zijn verschillend ) 95. We vormen getallen van vijf verschillende cijfers uit 1 tem. 9. a) Hoeveel getallen bevatten 2 even en 3 oneven cijfers? b) beantwoord dezelfde vraag als we beschikken over de cijfers 0 tem. 9 en vooropgesteld dat de getallen niet met 0 mogen beginnen. 96. Een paswoord moet bestaan uit 3 verschillende klinkers en 2 verschillende medeklinkers. Hoeveel dergelijke paswoorden bestaan er? ( er zijn 5 klinkers en 21 medeklinkers ) 97. Een studentenraad bestaat uit 20 leden, 5 van elk van de 4 studiejaren. Men wenst een commissie van 4 leden samen te stellen. a) Hoeveel dergelijke commissies kan men vormen? b) In hoeveel ervan is het eerste jaar niet vertegenwoordigd? c) In hoeveel ervan heeft het 4de jaar 2 vertegenwoordigers?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 15

BINOMIUM VAN NEWTON Driehoek van Pascal : beginnen met cijfer 1 en eindigen met 1. Alle andere cijfers zijn de som van de cijfers die er boven staan. Nieuwe notatie : voortaan stellen we p

nn

C p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Zo is 60⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

61⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

62⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

63⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

64⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

65⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

66⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

Wat merk je op? Bereken (a + b)0 = (a + b)1 = (a + b)² = (a + b)³ = (a + b)4 =

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 16

Welke overeenkomst heb je met de tabel van Pascal? Besluit :

n n n 0 n n 1 1 n n 2 2 n 1 n 1 n 0 n0 1 2 n 1 n(a b) ( ).a .b ( ).a .b ( ).a .b ......... ( ).a .b ( ).a .b− − −

−+ = + + + + +

( )n

n n n ii

i 0

a b ( ).a .b−

=

+ =∑ i

Oefeningen: 1. Werk uit :

a) b) ( 6y2x3 + )7

x1x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + c)

6²y

3x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2. Bereken:

a) de coëfficiënt van x4 in 8

x1x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

b) de coëfficiënt van x in 13

²x31x2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

c) de constante term van 1632x

x⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 17

Kansrekening 1. Inleidende begrippen Onder kansexperiment verstaan we elk experiment waarvan het resultaat wordt beheerst door het toeval. Het berekenen van de kans van alle mogelijke resultaten van een dergelijk experiment hoort tot het kansrekenen. vb. dobbelsteen gooien, muntstuk gooien, kaart nemen uit een kaartspel,….. Als we een experiment uitvoeren bekomen we verschillende uitkomsten. De uitkomstenverzameling U is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment. Vb. {1,2,3,4,5,6} bij het werpen van een dobbelsteen; {K, M} bij het werpen van een muntstuk Onder een gebeurtenis verstaan we elke willekeurige deelverzameling van de uitkomstenverzameling. Vb.{ 0,1,2,3,4,5,6, {1,2}, {1,2,3},…,{1,2,3,4,5,6}} bij het werpen van een dobbelsteen Gebeurtenissen worden in de kansrekening heel dikwijls voorgesteld door hoofdletters. Vb. A= {er wordt minder dan vier gegooid} Een enkelvoudige gebeurtenis is elke gebeurtenis die bestaat uit precies één uitkomst. Als A en B gebeurtenissen zijn van een kansexperiment dan kunnen we daarmee afgeleide gebeurtenissen definiëren: doorsnede, unie, verschil en complement Disjuncte gebeurtenissen zijn gebeurtenissen waarvan de doorsnede ledig is. Kansexperiment: teerling gooien. Stel A = {1, 3, 5} = {een oneven aantal ogen gooien} Stel B = {4, 5, 6} = {een aantal ogen groter dan drie gooien} Bereken A ∩ B, A ∪ B, A \ B, A Oefening: We trekken een kaart uit een spel van 52 kaarten. Gebeurtenis A is het trekken van een hartenkaart. Gebeurtenis B is het trekken van een ‘prent’-kaart. Hoe zou je volgende gebeurtenissen omschrijven: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B\ A, U \ B

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 18

2. Wet van de grote aantallen Stel dat we een experiment n keer herhalen en dat de gebeurtenis A zich nA keren voordoet. Voorbeeld: 120 keer gooien met teerling en 22 keer een 6 gooien

De relatieve frequentie van de gebeurtenis A noemen we dan nn

f AA =

Voorbeeld: Bij een onderzoek naar het gebruik van internet bij jongeren werd aan 1200 leerlingen van het 6de jaar gevraagd hoeveel uur per week ze gebruik maakten van het internet. De resultaten staan in volgende tabel:

aantal uren internet aantal leerlingen relatieve frequentie 0 168 1 312 2 360 3 216 4 72 5 36 6 36 totaal aantal: 1200

Wat is in dit geval het experiment A? Wat is de uitkomstenverzameling? Wat is de kans dat een leerling O aantal uren per week gebruik maakt van het internet? Wet van de grote aantallen: Bij een toenemend aantal proefnemingen wijkt de relatieve frequentie van de onderzochte uitkomst steeds minder af van de kans van die uitkomst. Onderzoek: a) Simuleer het werpen van een dobbelsteen via GRM. Voor n = 200, n = 500, n = 999 Noteer het aantal keer dat we 1, 2, 3, 4, 5 en 6 hebben geworpen. Bereken de relatieve frequenties, vergelijk met de theoretische kans b) Simuleer het werpen met 2 dobbelstenen en neem als veranderlijke de som van het aantal ogen. ( n = 200, n = 500, n = 1000 ). Noteer voor elke waarde de relatieve frequentie en vergelijk met de theoretische kans.

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 19

3. Kansen berekenen bij enkelvoudige experimenten De theoretische kans van een enkelvoudige gebeurtenis wordt bepaald door de formule van Laplace:

uitkomstenmogelijkeaantaluitkomstengunstigeAvooraantal

)A(P =

Voorbeelden:

Pierre Simon De Laplace * Wat is de kans dat het eerste nummer bij de volgende lottotrekking een priemgetal is? * Wat is de kans dat we met een dobbelsteen een even getal werpen? * Wat is de kans dat, als we werpen met 2 dobbelstenen, de som van de ogen groter dan of gelijk is aan 10? * In een vaas zitten 3 rode en 7 witte knikkers. We trekken lukraak een knikker: wat is de kans dat hij rood is? Kanswetten : 1. Als A en B gebeurtenissen zijn dan is: P( A ∪ B) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B ) Vb. 1: We gooien met een dobbelsteen. A = {1} B = {3,4} C = even getal gooien D = oneven getal gooien Bereken telkens de kans op de unie Vb. 2: kaart nemen uit een kaartspel. A = prentenkaart B = aas C = rode kaart D = hartenkaart Bereken telkens de kans op de unie 2. Complementregel: P )A( = 1 – P(A) Vb. we gooien een teerling. Berken de kansen van onderstaande gebeurtenissen A = minstens 5 gooien B = hoogstens 4 gooien Vb. kaart nemen uit kaartspel. A = geen prentkaart. Bereken P(A) Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 20

Oefeningen: 1. Uit een spel van 52 kaarten trekt men lukraak een kaart. Bereken de kans op het trekken van a) hartenaas b) een heer of een tien c) een prentenkaart d) noch een aas, noch een harten e) een ruiten heer f) een heer of een ruitenkaart 2. Een vaas bevat 6 witte, 8 rode en 11 blauwe knikkers. Men trekt lukraak één knikker. Bereken de kansen van volgende gebeurtenissen. a) De getrokken knikker is rood b) De getrokken knikker is niet wit c) De getrokken knikker is wit of blauw d) De getrokken is wit, blauw of rood 3. In een school bestaat de leerlingenraad uit 15 leerlingen. 10 leerlingen zijn van de hogere cyclus, waarvan 5 jongens en 5 meisjes. 5 leerlingen zijn van de lagere cyclus, waarvan 3 jongens en 2 meisjes. Men kiest willekeurig een voorzitter. Wat is de kans dat het een jongen is? 4. In een vaas zitten 3 knikkers, genummerd met de getallen 1,2 en 3. Er wordt een knikker genomen, het nummer wordt genoteerd en de knikker wordt teruggeplaatst. Op dezelfde manier nemen we een 2de en 3de knikker. Als je weet dat de som van de drie genoteerde knikkers 6 is, wat is dan de kans dat de knikker met het nummer 2 driemaal getrokken werd? 5. Een universitaire afdeling heeft 80 studenten. 20 van deze studenten volgen logica, 30 volgen psychologie en 40 volgen geen van beiden. We kiezen lukraak een student. a) Wat is de kans dat hij enkel psychologie volgt? b) Wat is de kans dat hij logica of psychologie volgt. 6. We gooien met 3 dobbelstenen. a) Wat is de kans dat het product van de ogen op de 3 stenen gelijk is aan 12 b) Wat is de kans dat de som van het aantal ogen op de 3 stenen minstens 5 is. 7. Twee koppels gaan samen naar het theater. Ze zetten zich willekeurig op 4 naast elkaar gelegen zitjes. Hoe groot is de kans dat niemand naast zijn partner zit? 8. In een loopwedstrijd met 3 deelnemers is de kans dat a wint drie keer de kans dat b wint en is de kans dat b wint het dubbele van de kans dat c wint. Hoeveel is de kans op winnen van elk van de deelnemers?

O

B1

B2

B3

A

9. Een lifter wil van O naar A. Hij doet dit door lukraak één van de drie wegen te nemen die vertrekken vanuit O. Vanuit de knooppunten neemt hij terug lukraak één van de wegen. Wat is de kans dat de lifter aankomt in A?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 21

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 22

4. Kansen berekenen bij samengestelde experimenten Een samengesteld kansexperiment is een experiment waarbij enkelvoudige experimenten meerdere malen worden uitgevoerd, gelijktijdig of na elkaar. Een dergelijk enkelvoudig experiment noemen we een deelexperiment van het samengestelde experiment. Vb. driemaal werpen met een muntstuk, 5 kaarten nemen uit een boek kaarten, 4 maal gooien met een dobbelsteen, met 4 teerlingen ineens gooien, met een dobbelsteen en een muntstuk gooien, … Indien de berekening van de kans van een enkelvoudig (deel)experiment afhankelijk is van het resultaat van het vorige (deel)experiment spreken we van afhankelijke (deel)experimenten. Vb. 5 maal een kaart trekken zonder teruglegging

Productregel Stel dat A en B enkelvoudige experimenten zijn die na elkaar worden uitgevoerd dan is

P ( A, B ) = P (A) . P (B) In de mate van het mogelijke gebruiken we een boomdiagram om de kansen te berekenen. vb. 1: werpen met een muntstuk. a) Wat is de kans om twee maal kop na elkaar te gooien? b) Wat is de kans om bij drie maal werpen minstens éénmaal kop te gooien? Stel een boomdiagram op. Stel de uitkomstenverzameling op. c) Wat is de kans om bij vijf maal werpen 2 maal munt te gooien? Stel een boomdiagram op. d) Nu zonder kansboom: wat is de kans om bij zes maal werpen minstens vier maal kop te gooien? Bij het opstellen van een boomdiagram let je op het volgende: 1. De som van de kansen bij de takken die vertrekken uit een zelfde punt is altijd gelijk aan 1 2. Op de eindpunten staan de uitkomsten van het samengestelde experiment 3. Om de kans van een uitkomst te berekenen, vermenigvuldig je de kansen die je terugvindt op de takken om vanaf het beginpunt naar dat eindpunt te gaan. (productregel) 4. De som van de kansen op de eindpunten is gelijk aan 1

vb. 2: In een vaas zitten 5 witte en 10 rode knikkers: We nemen 3 knikkers na elkaar MET teruglegging. Stel een boomdiagram op. Wat is de uitkomstenverzameling van dit experiment? Wat is de kans om twee rode knikkers te nemen? Wat is de kans om minstens één witte knikker te nemen? OPMERKING: Als we niet in de mogelijkheid zijn een boomdiagram te tekenen moeten we uiteraard kansen berekenen met behulp van de geziene regels ( vooral productregel ) Voorbeeld: In een vaas zitten 3 gele en 7 rode knikkers. We nemen met teruglegging 6 knikkers. a) Wat is de kans dat we precies 2 gele knikkers getrokken hebben? b) Wat is de kans dat we minstens 3 rode knikkers getrokken hebben? Oefeningen: 10. Met een verbogen geldstuk is de kans om kruis te gooien gelijk aan 0,3. Met een tweede verbogen geldstuk is de kans om munt te gooien 0,25. Bereken de kans om tweemaal hetzelfde resultaat te krijgen als elk geldstuk eenmaal wordt opgegooid. 11. Een vaas bevat 24 blauwe en 16 groene knikkers. Michiel neemt er willekeurig en na elkaar 3 knikkers uit. Bereken eerst met teruglegging en nadien zonder teruglegging de kans op precies 2 groene knikkers. 12. Een persoon trekt willekeurig 3 kaarten uit een spel van 52 kaarten. Bereken de kans dat… a) het 3 heren zijn b) het geen harten zijn c) er minstens één aas inzit d) het één heer en 2 tienen zijn. e) het 3 kaarten van dezelfde soort zijn. 13. In een vaas zitten 10 rode, twaalf blauwe en acht gele knikkers. We trekken willekeurig tegelijkertijd 3 knikkers. Bereken de kans a) dat het 3 rode zijn b) er minstens één blauwe is c) er precies 2 gele zijn d) ze dezelfde kleur hebben 14. Anke en Karel gooien om beurten met een dobbelsteen. Anke wint bij het gooien van een oneven resultaat en Karel wint het spel wanneer hij een zes gooit. Karel mag beginnen. We spelen drie spelletjes. a) Schrijf de uitkomstenverzameling. Gebruik A, K, N b) Wat is de kans dat Anke wint bij haar eerste spelbeurt? c) Wat is de kans dat Karel wint bij de 3de gooibeurt? d) Wat is de kans dat Anke tweemaal gewonnen heeft?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 23

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 24

15. We gooien 4 maal met een muntstuk. Wat is de kans dat we a) Schrijf de uitkomstenverzameling, stel een boomdiagram op en bereken de kansen van de uitkomsten b) Wat is de kans dat we juist éénmaal munt gooien? c) Wat is de kans dat we minstens driemaal munt gooien? d) Wat is de kans dat we geen munt gooien? 16. We gooien met twee dobbelstenen. Bereken de kans dat het resultaat: a) een dubbele zes is b) geen dubbele zes is. 17. De kans dat in de fysicales de proeven lukken is volgens de ervaring 2 op 3. Bereken de kans dat a) de volgende drie proeven lukken b) minstens één van de drie proeven lukt. c) minstens 2 van de 4 proeven lukt. 18. Bij een telefonische enquête wil gemiddeld één op de vier mensen de vragen beantwoorden. Een enquêteur belt vier mensen na elkaar op. a) Hoe groot is de kans dat ze alle vier meewerken aan de enquête? b) Hoe groot is de kans dat slechts één persoon meewerkt? c) Hoe groot is de kans dat minstens 2 personen meewerken?

d) Bereken de kans dat bij zestien na elkaar opgebelde personen alleen de eerste vijf meewerken.

19. We gooien met 5 dobbelstenen. Wat is de kans dat we een “poker” gooien? 20. We gooien met 4 dobbelstenen na elkaar. Wat is de kans dat de som van de ogen 23 is? 21. Voor een topfunctie in een bedrijf moet M. Gevaert drie zware testen ondergaan. De ervaring leert dat er 40% slaagkans is voor de eerste test, 15% voor de tweede test en slechts 2% voor de zeer moeilijke derde test. a) Wat is de kans dat M. Gevaert mag beginnen aan de derde test? b) Hoeveel kans maakt hij op zijn topfunctie? 22. In een urne zitten twintig blauwe en tien witte balletjes. Lieve neemt blindelings één balletje uit de vaas, legt het terug en neemt dan drie balletjes tegelijk. Bereken de kans dat Lieve a) enkel witte balletjes heeft genomen. b) twee blauwe en twee witte balletjes heeft genomen. 23. In een klas van 25 leerlingen zitten 11 meisjes en 14 jongens. Eén meisje is 16 jaar, acht meisjes zijn 17 en twee zijn 18 jaar. Bij de jongens zijn er 2 van 16, negen van 17 en drie van 18. Voor de leerlingenraad kiezen we willekeurig één meisje en één jongen. Wat is de kans dat:

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 25

a) ze beiden 17 jaar zijn? b) ze dezelfde leeftijd hebben? c) minstens één ervan ouder is dan 16? 24. Wat is de kans dat je bij een lottoformulier: a) 6 juiste cijfers hebt? b) precies 5 juiste cijfers hebt? 25. Urne A bevat een wit en een zwart bolletje. Urne B bevat 5 zwarte en 3 witte bolletjes en urne C bevat 4 zwarte en 4 witte bolletjes. Simon neemt eerst een bolletje uit A. Is het bolletje zwart dan neemt hij bolletje uit urne B. Is het eerste bolletje wit dan neemt hij het volgende uit urne C. a) Wat is de kans dat beide bolletjes wit zijn? b) Wat is de kans dat de twee bolletjes een verschillende kleur hebben? 26. Je moet 10 driekeuzevragen beantwoorden. Wat is de kans dat, als je elke vraag

gokt, je precies 3 juist hebt? 27. Het partijenvraagstuk : twee partijen A en B spelen een balspel waarbij punten

kunnen worden gescoord. Ze hebben allebei evenveel kans om een punt te scoren. De partij die het eerst 6 punten scoort wint de pot van 60 dukaten. Wegens het slechte weer moet het spel bij een 5-3 stand worden gestaakt. Er wordt besloten de pot te verdelen volgens de kans die ze hebben het spel te winnen. Hoe gebeurt de verdeling? Gebruik hier zeker een boomdiagram

28. Een persoon trekt op aselecte wijze met teruglegging opeenvolgende kaarten uit

een kaartspel tot wanneer hij een aas trekt. a) Wat is de kans dat hij bij de 5de trekking een aas neemt? b) Wat is de kans dat hij meer dan 3 keer moet trekken om een aas te nemen? 29. Een persoon heeft 10 bankbiljetten in zijn zak waarvan er buiten zijn weten 2 vals

zijn. Hij doet een betaling en neemt lukraak 5 biljetten. a) Wat is de kans dat hij gedeeltelijk met vals geld heeft betaald

b) Wat is de kans dat bij de biljetten beide valse zijn? 30. Van een lading gloeilampen weten we dat 1 op de 20 lampen defect is. We kopen 15

lampen. a) Wat is de kans dat er geen defecte lamp bij is? b) Wat is de kans dat er precies één defecte lamp bij is? c) Wat is de kans dat er meer dan één defecte lamp bij is? 31. 3 leerlingen vormen een ploeg en moeten een vraag over kansrekening

beantwoorden. De kans dat de leerlingen afzonderlijk een vraag over kansrekening kunnen oplossen is respectievelijk 70%, 50% en 45%. Wat is de kans dat de ploeg de vraag kan oplossen?

32. In een fabriek worden eetserviezen gefabriceerd. Elk servies wordt gecontroleerd

op vorm, kleur en kwaliteit van het oppervlak. Uit ervaring weten we dat 25% niet voldoet aan de vorm, 85% passeert de kleurcontrole en 20% voldoet niet aan de 3de controle. Een servies dat de 3 controles met goed gevolg passeert is 1ste keus. 2de keus hebben we als slechts één controle fout afloopt. De rest wordt uitgesloten.

Een servies 1ste keus wordt verkocht aan 325 euro, 2de keus wordt voor 250 euro aan de man gebracht. De fabriek produceert elke dag 200 serviezen. Hoeveel zijn de gemiddelde maandelijkse inkomsten?

33. Een muntstuk wordt 4maal opgeworpen. Bereken de kans dat a) we 4 maal kruis werpen b) we meer kruis werpen dan munt 34. Voor een mondeling examen meten de studenten negen hoofdstukken verwerken. De

examinator stelt aan elke student vijf vragen die elk op een ander hoofdstuk betrekking hebben en hij kiest de hoofdstukken lukraak. Een student heeft slechts 6 hoofdstukken ingestudeerd, maar hij kan dan ook elke vraag erover juist beantwoorden. Bereken de kans dat:

a) de student alle vragen juist beantwoordt b) de student geslaagd is. 35. In een loterij met twintig loten worden aan drie verschillende loten een prijs

toegewezen. Iemand heeft 4 loten gekocht. Bereken de kans dat hij a) minstens één prijs heeft b) juist 2 prijzen heeft 36. We gooien met 5 dobbelstenen. Wat is de kans dat we 4 gelijke ogen hebben? 37. In een vijver zitten 20 vissen. Er worden 5 vissen gevangen, gemerkt en terug in de vijver geworpen. We vangen nadien terug 4 vissen. Wat is de kans dat er juist 2 gemerkte vissen zullen bijzijn? 38. Er wordt aan een schijf gedraaid.

A A

B B

A

A a) Wat is de kans dat je minstens tweemaal A draait als je in totaal vijfmaal aan de schijf draait? b) Hoeveel keer moet je aan de schijf draaien opdat de kans dat je minstens éénmaal A draait meer dan 90% wordt? 39. In een bak zitten 2 witte knikkers, 3 zwarte en 5 rode. We nemen lukraak een

eerste knikker, leggen hem niet terug en nemen dan lukraak een tweede knikker. Bereken de kans dat de 2de knikker rood is.

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 26

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 27

5. Afhankelijke en onafhankelijke experimenten: Stel dat we tweemaal na elkaar een kaart trekken uit een stel kaarten zonder teruglegging. We berekenen de kans dat de tweede kaart een rode kaart is. Deze kans is uiteraard afhankelijk van wat de kleur is van de 1ste kaart. We spreken hier van een afhankelijk experiment. De kans die we berekenen opdat de 2de kaart rood zou zijn is een voorwaardelijke kans. Zo spreken we van: De kans dat de 2de kaart rood is als de eerste zwart was : P ( R ⎜ Z ) = De kans dat de 2de kaart rood is als de eerste rood was : P ( R ⎜ R ) = Merk op dat als we een kansboom tekenen de voorwaardelijke kansen altijd genoteerd worden per tak vanaf de 2de vertakking. Stel dat we 2 kaarten nemen zonder teruglegging. Stel A = getrokken 1ste kaart is een heer Stel B = getrokken 2de kaart is een aas Maak een kansboom Zijn A en B afhankelijke of onafhankelijke experimenten? Wat is P ( B ⎜ A )? Wat is P(B)? Conclusie: A en B zijn onafhankelijke experimenten als P(A) = P ( A ⏐ B ) Beschouw volgende experimenten. Zijn volgende (deel)experimenten onafhankelijk? a) Drie kaarten trekken met teruglegging b) Drie kaarten trekken zonder teruglegging c) Twee personen nemen elk een natuurlijk getal kleiner dan twintig in gedachten, d) Eén persoon neemt twee verschillende natuurlijke getallen kleiner dan twintig in gedachten. e) Een geldstuk driemaal opgooien f) Vijf loten kopen van een tombola waarin twintig prijzen te winnen zijn. g) Van tien zieken nagaan of een nieuw geneesmiddel bij hen al dan niet een gunstig effect heeft. h) Eén poging wagen in de lotto, dus zes verschillende getallen kiezen van 1 tot 42 i) Twee pogingen wagen in de lotto, dus tweemaal zes getallen kiezen

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 28

Men onderzoekt bij 100 personen of ze kort of lang haar hebben en of ze een bril dragen. We bekomen volgende resultaten: vrouw man lang haar 50 10 kort haar 20 20 Bereken: P(V), P(KH), P(V⎟ LH), P(V⎟ KH), P(KH⎟ M), P(KH) Vergelijke P(V), P(V⎟LH) en P(V⎟KH) vrouw man bril 14 6 geen bril 56 24 Bereken: P(V), P( GB ), P(V⎟ B), P(V⎟ GB), P(GB⎟V) P(GB⎟M) Vergelijk P(M), P(M⎟B) en P(M⎟GB) Vergelijk P(GB), P(GB⎟M) en P(GB⎟V) Bereken : a) P(V).P(B·V) en P (B).P(V⎜B) b) P(M).P(KH·M) en P(KH).P(M⎜KH) Besluit : WET VAN BAYES: P(A).P(B ⎜A) = P(B).P(A ⎜B) Bijkomende toepassing op wet van Bayes: Stel dat het gemiddeld 1 dag op de 4 dagen regent. Als het regent neemt Jan in 80% van de gevallen de bus om naar school te gaan. In de andere gevallen neemt hij de fiets. Als het niet regent, is de kans dat hij de fiets neemt 65%. In de andere gevallen neemt hij de bus. Maak een kansboom en bereken: a) de kans dat Jan de fiets neemt b) de kans dat het regent als hij de fiets neemt.

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 29

Oefeningen: 39. In een vaas zitten 8 witte, 5 rode en 2 groene knikkers. We nemen zonder

teruglegging 2 knikkers. Bereken volgende kansen: a) P(W2 ⏐ W1) b) P (R2 ⏐ G1 )

c) P ( R , R ) d) P ( minstens één witte ) e) P ( geen rode ) 40. Jan, Piet, Jo en Paul gooien hun gymschoenen op een hoop. Jan neemt zonder kijken

twee schoenen terug. Wat is de kans dat a) het zijn paar schoenen is b) beide schoenen toebehoren aan verschillende personen? c) het twee linkerschoenen zijn? d) beide schoenen toebehoren aan één uit het gezelschap? 41. Gegeven twee bakken A en B. Bak A bevat 3 rode en 2 witte balletjes Bak B bevat 2 rode en 5 witte balletjes Men kiest toevallig een bak. We veronderstellen dat beide bakken evenveel kans

hebben om gekozen te worden. Uit deze bak trekt men één bal en plaatst die in de andere bak. Nadien trekt men één bal uit die laatste bak. Zoek de kans dat de twee getrokken balletjes dezelfde kleur hebben.

42. Een student krijgt 20 vragen waarop hij ja of neen kan antwoorden; die student

heeft echter slechts 40 % van zijn cursus goed ingestudeerd. Als hij een vraag krijgt uit het stuk dat hij gestudeerd heeft, heeft hij 90 % kans om juist te antwoorden. Als hij een vraag krijgt uit het andere stuk van de cursus heeft hij 50% kans om juist te antwoorden. Denk je dat deze student zal slagen?

43. In een lenzenfabriek zijn er 3 productieketens van contactlenzen. Deze ketens nemen elk respectievelijk 35%, 25% en 40% van de totale productie op zich.

Hun werking is niet foutloos en ze leveren respectievelijk 3%, 4% en 2% defecte lenzen. We nemen lukraak een geproduceerde lens. Deze blijkt defect te zijn.

Wat is de kans dat deze lens afkomstig is van de 2de productieketen? 44. De ervaring heeft geleerd dat er onder de metaalonderdelen geproduceerd door

een productielijn 2% niet voldoet aan de vooraf gestelde normen. Om deze onderdelen te ontdekken wordt de ganse productie onderworpen aan een trekproef. Men weet dat bij deze proef 3% van de onderdelen die aan de normen voldoen toch afgekeurd worden en 5% van de onderdelen die niet aan de normen voldoen niet afgekeurd worden.

Bereken a) de kans dat een onderdeel wordt afgekeurd b) de kans dat een onderdeel dat bij de proef goedgekeurd is eigenlijk niet aan

de norm voldoet. c) de kans dat een onderdeel dat bij de proef afgekeurd is aan de normen voldoet.

45. Op 100 deelnemers aan een examen kunnen we een opsplitsing maken naar N (normalen), L (losbollen) en F (fanaten). In volgende tabel bekom je de verdeling alsook wie slaagt en niet.

Normalen (N) Losbollen (L) Fanaten (F) totaal mislukken (M) 15 24 10 49 Slagen (S) 35 6 10 51 totaal 50 30 20 100

Stel een boomdiagram op en bereken P(N⎜M) 46. Men weet dat 1% van een populatie besmet is met een virus. Als de persoon besmet is, reageert een test in 97% van de gevallen positief. Bij niet-besmette personen blijft de test in 95 % van de gevallen negatief. Wat is de kans dat een persoon besmet is als de test positief uitvalt? 47. Een fabriek is gesloten tijdens het weekend. Van de radiotoestellen die op maandag geassembleerd zijn vertonen er 6% één of andere constructiefout. Op vrijdag bedraagt dat aantal 3% en op de andere weekdagen slechts 1%. Als je nieuwe radiotoestel een fout vertoont, wat is de kans dat het op vrijdag gemaakt werd?Op woensdag? 48. Speler A gooit met twee zuivere dobbelstenen. Hij krijgt van speler B 1 Euro als hij minder dan zes ogen op de twee stenen samen gooit. In het andere geval zal A aan B 0,5 Euro betalen. In wiens voordeel is dit spel? 49. Je moet een meerkeuzetoets met 5 vragen invullen. Voor elke vraag zijn er 3 mogelijke antwoorden. Je krijgt 2 punten als je een correct antwoord geeft, is het antwoord fout dan wordt er een punt afgetrokken. Je moet alle vragen beantwoorden. Wat is je gemiddelde score als je lukraak invult?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 30

5. Stochastische variabelen Vb. we werpen driemaal met een muntstuk en noteren het aantal keren munt. Het aantal keren munt is veranderlijk en gebonden aan het toeval: het is een toevalsvariabele of stochast. We stellen deze meestal voor door de letter X. De waarden die het hier kan aannemen zijn 0, 1, 2 of 3 Gebruik een kansboom om de kansverdeling op te stellen van het aantal keren munt.

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 31

aantal keren munt 0 1 2 3 kans

Staafdiagram:

x

p

Een stochast is een variabele waarvan de waarde afhangt van het toeval. Als we van alle waarden die de stochast kan aannemen de kans berekenen bekomen we een kansverdeling van de stochast. De som van al deze kansen is gelijk aan 1.

Verwachtingswaarde van een stochast ( gemiddelde van een stochast ) Stel dat we 12 maal met een teerling werpen. Beschouw de stochast “ aantal keren 6” De mogelijke waarden voor deze stochast zijn 0, 1, 2 …. 11, 12 We kunnen ons de vraag stellen: als we 12 maal werpen hoeveel keer zullen we gemiddeld een 6 gooien? We zoeken dus de verwachtingswaarde: de waarde die we normaal mogen verwachten. We zullen aan de hand van een voorbeeld de formule opstellen: Een winkel verkoopt 3 maten T-shirts: small (S), medium (M) en large(L). De winsten die ze maken op deze T-shirts zijn respectievelijk 2 , 4 en 5 Euro. Tijdens de zomermaanden werden in totaal 300 T-shirts verkocht: 90S, 150M en 60L. Wat is in ons voorbeeld de stochastische variabele? Welke waarden heeft deze variabele? Stel de kansverdeling op. Wat is de totale winst die de winkel heeft gemaakt? Wat is de gemiddelde winst? Besluit: Als xi de mogelijke waarden zijn van een stochast met respectievelijke kansen pi dan is de verwachtingswaarde i iμ x .p=∑ Oefeningen: 50. Bespreek de stochast X “ som van de ogen als we tweemaal gooien met een dobbelsteen”. Gevraagd: a) kansverdeling en staafdiagram b) Wat is de kans om meer dan 8 te gooien? c) Wat is de kans om minder dan 3 te gooien? d) Verwachtingswaarde 51. Men trekt drie knikkers, met teruglegging, uit een vaas die 6 witte en 10 rode knikkers bevat. Stel de kansverdeling op van de stochast X “aantal getrokken witte knikkers” Wat is de kans om minstens één witte knikker te trekken? Wat is de verwachtingswaarde? 52. In een doos zitten 8 goede en 2 slechte lampen. We nemen zonder teruglegging 4 lampen willekeurig uit de doos en bekijken het aantal slechte lampen dat we genomen hebben. Hoeveel slechte lampen zullen we gemiddeld nemen? 53. In een doos zitten 9 rode en 6 witte knikker. We trekken met teruglegging 2

knikkers. Stel de kansverdeling op van het aantal witte knikkers dat we trekken. Wat is de verwachtingswaarde? 54. Bij een eerlijke roulette hebben alle 37 nummers evenveel kans om uit te komen. Een speler zet 10Euro op nummer 7. Als zijn nummer uitkomt, ontvangt hij 36 maal zijn inzet. In het andere geval is hij zijn inzet kwijt. Welke gemiddelde winst mag hij per spel verwachten?

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 32

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 33

55. Je gooit met 2 dobbelstenen. Indien je twee zessen gooit ontvang je €2. Indien je één zes gooit krijg je €1 en in alle andere gevallen moet je €0,50 betalen. Mag je winst of verlies verwachten bij dit spel en hoeveel? 56. Bij een dobbelspel met twee personen A en B wint A €1 wanneer hij een 1 of 2

gooit. Hij wint €0,25 bij het gooien van een 3 of 4 en verliest €0,5 bij het gooien van een 5. Welke winst of welk verlies moeten we voorzien bij het gooien van een 6 om een eerlijk spel te hebben (beide spelers gelijke winst- of verlieskansen)

57. Een roomijsverkoper rekent per 20 dagen op 6 dagen zon, 9 dagen overtrokken weer en 5 dagen regen. Hij wint €500 op een zonnige dag, €150 op een overtrokken dag en verliest €250 op een regenachtige dag. Bereken de gemiddelde winst per dag?

5. Binomiale kansverdeling Onder een Bernouilli-experiment verstaan we elk experiment met slechts 2 mogelijke uitkomsten. vb. muntstuk werpen : kruis of munt vb. met dobbelsteen werpen : zes werpen of niet vb. kaart nemen : aas nemen of niet Een van de 2 uitkomsten ( deze waarvoor we belangstelling hebben ) noemen we succes, de andere is dan mislukking. De kans op succes stellen we voor door p. De kans op mislukking is dan q en is gelijk aan 1-p. vb. muntstuk werpen succes = kruis werpen p=1/2 q=1/2 vb. dobbelsteen succes = 6 werpen p=1/6 q=5/6 vb. kaart nemen succes = aas trekken p = 1/13 q = 12/13 Als we een bernouilli-experiment n keer herhalen kan het zijn dat succes 0, 1 , 2 , …. , n keer voorkomt. Voor elk van deze waarden kunnen we de kans berekenen. Als we van elk van deze waarden de kans kennen hebben we een binomiale kansverdeling. vb: We werpen 7 maal een dobbelsteen Succes = zes gooien mislukking = geen 6 gooien p = 1/6 q = 5/6 n = 7 We berekenen nu de kansen op 0 , 1 , 2 , …. , 6, 7 keer een zes gooien op 7 worpen.

De kans op 0 keer 6 wordt gegeven door 0 71 5.

6 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De kans op 1 keer 6 wordt gegeven door 1 6 171 5 1 57. . . .

16 6 6 6⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

6

De kans op 2 keer 6 wordt gegeven door 2 57 1 5. .

2 6 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

De kans op k keer 6 (k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}) wordt gegeven door k 77 1 5. .

k 6 6

k−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

FORMULE Stel een binomiaal experiment met kans op succes p dat n keer wordt herhaald dan is de

kans dat we k keer succes hebben gelijk aan ( ) ( )k 7n. p . 1 p

kk−⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 34

In bijgevoegde figuur bekom je het histogram van een binomiale verdeling waarbij n=30, p=0,4 Opmerking : men kan aantonen dat het gemiddelde aantal keren succes op n keer gegeven wordt door n.p 58. We gooien negenmaal met een duimspijker. Bij elke worp is de kans dat de duimspijker met de punt omlaag zal liggen gelijk aan 0,2. Bereken de kans dat dit tweemaal gebeurt en dat dit minstens eenmaal gebeurt. 59. Door een verkeerde regeling van de machines bij de fabricage zijn 10% van de afgewerkte stukken defect. We kiezen aselect tien stukken. Bereken de kans dat er ten hoogste drie defecte stukken bij zijn. 60. Een eerste persoon kiest aselect één van de getallen 1, 2, 3, 4, 5. Een tweede

persoon moet het gekozen getal raden. Als we dit experiment elfmaal uitvoeren, wat is dan de kans dat de tweede persoon juist tweemaal juist raadt?

61. Bij de luchthaven zijn vier firma’s gevestigd die personenwagens verhuren. We nemen aan dat de reizigers lukraak een van deze firma’s kiezen. Op een dag arriveren er 25 reizigers die een wagen wensen te huren. Bereken de kans dat minstens 5 ervan zich tot firma A zullen wenden.

Combinatoriek – kansrekenen bladzijde 35