Post on 13-May-2015
Hans Welleman 1
Virtuele arbeid
Hfst 15
Hans Welleman 2
ARBEID
F
u
uF
FuFA
Arbeid = kracht maal verplaatsing langs de werklijn van de kracht
Hans Welleman 3
BELAST PUNTDEELTJE
Puntdeeltje
x
y
z
zzyyxx FuFuFuA
Bij een virtueel mogelijke verplaatsing leveren de krachten virtuele arbeid.
e.v. 1 e.v. 2 e.v. 3
neem virtuele verplaatsingen aan in x,y en z-richting:
, ,x y zu u u
evenwicht eist:
0A
Hans Welleman 4
STAR LICHAAMmogelijke verplaatsingen zijn: translaties en rotaties
verplaatsing v/h lichaam ligt vast
met 2 translaties en 1 rotatie
in een punt (b.v. O):
O
0 0 0, ,x y zu u
Hans Welleman 5
VERPLAATSING van punt i ?
Horizontale verplaatsing van O Verticale verplaatsing van O Rotatie om O
verplaatsingsbijdragen t.g.v. de rotatie !
0zr
Hans Welleman 6
VERPLAATSING door kleine rotaties
0
sin
cos
met en:
sin cos
z i
i i
i i
a c
b c
c r
y x
r r
0
0
i z
i z
a y
b x
c=
Horizontale verplaatsing = verticale afstand tot rotatiepunt maal de rotatie
Verticale verplaatsing = horizontale afstand tot rotatiepunt maal de rotatie
Hans Welleman 7
VERPLAATSING van punt i0 0 0
0 0 0
xi x x i z
yi y y i z
u u a u y
u u b u x
Hans Welleman 8
ARBEID OP STAR LICHAAM
Fxi
Fyi
0 0 0
0 0 0 0
:
xi xi yi yi
xi x yi y z i yi i xi
xi x yi y z
arbeid
A F u F u
A F u F u x F y F
A F u F u T
0 0 0
0 0 0
xi x x i z
yi y y i z
u u a u y
u u b u x
Hans Welleman 9
VIRTUELE ARBEIDvoor een star lichaam
0 0 0
0 0 0 0
algemeen geldt:
xi x yi y z i yi i xi
xi x yi y z
A F u F u x F y F
A F u F u T
e.v. 1 e.v. 2 e.v. 3kracht maal verplaatsing moment maal rotatie
evenwicht eist:
0A
Hans Welleman 10
CONCLUSIE
Beginsel van virtuele arbeid is het zelfde als het toepassen van het EVENWICHT
Hans Welleman 11
u
u
Virtuele arbeid voor mechanismen Arbeid verricht door de
interactiekrachten is samen nul
Krachten zijn evengroot en tegengesteld en beide delen hebben dezelfde (virtuele) verplaatsing
(1) (2)u uA A A
Alleen uitwendige krachten verrichten arbeid !
Hans Welleman 12
MECHANISMEN
Kinematisch onbepaald Welke mogelijkheden ?
Scharnier, N, V geen M
Glij-scharnier, N, M geen V
Telescoop, V, M geen N
Geen van de aanwezige verbindingskrachten levert
arbeid !
Hans Welleman 13
BIJZONDER GEVALglij- of schuifverbinding
arbeid door M is nul !
Arbeid door moment t.g.v. N :
A N u
kleine virtuele verplaatsingen en rotaties : arbeid = NUL
Kan vrij bewegen zonder dat er arbeid
wordt verricht !
Virtuele verplaatsingen zijn klein maar worden overdreven groot getekend
Geen cirkelbogen toepassen maar rechte hoeken (rotaties zijn ook klein maar worden groot getekend)
Hans Welleman 14
RESULTAAT
Voor mechanismen geldt dat de totale virtuele arbeid de arbeid is die wordt verricht door alleen de van buiten op de constructie aangrijpende krachten
Hans Welleman 15
MECHANISMEN ?????
Geen zinvolle constructie Dat is juist maar …….
=
M
arbeid = 0
M
alleen M kan arbeid verrichten !
Hans Welleman 16
NU MET BELASTING …....
Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn !
F
=
FM M
eis totale arbeid = 0 !
levert : M
M FM
u
Hans Welleman 17
VOORBEELD : bepaal M(a)
l
F
a b
M
F
M
u
1
u
a
2
u
b
x-as
z-as
1 2 0
0
A F u M M
u uA F u M M
a b
1 10F M
a b
F abM
a b
Hans Welleman 18
AANPAK Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten
(virtuele) arbeid verrichten Dit kan alleen door de bij de kracht of
moment behorende vrijheidsgraad een (virtuele) verplaatsing of rotatie te geven
Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een mechanisme. Alleen de belasting en de gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen vervorming in de constructie)
Hans Welleman 19
VOORBEELD : oplegreactie AV
AV
F
u
l
a bz-as
F
0V
V
u bA A u F
lF b
Al
ub
l
AV
Hans Welleman 20
“SMAKEN” VOOR LIGGERS
Oplegreacties - neem de oplegging weg Inklemmingmoment - scharnier Dwarskracht - schuifscharnier Moment - scharnier Normaalkracht - telescoop
u u
V
V
u
Hans Welleman 21
…is een FEEST !!
…en precies het zelfde als EVENWICHT
VIRTUELE ARBEID …..