H5 Financiële Rekenkunde

Case Spaarplan

Nadat Frederik afgestudeerd is in de marketing gaat hij werken in een grote internationale onderneming. Hij verdiept zich privé in de mogelijkheden die er zijn om te sparen.

Bij overleg met een financieel adviseur van de Rabobank wordt het volgende spaarplan aangereikt:

Case Spaarplan

ieder spaarjaar dient hij aan het begin van dat jaar 600 euro te storten

hier wordt 2% administratiekosten van afgehaald het spaarplan loopt na overleg 22 jaar lang het verwachte rendement ieder jaar bedraagt 7,2%

Frederik vraagt zich af hoe groot het verwachte eindbedrag zal zijn.

Slotwaarde en contante waarde

Voorbeeld:

Je zet 100 euro op de bank aan het begin van het jaar.

De jaarrente is i = 5%.

Na 1 jaar heb je 100.1,05 = 105 euro

Na 2 jaar 100.1,05.1,05 = 100.1,05² = 110,25 euro

Na n jaren 100.1,05n

Dit heet de slotwaarde.

Slotwaarde en contante waarde

Regel 1

De SLOTWAARDE van een bedrag X na n jaren met een jaarrente i is:

X.(1+i)n

Hierin heet i het groeipercentage en 1+i de groeifactor.

Slotwaarde en contante waarde

Voorbeeld:

Je hebt 100 euro op de bank tegen een jaarrente van i = 5%.

1 jaar geleden 100/1,05 = 95,24 euro

2 jaar geleden 100/1,05²= 90,70 euro

n jaren geleden

Dit heet de contante waarde.

n05,1

100

Slotwaarde en contante waarde

Regel 2

De CONTANTE WAARDE van een bedrag X gerekend over n jaar geleden met een jaarrente i is:

n

X

(1 i)+

Maandrente

Voorbeeld:

Je zet 100 euro op de bank tegen een jaarrente van 6%. Hoe groot is de maandrente?

Noem de groeifactor van een maand x, dan:

100.x12 = 106

Dan is de maandrente

%49,00049,0106,112

Maandrente

Regel 3

Uitgaande van een jaarrente i is de maandrente:

12 1 i 1+ -

Het bepalen van de looptijd

Voorbeeld:

Je hebt 3000 euro op je bankrekening staan en de jaarlijkse rente is 3,2%. Hoeveel jaar duurt het dan totdat dit bedrag is aangegroeid tot 4000 euro?

Het bepalen van de looptijd

Dan geldt: 4000 = 1,032n * 3000

Dit wordt: 1,33 = 1,032n

We lossen dit op met de logaritme uit hoofdstuk 1.

Je doet er dus 9 jaar en iets minder dan 2 maanden over om op 4000 euro te komen.

log1,33n 9,15

log1,032= =

Het bepalen van de looptijd

Regel 4

Als de contante waarde (CW), de slotwaarde (SW) en de rente (i) gegeven zijn, kun je de looptijd berekenen volgens de volgende formule: SW

logCWn

log(1 i)=

+

Periodieke stortingen

Voorbeeld:

Ieder jaar aan het einde van het jaar 1000 sparen tegen een rente van i = 7%, gedurende 20 jaar.

Hoe groot is het eindbedrag?

Periodieke stortingen

Regel 5

De som van de slotwaarden van n periodieke stortingen verricht aan het einde van iedere periode tegen een intrest i is gelijk aan:

Hierin is X de periodieke storting.

n(1 i) 1X.

i

+ -

Periodieke stortingen

Toegepast op het voorbeeld:

X = 1000 euro

i = 7% = 0,07

n = 20

Invullen:

Het eindbedrag is 40.995,49 euro

n 20(1 i) 1 1,07 1X. 1.000. 40.995,49

i 0,07

+ - -= =

Periodieke stortingen

Voorbeeld:

Ieder jaar aan het begin van het jaar 1000 sparen tegen een jaarrente i = 7%, gedurende 20 jaar.

Hoe groot is het eindbedrag?

Periodieke stortingen

Regel 6

De som van de slotwaarden van n periodieke stortingen verricht aan het begin van iedere periode tegen een intrest i is gelijk aan:

Hierin is X de periodieke storting.

n(1 i) 1X.(1 i).

i

+ -+

Periodieke stortingen

Toegepast op het voorbeeld:

X = 1000 euro

i = 7%

n = 20

Invullen:

Het eindbedrag is 43.865,18 euro.

n 20(1 i) 1 1,07 1X.(1 i). 1.000.1,07.

i 0,07

43.865,18

+ - -+ = =

Periodieke betalingen

Voorbeeld:

Je leent 5000 euro bij de bank. Dit wordt gedurende 10 jaar afgelost aan het einde van het jaar, tegen een jaarrente van i = 6%.

Hoe groot is het jaarlijkse af te lossen bedrag?

Periodieke betalingen

Regel 7

De som van de contante waarden van n periodieke betalingen verricht aan het einde van iedere periode tegen een intrest i is gelijk aan:

Hierin is X de periodieke betaling.

n1 (1 i)X.

i

-- +

Periodieke betalingen

Toegepast op het voorbeeld:

X = 5000 euro

i = 6%

n = 10

Invullen:

Dan is X. 7,36009 = 5.000

De periodieke betaling is X = 679,34 euro

n 101 (1 i) 1 1,06X. X. 5.000

i 0,06

- -- + -= =

Periodieke betalingen

Voorbeeld:

Je leent 5000 euro bij de bank. Dit wordt gedurende 10 jaar afgelost aan het begin van het jaar, tegen een jaarrente van i = 6%.

Hoe groot is het jaarlijkse af te lossen bedrag?

Periodieke betalingen

Regel 8

De som van de contante waarden van n periodieke betalingen verricht aan het begin van iedere periode tegen een intrest i is gelijk aan:

Hierin is X de periodieke betaling.

n1 (1 i)X.(1 i).

i

-- ++

Periodieke betalingen

Toegepast op het voorbeeld:

X = 5000 euro

i = 6%, n = 10

Dan is de periodieke betaling X = 640,89 euro.

n 101 (1 i) 1 1,06X.(1 i). X.1,06.

i 0,06

X.7,80169 5.000

- -- + -+ = =

=

Oplossen Case Spaarplan

Het oplossen van de case gaat als volgt:

De case gaat over periodieke betalingen. Daarmee kom je bij regel 4, 5, 6 en 7.

Het gaat om sparen. Daarmee blijven regel 4 en 5 over.

De periodieke betaling geschiedt aan het begin van een jaar.

Nu blijft alleen regel 5 over.

Oplossen Case Spaarplan

Regel 5 luidt:

Er wordt € 600,- overgeboekt, waarvan 2% administratie- kosten worden afgehaald (2% * 600 = 12).

Dus X = 588

i = 7,2% = 0,072 (verwachte rendement op jaarbasis)

n = 22 jaar

n(1 i) 1X (1 i)

i

+ -+g g

Oplossen Case Spaarplan

Alles ingevuld geeft:

Het verwachte eindkapitaal bedraagt €31.658,69.

n n(1 i) 1 1,072 1X (1 i) 588 1,071

i 0,072

31.658,69

+ - -+ = =g g g g