Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

6th Lecture / 6. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Markleinmarklein@uni-kassel.de

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 2

FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften

Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung

Consistency / Konsistenz

Dissipation / Dissipation

Stability Condition / Stabilitätsbedingung

Convergence / Konvergenz

?

?

z

t

( )t f z

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 3

Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema

2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method

(Fourier series method):

Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification

matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.

Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):

Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins

sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave

/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene

Welle

0

0

ˆj0 0

ˆj j0 0

ˆ( , ) ( , ) e

ˆ( , ) e e

t kx

t k

E t E

E

k R

k R

R k

k

FD FD( 1) ( )1D 1D

:t tn n W G W G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix

FD FD1D 1D

1 G Gof the matrix /Spectral radius /Spektraler Radius der Matrix

FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .

where max / -w obe :i n nn N

nn

G G G Gth eigenvalue of the matrix

ter Eigenwert der Matrix

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 4

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2 2 2 2

0

k k k =k

k k k k

x z z zx z z z

x y z z zk k

kc

k e e e e

k k k

Wave vector / Wellenvektor

Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors

Wavenumber /Wellenzahl

Circular freque

0 02

sgn

(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k

ˆ sgn(k ) (

z zz zzz zz z

z

z z

f

k

k k

k k

ee ek

k

ek

k R e

ncy /Kreisfrequenz

Propagation direction /Ausbreitungsrichtung

Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e

Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /

Monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich

0

0

ˆj0 0

ˆj j0 0

ˆ( , ) ( , ) e

ˆ( , ) e e

t kx

t k

E t E

E

k R

k R

R k

k

k̂

R

ˆ const.k R

Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 5

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

0

0

0

0

( , 1) j ( 1)j0 0

exp( )

j ( 1)0 0

( , ) j0 0

( , 1) j ( 1)0 0

ˆ ˆ ˆ( , ) e e

ˆ ˆ( , ) exp( ) e

ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e

ˆ ˆ( , ) exp( ) e

z t tz

z

t

z t t

z t t

n n n tkn zx x

n

n tx z

n n n tx x z

n n n tx x z

E E

E n

E E n

E E n

k

k

k

k

0

0

0

( 1, ) jj0 0

( , ) j0 0

( 1, ) jj0 0

ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e

ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e

ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e

z t t

z t t

z t t

n n n tk zx x z

n n n tx x z

n n n tk zx x z

E E n

E E n

E E n

k

k

k

( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n nx x x x x xE E E t E E E

0 0( , ) j jj0 0 0 0

exp( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e e ( , ) exp( ) ez t t tz

z

n n n t n tkn zx x x z

n

E E E n

k k

0 0 0

0

0 0

- j ( 1) - j - j ( 1)0 0 0 0 0 0

- j2 j - j0 0 0 0 0 0

- j - j ( 1)20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 ( , ) e ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e 2 ( , ) ( , ) e e

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

(

t t t

t

z t

n t n t n tx x x

n tk z k zx x x

n t n tx x

E E E

t E E E

t E E

k k k

k k k

k k

0- j2 j - j0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ) ( , ) e ( , ) e e tn tk z k zx xt E E k k

Insert discrete plane wave / Setze die diskrete ebene Welle

into the FD scheme / in das FD-Schema ein

with / mit

it follows / folgt

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Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

0 0 0

0

0 0

j ( 1) j j ( 1)20 0 0 0 0 0

j2 j j0 0 0 0

j j ( 1)20 0 0 0

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e ( , ) e e

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

( )

t t t

t

t t

n t n t n tx x x

n tk z k zx x

n t n tx x

E t E E

t E E

t E E

t

k k k

k k

k k

0

0 0

0

0

jj j0 0

2cos( )

j j ( 1)20 0 0 0

j20 0

j ( 1) 20 0 0 0

ˆ ˆe e ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

ˆ ˆ ( ) 2cos( ) ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) cos( ) 1 ( ,

t

t t

t

t

n tk z k zx

k z

n t n tx x

n tx

n tx x

E

t E E

t k z E

E t k z E

k

k k

k

k k

0 0j j ( 1)0 0

ˆ ˆ) e ( , ) et tn t n txE

k

2 22sin 1 cos 2sin cos 12 2

0 0 0

0 0

- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0

- j ( 1) - j2 20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2

t t t

t t

n t n t n tx x x

n t n tx x

k zE t E E

k zE t E

k k k

k k

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 7

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

0 0 0

0 0

- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0

- j ( 1) - j2 20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2

t z t

t t

n t n t n tx x x

n t n tx x

k zE t E E

k zE t E

k k k

k k

0

0

( ) - j0 0

( ) ( 1)

- j ( 1)0 0

ˆ ˆ( , ) e

ˆ ˆ( , ) e

t t

t t

t

n n tx

n n

n tx

U E

V U

E

k

k

( 1) ( 1) ( )2 2

( ) ( )2 2

2 1 2( ) sin2

2 1 2( ) sin2

t t t

t t

n n n

n n

k zU U t U

k zV t U

Define / Definiere

which yields for the above equation / womit wir für die obere Gleichung erhalten

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 8

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

( )

( )

( )

tt

t

nn

n

U

V

W

( 1) ( )FD1D

( 1) 2 2 ( )

( 1) ( )

FD( 1) ( )1D

2 1 2( ) sin 12

1 0

t t

t t

n nt t

t t

n n

n n

n n

k ztU U

V V

W WG

W G W

2 2FD1D

2 2 2

2 1 2( ) sin 1det 2

1

2 1 2( ) sin 12

k zt

k zt

G I

FD1D

det 0 G I FD FD1D 1D

: -nnn G Gth eigenvalue of the matrix

ter Eigenwert der Matrix

Define a new algebraic vector / Definiere einen neuen algebraischen Vektor

FD1D

:G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix

Characteristic polynomial / Charakteristisches Polynom

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 9

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2 2

2 2 2 2 2 2 22 1 2( ) sin 1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2 2

k z k z k zt t t

2 2

2 2 2 21 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2

k z k zt t

2

22 2 2 2

1/ 2

2

2

1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2

1

j 1

a a

k z k zt t

a a

a a

2 2 1 / 1a a if falls

Eigenvalues of the amplification matrix / Eigenwerte der Verstärkungsmatrix

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 10

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

22 2 2 2 21/ 2 j 1 1 1

1

a a a a a a

2

22 2 2 2

1/ 2

2

2 2 2

1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2

1

j 1 if 1 / falls 1

a a

k z k zt t

a a

a a a a

Unit circle /Einheitskreis

1

1

1

1This means for, that all eigenvalues

a2 ≤ 1 are on the unit circle in the complex plane. /

Dies bedeutet, dass alle Eigenwerte für

a2 ≤ 1 auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen.

Re jIm 1, 2n n n n

Im n

Re n

FD1D

1 G

Spectral radius /Spektraler Radius

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 11

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2

22 2 2 2 2 2 2

1/ 2 1 2( ) sin j 1 1 2( ) sin j 1 if 1 / falls 12 2

a a

k z k zt t a a a a

2

22 2

2 2 4 4

2 2 2 2

2 2

2 2

0

1

1 2( ) sin 12

1 4( ) sin 4( ) sin 12 2

4( ) sin 1 ( ) sin 02 2

11 ( ) sin 0

24( ) sin

2

a

k zt

k z k zt t

k z k zt t

k zt

k zt

2 2

2 2

1 ( ) sin 02

( ) sin 12

k zt

k zt

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 12

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2 2

2 2

2 2

( ) sin 12

( ) sin 12

( ) 1 max sin 12

1

k zt

k zt

k zt

t

because /

weil

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 13

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

max1-D / 1D: 1

xt t t

c

ref

ref

: t x

t tt c

Courant number /

Courant - Zahl

1-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /1D-Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-

Bedingung

2-D and 3-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /

2D- und 3D- Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-Bedingung

max

max

1 12-D / 2D: 0.707

2 21 1

3-D / 3D: 0.5773 3

xt t t

c

xt t t

c

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 14

-5.66343 -1 0 1 5.66343-5.66343

-1

0

1

5.66343

Re(n)

Im(

n)

1

2

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2 2 21/ 2

2 2 2

2 2

( ) 1 if 1 / falls 1

j 1 if 1 / falls 1

with 1 2( ) sin2

t a a a a

a a a a

k za t t

FD1D

1 GSpectral radius /Spektraler Radius

2 21/ 21 : j 1a a a

2 21/ 21: 1a a a

2 21 2

1 2

j 1 j 1

1 1

a a a a

2 21 2

1 2

1 1

lim 0 limt t

a a a a

t t

FD1D

1 GSpectral radius /Spektraler Radius

1/ 2

as a function of als Funktion von( ) t t

1( )t

2 ( )t

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40

1

5.66343

norm( t)

-5.66343 -1 0 1 5.66343-5.66343

-1

0

1

5.66343

Re(n)

Im(

n)

1

2

Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

FD

1D

t G

2 2 21/ 2

2 2 2

2 2

( ) 1 if 1 / falls 1

j 1 if 1 / falls 1

with 1 2( ) sin2

t a a a a

a a a a

k za t

Spectral radius / Spektraler RadiusEigenvalues / Eigenwerte

1( )t

2 ( )t

t

FD

1D

t G

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 16

End of Lecture 6 /Ende der 6. Vorlesung