Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1 Numerical Methods of...
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
6th Lecture / 6. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 2
FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dissipation / Dissipation
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 3
Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema
2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method
(Fourier series method):
Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification
matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.
Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):
Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins
sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave
/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene
Welle
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
FD FD( 1) ( )1D 1D
:t tn n W G W G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix
FD FD1D 1D
1 G Gof the matrix /Spectral radius /Spektraler Radius der Matrix
FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .
where max / -w obe :i n nn N
nn
G G G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 4
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 2 2
0
k k k =k
k k k k
x z z zx z z z
x y z z zk k
kc
k e e e e
k k k
Wave vector / Wellenvektor
Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors
Wavenumber /Wellenzahl
Circular freque
0 02
sgn
(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k
ˆ sgn(k ) (
z zz zzz zz z
z
z z
f
k
k k
k k
ee ek
k
ek
k R e
ncy /Kreisfrequenz
Propagation direction /Ausbreitungsrichtung
Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e
Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /
Monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
k̂
R
ˆ const.k R
Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 5
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0
0
0
0
( , 1) j ( 1)j0 0
exp( )
j ( 1)0 0
( , ) j0 0
( , 1) j ( 1)0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) e e
ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ( , ) exp( ) e
z t tz
z
t
z t t
z t t
n n n tkn zx x
n
n tx z
n n n tx x z
n n n tx x z
E E
E n
E E n
E E n
k
k
k
k
0
0
0
( 1, ) jj0 0
( , ) j0 0
( 1, ) jj0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e
z t t
z t t
z t t
n n n tk zx x z
n n n tx x z
n n n tk zx x z
E E n
E E n
E E n
k
k
k
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n nx x x x x xE E E t E E E
0 0( , ) j jj0 0 0 0
exp( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e e ( , ) exp( ) ez t t tz
z
n n n t n tkn zx x x z
n
E E E n
k k
0 0 0
0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)0 0 0 0 0 0
- j2 j - j0 0 0 0 0 0
- j - j ( 1)20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e 2 ( , ) ( , ) e e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
(
t t t
t
z t
n t n t n tx x x
n tk z k zx x x
n t n tx x
E E E
t E E E
t E E
k k k
k k k
k k
0- j2 j - j0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ) ( , ) e ( , ) e e tn tk z k zx xt E E k k
Insert discrete plane wave / Setze die diskrete ebene Welle
into the FD scheme / in das FD-Schema ein
with / mit
it follows / folgt
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 6
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0 0 0
0
0 0
j ( 1) j j ( 1)20 0 0 0 0 0
j2 j j0 0 0 0
j j ( 1)20 0 0 0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e ( , ) e e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
( )
t t t
t
t t
n t n t n tx x x
n tk z k zx x
n t n tx x
E t E E
t E E
t E E
t
k k k
k k
k k
0
0 0
0
0
jj j0 0
2cos( )
j j ( 1)20 0 0 0
j20 0
j ( 1) 20 0 0 0
ˆ ˆe e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ( ) 2cos( ) ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) cos( ) 1 ( ,
t
t t
t
t
n tk z k zx
k z
n t n tx x
n tx
n tx x
E
t E E
t k z E
E t k z E
k
k k
k
k k
0 0j j ( 1)0 0
ˆ ˆ) e ( , ) et tn t n txE
k
2 22sin 1 cos 2sin cos 12 2
0 0 0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0
- j ( 1) - j2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2
t t t
t t
n t n t n tx x x
n t n tx x
k zE t E E
k zE t E
k k k
k k
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 7
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0 0 0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0
- j ( 1) - j2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2
t z t
t t
n t n t n tx x x
n t n tx x
k zE t E E
k zE t E
k k k
k k
0
0
( ) - j0 0
( ) ( 1)
- j ( 1)0 0
ˆ ˆ( , ) e
ˆ ˆ( , ) e
t t
t t
t
n n tx
n n
n tx
U E
V U
E
k
k
( 1) ( 1) ( )2 2
( ) ( )2 2
2 1 2( ) sin2
2 1 2( ) sin2
t t t
t t
n n n
n n
k zU U t U
k zV t U
Define / Definiere
which yields for the above equation / womit wir für die obere Gleichung erhalten
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 8
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
( )
( )
( )
tt
t
nn
n
U
V
W
( 1) ( )FD1D
( 1) 2 2 ( )
( 1) ( )
FD( 1) ( )1D
2 1 2( ) sin 12
1 0
t t
t t
n nt t
t t
n n
n n
n n
k ztU U
V V
W WG
W G W
2 2FD1D
2 2 2
2 1 2( ) sin 1det 2
1
2 1 2( ) sin 12
k zt
k zt
G I
FD1D
det 0 G I FD FD1D 1D
: -nnn G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
Define a new algebraic vector / Definiere einen neuen algebraischen Vektor
FD1D
:G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix
Characteristic polynomial / Charakteristisches Polynom
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 9
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2
2 2 2 2 2 2 22 1 2( ) sin 1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2 2
k z k z k zt t t
2 2
2 2 2 21 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
k z k zt t
2
22 2 2 2
1/ 2
2
2
1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
1
j 1
a a
k z k zt t
a a
a a
2 2 1 / 1a a if falls
Eigenvalues of the amplification matrix / Eigenwerte der Verstärkungsmatrix
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 10
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
22 2 2 2 21/ 2 j 1 1 1
1
a a a a a a
2
22 2 2 2
1/ 2
2
2 2 2
1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
1
j 1 if 1 / falls 1
a a
k z k zt t
a a
a a a a
Unit circle /Einheitskreis
1
1
1
1This means for, that all eigenvalues
a2 ≤ 1 are on the unit circle in the complex plane. /
Dies bedeutet, dass alle Eigenwerte für
a2 ≤ 1 auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen.
Re jIm 1, 2n n n n
Im n
Re n
FD1D
1 G
Spectral radius /Spektraler Radius
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 11
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2
22 2 2 2 2 2 2
1/ 2 1 2( ) sin j 1 1 2( ) sin j 1 if 1 / falls 12 2
a a
k z k zt t a a a a
2
22 2
2 2 4 4
2 2 2 2
2 2
2 2
0
1
1 2( ) sin 12
1 4( ) sin 4( ) sin 12 2
4( ) sin 1 ( ) sin 02 2
11 ( ) sin 0
24( ) sin
2
a
k zt
k z k zt t
k z k zt t
k zt
k zt
2 2
2 2
1 ( ) sin 02
( ) sin 12
k zt
k zt
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 12
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2
2 2
2 2
( ) sin 12
( ) sin 12
( ) 1 max sin 12
1
k zt
k zt
k zt
t
because /
weil
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 13
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
max1-D / 1D: 1
xt t t
c
ref
ref
: t x
t tt c
Courant number /
Courant - Zahl
1-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /1D-Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-
Bedingung
2-D and 3-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /
2D- und 3D- Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-Bedingung
max
max
1 12-D / 2D: 0.707
2 21 1
3-D / 3D: 0.5773 3
xt t t
c
xt t t
c
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 14
-5.66343 -1 0 1 5.66343-5.66343
-1
0
1
5.66343
Re(n)
Im(
n)
1
2
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 21/ 2
2 2 2
2 2
( ) 1 if 1 / falls 1
j 1 if 1 / falls 1
with 1 2( ) sin2
t a a a a
a a a a
k za t t
FD1D
1 GSpectral radius /Spektraler Radius
2 21/ 21 : j 1a a a
2 21/ 21: 1a a a
2 21 2
1 2
j 1 j 1
1 1
a a a a
2 21 2
1 2
1 1
lim 0 limt t
a a a a
t t
FD1D
1 GSpectral radius /Spektraler Radius
1/ 2
as a function of als Funktion von( ) t t
1( )t
2 ( )t
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 15
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40
1
5.66343
norm( t)
-5.66343 -1 0 1 5.66343-5.66343
-1
0
1
5.66343
Re(n)
Im(
n)
1
2
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
FD
1D
t G
2 2 21/ 2
2 2 2
2 2
( ) 1 if 1 / falls 1
j 1 if 1 / falls 1
with 1 2( ) sin2
t a a a a
a a a a
k za t
Spectral radius / Spektraler RadiusEigenvalues / Eigenwerte
1( )t
2 ( )t
t
FD
1D
t G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 6 / Vorlesung 6 16
End of Lecture 6 /Ende der 6. Vorlesung