Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 5 / Vorlesung 5 1 Numerical Methods of...

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 5 / Vorlesung 5 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

5th Lecture / 5. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


Numerical Results – Validation / Numerische Ergebnisse – Validierung

Numerical Results / Numerische Ergebnisse

Validation / Validierung

Compare numerical results with analytical solutions or with other numerical solutions. / Vergleiche die numerischen

Ergebnisse mit analytischen Lösungen oder anderen numerischen Lösungen


Numerical Results – Validation / Numerische Ergebnisse – Validierung

1. Plane Wave Solution of the Homogeneous Case – No sources, no boundaries! /

Ebene Wellen als Lösung des homogenen Falles –Keine Quellen, keine Ränder!

Gives the correct characteristic, but not the correct amplitude and no reflections at the boundaries! /

Gibt die korrekte Charakteristik, aber nicht die korrekte Amplitude und keine Reflexionen an den Rändern wieder!

2. Green’s Function Solution of the Inhomogeneous Case –

“Point” source, but no boundaries, if we use the free-space Green’s function! /

Lösung über Greensche Funktion für den inhomogenen Fall –„Punkt“quelle, aber keine Ränder, wenn wir die Greensche Funktion für den Freiraum verwenden!

Gives the correct characteristic and correct amplitude, but no reflections

at the boundaries! / Gibt die korrekte Charakteristik und die korrekte Amplitude, aber

keine Reflexionen an den Rändern wieder!


FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel

Homogeneous scalar 1-D wave equation for the electric field strength /

Homogene, skalare 1D-Wellengleichung für die elektrische Feldstärke

0 0

2 2

2 2 20

2 2

2 2 20

1 1

0 0

1( , ) ( , ) 0

1 ( , ) 0

1 1 ( , ) 0

x x

x

z c t z c t

x

E z t E z tz c t

E z tz c t

E z tz c t z c t

Splitting of the 1D wave operator / Aufspaltung des 1D-Wellenoperators

0 0

1 1( , ) 0 ( , ) 0x xE z t E z tz c t z c t

One-way wave equation / “One-way” Wellengleichung

Hyperbolic partial differential equation / Hperbolische partielle Differentialgleichung



00 0 0

0 00 0 0

0 00 0 0 0

00 0 0

1 1( , ) ,

1, ,

1 1, ,

0

1 1( , ) ,

x

x

zE z t E z t

z c t z c t c

z zE z t E z tz c c t c

z zE z t E z tc c c c

zE z t E z tz c t z c t c

0 0

0 0 0

0 00 0 0 0

1, ,

1 1, ,

0

z zE z t E z tz c c t c

z zE z t E z tc c c c



Homogeneous scalar 1-D wave equation for the electric field strength /

Homogene, skalare 1D-Wellengleichung für die elektrische Feldstärke

2 2

2 2 20

0 0

1( , ) ( , ) 0

1 1 ( , ) 0

x x

x

E z t E z tz c t

E z tz c t z c t

00

0 00 0

( , ) ,

, ,

xzE z t E z tc

z zE z t E z tc c

Solution is a left and right propagating plane

wave /Lösung ist eine nach links und rechts

laufende ebene Welle

A wave, which propagates for

increasing time t in positive z direction /

Eine Welle, die sich für

zunehmende Zeit t in positive z-

Richtung ausbreitet

A wave, which propagates for

increasing time t in negative z

direction /Eine Welle, die

sich für zunehmende Zeit t

in negative z-Richtung

ausbreitet



Consider an asymmetric triangular pulse /Betrachte einen asymmetrischen

Dreiecksimpuls 0 0 atri( , )xE z z t E f t atrif t

t T

00

0

00 atri

0

0 00 atri 0 atri

0 0

0 00 0

0 0

( , ) ,

,

, ,

, ,

xz z

E z t E z tc

z zE f z t

c

z z z zE f z t E f z t

c c

z z z zE z t E z t

c c

This means, that the solution for all z and t is given by / Dies bedeutet, dass die Lösung

für alle z und t gegeben ist durch 1,xE z t

z

z

2,xE z t

Snapshots / Schnappschüsse

Excitation function / Anregungsfunktion

1 0t t

2 1 0t t t 0z z

0z zTZ TZ

0E

0E 0E

0E

Source point / Quellpunkt

1

0E

0E



0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

( )

( )

( )

z zt

c

z zt

cc t z zc t z z

z t z c t

z t z c t

z t z c t

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

( )

( )

z t z c t

z t z c t

00 atri

0( , ) ,x

z zE z t E f z t

c

1,xE z t

z

z

2,xE z t

Snapshots / Schnappschüsse

1 0t t

2 1 0t t t

0z

0zTZ TZ

0E

0E 0E

0E 2 2 0 0 2

2 2 0 0 2

( )

( )

z t z c t

z t z c t

2z

2z

1z

1z




2 2

2 2 20

1( , ) ( , ) 0x xE z t E z tz c t

00

( , ) ,xzE z t E z tc

0

1( , ) ( , )y xH z t E z tt z

em ( , ) ( , ) ( , )z x yS z t E z t H z t?


FD Method – 1-D Helmholtz Equation (Reduced Wave Equation)

FD-Methode – 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)

2 2

2 2 20

1( , ) ( , ) 0x xE z t E z tz c t

Homogeneous scalar 1-D wave equation /

Homogene, skalare 1D-Wellengleichung

1-D Fourier transform with regard to time t /

1D Fourier-Transformation bezüglich der Zeit t

j( , ) ( , ) e

( , )

tx x

t

t x

E z E z t dt

FT E z t

j

-1

1( , ) ( , )e2

( , )

tx x

x

E z t E z d

FT E z

1-D inverse Fourier transform with regard to circular frequency ω /

1D inverse Fourier-Transformation bezüglich der Kreisfrequenz ω

( , ) ( , )x xE z t E z

( , ) ( , )x xE z E z t

22

2

( , ) ( , )

j

x xE z E z t

t

t




2 2

2 2 20

1( , ) ( , ) 0x xE z t E z tz c t

Homogeneous scalar 1-D wave equation /

Homogene, skalare 1D-Wellengleichung

20

22

2 20

2 2

2 20

2202

1( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

x x

x x

k

x x

E z E zz c

E z E zz c

E z k E zz

Homogeneous scalar 1-D Helmholtz wave equation (reduced wave

equation) /Homogene, skalare 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)

00

( , ) ,xzE z t E z tc

Solution in the time domain /Lösung im Zeitbereich

0j0( , ) e k z

xE z E Solution in the frequency domain /

Lösung im Frequenzbereich

22

2

( , ) ( , )

x xE z t E z

t




Maxwell’s equations in the frequency domain /

Maxwellsche Gleichungen im Frequenzbereich

0

0

0

0

1( , ) ( , )

1( , ) ( , )

1j ( , ) ( , )

1j ( , ) ( , )

y x

x y

y x

x y

H z t E z tt z

E z t H z tt z

H z E zz

E z H zz

( , ) ( , )( , ) ( , )

j

x x

y y

E z t E zH z t H z

t

0j0( , ) e k z

xE z E

0 0 0

j 00

0 0 0

0 0

j j j00 0 0

0 0 0 0j e

/

j j00 0

0 0

j1 1 1( , ) ( , ) e e ej j j j

1e e

k z

k z k z k zy x

k

c

k z k z

kH z E z E E E

z z z

kE E

Z

Electric field strength: plane wave / Elektrische Feldstärke:

ebene Welle

Maxwell’s equations in the time domain / Maxwellsche Gleichungen im Zeitbereich

Magnetic field strength: plane wave / Magnetische Feldstärke:

ebene Welle



FD-Methode – 1D Helmholtz-Gleichung (Schwingungsgleichung)Homogeneous scalar 1-D wave equation in the time

domain / Homogene, skalare 1D-Wellengleichung im Zeitbereich

2 2

2 2 20

2 2

2 2 20

1( , ) ( , ) 0

1( , ) ( , ) 0

x x

y y

E z t E z tz c t

H z t H z tz c t

0

0

0

j0

j0

j0

0

( , ) ( ) e

( , ) ( ) e

1 ( ) e

k zx

k zy

k z

E z E

H z H

EZ

Homogeneous, scalar 1-D Helmholtz equation in the frequency domain / Homogene, skalare 1D-Helmholtz-Gleichung im Frequenzbereich

2202

2202

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

x x

y y

E z k E zz

H z k H zz

00

00

( , ) ,

( , ) ,

x

y

zE z t E z tc

zH z t H z tc

00 0

1( , ) ,yzH z t E z t

Z c

Solution of the 1-D wave equation in the time domain /

Lösung der homogenen 1D-Wellengleichung im Zeitbereich

Solution of the 1-D Helmholtz equation in the frequency domain / Lösung der homogenen 1D-

Helmholtz-Gleichung im Frequenzbereich

Solution of the 1-D wave equation for the magnetic field strength in terms of the electric field strength / Lösung der homogenen 1D-Wellengleichung für die

magnetische Feldstärke als Funktion der elektrischen Feldstärke



00

00 0

( , ) ,

1( , ) ,

x

y

zE z t E z tc

zH z t E z tZ c

em

0 00 0

0 00 0 0

20

0 0

( , ) ( , ) ( , )

, ,

1, ,

1 ,

z x yS z t E z t H z t

z zE z t H z tc c

z zE z t E z tc Z c

zE z tZ c

em em

2em 0

0 0

2 20 0

0 0 0 0

( , ) ( , )

em em

1( , ) ,

1 1, ,

( , ) ( , )z z

z

S z t S z t

z z

zS z t E z tZ c

z zE z t E z tZ c Z c

S z t S z t

2 2

2 2 20

2 2

2 2 20

1( , ) ( , ) 0

1( , ) ( , ) 0

x x

y y

E z t E z tz c t

H z t H z tz c t

2 2em 0 em 0

0 0 0 0

1 1( , ) , ( , ) ,z z

z zS z t E z t S z t E z t

Z c Z c

Homogeneous scalar 1-D wave equations / Homogene, skalare 1D-Wellengleichungen Solutions / Lösungen

Poynting vector / Poynting-Vector

Poynting vector of the two plane waves / Poynting-Vektor der beiden ebenen Wellen



em em em

2 20 00 0

0 0

0 0

( , ) ( , ) ( , )

, ,

z z zS z t S z t S z t

z z z zE z t E z t

c cZ Z

0 00 0

0 0( , ) , ,x

z z z zE z t E z t E z t

c c

0 00 0

0 0

0 0

, ,( , )y

z z z zE z t E z tc c

H z tZ Z

The plane wave solution gives the correct characteristic of the wave field, but the amplitude is not correct! This means we can not varify the numerical results with the plane wave solution of the homogeneous wave equation, because the simulated problem correspond to the solution of the

inhomogeneous wave equation. /

Die Ebene-Wellen-Lösung gibt die korrekte Charakteristik des Wellenfeldes wieder, aber die Amplitude der Wellenanteile ist nicht korrekt! Dies bedeutet, dass man die numerischen Resultate mit der Ebenen-

Wellen-Lösung nicht vollständig verifizeiren kann, da die simulierte Situation mit der Lösung der inhomogenen Wellengleichung korrespondiert.

RC2

1

1

e m 1

( , )

( , )

( , )

x

y

z

f t

E z t

H z t

S z t


Electromagnetic Field of a “Point Source” Excitation in 1-D / Elektromagnetisches Feld einer „Punktquellen“anregung in

1D

0 e( , ) j ( , ) ( , ) dx xz

E z G z z J z z

z z

Unkown/Unbekannt: ( , ) ?xE z

We consider a homogeneous infinite 1-D region / Wir betrachten ein homogenes, unendliches 1D-Gebiet


e 0( , ) : Given / GegebenxJ z z

where we prescribe an electric current density Jex(z,ω) with the unit A/m2 at z=z0. /wobei wir eine elektrische Stromdichte mit der Einheit A/m2 an der Stelle z=z0 vorgeben.

0z z

A solution for the electric field strength is given by the domain integral representation /Eine Lösung für die elektrische Feldstärke ist dann gegeben über die (Gebiets-)

Integraldarstellung

Then, the unknown electric field strength is a solution of the inhomogeneous Helmholtz equation /

Die unbekannte elektrische Feldstärke ist dann Lösung der inhomogenen Helmholtz-Gleichung2

20 e2 ( , ) ( , ) j ( , )x x xE z k E z J z

z

( , ) G z z 1-D scalar Green’s function /1D skalare Greensche Funktion

Convolution integral /Faltungsintegral


Electromagnetic Field of a Point Source Excitation in 1-D / Elektromagnetisches Feld einer Punktquellenanregung in 1D

0 e( , ) j ( , ) ( , )dx xz

E z G z z J z z

0

0

0

0

j0

0

j0

0

j00

j0

1 j( , ) PV ( ) e2

1 jPV e ( )2

1 PV e ( )2 j

1PV e ( )2 j

k z z

k z z

k z

k z z

G z z c z zk

c z zk

cc z z

cz z

0

0( , )

2zc

G z t u tc

e 0 e

0 e 0

( , ) ( , )

( , )x x

x

J z z z K z

z z K z

0 0 0( ) ( )z z f z z z f z

Integral representation / Integraldarstellung

1-D scalar Green’s function in the frequency domain /

1D skalare Greensche Funktion im Frequenzbereich

1-D scalar Green’s function in the time domain /

1D skalare Greensche Funktion im Zeitbereich

0 01 0t

u tt

Unit step function / Einheitssprungfunktion

Electric current density / Elektrische Stromdichte

Property of the delta-distribution / Eigenschaft der Delta-Distribution

e 0( , )xK z

Electric surface current density / Elektrische Flächenstromdichte


EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D

0 e

0 0 e

0 0 e 0

( , ) j ( , ) ( , )d

j ( , ) ( , ) d

j ( , ) ( , )

x xz

xz

x

E z G z z J z z

G z z z z K z z

G z z K z

0 0

e 0 e 0

0 e 0 0 e 0

( , ) ( , )

j

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x x

x x

x t x

E z E z t

tG z z G z z tK z K z t

G z z K z G z z t K z t

0 0 e 0

00 0e 0

0

00 0e 0

0

( , ) ( , ) ( , ) d

( , ) d2

( , ) d2

x xt

xt

xt

E z t G z z t t K z t tt

z zcu t t K z t t

t c

z zcu t t K z t tt c

The asterisk “*t “denotes convolution in time / Der Stern “*t “ bezeichnet eine Faltung in

der Zeit



00 0e 0

0( , ) ( , ) d

2x xt

z zcE z t u t t K z t t

t c

0 0

0 0

z z z zu t t t tt c c

00 0e 0

0

00 0e 0

0

00 0e 0

0

( , ) ( , ) d2

( , ) d2

,2

x xt

xt

x

z zcE z t t t K z t t

c

z zct t K z t t

c

z zcK z t

c

0 0 0 377 c Z

00e 0

0( , ) ,

2x xz zZ

E z t K z tc

Solution for the x component of the electric field strength /

Lösung für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke

Wave impedance of free space (vacuum) / Wellenwiderstand des Freiraumes (Vakuum)



0

0 0 e 00

0 e 0

1( , ) ( , )j

1 j ( , ) ( , )j

( , ) ( , )

y x

x

x

H z E zz

G z z K zz

G z z K zz

0 0 e 0( , ) j ( , ) ( , )x xE z G z z K z

0 e 0

00e 0

0

00e 0

0

00 0e 0

0 0

( , ) ( , ) ( , ) d

( , ) d2

( , ) d2

sgn( )( , ) d

2

sgn

y xt

xt

xt

xt

H z t G z z t t K z t tz

z zcu t t K z t t

z c

z zcu t t K z t tz c

z zc z zt t K z t t

c c

00 e 0

0

1( ) ,2 x

z zz z K z t

c

0

0

0 0

0

0 00

0 0

00

0 0

sgn

sgnsgn( )

sgn( )

z zu t tz c

z z z zu t tz c

z z z zz zt t

c c

z zz zt t

c c

u t tt

u t tt



em

0 00 0e 0 e 0

0 0

0200 e 0

0

( , ) ( , ) ( , )

sgn( ), ,

2 2

sgn( ) ,4

z x y

x x

x

S z t E z t H z t

z z z zZ z zK z t K z t

c c

z zZz z K z t

c

Solution for the y component of the magnetic field strength / Lösung für die y-Komponente der

magnetische Feldstärke

00e 0

0

sgn( )( , ) ,

2y xz zz z

H z t K z tc

00e 0

0( , ) ,

2x xz zZ

E z t K z tc

Solution for the x component of the electric field strength /

Lösung für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke

Solution for the z component of the Poynting vector / Lösung für die z-Komponente des Poynting-Vektors



e 0 e ref 2

00e 0

0

0e 0

02

00emz e 0

0

, ( )

( , ) ,2

1( , ) ,2

( , ) ,4

x RC

x x

y x

x

K z t K f t

z zZE z t K z t

c

z zH z t K z t

c

z zZS z t K z tc

e 0 2

0e 0

0

0e 0

02

0eemz 0

0

, ( )

1( , ) ,2

1( , ) ,2

1( , ) ,4

x RC

x x

y x

x

K z t f t

z zE z t K z t

c

z zH z t K z t

c

z zS z t K z t

c

refref ref ref ref ref ref ref 0

ref

ref

ref refrefref ref

ref ref ref

ˆ

ˆ

ˆ

x x

y y

xt t t t z x z c c c

c

E E E

EH H H H E

c

ref refref ref

ref ref2ref

em zem z em ref em ref ref refref

refee e ref e ref ref

ref

ref

ee e ref e ref ref e ref

1( ) ( )

xx

xx

EE

Z

ES S S S E H

Z

J J J J Et

z zx

K K K K x J

ref 0

ref

ref 0

ref 0

ref 0

e ref 1 A/m

c cx z

Z ZK

Normalization of the field components / Normierung der Feldkomponenten

EM Field components / EM-Feldkomponenten

Normalized EM field components / Normierte EM-Feldkomponenten


RC2

1

1

e m 1

( , )

( , )

( , )

x

y

z

f t

E z t

H z t

S z t


e 0 2

0e 0

0

0e 0

0

20

eemz 00

, ( )

1( , ) ,2

1( , ) ,2

1( , ) ,4

x RC

x x

y x

x

K z t f t

z zE z t K z t

c

z zH z t K z t

c

z zS z t K z t

c

The Green’s function method gives the solution of the 1-D simulation area excited by a “point” source, which is in 1-D a singular electric surface current source. The singular source is independent of x and y. The reference solution gives the correct characteristic and correct amplitudes. But the solution doesn’t account

for the reflections at the boundaries, because we used the free-space Green’s function. /Die Methode der Greenschen Funktion ermöglicht die Lösung des vorliegenden Problems, der Anregung des

1D-Simulationsgebietes durch eine „Punkt“quelle, die genauer gesagt in 1D eine singuläre elektrische Flächenstromdichte ist.

Da die singuläre Quelle von x und y unabhängig ist. Die Charakteristik und Amplitude stimmt überein, nur die Reflexionen an den Rändern fehlen, was an der Verwendung der Greenschen Funktion für den Freiraum

liegt.


FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften

Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung

Consistency / Konsistenz

Dissipation / Dissipation

Stability Condition / Stabilitätsbedingung

Convergence / Konvergenz

??

zt

( )t f z


Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema

2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method

(Fourier series method): Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the

discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.

Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):

Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins

sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave

/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene

Welle

0

0

ˆj0 0

ˆj j0 0

ˆ( , ) ( , ) e

ˆ( , ) e e

t kx

t k

E t E

E

k R

k R

R k

k

FD FD( 1) ( )1D 1D :t tn n W G W G Amplification matrix /

Verstärkungsmatrix

FD FD1D 1D1 G Gof the matrix /Spectral radius /

Spektraler Radius der Matrix

FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .

where max / -w obe :i n nn N

nn

G G G Gth eigenvalue of the matrix

ter Eigenwert der Matrix


Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2 2 2 2

0

k k k =k

k k k k

x z z zx z z z

x y z z zk k

kc

k e e e e

k k k

Wave vector / Wellenvektor

Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors

Wavenumber /Wellenzahl

Circular freque

0 02

sgn

(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k

ˆ sgn(k ) (

z zz zzz zz z

z

z z

f

kk k

k k

ee ekk

ek

k R e

ncy /Kreisfrequenz

Propagation direction /Ausbreitungsrichtung

Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e

Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /

Monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich

0

0

ˆj0 0

ˆj j0 0

ˆ( , ) ( , ) e

ˆ( , ) e e

t kx

t k

E t E

E

k R

k R

R k

k

k̂

R

ˆ const.k R

Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase



2ter Ordnung

0

0

0

0

( , 1) j ( 1)j0 0

exp( )

j ( 1)0 0

( , ) j0 0

( , 1) j ( 1)0 0

ˆ ˆ ˆ( , ) e e

ˆ ˆ( , ) exp( ) eˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e

ˆ ˆ( , ) exp( ) e

z t tz

z

t

z t t

z t t

n n n tkn zx x

n

n tx z

n n n tx x zn n n tx x z

E E

E n

E E n

E E n

k

k

k

k

0

0

0

( 1, ) jj0 0

( , ) j0 0

( 1, ) jj0 0

ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e eˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e

ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e

z t t

z t t

z t t

n n n tk zx x zn n n tx x zn n n tk zx x z

E E n

E E n

E E n

k

k

k

( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n nx x x x x xE E E t E E E

0 0( , ) j jj0 0 0 0

exp( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e e ( , ) exp( ) ez t t tz

z

n n n t n tkn zx x x z

nE E E n

k k

0 0 0

0

0 0

- j ( 1) - j - j ( 1)0 0 0 0 0 0

- j2 j - j0 0 0 0 0 0

- j - j ( 1)20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 ( , ) e ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e 2 ( , ) ( , ) e e

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

(

t t t

t

z t

n t n t n tx x x

n tk z k zx x x

n t n tx x

E E E

t E E E

t E E

k k k

k k k

k k

0- j2 j - j0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ) ( , ) e ( , ) e e tn tk z k zx xt E E k k

Insert discrete plane wave / Setze die diskrete ebene Welle

into the FD scheme / in das FD-Schema ein

with / mit

it follows / folgt



2ter Ordnung

0 0 0

0

0 0

j ( 1) j j ( 1)20 0 0 0 0 0

j2 j j0 0 0 0

j j ( 1)20 0 0 0

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e ( , ) e e

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

( )

t t t

t

t t

n t n t n tx x x

n tk z k zx x

n t n tx x

E t E E

t E E

t E E

t

k k k

k k

k k

0

0 0

0

0

jj j0 0

2cos( )

j j ( 1)20 0 0 0

j20 0

j ( 1) 20 0 0 0

ˆ ˆe e ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e

ˆ ˆ ( ) 2cos( ) ( , ) e

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) cos( ) 1 ( ,

t

t t

t

t

n tk z k zx

k z

n t n tx x

n tx

n tx x

E

t E E

t k z E

E t k z E

k

k k

k

k k

0 0j j ( 1)0 0

ˆ ˆ) e ( , ) et tn t n txE

k

2 22sin 1 cos 2sin cos 12 2

0 0 0

0 0

- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0

- j ( 1) - j2 20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2

t t t

t t

n t n t n tx x x

n t n tx x

k zE t E E

k zE t E

k k k

k k



2ter Ordnung

0 0 0

0 0

- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0

- j ( 1) - j2 20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2

t z t

t t

n t n t n tx x x

n t n tx x

k zE t E E

k zE t E

k k k

k k

0

0

( ) - j0 0

( ) ( 1)

- j ( 1)0 0

ˆ ˆ( , ) e

ˆ ˆ( , ) e

t t

t t

t

n n tx

n n

n tx

U E

V U

E

k

k

( 1) ( 1) ( )2 2

( ) ( )2 2

2 1 2( ) sin2

2 1 2( ) sin2

t t t

t t

n n n

n n

k zU U t U

k zV t U

Define / Definiere

which yields for the above equation / womit wir für die obere Gleichung erhalten



2ter Ordnung

( )

( )( )

tt

t

nn

n

U

V

W

( 1) ( )FD1D

( 1) 2 2 ( )

( 1) ( )

FD( 1) ( )1D

2 1 2( ) sin 12

1 0

t t

t t

n nt t

t t

n n

n n

n n

k ztU U

V V

W WG

W G W

2 2FD1D

2 2 2

2 1 2( ) sin 1det 2

1

2 1 2( ) sin 12

k zt

k zt

G I

FD1Ddet 0 G I FD FD

1D 1D: -nnn G Gth eigenvalue of the matrix

ter Eigenwert der Matrix

Define a new algebraic vector / Definiere einen neuen algebraischen Vektor

FD1D :G Amplification matrix /

Verstärkungsmatrix

Characteristic polynomial / Charakteristisches Polynom



2ter Ordnung

2 22 2 2 2 2 2 22 1 2( ) sin 1 2( ) sin 1 2( ) sin 1

2 2 2k z k z k zt t t

2 2

2 2 2 21 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2k z k zt t

2

22 2 2 2

1/ 2

2

2

1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2

1

j 1

a a

k z k zt t

a a

a a

2 2 1 / 1a a if falls

Eigenvalues of the amplification matrix / Eigenwerte der Verstärkungsmatrix



2ter Ordnung

22 2 2 2 2

1/ 2 j 1 1 1

1

a a a a a a

2

22 2 2 2

1/ 2

2

2 2 2

1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2

1

j 1 if 1 / falls 1

a a

k z k zt t

a a

a a a a

Unit circle /Einheitskreis

1

1

1

1This means for, that all eigenvalues

a2 ≤ 1 are on the unit circle in the complex plane. /

Dies bedeutet, dass alle Eigenwerte für

a2 ≤ 1 auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen.

Re jIm 1, 2n n n n

Im n

Re n

FD1D 1 G

Spectral radius /Spektraler Radius



2ter Ordnung

2

22 2 2 2

1/ 2

2 2 2

1 2( ) sin j 1 1 2( ) sin2 2

j 1 if 1 / falls 1

a a

k z k zt t

a a a a

2

22 2

2 2 4 4

2 2 2 2

2 2

2 2

2

1

1 2( ) sin 12

1 4( ) sin 4( ) sin 12 2

4( ) sin 1 ( ) sin 02 2

1 ( ) sin 02

( ) sin 12

( ) 1

a

k zt

k z k zt t

k z k zt t

k zt

k zt

t

because / wei

2 max sin 12

1

k z

t

l



2ter Ordnung

max1-D / 1D: 1xt t t

c

ref

ref : t xt t

t c

Courant number /

Courant - Zahl

1-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /1D-Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-

Bedingung

2-D and 3-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /

2D- und 3D- Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-Bedingung

max

max

1 12-D / 2D: 0.7072 2

1 13-D / 3D: 0.5773 3

xt t tcxt t tc



2ter Ordnung

2 2 21/ 2

2 2 2 2 2

( ) 1 if 1 / falls 1

j 1 if 1 / falls 1 with 1 2( ) sin2

t a a a a

k za a a a a t

FD1D 1 GSpectral radius /

Spektraler Radius

2 21/ 21 : j 1a a a

2 21/ 21: 1a a a

2 21 2

1 2

j 1 j 1

1 1

a a a a

2 21 2

1 2

1 1

lim lim 0a a

a a a a

FD1D 1 GSpectral radius /

Spektraler Radius

1/ 2

as a function of als Funktion von ( ) ( )t t

1( )t

2 ( )t



2ter Ordnung

FD

1Dt

G

2 2 21/ 2

2 2 2

2 2

( ) 1 if 1 / falls 1

j 1 if 1 / falls 1

with 1 2( ) sin2

t a a a a

a a a a

k za t

Spectral radius / Spektraler RadiusEigenvalues / Eigenwerte

1( )t

2 ( )t

FD

1Dt

G


End of Lecture 5 /Ende der 5. Vorlesung

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 5 / Vorlesung 5 1 Numerical Methods of...

Documents

Transcript of Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 5 / Vorlesung 5 1 Numerical Methods of...