Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 7 / Vorlesung 7 1 Numerical Methods of...

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 7 / Vorlesung 7 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

7th Lecture / 7. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel


Finite Difference Method (FDM): From 1-D Case to 3-D/2-D Case / Finite Differenzen Methode (FDM): Vom 1D-Fall zum 3D/2D-Fall

Finite Difference Method (FDM) /Finite Differenzen Methode (FDM)Finite Difference Method (FDM) /Finite Differenzen Methode (FDM)

Hyperbolic Case: Wave Equation /Hyperbolischer Fall: Wellengleichung

1-D Case / 1D-Fall

3-D/2-D Case /3D/2D-Fall

Hyperbolic Case: Wave Equation /Hyperbolischer Fall: Wellengleichung

1-D Case / 1D-Fall

3-D/2-D Case /3D/2D-Fall


3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung

Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen

m

e

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t

t t

B R ×E R J R

D R ×H R J R

B R R

D R R

0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

B R H R

D R E R

Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen

(Materialgleichungen) für Vakuum

m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

H R ×E R J R

E R ×H R J R

Continuity equations / Kontinuitätsgleichungen

mm

ee

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t tt

t tt

J R R

J R R



m0 0

e0 0

2

m20 0

2

e20 0

2

e20 0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t tt tt

t t tt tt

t t tt

H R ×E R J R

E R ×H R J R

H R × E R J R

E R × H R J R

H R × ×H R J R m0

2

m e20 0 0 0

2

e m20 0 0 0 0

2

m e20 0 0 0 0

1 ( , )

1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) + ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( ,

tt

t t t ttt

t t t ttt

t t ttt

J R

E R × ×E R J R J R

H R × ×H R ×J R J R

E R × ×E R ×J R J R )t

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)



2

0e m2 20

2

0m e2 20

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttc t

t t t ttc t

× ×H R H R ×J R J R

× ×E R E R ×J R J R

2

× ×

2

0e m2 20

2

0m e2 20

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttc t

t t t ttc t

H R H R ×J R J R

E R E R ×J R J R

Vector identity / Vektoridentität

00 0

1c

2

e m20 0 0 0 0

2

m e20 0 0 0 0

1 1 1( , ) ( , ) + ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttt

t t t ttt

× ×H R H R ×J R J R

× ×E R E R ×J R J R

2 Short-hand notation /

Abkürzende Schreibweise

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)



2

0e m2 20

2

0m e2 20

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttc t

t t t ttc t

H R H R ×J R J R

E R E R ×J R J R

2

0e m2 20

2

0m e2 20

m0

e0

1 ( , )

1 ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t

t

t t t t ttc t

t t t t ttc t

R

R

H R H R H R ×J R J R

E R E R E R ×J R J R

m

e

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

B R R

D R R

m0

e0

1( , ) ( , )

1( , ) ( , )

t t

t t

H R R

E R R

0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

B R H R

D R E R

3rd and 4th Maxwell’s equations / 3. und 4.

Maxwellsche GleichungConstitutive equations /

Materialgleichungen



2

m 0e m2 20 0

2

e 0m e2 20 0

2

0 me m2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

t t t t ttc t

t t t t ttc t

t t t t ttc t

t

H R R H R ×J R J R

E R R E R ×J R J R

H R H R ×J R J R R

E R2

0 em e2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t t

tc t

E R ×J R J R R

2 2 2

2 2 2

e e e e e ex y z x y zx y z x y z

x y z

Laplace operator in Cartesian coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten



( , ) ( , )

e e e e e e ( , )x y z x y z

t t

tx y z x y z

E R E R

E R

( , ) ( , )

e e e e e e ( , )x y z x y zx y z x y z

t t

t

E R E R

E R

e e e ( , )e ( , )e ( , )e

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y y y y y zy x y y y z

x z z y z zz x z y z z

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

R R R

R R R

R R R

R R R

x y z tx y z t

Short-hand notation /

Abkürzende Schreibweise



( , ) ( , )

e e e e e e ( , )

e e e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e

x y z x y zx y z x y z

x y z x x x y x zx y z x x x y x z

x y y y y zy x y y y z

t t

t

E t E t E t

E t E t E

E R E R

E R

R R R

R R

( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )x z y z z zz x z y z z

t

E t E t E t

R

R R R

( , ) ( , )

e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e e

x x x x y x zx x x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

y xy x x

t t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E

E R E R

R R R

R R R

R R R

( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e e ( , ) e e ( , ) e e ( ,

x x y z zx y x z



z x x x y x zz x x x y x z

t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

R R R

R R R

R R R

R R R )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )



E t E t E t

E t E t E t

R R R

R R R



2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( , )

( , ) ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

= ( , )e ( , )e ( , )e

x x x y x zx y z

y x y y y zx y z

z x z y z zx y z

x y z x y zx y z

t

t t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E R

E R E R

R R R

R R R

R R R

R R R

2 2 2 ( , )x y z t E R

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , )

( , )

x y zt t

tx y z

E R E R

E R



2

0 me m2 200

2

0 em e2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t ttc t

t t t t ttc t

H R H R ×J R J R R

E R E R ×J R J R R

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y z

x y z

t t

t t

E R E R

H R H R

2 2 2 2

0 me m2 2 2 2 200

2 2 2 2

0 em e2 2 2 2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t ttx y z c t

t t t t ttx y z c t

H R H R ×J R J R R

E R E R ×J R J R R

mm

ee

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t tt

t tt

J R R

J R R


2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

mm m

ee e

( , ) ( , , ) ( , , )

( , ) ( , , ) ( , , )

y y

y y

t x z t J x z t

t x z t J x z t

J R J e

J R J e

0y

2 2 2

e 0 m m2 2 2 200

2 2 2

m 0 e e2 2 2 200

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

y yy y

y yy y

x z t x z t J x z t J x z t x y ttx z c t

x z t x z t J x z t J x z t x y ttx z c t

H H × e e

E E × e e

We consider the xz plane and assume that the field is independent of y /Wir betrachten die xz-Ebene und nehmen an, dass das Feld unabhängig von y

ist

2 2 2 2

0 me m2 2 2 2 200

2 2 2 2

0 em e2 2 2 2 200

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x z t x z t x z t x z t x z ttx y z c t

x z t x z t x z t x z t x z ttx y z c t

H H ×J J

E E ×J J

Then it follows for the 3-D wave equations / Es folgt dann für die 3D-Wellengleichungen

And we confine the current sources to / Und wir beschränken die Stromquellen auf

This yields for the above given 3-D wave equation / Dies ergibt für die oben gegebenen 3D-Wellengleichungen



mm

ee

( , ) ( , , )

( , ) ( , , )

y y

y y

t J x z t

t J x z t

J R e

J R e

m m m

e e e

( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

y y yy x y z y

y y yy x y z y

J x z t J x z t J x z tx y z y

J x z t J x z t J x z tx y z y

e e e e e

e e e e e

e

e

e e

e e

( , )

0 ( , , ) 0

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y z

x y z

z

z zz x

z zx z

t

J x z t

J x z t J x z tx z

J x z t J x z tz x

e e e

×J R

e e

e e

m

m

m m

m m

( , )

0 ( , , ) 0

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y z

x y z

z

z zz x

z zx z

t

J x z t

J x z t J x z tx z

J x z t J x z tz x

e e e

×J R

e e

e e

Curl and divergence of the current sources / Rotation und Divergenz der Stromquellen

The divergence of the current

sources is in this special case zero, because the

currents are constant in y direction. / Die Divergenz

der Stromquellen ist in diesem speziellen Fall null,

da die Ströme in y-Richtung konstant sind.



m

e

( , , ) 0

( , , ) 0

y y

y y

J x z

J x z

e

e

mm

ee

( , , ) j ( , , )

( , , ) j ( , , )

x z x z

x z x z

J

J

m

e

( , ) 0

( , ) 0

R

R

m

e

( , ) 0

( , ) 0

t

t

R

R

mm

ee

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t tt

t tt

J R R

J R R

m m

e e

1( , , ) ( , , )

j

1( , , ) ( , , )

j

x z x z

x z x z

J

J



2 2 2

e e 0 m2 2 2 20

2 2 2

m m 0 e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

y y yz x y

y y yz x y

x z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t

x z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t

H H e e e

E E e e e

e ee ( , ) ( , , ) ( , , )z zz xt J x z t J x z tx z

×J R e e

m mm ( , ) ( , , ) ( , , )z zz xt J x z t J x z tx z

×J R e e

2 2 2

0e m2 2 2 20

2 2 2

0m e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x z t x z t x z t x z ttx z c t

x z t x z t x z t x z ttx z c t

H H ×J J

E E ×J J



2 2 2

e e 0 m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )y y yz x yx z t x z t J x z t J x z t J x z t

x z tx z c t

H H e e e

2 2 2

e2 2 2 20

2 2 2

0 m2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

x x y

y y y

z z y

H x z t H x z t J x z tzx z c t

H x z t H x z t J x z ttx z c t

H x z t H x z t J x z txx z c t

2 2 2

m 0 e m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )y y yx y zx z t x z t J x z t J x z t J x z t

z t xx z c t

E E e e e

2 2 2

m2 2 2 20

2 2 2

0 e2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

x x y

y y y

z z y

E x z t E x z t J x z tzx z c t

E x z t E x z t J x z ttx z c t

E x z t E x z t J x z txx z c t

Decoupled equations / Entkoppelte Gleichungen

Decoupled equations / Entkoppelte Gleichungen



2 2 2

0 e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




2 2 2

0 m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




Separation in 2-D → TM and TE case /

Separation in 2D → TM- und TE- Fall

TMy case / TMy-Fall

TEy case / TEy-Fall

TM: transversal magnetic / transversal magnetischTE: transversal electric / transversal elektrisch

( , , )

( , , )

( , , )

y

x

z

E x z t

H x z t

H x z t

( , , )

( , , )

( , , )

y

x

z

H x z t

E x z t

E x z t


2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall

2 2 2

0 e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




Separation in 2-D → TM case /Separation in 2D → TM-Fall

TMy case / TMy-Fall

TM: transversal magnetic / transversal magnetisch

( , , )

( , , )

( , , )

y

x

z

E x z t

H x z t

H x z t

xy z

xz plane / xz-Ebene

eyn( , , )yE x z t

( , , )xH x z t

( , , )zH x z tSurface normal

vector (unit-vector) /Flächennormalenvektor (Einheitsvektor)


2-D EM Wave Propagation – 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TE-Fall

2 2 2

0 m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




Separation in 2-D → TE case /Separation in 2D → TE- Fall

TEy case / TEy-Fall

TE: transversal electric / transversal elektrisch

( , , )

( , , )

( , , )

y

x

z

H x z t

E x z t

E x z t

xy z

xz plane / xz-Ebene

eyn

Surface normal vector (unit-vector) /Flächennormalenvektor (Einheitsvektor)

( , , )yH x z t

( , , )xE x z t

( , , )zE x z t


FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung

22

2 2

22

2 2

22

2 2

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]

( )

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]

( )

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]

( )

y y yy

y y yy

y y yy

E x x z t E x z t E x x z tE x z t x

x x

E x z z t E x z t E x z z tE x z t z

z z

E x z t t E x z t E x z t tE x z t t

t t

+

+

+

Central FD Operators / Zentrale FD-Operatoren

2 2 2

0 e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )y y yE x z t E x z t J x z t

tx z c t

Central FD Operators / Zentrale FD-Operatoren

e ee

( . , ) ( , , )( , , ) ( )y yy

J x z t J x z t tJ x z t tt t

Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator



2 2

2 20

e e0

( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( ) ( )

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )1

( )

( , , ) ( , ,

y y y y y y

y y y

y y

E x x z t E x z t E x x z t E x z z t E x z t E x z z t

x z

E x z t t E x z t E x z t t

c t

J x z t J x z t

2 2 2)[( ) ] [( ) ] [( ) ]

tx z t

t

+ +

2 2 2

0 e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )y y yE x z t E x z t J x z t

tx z c t

Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

2-D TM wave equation / 2D-TM-Wellengleichung


FD Method – 2-D TM Wave Equation – 2-D FD Grid / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – 2D-FD-Gitter

z

x

x

zy

1xn x xn N1zn

z zn N

xn

zn

( 1) 1, , x x z x zn n N n n N N N N

2-D FD grid / 2D-FD-Gitter

Global grid node numbering /

Globale Gitterknotennummerierung

1, ,

1, ,x x

z z

n N

n N

( , , ) ( , )( , , ) x z t tn n n n ny y yE x z t E E

( , , )

( , )

( , , ) x z t

t

n n ny y

n ny

E x z t E

E


FD Method – 2-D TM Wave Equation – 2-D FD Stencil / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – 2D-FD-Schablone

z

x

,x zn n

2-D FD stencil in space / 2D-FD-Schablone im Raum

, 1x zn n

, 1x zn n

1,x zn n 1,x zn n

x

z



, 1, ,

, 1, ,

, 1, ,

x x x

z z z

t t t

x n x n N

z n z n N

t n t n N

220 2

220 2

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( )

( ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( )

y y y

y y y

y y y

E x z t t E x z t E x z t t

tc E x x z t E x z t E x x x t

x

tc E x z z t E x z t E x z z t

z

2 2 2 20 0 e e ( , , ) ( , , ) [( ) ] [( ) ] [( ) ]y yc t J x z t J x z t t x z t +

Explicit 2-D FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter 2D-FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

Marching-on-in-time algorithm /„Marschieren in der Zeit“-Algorithmus

( , , )

( , , )e e

( , , )

( , , )

x z t

x z t

n n ny y

n n ny y

E x z t E

J x z t J



x z

( , , 1) ( , , ) ( , , 1)

2( 1, , ) ( , , ) ( 1, , )0

2( , 1, ) ( , , ) ( ,0

2

2

2

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t

x z t x z t x z

n n n n n n n n ny y y


n n n n n n n ny y y

E E E

c tE E E

x

c tE E E

z

1, )

( , , ) ( , , 1)2 2 2 20 0 e e [( ) ] [( ) ] [( ) ]

t

x z t x z t

n

n n n n n ny yc t J J x z t

+

Explicit 2-D FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter 2D FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

Homogeneous 2-D FD grid of quadratic cells /

Homogenes 2D- FD-Gitter aus quadratischen Zellen

( , , 1) ( , , ) ( , , 1)

2( , 1, ) ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( , 1, )0

( , , )20 0 e

2

4

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t x z t

x z t


n n n n n n n n n n n n n n ny y y y y

n n ny

E E E

c tE E E E E

x

c t J J

( , , 1) 2 2e [( ) ] [( ) ]x z tn n ny x t +



Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

( , , 1) ( , , ) ( , , 1)

( , 1, ) ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( , 1, )2

( , , ) ( , , 1)e e

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 4

ˆ ˆ

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t x z t

x z t x z t


n n n n n n n n n n n n n n ny y y y y

n n n n n ny y

E E E

t E E E E E

t J J

1

for / für 1

1

x x

z z

t t

n N

n N

n N

( , , ) ( , , 1) ( , , 2)2

( , 1, ) ( 1, , ) ( 1, , ) ( , 1, )2

( , , ) ( , , 1)e e

ˆ ˆ ˆ2 1 2( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t

x z t x z t


n n n n n n n n n n n ny y y y

n n n n n ny y

E t E E

t E E E E

t J J


FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Flow Chart / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Flussdiagramm

( , , ) ( , , ) ( , , 1) ( , , 2)e e

ˆ ˆ ˆ ˆx z t x z t x z t x z tn n n n n n n n n n n ny y y yE E t J J

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

2-D FD TM wave equation: For all nodes nx, nz inside the simulation region:

Excitation: For all excitation nodes nx, nz :

NoNo YesYes

( , , ) ( , , 1) ( , , 2)2

( , 1, 1) ( 1, , 1) ( 1, , 1) ( , 1, 1)2

( , , ) ( , , 1)e e

ˆ ˆ ˆ2 1 2( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t

x z t x z t


n n n n n n n n n n n ny y y y

n n n n n ny y

E t E E

t E E E E

t J J

( , , )ˆ 0x z tn n nyE

Boundary condition: For all PEC boundary nodes nx, nz:


FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel

Scalar 2-D TM wave equation / Skalare 2D-TM-Wellengleichung

Causality / Kausalitäte

e 0 0

( , , ) ( , , ) 0 0

( , , ) ( ) ( ) ( ) 0

y y

y

E x z t J x z t t

J x z t x x z z f t t

(0, , ) 0 ( ,0, ) 0, and / und ,

( , , ) 0 ( , , ) 0

y y

y y

E z t E x tz t t x t t

E X z t E x Z t

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary conditions for a perfectly electrically conducting (PEC) boundary / Randbedingung für einen ideal elektrisch leitenden (IEL) Rand

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

2 2 2

0 e2 2 2 20

01

( , , ) ( , , ) ( , , ) for / für 0

0y y y

x X

E x z t E x z t J x z t z Ztx z c t

t T

z

0x x X0z

z Z

PEC / IEL

PEC / IEL

PEC / IEL

PEC / IEL


x

zy

FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel

x

x

1xn x xn N1zn

z zn N

xn

zn

( 1) 1, , x x z x zn n N n n N N N N

Nodes in the simulation region / Knoten im Simulationsgebiet

Global grid node numbering / Globale Nummerierung der Gitterknoten

1, ,

1, ,x x

z z

n N

n N

( , ) 0tn nyE

( , ) 0tn nyE

Nodes at the PEC boundary / Knoten auf dem

IEL-Rand


FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example/ FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel

e ( , , )yJ x z t

PEC boundary / IEL-Rand

MATLAB Program / MATLAB-Programm: 2dtmvac_rcn_poyn.m with /mit Excitation = 1 -> Line Antenna (Line Source) / Linienantenne (Linienquelle)


FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Validation / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Validierung

0 e( , ) j ( , ) ( , ) dx xz

E z G z z J z z

0 e( , , ) j ( , , ) ( , , ) d dy yz x

E x z G x x z z J x z x z

0j0

0

0

0

1( , ) j PV ( ) e

2

( , )2

k zcG z z

zcG z t u t

c

(1) 2 20

0

2 20

2 2 2 2 00

j( , , ) H

4

1( , , )

2 ( )

G x z x zc

c x zG x z t u t

cc t x z

Green’s function / Greensche Funktion

1-D case / 1D-Fall 2-D case / 2D-Fall

Domain integral representation /(Gebiets-) Integraldarstellung



0 e0

( , ) j ( , ) ( , ) dy yr

E r G r r J r r

(1)0

0

0

2 2 2 00

j( , ) H

4

1( , )

2

G r rc

c rG r t u t

cc t r

2-D Domain integral representation /2D-(Gebiets-)Integraldarstellung

(1)0

0

0

2 02 20

j( , ) H

4

1( , )

2

Gc

cG t u t

cc t

r r r r

r rr r

r r

0 e( , ) j ( , ) ( , ) dy yE G J rr r r r r



2-D Domain integral representation / 2D-(Gebiets-)Integraldarstellung

(1)RC2 RC2 00 20 02 2

0

j 1( , ) RC2( ) H ( , ) RC2( )

4 2tc

G G t t u tc c

c t

r rr r r r r r

r r

jjRC2 41 2c RC2( ) e

( , ) e4

k

G

r r

r rr r



2( , , ) RC ( )yE x z t t






MATLAB Program / MATLAB-Programm: 2dtmvac_rcn_poyn.m with /mit Excitation = 2 -> Finite Aperture Antenna / Antenne mit endlicher Apertur

e ( , , )yJ x z t


The Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / The Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

Origin: Publication in the Year 1966Ursprung: Publikation im Jahr 1966Origin: Publication in the Year 1966Ursprung: Publikation im Jahr 1966

Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving

Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on Antennas Propagation,

Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966. ((Link))

Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving

Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on Antennas Propagation,

Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966. ((Link))


FDTD Books / FDTD-Bücher

Taflove, A. (Editor): Advances in

Computational Electrodynamics: The

Finite-Difference Time-Domain Method.

Artech House, 1998.

Kunz, K. S., Luebbers, R. J.: The Finite Difference Time

Domain Method for Electromagnetics.

1993

Taflove, A. (Editor): Computational

Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. 2nd

Editon, Artech House, Boston,

2000.

Taflove, A. (Editor): Computational

Electrodynamics: The Finite-Difference Time-

Domain Method. Artech House, Boston,

1995.


FDTD Books / FDTD-BücherSullivan, D. M.: Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method. IEEE Press, New

York, 2000.

Taflove, A.;Susan C. Hagness

(Editor): Computational Electrodynamics: The

Finite-Difference Time-Domain Method. 23rd

Editon, Artech House, Boston,

1008 Seiten 2005.

Gustrau, F., Manteuffel, D.:EM Modeling of

Antennas and RF Components for

Wireless Communication

Systems Springer Verlag, Berlin, 2006.

Gustrau, F., Manteuffel, D.:EM Modeling of

Antennas and RF Components for

Wireless Communication

Systems Springer Verlag, Berlin, 2006.


EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

The first two Maxwell’s Equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

B R ×E R J R

D R ×H R J R

0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

B R H R

D R E R


(Materialgleichungen) für Vakuum m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

H R ×E R J R

E R ×H R J R

0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

H R B R

D R E R



m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

B R ×E R J R

E R × B R J R

,f H E

,f B E

Equations of first order / Gleichungen der ersten Ordnung



m( , ) ( , ) ( , )t t tt

H R ×E R J R

e( , ) ( , ) ( , )t t tt

E R ×H R J R

Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms

Field / Feld Sources / Quellen

Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz

Ampère-Maxwell‘s circuital law /Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz



m( , ) ( , ) ( , )t t tt

B R ×E R J R

e( , ) ( , ) ( , )t t tt

E R × B R J R



Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz

Ampère-Maxwell‘s circuital law /Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz


1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)


m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

B R ×E R J R

D R ×H R J R

m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

H z t E z t J z tt z

E z t H z t J z tt z

0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

B R H R

D R E R



( , ) ( , )

( , ) ( , )x x

y y

t E z t

t H z t

E R e

H R e

Ansatz for the electric and magnetic field strength /

Ansatz für die elektrische und magnetische Feldstärke

2

2

(2 2

( ) ( ) ]

2 2( ) ( ) ]

t tf t f t

df t t

dt tz z

f z f zdf z x

dz x

O[

O[



m0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )y x yH z t E z t J z t

t z

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )x y xE z t H z t J z t

t z




1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 1st Equation /

1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 1ten Gleichung

m0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )y x yH z t E z t J z t

t z

21( , ) ( , ) ( ) ]

2 2x x x xz

z zE z t E z t E z E z zz z z

O[

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )z z z zn n n n

y x x yH t E t E t J tt z

Discretization in space of the 1st equation / Räumliche Diskretisierung der 1ten Gleichung

2

z2

z

zn1

2zn 1

2zn

( 1/ 2)znxE ( 1/ 2)zn

xE( )zn

yH

: , 1, ,

: 1/ 2 , 1, ,

y z z z

x z z z

H z n z n N

E z n z n N

( )znxE


1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 2nd Equation /

1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 2ten Gleichung

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )x y xE z t H z t J z t

t z

2

2

1( , ) ( , ) ( ) ]y y y yz

z

H z t H z t H z z H z zz z z

O[

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )z z z zn n n n

x y y yE t H t H t J tt z

Spatial discretization of the 2nd equation / Räumliche Diskretisierung der 2ten Gleichung

2

z2

z1

2zn zn 1zn

( )znyH

( 1)znyH( 1/ 2)zn

xE

( 1/ 2)znyH

: , 1, ,

: 1/ 2 , 1, ,

y z z z

x z z z

H z n z n N

E z n z n N


1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

2

z2

z

zn1

2zn 1

2zn

( 1/ 2)znxE ( 1/ 2)zn

xE( )zn

yH

2

z2

z

1zn 3

2zn

( 3 / 2)znxE( 1)zn

yH

2

z2

z3

2zn 2zn 1zn

( 2)znyH ( 1)zn

yH( 3 / 2)zn

xE

2

z

2

z

zn1

2zn 1

2zn

( )znyH

2

z

1zn 3

2zn

( 1)znyH

2

z

3

2zn 2zn 1zn

( 2)znyH ( 1)zn

yH

( 1/ 2)znxE ( 1/ 2)zn

xE ( 3 / 2)zn

xE( 3 / 2)zn

xE

z z

z z

z

z



m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x



21( ) ( ) ]

2 2

d z zf z f z f z z

dz x

O[

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m

0 0

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

z z z z

n n n ny x x y

n n n nx y y x

H t E t E t J tt z

E t H t H t J tt z

( )

( 1/ 2)

( ) ?

( ) ?

z

z

ny

nx

H tt

E tt



( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m

0 0

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

z z z z

n n n ny x x y

n n n nx y y y

H t E t E t J tt z

E t H t H t J tt z

( , ) ( , 1)( ) 2

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1/ 2) 2

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

z t z tz

z t z tz

n n n ny yn

y

n n n nn x xx

H HH t tt t

E EE t tt t

21( ) ( ( ) ]

2 2

d t tf t f t f t t

dt t

O[

( , ) ( , 1)( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

m0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1) ( ) ( 1/ 2)

e0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) ( )

z t z t

z z z

z t z tz z z

n n n ny y n n n

x x y

n n n nn n nx xy y y

H HE t E t J t

t z

E EH t H t J t

t z

Staggered grid in time / Versetztes Gitter in der ZeitStaggered grid in time / Versetztes Gitter in der Zeit



( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n ny y x x y

n n n n n n n n n nx x y y y

t tH H E E J

z

t tE E H H J

z

( , ) ( , 1)( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

m0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1) ( ) ( 1/ 2)

e0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) ( )

z t z t

z z z

z t z tz z z

n n n ny y n n n

x x y

n n n nn n nx xy y y

H HE t E t J t

t z

E EH t H t J t

t z

Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

FDTD:FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE

Transactions on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE

Transactions on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.


1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD / 1D EM Wellenausbreitung – 1D FDTD

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t


n n n n n n n n n nx x y y x

t tH H E E J

z

t tE E H H J

z

Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on

Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on

Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x





1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

3

2zn

xE

1

2zn

1

2zn

3

2zn

2zn 1zn zn 1zn

1

2tn

yH tn

3

2zn

xE

1

2zn

1

2zn

3

2zn 1

2tn

Time plane / Zeitebene

Interleaving of the Ex and Hy field components in space and time in the 1-D FDTD formulation /

Überlappung der Ex- und Hy-Feldkomponente in der 1D-FDTD-Formulierung im Raum und in der Zeit


1-D EM Wave Propagation – FDTD – Normalization / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Normierung

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t



t tH H E E J

z

t tE E H H J

z

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t



H H t E E tJ

E E t H H t J

ref refref ref

ref ref

ref ref ref ref ref 0

ref

refref ref

ref ref

ˆ

ˆ

ˆ

x x

y y

x xt t t t t t

c c

z x z c c c

E E E

EH H H H

c

ref ref ref refref ref

ref ref ref

refee e ref e ref ref

ref

ref refmm m ref m ref ref

ref ref ref

xx

xx

EE E

Z

J J J J Et

EJ J J J H

t t c


1-D FDTD – Staggered Grid in Space – Global Node Numbering / 1D-FDTD – Versetztes Gitter im Raum – Globale

Knotennummerierung

2

z2

z

zn1

2zn 1

2zn

( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE ( 1/ 2, 1/ 2)z tn n

xE

( , )z tn nyH

2

z2

z

1zn 3

2zn

( 3 / 2, 1/ 2)z tn nxE

( 1,, )z tn nyH

2

z2

z3

2zn 2zn 1zn

( 2, )z tn nyH ( 1, )z tn n

yH

( 3 / 2, 1/ 2)z tn nxE

2

z

2

z2

z

zn1

2zn 1

2zn

( 1, )tn nxE ( , )tn n

xE

( , )tn nyH

2

z2

z

1zn 3

2zn

( 1, )tn nxE

( 1, )tn nyH

2

z2

z3

2zn 2zn 1zn

( 2, )tn nyH ( 1, )tn n

yH

( 2, )tn nxE

2

z

z

z


1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e

ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

Compute 1-D Faraday’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E

Compute 1-D Ampère-Maxwell’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , ) t t t tn n n n n n n n

x x y yE E t H H


1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm

Start

Stopp

1t tn n

t tn N

1tn

Berechne die 1D-Faraday-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n

NeinNein JaJa

( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n

Berechne die 1D-Ampère-Maxwell-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet::

( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , ) t t t tn n n n n n n n

x x y yE E t H H

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e

ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ


FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen

Causality / Kausalitätm

e

e e0 0 0

( , ) ( , ) 0 0

( , ) ( , ) 0 0

( , ) ( ) ( ) ( ) 0

y y

x x

x

H z t J z t t

E z t J z t t

J z t K z z z f t t

(0, ) 0

( , ) 0x

x

E tt

E Z t


Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches


Z

0z z Z

( , ) 0xE Z t (0, ) 0xE t ( , )xE z t

m0 0

e0 0

01 1( , ) ( , ) ( , ) for / für

0

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

z ZH z t E z t J z t

t Tt z




Causality / Kausalität

0 0

( , ) ( , )m

( , ) ( , )e

( ) ( )( , ) ( )e e

0 1

0 1

1

z t z t

z t z t

z z zz t t

n n n ny y t

n n n nx x t

n n nn n nx x t

H J n

E J n

J K f n

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E


Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /

Diskretes hyperbolisches


z z z z

zZ zN

1zn z zn N

( , ) 0z tN nxE

(1, ) 0tnxE

( , ) ( , ),z t z tn n n nx yE H

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , )

1 for / für

1

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t

n n n n n n n n n n z zy y x x y

t t

n n n n n n n nx x y y

n NH H t E E tJ

n N

E E t H H

( 1/ 2, )e z tn nxt J

Discrete 1-D FDTD equations / Diskrete 1D-FDTD-Gleichungen

(2, )tnxE

(2, )tnyH

(1, ) 0tnyH

( , )z tN nyH





Excitation pulse: RC2(t) – Time Domain / Anregungsfunktion: RC2(t) – Zeitbereich

Excitation pulse: RC2(f) – Frequency Domain / Anregungsfunktion: RC(f) – Frequenzbereich

Mag

nti

ud

e |

RC

2(f

)| /

B

etr

ag

|R

C(f

)|A

mp

litu

de R

C2

(t)

/ A

mp

litu

de

RC

(t)


Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen



(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

Absorbing/open boundary condition / Absorbierende/offene Randbedingung

(1, ) (2, 2)

( , ) ( 1, 2)1

t t

z t z t

n nx x

t tN n N nx x

E En N

E E

0.5t For / Für

a plane wave needs two time steps, 2 nt , to travel over one grid cell with the size ∆z / braucht eine ebene Welle zwei Zeitschritte, 2 nt , um sich über eine Gitterzelle der Größe ∆z

auszubreiten

Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung

Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung


End of Lecture 7 /Ende der 7. Vorlesung

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 7 / Vorlesung 7 1 Numerical Methods of...

Documents

Transcript of Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 7 / Vorlesung 7 1 Numerical Methods of...