Differentieer regels

De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie:

Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:

Differentieerregel 1 (machtsregel):Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.

Differentieerregel 2 (constante-regel):Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.

Differentieerregel 3 (somregel):Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Voorkennis

f(x) = ax3

f’(x) = 3ax²g(x) = ax4

g’(x) = 4ax3

h(x) = ax5

h’(x) = 5ax4

algemeen geldt :k(x) = axn

k’(x) = n · axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

12.1

Voorkenniswerkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden

1 bereken f’(x).2 los algebraïsch op f’(x) = 0.3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …

raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

12.1

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctie.I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax

7.1

voorbeeld

f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van differentiëren

Andere regels ?!?

De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2.

Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x.

Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn.

Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) / g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

De productregel

De quotiëntregel

7.1

De productregel:

)()()()( xgxfxgxf

h

xphxpxp

h

)()(lim)('

0

h

xghxgxfhxg

h

xfhxfhh

))()(()(lim)(

))()((lim

00

Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).

Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

h

xghxgxf

h

hxgxfhxfhh

))()(()(lim

)())()((lim

00

h

xghxgxfhxgxfhxfh

))()(()()())()((lim

0

h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh

)()()()()()()()(lim

0

h

xgxfhxghxfh

)()()()(lim

0

v.b. productregel )32)(4()( 32 xxxxf

)23)(4()32(2)( 223 xxxxxxf

8665)( 24 xxxxf

12832 235 xxxx

128432 3235 xxxxx

81223642 22424 xxxxxx

opgave 5a

f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2)f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3Stel k : y = ax + ba = f’ (-1) = 17k : y = 17x + byA = f (-1) = -3

dus A(-1, -3).

Dus k : y = 17x + 14.

y = 17x + b-3 = 17 · -1 + b14 = b

Opgave 7

Opgave 8

5)42

1()( 23 xxf

O(∆ABC) = ½ · AC · ABAC = OC – OA = 4 – pAB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3

Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)

opgave 9a

opgave 9b

In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voorp = 58

6 3

32,

De ABC-formule

ax2 + bx + c = 0

De discriminant D = b2 – 4ac

D < 0 geeft geen oplossingen.D = 0 geeft 1 oplossing.D > 0 geeft 2 oplossingen.

2 2

b D b Dx x

a a

12.2

Opgave 17

x

xxf

32)(

opgave 19

a

Stel k : y = ax + b

dus

Dus

2 214 4

( ) 4x x

f x x xx x x

22

4'( ) 1 4 1f x x

x

2

4 5'(3) 1

3 9a f

5:

9k y x b

23 4 13(3)

3 3f

13(3, )

3A

13 53

3 9b

8

3b

5 8:

9 3k y x

12.2

b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3

x2 = 1

x = -1 v x = 1

f(-1) = -5 en f(1) = 5

De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)

2

41 3

x

2

44

x

2

4 4

1x

opgave 19

c f’ (x) = 0geeft

x2 = 4 x = -2 v x = 2

max. is f(-2) = -4en

min. is f(2) = 4

2

41 0

x

2

41

x

opgave 19

d f’ (x) = 2geeft

x2 = -4Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn,heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen.Dus er is geen raaklijn met rc = 2.

2

41 2

x

2

41

x

opgave 19

Opgave 23

3 2)( xxf

a

geeft

f’ (x) = 0 geeft

x = 4

f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4

Min. is f(4) = -4.

b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3

Raaklijn y = -3x

c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3

1½√x – 3 = 3

1½√x = 6

√x = 4 x = 16

f (16) = 16 dus A(16, 16)

raaklijn l : y = 3x + b

opgave 241

12( ) 3 3f x x x x x x

1

21 1

'( ) 1 3 1 32 2

f x x x

11 3 0

2x

11 3

2x

2x

16 = 3 · 16 + b

-32 = b l : y = 3x - 32

Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x).

Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide:

Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g).

En dus:

Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)

En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) g'(x)⋅ .

De kettingregel:

)(.)(.

))(())(.)((lim

))(())(.)((lim)('

0

0

xgxgh

xgfxghxgfh

xgfxghxgfxs

h

h

h

xgfhxgfxs

h

))(())((lim)('

0

dy

du

du

dy

dx

dy

v.b. kettingregel

xxxxf

xxx

xxxf

50304)(

2510

)5()(

23

234

22

xxx

xxx

dx

du

du

dy

dx

dy

udu

dy

xdx

du

uy

xxu

50304

)52()5(2

2

52

5

23

2

2

2

De kettingregel

Kettingregel:

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctiey = f (x) als volgt te werk.• Schrijf f als een ketting van twee functies.• Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide.• Druk het product van de afgeleide functies uit in x.

dy dy du

dx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van

de schakels

12.3

Opgave 29

uy

xustel

xxf

4

4)(2

2

3

24

324

2

)2()(

uy

xxustel

xxxf

xdx

du

udu

dy2

2

1

4)('

242

1

)('

2

2

x

xxf

xxdx

du

du

dydx

du

du

dy

dx

dyxf

xxxxxf

dx

du

du

dy

dx

dyxf

28)2(3)('

)('

3224

xxdx

duu

du

dy283 32

3

1

3

3 3

3

3)(

uy

xxustel

xxxf

2

2

12

)12()(

uy

xustel

xxf

33

33

1 2

3 23

x

dx

du

xxdu

dy

3 23

2

3

1)('

)('

xx

xxf

dx

du

du

dy

dx

dyxf

22 3

dx

duu

du

dy

3)12(

4)('

)('

xxf

dx

du

du

dy

dx

dyxf

opgave 31

a f (x) = (½x2 - 2x)3

b Stel y = (½x2 – 2x)3 = u3

met u = ½x2 – 2x en

f’ (x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2)f’ (x) = 0 geeft 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0

½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2

c Stel l : y = ax + ba = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432dus l : y = 432x + byA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216

dus A(6, 216)

23dy

udu

2du

xdx

216 = 432 · 6 + b216 = 2592 + b-2376 = b l : y = 432x - 2376

x

y

O

f

Opgave 35

xxxf 28)(

Opgave 32

xxxxf 59)( 22

Opgave 38

Sinus, cosinus en tangens

O (1,0)

y

xA

α

P (xP,yP)

1sin α = = = yP

cos α = = = xP

tan α = =

PQ

OP

yP

1OQ

OP

xP

1Q

∟

sos cas toa

xP

yP

1

PQ

OQ

yp

xp

12.4

De exacte-waarden-cirkel

12.4

opgave 43

Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π].sin2(x) + sin(x) = 0sin(x)(sin(x) + 1) = 0sin(x) = 0 v sin(x) = -1x = k · π v x = 1½π + k · 2πOp domein [0, 2π] geeft dat de nulpuntenx = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π

f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π.

Ox

y

½π π 1½π 2π

f

∙ ∙ ∙ ∙

opgave 46a

O 1

y

xα

-1

1

-1

2 sin (½x) = 1sin (½x) = ½½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π

1

6

5

61

35

3

½ π1

6π5

6sinα = yP

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x)

f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x)g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x)

opgave 52af (x) = cos(2x)Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2xf’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x)

dy dy du

dx du dx

12.5

opgave 52b

g (x) = x cos(x)g’ (x) = [x · cos(x)]’g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x)g’ (x) = cos(x) – x sin(x)

g’

opgave 55b

g (x) = x2 sin(3x)g’ (x) = [x2 · sin(3x)]’g’ (x) = [x2]’ · sin(3x) + x2 · [sin(3x)]’g’ (x) = 2x · sin(3x) + x2 · 3 cos(3x)g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x2 cos(3x)

g’

opgave 57d

j (x) = x + 3 sin2(x)j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x)j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x)

j’

12.5

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum.

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?Bij welke route horen de laagste kosten ?

12.6

opgave 65a

Stel de hoogte is h dm.K = kosten bodem + kosten zijkanten

2

2

2 0,4 2 2 0,2 2 0,2

0,8 1,2

2 2

72

K x x x h x h

K x xh

I x x h x h

I

2

2

2 72

36

x h

hx

22

2

360,8 1,2

43,20,8

K x xx

K xx

72 dm3

opgave 65b 2 1

2

2

3

2

3

3

3

2

2

0,8 43,2

1,6 43,2

43,21,6

1,6 43,2

0

1,6 43,2 0

1,6 43,2

27

3

364

3

43,20,8 3

3

K x x

dKx x

dxdK

xdx x

dK x

dx xdK

dx

x

x

x

x

h

geeft

geeft

Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm.De minimale kosten zijn

= 21,6 euro

geeft

opgave 67

De oppervlakte is x · y = 75

dus y =

De kosten van de afrastering zijn

K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y

K = 30x + 40 · = 30x +

= [30x + 3000x-1]’

= 30 – 3000x-2 = 30 –

= 0 geeft 30 =

30x2 = 3000

x2 = 100

x = 10 v x = -10

De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m.

75 x

75 x

3000 x

dK dxdK dx

3000 x2

dK dx

3000 x2

€10

€20

€20

€20

x

y

x

y

10

opgave 68a

K = kosten langs het bos + kosten in het weilandK = y · 60 + (x + y) · 15K = 60y + 15x + 15yK = 15x + 75yO = xyO =1200

1200

1200

xy

yx

120015 75

9000015

K xx

K xx

opgave 68b 1

2

2

2

2

2

2

2

15 90000

15 90000

9000015

15 90000

0

15 90000 0

15 90000

6000

6000

77,5

120015,5

6000

9000015 6000

6000

K x x

dKx

dxdK

dx x

dK x

dx xdK

dx

x

x

x

x

x

y

geeft

geeft

geeft

Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m.De minimale kosten zijn

≈ 2324 euro

opgave 68c

1

2

2500

9000015 2500

9000015

2500

52,6

120022,8

52,6

114,1

120010,5

114,1

K

xx

y xx

y

x

y

x

y

geeft

geeft

geeft

Voer in

De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1

Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezenvoor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

opgave 70

De inhoud is I = πr2h ,dus 500 = πr2h.dus h =

De materiaalkosten zijnK = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh .

K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr +

Voer in y1 = 3πx2 + 4πx +

De optie minimum geeft x ≈ 3,5.De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingenr ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm.

500 πr2

500 πr2

1000 r

a

b 1000 x

r

K

3,5

445,1

onderkant bovenkant rand van deksel mantel

opgave 72

a AC + BC = 12 – xOmdat AC = BC isAC = = 6 - ½x

b Pythagoras in ∆ADC :CD 2 + AD 2 = AC 2

CD 2 = AC 2 – AD 2

CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2

CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6xCD = √(36 – 6x)

c O = ½ · AB · CDO = ½x √(36 – 6x)

12 - x 2

x

D

г

l l

Opgave 73

36002 x

360020122400

3600102)200(12

2

2

xxK

xxK

3600

2012'

)3600(22

12012'

)3600(20122400

2

2

12

2

12

x

xK

xxK

xxK

200-x

45

2025

1632400

25324009

536003

3600

2012

3600

20120

2

2

22

2

2

2

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

Opgave 75a&b

68028€

3400003

2100340000

3

1150

3

1

K

K

ABCB

340000

90000250000

300500 22

AB

AB

AB

Opgave 75c&d

Opgave 75c&d

Opgave 76

01,0

1,0

2

22

xAP

xAP

2

2

22

8,02,0

04,08,016,0

2,0)4,0(

xxBP

xxBP

xBP

12

2,08,0

18

01,0

121822

xxxt

BPAPt

.sec129sec360003578,0

)03578,0;243,0(4260

5max0min5,0max0min

calcnd

YYXXGR

Opgave 77

xAF

xSA

10

42

126

54

4

112

10

4

4

124

2

2

xxt

xxt

AFSAt

12

1

44'

2

x

xt

22

12

1

84

94

34

1244

4412

1

12

1

440

0'

2

2

22

2

2

2

2

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

t

Opgave 79xAD

xPD

40400

20

3

26

20030

2020010

404002

1

40400

1040400

1040400

2

10

0'

x

x

xx

xx

xx

xx

O

xxO

PDADO

404002

12

1

x

xxO

xxxO

40400

1040400

2

1'

4040400

1

2

140400

2

1'

49,383

2640400

3

26

2

1

O

O