Differentieer regels

55
Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x)= cx n dan is f'(x)= ncx n –1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x)= c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0

description

Differentieer regels. De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Differentieer regels

Page 1: Differentieer regels

Differentieer regels

De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie:

Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:

Differentieerregel 1 (machtsregel):Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.

Differentieerregel 2 (constante-regel):Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.

Differentieerregel 3 (somregel):Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Page 2: Differentieer regels

Voorkennis

f(x) = ax3

f’(x) = 3ax²g(x) = ax4

g’(x) = 4ax3

h(x) = ax5

h’(x) = 5ax4

algemeen geldt :k(x) = axn

k’(x) = n · axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)

12.1

Page 3: Differentieer regels

Voorkenniswerkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden

1 bereken f’(x).2 los algebraïsch op f’(x) = 0.3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …

raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0

12.1

Page 4: Differentieer regels

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctie.I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax

7.1

Page 5: Differentieer regels

voorbeeld

f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van differentiëren

Page 6: Differentieer regels

Andere regels ?!?

De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2.

Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x.

Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn.

Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) / g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

Page 7: Differentieer regels

De productregel

De quotiëntregel

7.1

Page 8: Differentieer regels

De productregel:

)()()()( xgxfxgxf

h

xphxpxp

h

)()(lim)('

0

h

xghxgxfhxg

h

xfhxfhh

))()(()(lim)(

))()((lim

00

Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).

Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

h

xghxgxf

h

hxgxfhxfhh

))()(()(lim

)())()((lim

00

h

xghxgxfhxgxfhxfh

))()(()()())()((lim

0

h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh

)()()()()()()()(lim

0

h

xgxfhxghxfh

)()()()(lim

0

Page 9: Differentieer regels

v.b. productregel )32)(4()( 32 xxxxf

)23)(4()32(2)( 223 xxxxxxf

8665)( 24 xxxxf

12832 235 xxxx

128432 3235 xxxxx

81223642 22424 xxxxxx

Page 10: Differentieer regels

opgave 5a

f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2)f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3Stel k : y = ax + ba = f’ (-1) = 17k : y = 17x + byA = f (-1) = -3

dus A(-1, -3).

Dus k : y = 17x + 14.

y = 17x + b-3 = 17 · -1 + b14 = b

Page 11: Differentieer regels

Opgave 7

Page 12: Differentieer regels

Opgave 8

5)42

1()( 23 xxf

Page 13: Differentieer regels

O(∆ABC) = ½ · AC · ABAC = OC – OA = 4 – pAB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3

Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)

opgave 9a

Page 14: Differentieer regels

opgave 9b

In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voorp = 58

6 3

32,

Page 15: Differentieer regels

De ABC-formule

ax2 + bx + c = 0

De discriminant D = b2 – 4ac

D < 0 geeft geen oplossingen.D = 0 geeft 1 oplossing.D > 0 geeft 2 oplossingen.

2 2

b D b Dx x

a a

12.2

Page 16: Differentieer regels

Opgave 17

x

xxf

32)(

Page 17: Differentieer regels

opgave 19

a

Stel k : y = ax + b

dus

Dus

2 214 4

( ) 4x x

f x x xx x x

22

4'( ) 1 4 1f x x

x

2

4 5'(3) 1

3 9a f

5:

9k y x b

23 4 13(3)

3 3f

13(3, )

3A

13 53

3 9b

8

3b

5 8:

9 3k y x

12.2

Page 18: Differentieer regels

b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3

x2 = 1

x = -1 v x = 1

f(-1) = -5 en f(1) = 5

De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)

2

41 3

x

2

44

x

2

4 4

1x

opgave 19

Page 19: Differentieer regels

c f’ (x) = 0geeft

x2 = 4 x = -2 v x = 2

max. is f(-2) = -4en

min. is f(2) = 4

2

41 0

x

2

41

x

opgave 19

Page 20: Differentieer regels

d f’ (x) = 2geeft

x2 = -4Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn,heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen.Dus er is geen raaklijn met rc = 2.

2

41 2

x

2

41

x

opgave 19

Page 21: Differentieer regels

Opgave 23

3 2)( xxf

Page 22: Differentieer regels

a

geeft

f’ (x) = 0 geeft

x = 4

f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4

Min. is f(4) = -4.

b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3

Raaklijn y = -3x

c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3

1½√x – 3 = 3

1½√x = 6

√x = 4 x = 16

f (16) = 16 dus A(16, 16)

raaklijn l : y = 3x + b

opgave 241

12( ) 3 3f x x x x x x

1

21 1

'( ) 1 3 1 32 2

f x x x

11 3 0

2x

11 3

2x

2x

16 = 3 · 16 + b

-32 = b l : y = 3x - 32

Page 23: Differentieer regels

Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x).

Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide:

Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g).

En dus:

Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)

En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) g'(x)⋅ .

De kettingregel:

)(.)(.

))(())(.)((lim

))(())(.)((lim)('

0

0

xgxgh

xgfxghxgfh

xgfxghxgfxs

h

h

h

xgfhxgfxs

h

))(())((lim)('

0

dy

du

du

dy

dx

dy

Page 24: Differentieer regels

v.b. kettingregel

xxxxf

xxx

xxxf

50304)(

2510

)5()(

23

234

22

xxx

xxx

dx

du

du

dy

dx

dy

udu

dy

xdx

du

uy

xxu

50304

)52()5(2

2

52

5

23

2

2

2

Page 25: Differentieer regels

De kettingregel

Kettingregel:

Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctiey = f (x) als volgt te werk.• Schrijf f als een ketting van twee functies.• Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide.• Druk het product van de afgeleide functies uit in x.

dy dy du

dx du dx

De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van

de schakels

12.3

Page 26: Differentieer regels

Opgave 29

uy

xustel

xxf

4

4)(2

2

3

24

324

2

)2()(

uy

xxustel

xxxf

xdx

du

udu

dy2

2

1

4)('

242

1

)('

2

2

x

xxf

xxdx

du

du

dydx

du

du

dy

dx

dyxf

xxxxxf

dx

du

du

dy

dx

dyxf

28)2(3)('

)('

3224

xxdx

duu

du

dy283 32

Page 27: Differentieer regels

3

1

3

3 3

3

3)(

uy

xxustel

xxxf

2

2

12

)12()(

uy

xustel

xxf

33

33

1 2

3 23

x

dx

du

xxdu

dy

3 23

2

3

1)('

)('

xx

xxf

dx

du

du

dy

dx

dyxf

22 3

dx

duu

du

dy

3)12(

4)('

)('

xxf

dx

du

du

dy

dx

dyxf

Page 28: Differentieer regels

opgave 31

a f (x) = (½x2 - 2x)3

b Stel y = (½x2 – 2x)3 = u3

met u = ½x2 – 2x en

f’ (x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2)f’ (x) = 0 geeft 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0

½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2

c Stel l : y = ax + ba = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432dus l : y = 432x + byA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216

dus A(6, 216)

23dy

udu

2du

xdx

216 = 432 · 6 + b216 = 2592 + b-2376 = b l : y = 432x - 2376

x

y

O

f

Page 29: Differentieer regels

Opgave 35

xxxf 28)(

Page 30: Differentieer regels

Opgave 32

xxxxf 59)( 22

Page 31: Differentieer regels

Opgave 38

Page 32: Differentieer regels

Sinus, cosinus en tangens

O (1,0)

y

xA

α

P (xP,yP)

1sin α = = = yP

cos α = = = xP

tan α = =

PQ

OP

yP

1OQ

OP

xP

1Q

sos cas toa

xP

yP

1

PQ

OQ

yp

xp

12.4

Page 33: Differentieer regels

De exacte-waarden-cirkel

12.4

Page 34: Differentieer regels

opgave 43

Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π].sin2(x) + sin(x) = 0sin(x)(sin(x) + 1) = 0sin(x) = 0 v sin(x) = -1x = k · π v x = 1½π + k · 2πOp domein [0, 2π] geeft dat de nulpuntenx = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π

f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π.

Ox

y

½π π 1½π 2π

f

∙ ∙ ∙ ∙

Page 35: Differentieer regels

opgave 46a

O 1

y

-1

1

-1

2 sin (½x) = 1sin (½x) = ½½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π

1

6

5

61

35

3

½ π1

6π5

6sinα = yP

Page 36: Differentieer regels

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x)

f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x)g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x)

opgave 52af (x) = cos(2x)Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2xf’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x)

dy dy du

dx du dx

12.5

Page 37: Differentieer regels

opgave 52b

g (x) = x cos(x)g’ (x) = [x · cos(x)]’g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x)g’ (x) = cos(x) – x sin(x)

g’

Page 38: Differentieer regels

opgave 55b

g (x) = x2 sin(3x)g’ (x) = [x2 · sin(3x)]’g’ (x) = [x2]’ · sin(3x) + x2 · [sin(3x)]’g’ (x) = 2x · sin(3x) + x2 · 3 cos(3x)g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x2 cos(3x)

g’

Page 39: Differentieer regels

opgave 57d

j (x) = x + 3 sin2(x)j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x)j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x)

j’

12.5

Page 40: Differentieer regels

In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum.

Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?Bij welke route horen de laagste kosten ?

12.6

Page 41: Differentieer regels

opgave 65a

Stel de hoogte is h dm.K = kosten bodem + kosten zijkanten

2

2

2 0,4 2 2 0,2 2 0,2

0,8 1,2

2 2

72

K x x x h x h

K x xh

I x x h x h

I

2

2

2 72

36

x h

hx

22

2

360,8 1,2

43,20,8

K x xx

K xx

72 dm3

Page 42: Differentieer regels

opgave 65b 2 1

2

2

3

2

3

3

3

2

2

0,8 43,2

1,6 43,2

43,21,6

1,6 43,2

0

1,6 43,2 0

1,6 43,2

27

3

364

3

43,20,8 3

3

K x x

dKx x

dxdK

xdx x

dK x

dx xdK

dx

x

x

x

x

h

geeft

geeft

Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm.De minimale kosten zijn

= 21,6 euro

geeft

Page 43: Differentieer regels

opgave 67

De oppervlakte is x · y = 75

dus y =

De kosten van de afrastering zijn

K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y

K = 30x + 40 · = 30x +

= [30x + 3000x-1]’

= 30 – 3000x-2 = 30 –

= 0 geeft 30 =

30x2 = 3000

x2 = 100

x = 10 v x = -10

De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m.

75 x

75 x

3000 x

dK dxdK dx

3000 x2

dK dx

3000 x2

€10

€20

€20

€20

x

y

x

y

10

Page 44: Differentieer regels

opgave 68a

K = kosten langs het bos + kosten in het weilandK = y · 60 + (x + y) · 15K = 60y + 15x + 15yK = 15x + 75yO = xyO =1200

1200

1200

xy

yx

120015 75

9000015

K xx

K xx

Page 45: Differentieer regels

opgave 68b 1

2

2

2

2

2

2

2

15 90000

15 90000

9000015

15 90000

0

15 90000 0

15 90000

6000

6000

77,5

120015,5

6000

9000015 6000

6000

K x x

dKx

dxdK

dx x

dK x

dx xdK

dx

x

x

x

x

x

y

geeft

geeft

geeft

Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m.De minimale kosten zijn

≈ 2324 euro

Page 46: Differentieer regels

opgave 68c

1

2

2500

9000015 2500

9000015

2500

52,6

120022,8

52,6

114,1

120010,5

114,1

K

xx

y xx

y

x

y

x

y

geeft

geeft

geeft

Voer in

De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1

Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezenvoor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

Page 47: Differentieer regels

opgave 70

De inhoud is I = πr2h ,dus 500 = πr2h.dus h =

De materiaalkosten zijnK = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh .

K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr +

Voer in y1 = 3πx2 + 4πx +

De optie minimum geeft x ≈ 3,5.De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingenr ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm.

500 πr2

500 πr2

1000 r

a

b 1000 x

r

K

3,5

445,1

onderkant bovenkant rand van deksel mantel

Page 48: Differentieer regels

opgave 72

a AC + BC = 12 – xOmdat AC = BC isAC = = 6 - ½x

b Pythagoras in ∆ADC :CD 2 + AD 2 = AC 2

CD 2 = AC 2 – AD 2

CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2

CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6xCD = √(36 – 6x)

c O = ½ · AB · CDO = ½x √(36 – 6x)

12 - x 2

x

D

г

l l

Page 49: Differentieer regels

Opgave 73

36002 x

360020122400

3600102)200(12

2

2

xxK

xxK

3600

2012'

)3600(22

12012'

)3600(20122400

2

2

12

2

12

x

xK

xxK

xxK

200-x

45

2025

1632400

25324009

536003

3600

2012

3600

20120

2

2

22

2

2

2

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

Page 50: Differentieer regels

Opgave 75a&b

68028€

3400003

2100340000

3

1150

3

1

K

K

ABCB

340000

90000250000

300500 22

AB

AB

AB

Page 51: Differentieer regels

Opgave 75c&d

Page 52: Differentieer regels

Opgave 75c&d

Page 53: Differentieer regels

Opgave 76

01,0

1,0

2

22

xAP

xAP

2

2

22

8,02,0

04,08,016,0

2,0)4,0(

xxBP

xxBP

xBP

12

2,08,0

18

01,0

121822

xxxt

BPAPt

.sec129sec360003578,0

)03578,0;243,0(4260

5max0min5,0max0min

calcnd

YYXXGR

Page 54: Differentieer regels

Opgave 77

xAF

xSA

10

42

126

54

4

112

10

4

4

124

2

2

xxt

xxt

AFSAt

12

1

44'

2

x

xt

22

12

1

84

94

34

1244

4412

1

12

1

440

0'

2

2

22

2

2

2

2

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

t

Page 55: Differentieer regels

Opgave 79xAD

xPD

40400

20

3

26

20030

2020010

404002

1

40400

1040400

1040400

2

10

0'

x

x

xx

xx

xx

xx

O

xxO

PDADO

404002

12

1

x

xxO

xxxO

40400

1040400

2

1'

4040400

1

2

140400

2

1'

49,383

2640400

3

26

2

1

O

O