Differentieer regels

De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie:

Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:

Differentieerregel 1 (machtsregel):Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.

Differentieerregel 2 (constante-regel):Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.

Differentieerregel 3 (somregel):Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

De afgeleide functie

Bij een functie hoort een hellingfunctie.I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax

7.1

voorbeeld

f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van differentiëren

Andere regels ?!?

De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2.

Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x.

Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn.

Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

De productregel

De quotiëntregel

7.1

De productregel:

Als p(x) = f(x) · g(x)) dan is p'(x) = f'(x) · g(x)) + f(x) · g'(x).

Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

)()()()(

))()(()(lim)(

))()((lim

))()(()(lim

)())()((lim

))()(()()())()((lim

)()()()()()()()(lim

)()()()(lim

)()(lim)('

00

00

0

0

0

0

xgxfxgxfh

xghxgxfhxg

h

xfhxfh

xghxgxf

h

hxgxfhxfh

xghxgxfhxgxfhxfh

xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh

xgxfhxghxfh

xphxpxp

hh

hh

h

h

h

h

v.b. productregel

8665

81223642

)23)(4()32(2)(

)32)(4()(

8665)(

12832

128432

)32)(4()(

24

22424

223

32

24

235

3235

32

xxx

xxxxxx

xxxxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxx

xxxxx

xxxxf

De quotiëntregel:

2

22

2

))((

)()()()(

))((

)()(

))((

)()(

))((

)()(

)(

)(

)(

)()()(

)(

)(

)(')()(')('

)(')()(')()('

)(')()()(')('

)()()(

xg

xgxfxgxf

xg

xgxf

xg

xgxf

xg

xgxf

xg

xf

xg

xgxgxf

xf

xg

xgxqxfxq

xgxqxfxgxq

xgxqxgxqxf

xfxgxq

2))((

)()()()()(

)(

)()(

xg

xgxfxgxfxqdan

xg

xfxqals

Bewijs (1) :

v.b. quotiëntregel

xx

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxx

x

xxxxxxxf

xxfx

xx

x

xxxxf

43

)3(4

)3(

124

)3(

)42()4126(

)3(

)3)(42()3)(4126(

)3(

1)12462()3)(4126()('

4)(3

)3)(42(

3

)12462()(

2

22

2

22

2

232

2

23

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt.off’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt.

algemeen :f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = f’(xA)

7.1

De afgeleide van f(x) = axn

f(x) = ax3

f’(x) = 3ax²g(x) = ax4

g’(x) = 4ax3

h(x) = ax5

h’(x) = 5ax4

algemeen geldt :k(x) = axn

k’(x) = n · axn-1

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3)

7.2

opgave 22

a f(x) = x√x – 3x= x1½ - 3x

f’(x) = 1½x½ - 3 = 1½√x – 3

stel k : y = ax met a = f’(0) = -3dus k : y = -3x

b f’(x) = 31½√x – 3 = 31½√x = 6√x = 4x = 16l : y = 3x + bf(16) = 16 (16, 16)

l : y = 3x - 32

16 = 3 · 16 + b16 = 48 + b-32 = b

∙

∙

7.2

Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x).

Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide:

Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g).

En dus:

Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)

En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) g'(x)⋅ .

De kettingregel:

)(.)(.

))(())(.)((lim

))(())(.)((lim)('

0

0

xgxgh

xgfxghxgfh

xgfxghxgfxs

h

h

h

xgfhxgfxs

h

))(())((lim)('

0

dy

du

du

dy

dx

dy

v.b. kettingregel

xxx

xxx

xxxxf

xxxf

xxxxf

xxx

xxxf

50304

)25152(2

)52)(5(2)(

)5()(

50304)(

2510

)5()(

23

23

2

22

23

234

22

xxx

xxx

dx

du

du

dy

dx

dy

udu

dy

uy

xdx

du

xxu

50304

)52()5(2

2

52

5

23

2

2

2

Differentieerregel voor de quotiëntregel:

2

22

2

21

1

))((

)()()()(

))((

)()(

))((

)()(

))((

)()(

)(

)(

)())((1)())(()()(

lg

))(()()(

xg

xgxfxgxf

xg

xgxf

xg

xgxf

xg

xgxf

xg

xf

xgxgxfxgxfxq

elkettingregenproductdeensvo

xgxfxqweetje

2))((

)()()()()(

)(

)()(

xg

xgxfxgxfxqdan

xg

xfxqals

Bewijs (2) :

a grafiekb raaklijn horizontaal f’(x) = 0

y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 - 2x

= 3u2 en = x - 2

f’(x) = 3u2 · (x – 2)= 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2)

f’(x) = 0 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0x2 – 4x = 0 v x – 2 = 0x(x – 4) = 0 v x = 2x = 0 v x = 4 v x = 2

c stel l : y = ax + ba = f’(6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2 · (6 – 2) = 432l : y = 432x + bf(6) = 216 dus A(6, 216)

dus l: y = 432x - 2376

dydu

dudx

opgave 29

216 = 432 · 6 + bb = -2376

7.3

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient

Teken f(x) = x² - 3x + 1.Teken enkele lijnen met rc = 2.Eén van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is B.Bereken de coördinaten van B.rc = 2 dus f’(xB) = 2

xB berekenen

f’(x) = 2 oplossenf’(x) = 2x – 3f’(x) = 2

xB = 2,5

yB = f(2,5) = -0,25

B(2,5; -0,25)

2x – 3 = 22x = 5x = 2,5

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

y

B●

x

7.4

Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide

werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden1) Bereken f’(x).2) Los algebraïsch op f’(x) = 0.3) Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …

Raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0.

7.4

a N = 90t – 40t√t + 20N = 90t – 40t1½ + 20

= 90 – 60t½ = 90 - 60√t

= 90 – 60 · 1 = 30

Om 8 uur ’s morgens neemt het aantal auto’s dat per minuut passeert toe met 30 per uur.

b = 0 geeft

90 - 60√t = 0-60√t = -90√t = 1½t = 2¼ dus om 9.15 uur

c 1 per twee minuten betekent 30 per uur

= -30

90 - 60√t = -30-60√t = -120√t = 2 t = 4 dus om 11.00 uur

opgave 43

dN dt

[ ]dN dt t=1

dN dt

dN dt

t

N

O2¼

Krommen door toppen

• Opgave 46 m.b.v. geogebra

opgave 51

a f(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10f’(x) = -3x² - 6x + 24f’(x) = 0 geeft-3x² - 6x + 24 = 0x² + 2x – 8 = 0(x + 4)(x – 2) = 0x = -4 v x = 2voer f in op je GRoptie minimummin. is f(-4) = -70optie maximummax. is f(2) = 38

b f(x) = -50 3 oplossingeny = -50 snijdt de grafiek van f 3 keerf(x) = 50 1 oplossingy = 50 snijdt de grafiek van f 1 keer

O 2-4x

y

●

●

-50

50

c f(x) = p 3 oplossingen-70 < p < 38

d f(x) = p 1 oplossingp < -70 v p > 38

-70

38

7.5

Differentiëren met quotiëntregel en kettingregel : (1/3)

112

2)(

21

1

2

1)(

2)1(2

1)(

2))((2

1)(

2)(

1)(

))(()1(1)(_

2

1)(

22

2

2

12

2

1

2

2

1

2

122

2

2

x

x

x

xxf

xx

xf

xxxf

xxgxf

xxg

xxgwaarbij

xgxxxfstel

x

xxq

2))((

)()()()())(()(

)(

))(()(

xh

xhxfxhxgxgfxqdan

xh

xgfxq

V.b. :

Vervolg: (2/3)

22

2

22

2

2

2222

2

22

22

2

2

)2(

12

)2(

)2(

1)(

)2(

1)12)2(

1()(

)2(

21)2(1)(

2)(

2)(

x

xx

x

x

x

xxq

xxxx

x

xxq

x

xxxx

x

xq

xxh

xxh

1)2()(

1)2(

222)(

1)2(

)1(2)2()(

1)2(

112

1)2(

)2()(

222

3

222

33

222

22

222

22

222

2

xx

xxq

xx

xxxxxq

xx

xxxxxq

xx

xxx

xx

xxxq

Vervolg: (3/3)

Grafiek

opgave 58

a f(x) =

f’(x) = = =

f’(x) = 0 -6x2 + 30 = 0-6x2 = -30x2 = 5x = √5 v x = -√5

min. is f(-√5) = =

max. is f(√5) = =

Bf =

2

6

5

x

x

2

2 2

5 6 6 2

5

x x x

x

2 2

2 2

6 30 12

5

x x

x

2

2 2

6 30

5

x

x

6 5

5 5

35

5

35

5

6 5

5 5

3 35, 5

5 5

-√5

√5

7.5

Opgave 57

b f’(0) = =

f(x) = ax heeft precies één oplossing voor a ≥ v a ≤ 0

c f’(x) = =

-18x2 + 90 = 2(x4 + 10x2 + 25)-18x2 + 90 = 2x4 + 20x2 + 50-2x4 - 38x2 + 40 = 0x4 + 19x2 – 20 = 0(x2 + 20)(x2 – 1) = 0x2 + 20 = 0 v x2 – 1 = 0geen opl. x2 = 1

x = -1 v x = 1vold. vold.

30

25

11

5

11

5

2

3 2

22

6 30

5

x

x

2

3

7.5

vervolg

opgave 65

a fp(x) = x3 + x2 + px + 7

f’p(x) = ¼x2 + 2x + p

f’p(1) = 0 ¼ + 2 + p = 0

p = -2¼

f’-2¼ (x) = 0

¼x2 + 2x - 2¼ = 0x2 + 8x – 9 = 0(x + 9)(x – 1) = 0x = -9 v x = 1

1

12

-9 1

b f’p(x) = ¼x2 + 2x + p

f’p heeft twee extreme waarden

dus f’p(x) = 0 heeft twee oplossingen

D > 0D = 22 – 4 · ¼ · pD = 4 – p4 – p > 0-p > -4p < 4