Ir J.W. Welleman bladnr 1

ConstructieMechanica 3

� 7-17 Stabiliteit van het evenwicht • Inleiding

• Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)

• Systemen met meer dan één vrijheidsgraad

• Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)

• Statisch bepaalde op druk belaste staaf

• Algemene aanpak met de D.V.

• Verend ingeklemde buigzame staven

• Gekoppelde systemen, aanpendelende belasting

• Knik en de EUROCODE 3

• 2e orde effecten

• Naknikgedrag

• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor

• Vergrotingsfactor voor buigzame staven

• Bezwijken door instabiliteit

CTB2210 COLLEGE 13

Ir J.W. Welleman bladnr 2

GEKOPPELD SYSTEEM MET STARRE STAVEN

k

mF F

star

star l1

l

mF F

star

S

1

1

mFw Sl

mFwS

l

=

=

S

w

w

deel A deel B

star

H

H k w= ×

star

Ir J.W. Welleman bladnr 3

EVENWICHT IN DE VERPLAATSTE STAND VAN HET RECHTER DEEL

1

1

0F w S l H l

mFF w l w k l w

l

mFF l k l

l

× + × − × =

× + × × = × ×

+ × = ×

invloed van de aanpendelende belasting

Ir J.W. Welleman bladnr 4

VEREENVOUDIGD MODEL INCLUSIEF AANPENDELENDE BELASTING

k

Ftot

l

tot

1

1

1

1

k

k

k

F k l

mF FF l F F of

mll F

l

= × ⇔

+ × = ≤ =

+

Stel een totale belasting samen waarbij de belasting per pendel wordt gedeeld door de bijbehorende pendellengte en wordt vermenigvuldigd met de lengte van de verend gesteunde pendelstaaf. Als alle staven dezelfde lengte hebben betekent dit dat ALLE belasting op het verend gesteunde element wordt geplaatst.

star

Ir J.W. Welleman bladnr 5

KNIKLAST MET AANPENDELENDE BELASTING

k

F

F

1

ml

l

1

1

1k

F

mlF

l

=

+k

mF F

star

star l1

l star

Ir J.W. Welleman bladnr 6

KAN DIT OOK VOOR buigzaam GEKOPPELD SYSTEEM ?

mF F

star

star

EI

l1

l

mF F

star

EI

S

1

1

mFw Sl

mFwS

l

=

=

S

w

w

deel A deel B

Ir J.W. Welleman bladnr 7

EVENWICHT VAN DEEL B

z, w

x

l

F

S

)0(w

F

S

Sx

Sz

''''''

:0'''''' 22

FwEIwSFwMS

EI

Fmetww

zz −−=⇔−=

==+ ααRandvoorwaarden:

0)()40)0()2

0)()3)0()1

==

=−=

lM

lwSS z

ϕ

EI

Ir J.W. Welleman bladnr 8

OPLOSSEN

Basisgereedschap:

2

4

2

3

2

432

4321

''''

sincos)(''

cossin)('

sincos)(

FCFwEIwS

xCxCxw

xCxCCxw

xCxCxCCxw

z −=−−=

−−=

+−=

+++=

αααα

αααα

αα

Randvoorwaarden:

( )2 1 31

23 3

1 2 3 4

2 3 4

1)

2) 0 0

3) cos sin 0

4) sin cos 0

mFFC C C

l

EI C C

C C l C l C l

C C l C l

α

α α

α α α α

− = − +

= ⇒ =

+ + + =

− + =

helling van de druklijn

Maak gebruik van :

1

. (0)mF wS

l=

Ir J.W. Welleman bladnr 9

UITWERKEN

1 1

2

4

0 0

1 sin 0

0 1 cos 0

m l C

l l C

l C

α

α α

− =

Dit is een homogeen stelsel vergelijkingen. Een niet-triviale oplossing kan alleen worden verkregen als de determinant nul is :

TRANSCENDENTE VERGELIJKING →→→→ MAPLE

211tan

l Fl m l

m l EIα α α

= + ∧ =

Ir J.W. Welleman bladnr 10

OPLOSSING voor l1 = l en m = 1

( ) ( )

2

2 26 67 7

67

71,1655

6

2,69k

l

EI EIF

l l

l l l

π

π

α

π

≅ ≅

= =

= ≅

Ir J.W. Welleman bladnr 11

RESULTAAT

Kniklengte = 2,0 l

S

F

EI

F

EI

druklijn

druklijn

lk

lk

kniklengte GROTER dan 2l

Kniklengte = 2,69 l

Ir J.W. Welleman bladnr 12

VEREENVOUDIGD MODEL AANPENDELENDE BELASTING : mag dit ?

Kniklengte = 2,0 l

Ftot

EI druklijn

lk

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2

( ) :

0,552,69 1,8 2 2

:

22

0,52,0 2 2

gevonden exact

EI EI EIF

l l l

basisgeval Euler

EIF

l

EI EIF

l l

π π π

π

π π

= = = ××

=

= = ×aanpak is niet exact maar wel veilig, conservatieve benadering van de kniklast, even numeriek onderzoeken !!

Zet alle belasting op het stabiliserende constructiedeel (alle staven even lang).

Ir J.W. Welleman bladnr 13

INVLOED VAN DE LENGTE VAN DE PENDEL ( m = 1 )

( )

1

22 222

2 2 2

2

2

k2 2

2

voor iedere wordt een gevonden en geldt:

( )

4( )met: en:

4

E

ll

l

EI EI l EIF EI l

l l l

EI

F ll l

F lEI

l

α

π α πα α

π β

π

πβγ β β

απ β

= = × = × =

= = = = =

bijvoorbeeld :

1 0,125 0,13l l γ= ⇒ = Korte pendel op druk verlaagt de kniklast ! Ook even onderzoeken voor overige waarden van m ….

l1/l αl β γ 0,050 0,3765 8,34 0,06 0,125 0,5710 5,50 0,13 0,250 0,7595 4,14 0,23 0,750 1,0867 2,89 0,48 1,000 1,1667 2,69 0,55 2,000 1,3242 2,37 0,71 3,000 1,3933 2,25 0,79 4,000 1,4320 2,19 0,83 5,000 1,4569 2,16 0,86

10,000 1,5107 2,08 0,92 15,000 1,5300 2,05 0,95

1000,00 1,5708 2,00 1,00

Probeer dit maar

eens met MAPLE

Ir J.W. Welleman bladnr 14

Gecombineerd knikgeval

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

exact

benadering

INVLOED VAN DE LENGTE VAN DE PENDEL OP DE KNIKLAST ( m variabel )

k

F

F

1

m l

l

CONCLUSIE:

Benadering van blad 4 doet het

aardig goed.

1

1

1k

F

mlF

l

=

+

Ir J.W. Welleman bladnr 15

GENERIEKE AANPAK VOOR ONTWERPFORMULE? Onderzoek overige basisgevallen en controleer ontwerpbenadering voor aanpendelende belasting: Bijvoorbeeld de verend ingeklemde kolom met aanpendelende belasting.

1

1

1k

F

mlF

l

=

+

Ir J.W. Welleman bladnr 16

VEREND INGEKLEMD, buigzaam en GEKOPPELD SYSTEEM

1

2

2

1??

1

met:

1 10en 4 ;

k

k

F

mlF

l

EI rlF

l EI

πη ρ

η ρ

=

+

= = + =

Ir J.W. Welleman bladnr 17

EVENWICHT VAN VEREND INGEKLEMDE DEEL

z, w

x

l

F

S

)0(w

F

S

Sx

Sz

''''''

:0'''''' 22

FwEIwSFwMS

EI

Fmetww

zz −−=⇔−=

==+ ααRandvoorwaarden:

1) (0) 3) ( ) 0

2) (0) 0 4) ( ) ( )

zS S w l

M M l r lϕ

= − =

= =

r

EI

Ir J.W. Welleman bladnr 18

OPLOSSEN

Basisgereedschap:

2

4

2

3

2

432

4321

''''

sincos)(''

cossin)('

sincos)(

FCFwEIwS

xCxCxw

xCxCCxw

xCxCxCCxw

z −=−−=

−−=

+−=

+++=

αααα

αααα

αα

Randvoorwaarden:

( )2 1 31

23 3

1 2 3 4

2 22 3 4

1)

2) 0 0

3) cos sin 0

4) ( cos sin ) ( sin cos ) 0

mFFC C C

l

EI C C

C C l C l C l

rC EI l r l C EI l r l C

α

α α

α α α α α α α α

− = − +

= ⇒ =

+ + + =

− + + + − =

helling van de druklijn

Maak gebruik van :

1

. (0)mF wS

l=

Ir J.W. Welleman bladnr 19

UITWERKEN

1 1

2

24

0 0

1 sin 0

00 sin cos

m l C

l l C

Cr EI l r l

α

α α α α

− = − −

Dit is een homogeen stelsel vergelijkingen. Een niet-triviale oplossing kan alleen worden verkregen als de determinant nul is :

TRANSCENDENTE VERGELIJKING →→→→ MAPLE

1

2

1

tan en

lm

F rlll

l m EI EIl m

l l

ρ

α α ρρ

αα

+

= ∧ = =

+ +

voor ρ naar oneindig

ontstaat uitdrukking

blad 9

Ir J.W. Welleman bladnr 20

INVLOED VAN DE LENGTE VAN DE PENDEL ( m = 2, ρρρρ = 5 )

( )

1

22 222

2 2 2

2

2 k

2 2

2

voor iedere wordt een gevonden en geldt:

( )

met: en:( )

6 met: 5E

ll

l

EI EI l EIF EI l

l l l

EIl l

F l l

rlF EI

EIl

α

π α πα α

π β

π πβ β

ηβ αγπ β η ρη

= = × = × =

= =

= = =

= = =

bijvoorbeeld :

1 0,125 0,0667l l γ= ⇒ = Korte pendel op druk verlaagt de kniklast

Ook even onderzoeken voor overige waarden van m ….

l1/l αl β γ 0,050 0,213646 14,704664 0,027749 0,125 0,331340 9,481477 0,066742 0,250 0,454445 6,913027 0,125549 0,750 0,707394 4,441079 0,304211 1,000 0,780137 4,026976 0,369993 2,000 0,948950 3,310599 0,547442 3,000 1,035217 3,034719 0,651500 4,000 1,088165 2,887055 0,719848 5,000 1,124096 2,794773 0,768172

10,000 1,208024 2,600605 0,887161 15,000 1,240433 2,532658 0,935402 100,00 1,302002 2,412894 1,030564

Probeer dit maar

eens met MAPLE

Ir J.W. Welleman bladnr 21

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00

Gecombineerd knikgeval m=2, rho=5

exact

benadering

INVLOED VAN DE LENGTE VAN DE PENDEL OP DE KNIKLAST ( m variabel )

k

F

F

1

m l

l

CONCLUSIE:

Benadering van blad 4 doet het

aardig goed.

1

1

1k

F

mlF

l

=

+

Ir J.W. Welleman bladnr 22

CONCLUSIE

- ONTWERPFORMULE

is CONSERVATIEF (altijd grotere veiligheid dan volgens benadering)

- Volgt “exacte verloop” met afwijking tussen de 5 – 12%

Opmerkingen

1 Exacte oplossing eenvoudig met MAPLE te bepalen

2 In het dictaat in hoofdstuk 8 meer voorbeelden met nog “mooiere benaderingen”, gaat hier niet om de formules maar om de aanpak.

1

1

1k

F

mlF

l

=

+

Ir J.W. Welleman bladnr 23

AARDIGHEIDJE : GEKOPPELD SYSTEEM met pendel op trek

2F

star

star

EI

l1

l

F 3F

star

EI

S

1

1

l

FwS

SlFw

=

=

S

w

w

deel A deel B

a 2a

Ir J.W. Welleman bladnr 24

EVENWICHT VAN DEEL B

z, w

x

l

3F

S

)0(w

3F

S

Sx

Sz

'3'''''

3:0'''''' 22

FwEIwSwSMS

EI

Fmetww

zxz −−=⇔+=

==+ αα

Randvoorwaarden:

0)()40)0()2

0)()3)0()1

==

==

lM

lwSSz

ϕ

EI

Ir J.W. Welleman bladnr 25

OPLOSSEN

Basisgereedschap:

2

4

2

3

2

432

4321

3'3'''

sincos)(''

cossin)('

sincos)(

FCFwEIwS

xCxCxw

xCxCCxw

xCxCxCCxw

z −=−−=

−−=

+−=

+++=

αααα

αααα

αα

Randvoorwaarden:

( )

0cossin)4

0sincos)3

00)2

3)1

432

4321

33

2

31

1

2

=+−

=+++

=⇒=

+=−

lClCC

lClClCC

CCEI

CCl

FFC

αααα

αα

α

helling van de druklijn

Maak gebruik van :

1

)0(.

l

wFS =

Ir J.W. Welleman bladnr 26

UITWERKEN

=

0

0

0

cos10

sin1

03

4

2

11

C

C

C

l

ll

FlF

αα

α

Dit is een homogeen stelsel vergelijkingen. Een niet-triviale oplossing kan alleen worden verkregen als de determinant nul is :

TRANSCENDENTE VERGELIJKING

( )EI

Flll

33tan 2

1 =∧−= ααα

Ir J.W. Welleman bladnr 27

OPLOSSING voor l1=l

( ) ( )lll

l

EI

l

EIF

l

k

k

7,1

3

6

11836601,1

116

2

116

2

22

116

≅=

==

≅≅

π

π

π

α

Korte pendel op trek verhoogt de kniklast !

kniklengte KLEINER dan 2l

1,83660