COLLEGE ONDERWERPENicozct.tudelft.nl/TUD_CT/CT3109/collegestof/... · Ir J.W. Welleman jan 2017...

Ir J.W. Welleman jan 2017 bladnr 1

COLLEGE ONDERWERPEN

� 1 Spanningstensor � Spanningsdefinitie � Spanningstoestanden en voorbeelden

� 2 Rektensor � Relatieve verplaatsingen � Rekdefinities � Rektensor

� 3 Tensoreigenschappen � Introductie van tensoren � Transformatieregels � Cirkel van Mohr � Voorbeeld

� 4 Spannings-rek relatie � Cirkel van Mohr voor spanning en rek � Voorbeelden

� 5 Bezwijktoestanden � Spanningen in 3D � Von Mises en Tresca

CTB2210 : BEZWIJKTOESTANDEN


WANNEER LEIDT EEN RUIMTELIJKE SPANNINGSTOESTAND TOT VLOEI IN EEN MATERIAAL ? � RUIMTELIJKE SPANNINGSTOESTAND

o Hoofdspanningen, isotrope spanning en deviatorspanning

� VLOEIVOORWAARDEN

o Tresca o Von Mises


RELATIE TUSSEN DE SPANNINGSVECTOR EN DE NORMAALVECTOR VAN HET SPANNINGSVLAK:

SPANNINGEN IN 3D

=

z

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

z

y

x

n

n

n

p

p

p

σσσ

σσσ

σσσ

n= eenheidsnormaalvector van vlakje A

p= spanningsvector werkend op vlakje A


WANNEER VALT DE RICHTING VAN p SAMEN MET DE RICHTING VAN n ?

=

−

−

−

=

0

0

0

:

z

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

z

y

x

z

y

x

n

n

n

invullen

n

n

n

p

p

p

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σ


DIT STELSEL HEEFT ALLEEN EEN NIET-TRIVIALE OPLOSSING ALS DE DETERMINANT NUL IS

INVARIANTEN I1, I2 en I3

zxyzxyxyzzzxyyyzxxzzyyxx

zxyzxyxxzzzzyyyyxx

zzyyxx

I

I

I

met

III

σσσσσσσσσσσσ

σσσσσσσσσ

σσσ

σσσ

2

:

0

222

3

222

2

1

32

2

1

3

+−−−=

−−−++=

++=

=−+−


ISOTROPE SPANNING (gemiddelde normaalspanning)

1

3

2

2σ

1σ

3σ ( )

( )zzyyxx

I

spanningisotrope

σσσσ

σ

σσσσ

++=

=

++=

3

10

13

10

3213

10

:3σ

2σ

1σ


Spanningsruimte (x,y,z)

+

=

zz

yzyy

xzxyxx

o

o

o

zz

yzyy

xzxyxx

s

ss

sss

σ

σ

σ

σ

σσ

σσσ

0

0

0

σσ

σ

σσ

σ

σ

σσ

−=

=

−=

=

=

−=

zzzz

yzyz

yyyy

xzxz

xyxy

xxxx

s

s

s

s

s

s

DEVIATORSPANNING

( )zzyyxx σσσσ ++=

31

0

ISOTROPE SPANNING


HOOFDSPANNINGSRUIMTE (1,2,3)

WAT STELT DIT RUIMTELIJK VOOR ?

−

−

−

+

=

o

o

o

o

o

o

σσ

σσ

σσ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

3

2

1

3

2

1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

DEVIATORSPANNING ISOTROPE SPANNING


HOOFDSPANNINGSRUIMTE

2

3

( )321 ,, σσσσ =

( )0000 ,, σσσσ =

( )321 ,, ssss =

1 O

A

B

willekeurige spanning isotrope spanning deviatorspanning


SPANNINGSVECTOREN IN DE HOOFDSPANNINGSRUIMTE

2

3

1 O

A

B

2

3

2

2

2

1 sss ++

2

3

2

2

2

1 σσσ ++

30σ

Indien OAB=90o:

222

OAOBAB −=

( )

( )2

0

2

2

3

2

2

2

1

2

2

0

2

3

2

2

2

1

2

3

3

σ

σσσ

σσσσ

=

++=

−++=

OA

OB

AB

1 DEVIATORSPANNING STAAT LOODRECHT OP DE ISOTROPE SPANNING

2 HET VLAK WAARIN DE DEVIATORSPANNING LIGT NOEMEN WE HET DEVIATORVLAK 3 DEVIATORVLAK STAAT DUS LOODRECHT OP DE RUIMTEDIAGONAAL


ISOTROPE SPANNINGEN EN DEVIATORSPANNINGEN

WAAROM DIT ONDERSCHEID ?

� DEVIATORSPANNINGEN ZIJN VERANTWOORDELIJK

VOOR GEDAANTEVERANDERING. � ISOTROPE SPANNINGEN ZIJN

VERANTWOORDELIJK VOOR VOLUMEVERANDERING.

� BEZWIJKEN VAN MATERIALEN IS VAAK

GEVOELIGER VOOR GEDAANTE-VERANDERING DAN VOOR VOLUME-VERANDERING


UITGANGSPUNT : VLOEI AFHANKELIJK VAN DE DEVIATORSPANNING

ruimtediagonaal

deviatorvlak met

deviatorspanning

2

3

1


MAXIMUM STELLEN AAN DE DEVIATORSPANNING

maxss ≤

1σ

2σ

3σ


MAXIMUM DEVIATORSPANNING:

( )

( ) ( )[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 2

max

2

13

2

32

2

2131

2

133221

2

3

2

2

2

131

2

2

321312

3

2

2

2

1

2

2

0

2

3

2

2

2

1

2

max

222222

3

3

ABlijn10,sheet

ss

s

s

s

ss

≤−+−+−=

−−−++=

++×−++=

−++=

≤

σσσσσσ

σσσσσσσσσ

σσσσσσ

σσσσ


HOE GROOT IS DE MAXIMALE DEVIATORSPANNING ?

Eenvoudige trekproef:

( ) 2

3

22

max

2

max

22

3

1

321

:

00

yyy

y

fssff

invullen

f

=⇒≤+

=== σσσ

Dus:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] MisesVonf

off

y

y

0

:

2

3

12

13

2

32

2

216

1

2

3

22

13

2

32

2

213

1

≤−−+−+−

≤−+−+−

σσσσσσ

σσσσσσ

y

z

fy

fy


VLOEICRITERIUM VAN VON MISES (1-2-3 ruimte)

( ) ( ) ( ){ } 0

6

1 2

3

12

13

2

32

2

21 ≤−−+−+− yfσσσσσσ


VLOEICRITERIUM VAN VON MISES (1-2 ruimte) σ2

fy

σ1

Ellips

fy


VON MISES (VLAKSPANNING IN EEN BALK)

ττττ

M V

ττττ

ττττ

ττττ σσσσ

σσσσ

τσσσσ === xzzzxx 0

x

z


HOOFDSPANNINGEN IN DE BALK ? (cirkel van Mohr)

( ) ( )τσσσ ,; xzxx =

( ) ( )τσσ ,0; zzz =x

xx

zz

zx

xz

x

z

22

21

21

2

22

21

21

1

4

4

τσσσ

τσσσ

+−=

++=

RC

1

2

1σ

2σ


HOOFDSPANNINGEN IN DE BALK ? (transformatieformules)

( ) ( )[ ]

22

21

21

2

22

21

21

1

22

21

21

2,1

4

4

:

0:

τσσσ

τσσσ

τσσσσ

σσσσσσ

+−=

++=

===

+−±+=

invullen

met xzzzxx

xzzzxxzzxx

zie diktaat pag 24


TOEPASSEN VAN VON MISES IN 2-D (balk)

( Huber – Hencky )

( ) ( ) ( ){ }

y

y

f

invullen

f

≤+

≤−++−

22

2

3

12

1

2

2

2

21

3

:

06

1

τσ

σσσσ

fy

τmax=0,58 fy

σ

τ


VLOEICRITERIUM VAN TRESCA (lijnspanning) Vloei indien de schuifspanning een grenswaarde bereikt

1σ32 σσ

cmaxτ

τ

σ1σ

Lijnspanningstoestand 00 231 ==≠ σσσ

EIS:

y

y

f

fc

≤

=

1

2

σ


VLOEICRITERIUM VAN TRESCA (vlakspanning) Vloei indien de schuifspanning een grenswaarde bereikt

1σ

21max −τ

τ

σ1σ

Vlakspanningstoestand 000 321 =≠≠ σσσ

EIS:

y

y

y

f

f

fc

≤

≤

=≤−

1

2

21 2

σ

σ

σσ

2σ

c

3σ

31max −τ


VLOEICRITERIUM VAN TRESCA (ruimtespanning) Vloei indien de schuifspanning een grenswaarde bereikt

1σ3σ

cmaxτ

τ

1σ

Ruimtespanningstoestand 000 321 ≠≠≠ σσσ

EIS:

y

y

y

fc

fc

fc

=≤−

=≤−

=≤−

2

2

2

13

32

21

σσ

σσ

σσ

2σ

σ


VLOEICRITERIUM VAN TRESCA (1-2-3 ruimte)


VLOEICRITERIUM VAN TRESCA (1-2 ruimte)

fy

σ1

Hexagon

fy

c22 ≤σ

c221 ≤− σσ

c21 ≤σ

σ2

yfc21=


TRESCA (VLAKSPANNING IN EEN BALK)

ττττ

M V

ττττ

ττττ

ττττ σσσσ

σσσσ

τσσσσ === xzzzxx 0

x

z


HOOFDSPANNINGEN IN DE BALK ?

( ) ( )[ ]

22

2

1

2

12

22

2

1

2

11

22

2

1

2

12,1

4

4

:

0:

τσσσ

τσσσ

τσσσσ

σσσσσσ

+−=

++=

===

+−±+=

invullen

met xzzzxx

xzzzxxzzxx

zie diktaat pag 24


TOEPASSEN VAN TRESCA IN 2-D (balk)

y

y

y

y

f

invullen

f

f

f

≤+

≤

≤

≤−

22

1

2

21

4

:

τσ

σ

σ

σσ

fy

τmax=0,5 fy

σ

τ


VON MISES VERSUS TRESCA

σ1

σ2

Von Mises Tresca

fy

0,58fy Von Mises

σ

τ

0,5fy Tresca


VON MISES

CRITERIUM OP BASIS VAN EEN TREKPROEF

CRITERIUM OP BASIS VAN EEN AFSCHUIFPROEF

yyy τσ −=

yτ

yxx τσ =

yxx f=σx y

x y

032 == σσ

yf=1σ

03 =σ

yτσ =1 yτσ −=2

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 0

oef)een trekpr van basis (op MisesVon

2

312

13

2

32

2

2161

2

322

max

2

max

2

13

2

32

2

2131

≤−−+−+−

=

=−+−+−

y

y

f

fs

s

σσσσσσ

σσσσσσ

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 0

oef)afschuifpreen van basis (op :MisesVon

2

22

13

2

32

2

2161

22

max

2

max

2

13

2

32

2

2131

≤−−+−+−

=

=−+−+−

y

ys

s

τσσσσσσ

τ

σσσσσσ


SAMENVATTEND : TRESCA VERSUS VON MISES

σ1

σ2

σ3

TRESCA VON MISES (TREKPROEF) VON MISES (AFSCHUIFPROEF)

fy

σ1

fy

σ2

COLLEGE ONDERWERPENicozct.tudelft.nl/TUD_CT/CT3109/collegestof/... · Ir J.W. Welleman jan 2017...

Documents

Transcript of COLLEGE ONDERWERPENicozct.tudelft.nl/TUD_CT/CT3109/collegestof/... · Ir J.W. Welleman jan 2017...