Hans Welleman 1

M-V-N-lijnenNadruk op de differentiaalvergelijking

Hans Welleman 2

Uitwendige krachten120 kN

40 kN

90 kN30 kN

40 kN

4,0 m 2,0 m 2,0 m

98,49 kN50 kN

werklijnen van de

reactiekrachten

Hans Welleman 3

Inwendige krachten ??

120 kN

98,49 kN50 kN

Kracht kan niet via de

werklijn want daar zit

soms lucht …..

Hans Welleman 4

Ligger (beschouwd als star)

120 kN98,49 kN50 kN

Kracht kan niet via de

werklijn maar moet

via de ligger

4,0 m 2,0 m 2,0 m

?

Hans Welleman 5

Snedekrachten

krachtpunt

staafas

30 kN

• dwarskracht

40 kN

• normaalkracht

120 kNm

• (buigend)

moment

Conclusie:

Kracht in het krachtpunt van de

doorsnede kan worden vervangen door

drie snedekrachten (M, V en N ) t.p.v. de liggeras (NC).

Hans Welleman 6

Totale snede (links en rechts)

• Normaalkracht N

• Dwarskracht V

• Buigend moment M

Actie en reactie dus

snedekrachten komen

paarsgewijs voor

staafas staafas

Hans Welleman 7

Verschil met de pendelstaaf ?

NN

pendelstaaf

NN

V

V MM

Zeer belangrijk, worden teveel fouten

mee gemaakt !

algemene staaf of ligger

Hans Welleman 8

Definities en afspraken

Snedekracht is een “soort” verbindingskracht

Normaalsnede loodrecht op de staafas

Normaalkracht loodrecht op de snede

Dwarskracht loodrecht op de staafas

normaalsnede

staafasM

NV

Volgens Newton: Actie = reactie

Snedekrachten komen paarsgewijs voor

Hans Welleman 9

FORMELE RICHTINGEN

Assenstelsel

Snede-definitie

Afspraken voor N, V en M

z

xn

positieve snede

n

negatieve snede

V

NM

N

VM

Hans Welleman 10

POSITIEVE RICHTINGEN

Een positieve dwarskracht op een positieve snede wijst in de

richting van de positieve z-as

Een positieve normaalkracht werkt in de richting van de normaal

van de snede (trek = positief)

Een positief (buigend) moment op een positieve snede werkt

zodanig dat vezels aan de positieve z-zijde verlengen

M

N

VM

N

VM

NM

z

x

+++++positieve z-zijde

Hans Welleman 11

POSITIEVE RICHTINGEN

Een positieve dwarskracht op een negatieve snede wijst in de

richting van de negatieve z-as

Een positieve normaalkracht werkt in de richting van de normaal

van de snede (trek = positief)

Een positief (buigend) moment op een negatieve snede werkt

zodanig dat vezels aan de positieve z-zijde verlengen

M

N

VM

N

VM

NM

z

x

+++++positieve z-zijde

Hans Welleman 12

DIAGRAMMEN VOOR N, V en M

x-as

N(x)

+normaalkrachtenlijn : N-lijn

x-as

V(x)

+

dwarskrachtenlijn : V-lijn

x-as

M(x)

+

momentenlijn : M-lijn

Zet de grafieken uit met de positieve waarden onder de as.

Hans Welleman 13

BEPALING DIAGRAMMEN

“brute kracht” methode m.b.v. veel sneden….

“wiskundige aanpak” door gebruik te maken

van differentiaalbetrekkingen

“Ingenieursmethode” door handige

combinatie van de eerste twee methoden

hoofdstuk 10

hoofdstuk 11

hoofdstuk 12

Voorbeelden in hoofdstuk 13

Hans Welleman 14

Introductie N-, V- en M-lijn

Puntlasten

Koppels

…..

8,0 m

z

60 kN

2,0

x

z

80 kNm

4,0

x

Hans Welleman 15

Conclusies PUNTLAST

Constante V-lijn voor delen zonder

belasting en een lineaire M-lijn

T.p.v. de puntlast F een sprong F in de

V-lijn en een knik in de M-lijn

Ook een sprong in de V-lijn bij de

opleggingen (logisch …. ?)

Hans Welleman 16

Conclusies KOPPEL

Constante V-lijn en de plaats van het

koppel vind je niet terug in de V-lijn

Lineaire M-lijn met een sprong T t.p.v.

het koppel T

Helling van de M-lijn is constant

Hans Welleman 17

“Brute kracht” voorbeeld 1

x

M-lijn ?

V-lijn ?

Aanpak:

Maak om de meter

een snede en bepaal

daar V en M. Neem

positieve richtingen

aan voor V en M.

5,0 m

z

10 kN/m

Krachtenevenwicht

V(1,0) = 40 kN

Momentenevenwicht

M(1,0) = -80 kNmx

4,0 m

10 kN/m

M(1,0)

V(1,0)

1,0 m Voorbeeld : snede op 1,0 m

let op: positieve snedekrachten

op een negatieve snede !

negatieve

snede

Hans Welleman 18

RESULTAATx V [kN] M [kNm]

0 50 -125

1 40 -80

2 30 -45

3 20 -20

4 10 -5

5 0 0

50

V-lijn [kN]

M-lijn [kNm]

-125

Hans Welleman 19

“Brute kracht” voorbeeld 2M-lijn ?

V-lijn ?

5,0 m

z

10 kN/m

25 kN25

x

4,0 m

10 kN/m

M(1,0)

V(1,0)

1,0 m

Voorbeeld : snede op 1,0 m

let op: positieve snedekrachten

op een negatieve snede !

negatieve

snede 25 kN

Krachtenevenwicht

V(1,0) = 15 kN

Momentenevenwicht

M(1,0) = 20 kNm

Hans Welleman 20

RESULTAATx V [kN] M [kNm]

0 25 0

1 15 20

2 5 30

3 -5 30

4 -15 20

5 -25 0

25

V-lijn [kN]

-25

M-lijn [kNm]

30

20?

Hans Welleman 21

Exacte verloop bepalen

Voorbeeld 15,0 m

z

10 kN/m

Voorbeeld 2

5,0 m

z

10 kN/m

ff doen !

Hans Welleman 22

Voorlopige ontdekking ….

De V-lijn is mogelijk de afgeleide van

het moment ? Anders gezegd : De

helling van de M-lijn is gelijk aan de V-

lijn.

De helling van de V-lijn is op het teken

na gelijk aan de q-last ?

TU-Delft : Dit moeten we bewijzen !

Differentiaalvergelijkingen

Hans Welleman 23

Hans Welleman 24

EXTENSIE : Evenwicht

x

nN+ N

nN

qx

x

Horizontaal evenwicht:

0x

x

N q x N N

Nq

x

0

dlim

d

ddifferentiaalvergelijking

d

x

x

N N

x x

Nq

x

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk

aan de verdeelde belasting

Hans Welleman 25

VOORBEELD

5,0 m

10 2xq x 21

1

1

2

d10 2

d

(één keer integreren)

( ) 10

randvoorwaarde:

5,0 0

invullen:

0 10 5,0 25,0

25,0

( ) 10 25

Nx

x

N x x x C

x N

C

C

N x x x

25,0

6,25

N [kN]

vrije randvaste rand

Hans Welleman 26

0

0

dlim

d

dMlim

d

x

x

V V

x x

M

x x

Verticaal evenwicht:

0z

z

V q x V V

Vq

x

Momentenevenwicht om

rechtersnede:

12

12

( ) 0z

z

M V x

q x x M M

Mq x V

x

0x

Differentiaalvergelijk voor buiging:Momentevenwicht en verticaal krachtenevenwicht voor een stukje ligger met lengte Δx

qz

M +M

VM

z

x

V+V

x

Hans Welleman 27

Verticaal evenwicht:

0z

z

V q x V V

Vq

x

Momentenevenwicht om

rechtersnede:

12

12

( ) 0z

z

M V x

q x x M M

Mq x V

x

0x

qz

M +M

VM

z

x

V+V

x

d

d

d

d

z

Vq

x

MV

x

Differentiaalvergelijk voor buiging:Momentevenwicht en verticaal krachtenevenwicht voor een stukje ligger met lengte Δx

Hans Welleman 28

VOORBEELD

5,0 m

z

10 kN/m

1

1 1

10

(één keer integreren)

( ) 10

randvoorwaarde:

5,0 0

invullen

0 10 5 50

dV

dx

V x x C

x V

C C

( ) 10 50V x x

2

2

2

2

10 50

(één keer integreren)

( ) 5 50

randvoorwaarde:

5,0 0

invullen

0 5 25 50 5

125

dMV x

dx

M x x x C

x M

C

C

2( ) 5 50 125M x x x

x

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman 29

RESULTAAT

1 differentiaalvergelijking voor extensie

2 differentiaalvergelijkingen voor buiging

en dwarskracht

d

d

d

d

d

d

x

z

Nextensie q

x

Vq

xbuiging

MV

x

Hans Welleman 30

Conclusies

Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min

de verdeelde belasting in x-richting

Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min

de verdeelde belasting in z-richting

Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de

dwarskracht (V)

Hans Welleman 31

Gevolg : buiging

Geen q-last in z-richting

constante V-lijn

lineair verlopende M-lijn

q-last constant in z-richting

lineair verlopende V-lijn

parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman 32

Nadeel “wiskundige aanpak”

D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert (continue beschrijving)

Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint een nieuw veld………

“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van de problemen

T Fq q

6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???

Hans Welleman 33

Ingenieurs – aanpak (volgende les)

Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige

voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige

verbanden)

Construeer de M-lijn door voor een aantal

karakteristieke punten m.b.v. de snede-

aanpak het moment te bepalen

Verzin iets op het probleem met het

assenstelsel …..

Hans Welleman 34

x

Tekenproblemen voor V- en M

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

45 kN

FOUTGOED

Hans Welleman 35

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”

Hans Welleman 36

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”

genoemd …

Hans Welleman 37

VERVORMINGSTEKENS

Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”

Dwarskracht : “fietstrappers”

Moment : “verbuigingsteken”

VISUELE AANPAK

Hans Welleman 38

M-lijn en verbuigingsteken

open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman 39

V- en

M ?helling 0

helling 0

helling 0

helling 0

Hans Welleman 40

V- en

M ?helling 0

helling 0

helling 0

helling 0

Eenvoudig voorbeeld M-lijn en

V-lijn

Hans Welleman 41

Hans Welleman 42

5,0 kN/m

4,0 ml = 8,0 m

10 kN

AB

C

Hans Welleman 43

5,0 kN/m

4,0 ml = 8,0 m

10 kN

0,125 ql2= 40 kNm

40 kNm

10 kNVB-rechtsMB

AB

C

M-lijn

helling = 15

helling = 25

helling = 10

V-lijn

10 kN

25 kN

15 kN M maximaal waar V=0 !

3,0 mMmax = 22,5 kNm

40 kNm20 kNm

Hans Welleman 44

5,0 kN/m

4,0 ml = 8,0 mA

BC

10 kN

40 kNm

20 kNm

4,0 m

3,0 m

22,5 kNm

10 kN

25 kN

15 kN

35 kN

35 kN15 kNCONTROLEER

• Knikken in M-lijn ?

• Sprongen in V-lijn ?

• Lineair en parabolisch ?

LiteratuurToegepaste Mechanica – Deel 1 (Evenwicht)

• Hoofdstuk 11 – Wiskunde beschrijving van het verband tussen snedekrachten en en

belasting

Ondersteunend materiaal:

• Hoofdstuk 10 – Snedekrachten

• Hoofdstuk 12 – M-V-N-lijnen

En nu oefenen

Coz blok 5 – M & V-lijnen