2016 deel2 Vraagstukkenbundel -...

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel 2 : Vraagstukken

CTB2210

December 2016 C. Hartsuijker en J.W. Welleman

MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT

COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN Civiele Techniek TU-Delft

December 2016

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB2210

Voorwoord

Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van CTB2210 ConstructieMechanica 3.

De theorie en voorbeelden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdeel in zelfstudie

bestudeerd kan worden.

Op het college worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeelden toegelicht. De

student wordt geacht zelf deze onderwerpen nader te bestuderen. De zelfstudie wordt

met behulp van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het college

worden gebruikt te downloaden van het internet. Ook extra oefenmateriaal kan hier

worden verkregen. Deze site is te vinden op:

http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/index.shtml

Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik

gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica.

Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site:

http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/SAs/Overons/

Ondanks de grootste zorgvuldigheid bij het samenstellen van dit dictaat zijn

onvolkomenheden niet uit te sluiten. Wij stellen het zeer op prijs dat fouten en

onduidelijkheden worden gemeld.

De auteurs,

Coen Hartsuijker en

Hans Welleman,

December 2016

Inhoudsopgave

LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT ..................................... iii

1. Stabiliteit van het evenwicht ............................................................................ 1

2. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad .................................. 3

3. Knik van gekoppelde starre staven ................................................................ 19

4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden ............................ 33

5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen ........................................... 39

6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven.............................................. 51

7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven ...................... 67

8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen ...................................... 69

9. Formule van Rayleigh * ................................................................................. 77

10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen)...................................................... 85

11. Vergrotingsfactor (buigzame staven) ........................................................... 101

12. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag .............................................. 117

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER

© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman iii

LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT

STABILITEIT

Deze leeswijzer geeft een overzicht van de te bestuderen onderdelen van het dictaat

ConstructieMechanica 3 : Stabiliteit van het Evenwicht. Het nieuwe dictaat is opgezet

als een compleet overzicht van de basismechanica die over het onderwerp stabiliteit

handelt. Dit gaat verder dan de leerdoelen die getoetst worden op het tentamen

ConstructieMechanica 3. Het dictaat is in vergelijking tot het oude dictaat hierdoor in

omvang toegenomen maar dit komt met name door de vele zeer uitgebreide

voorbeelden. Hierdoor is dit dictaat veel beter geschikt als modern leermiddel. In deze

leeswijzer zal per hoofdstuk worden aangegeven welke onderdelen getoetst worden en

welke delen verrijkingsstof zijn. Een ruime hoeveelheid opgaven is opgenomen in dit

tweede deel. Het is beslist niet de bedoeling alle opgaven te bestuderen. Maak een

selectie aan de hand van de in deze leeswijzer genoemde opgaven. De

antwoorden/uitwerkingen van genoemde opgaven in deze leeswijzer zijn te vinden op

BlackBoard / internet.

Hoofdstuk 1 In dit hoofdstuk wordt het kader en de begrippen uiteengezet. Deze stof is essentieel

voor het herkennen van stabiliteitsproblemen. De theorie kan op het tentamen worden

getoetst met theorievragen. Belangrijke constatering van de kennismaking met

“stabiliteit van het evenwicht” is dat een stabiel evenwicht een evenwicht is waarbij

de belaste constructie bij een kleine verplaatsing t.o.v. de evenwichtsstand terugkeert

naar deze evenwichtsstand. Zie hiervoor ook de introductie-video op BlackBoard.

Hoofdstuk 2 Dit hoofdstuk start met de stabiliteit van het evenwicht van starre staafsystemen met 1

vrijheidsgraad. Aan de hand van deze eenvoudige systemen is de kern van een

stabiliteitsprobleem uit een te zetten. Paragraaf 2.1 en de voorbeelden behandelen de

standaard aanpak:

• zet de constructie in de verplaatste stand

• maak de constructie vrij en geef alle verbindingskrachten aan

• stel de evenwichtsvoorwaarde(n) op in de verplaatste stand

• onderzoek de aard van dit evenwicht en bepaal bij welke belasting er nog juist

evenwicht is

Bij het oplossen van de gelineariseerde evenwichtsvergelijking blijkt dat de

verplaatsing van de vrijheidsgraad er niet toe doet (onder de aanname dat deze klein

is)

Paragraaf 2.2 over het naknikgedrag is geen tentamenstof. Het begrip naknikgedrag

moet je wel kennen, het bepalen ervan valt buiten het bestek van deze BSc-cursus.

Paragraaf 2.3 behandelt een aantal essentiële voorbeelden. Van voorbeeld 1 en 9 is het

naknikgedrag op blz 43 en 63 leesstof.

LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3

© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

iv

Hoofdstuk 3 In dit hoofdstuk worden gekoppelde staafsystemen behandeld met 1 vrijheidsgraad. In

paragraaf 3.1 wordt de essentie hiervan weergegeven. De standaard aanpak van

hoofdstuk 2 is ook hier van toepassing. Bij het opstellen van de

evenwichtsvergelijkingen moet er echter op gelet worden dat het evenwicht wordt

beschouwd van ieder vrijgemaakt deel en dat tussen deze vrijgemaakte delen

verbindingkrachten kunnen zitten. Belangrijk bij de oplossingsfase is om de

evenwichtsvergelijkingen zodanig te combineren dat deze verbindingkrachten worden

geëlimineerd. In het voorbeeld op blz 65-68 wordt dit verder verduidelijkt. De

generalisatie naar systemen met meer dan twee gekoppelde staven is louter ter

toelichting. De afgeleide formules zijn niet bedoeld om te onthouden. De essentie is

dat de belasting op een gekoppeld systeem kan worden vervangen door een

aanpendelende belasting die extra op het geschoorde element wordt geplaatst. Zie

hiervoor ook de sheets over dit onderwerp. Dit onderdeel wordt veelal getoetst op het

tentamen en keert terug in hoofdstuk 8. De theorie wordt in paragaaf 3.3 verder

verduidelijkt aan de hand van voorbeelden waarbij voorbeeld 1, 2, 5, 8 en 9 de

belangrijkste zijn.

Hoofdstuk 4 Na constructies met 1 vrijheidsgraad wordt in dit hoofdstuk de complexiteit verhoogd

door te kijken naar constructies met 2 vrijheidsgraden. Dit is in feite een tussenstap

naar het onderzoeken van continue systemen van hoofdstuk 5.

Paragraaf 4.1 introduceert de aanpak voor systemen met 2 vrijheidsgraden. Essentieel

is dat er t.o.v. de systemen met 1 vrijheidsgraad nu een stelsel van

evenwichtsvergelijkingen ontstaat. Dit stelsel is een homogeen stelsel (rechterlid is

nul) waarvoor alleen een niet-triviale oplossing kan worden gevonden indien de

determinant van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan nul. Dit levert twee kniklasten.

De laagste kniklast is maatgevend. Ook nu blijkt dat de grootte van de verplaatsingen

van de vrijheidsgraden niet kunnen worden bepaald. De verhouding tussen de

verplaatsingen kunnen wel worden bepaald. Net als bij systemen met 1 vrijheidsgraad

is de uitbuigingsvorm wel bekend, de grootte ervan echter niet. Op blz 113 wordt in

een variantuitwerking de relatie gelegd met het eigenwaarde probleem in de

wiskunde. Deze aanpak behoort tot de tentamenstof. Bestudeer voorbeeld 2 bekijk

voorbeeld 3 en 4.

Hoofdstuk 5 Na de starre systemen wordt in dit hoofdstuk gekeken naar buigzame staven. Dit leidt

tot een continue beschrijving m.b.v. de differentiaalvergelijking voor buigingsknik.

Belangrijke paragrafen zijn 5.1 en 5.2. In paragraaf 5.1 wordt voor een eenvoudige

staaf de Eulerse knikkracht bepaald m.b.v. een 2e orde D.V. Belangrijk bij deze

afleiding is om in te zien dat dit mogelijk is aangezien de verticale oplegreacties nul

zijn waardoor in iedere snede de verticale component van de snedekrachten Sz ook nul

moet zijn. In paragraaf 5.2 is voor de algemene op druk belaste buigzame staaf niet

voldaan aan deze eis en leidt de complete aanpak van het evenwicht in de verplaatste

stand tot een 4e orde D.V. waarvan de algemene oplossing in paragraaf 5.3 wordt

bepaald. Als de continue belastingen in x- en z-richting afwezig zijn geldt:


© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman v

EI

FCxCxCxCxw

FwMS

FwEIw

z

=+++=

−=

=+

2

4321 :metsincos)(

''

0''''''

ααα

Van dit theoriegedeelte is het belangrijk de modelstappen te (her)kennen en met de

differentiaalvergelijking de basisknikgevallen te kunnen onderzoeken. Met name het

omgaan met de randvoorwaarden is hierbij essentieel. De resultaten van deze aanpak

leidt tot de vijf basisknikgevallen die op blz 146 en 148 grafisch zijn weergegeven.

Het oordeelkundig kunnen toepassen van deze basisgevallen is essentieel.

De voorbeelden illustreren deze aanpak. Let vooral op voorbeeld 10. Bij het

gelijktijdig uitknikken van de twee op druk belaste staven kunnen de staven geen

stijfheid (weerstand) aan elkaar ontlenen en heeft de starre verbinding tussen de beide

staven feitelijk geen betekenis. Nog een belangrijk aspect dat in dit hoofdstuk aan de

orde komt is het onderscheid tussen globale instabiliteit en locale instabiliteit. Ook is

het onderkennen van verschillende knikvormen een belangrijk element. Voorbeelden

hiervan zijn ook in het college behandeld met name of de starre knikvorm (globale

knik) dan wel de locale (Eulerse knik) maatgevend is.

Hoofdstuk 6 Dit hoofdstuk handelt over verend ingeklemde op druk belaste buigzame staven. De

veren zijn rotatieveren. In dit hoofdstuk worden drie basissystemen behandeld:

paragraaf 6.1 : Enkelzijdig verend ingeklemde staaf

paragraaf 6.2 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, ongeschoorde constructie

paragraaf 6.3 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, geschoorde constructie

In paragraaf 6.1 wordt gestart met de enkelzijdig verend ingeklemde staaf. Met de 4e

orde D.V. en vier randvoorwaarden wordt een homogeen stelsel vergelijkingen

opgelost waarmee de kniklast uit een transcendente vergelijking kan worden opgelost.

Deze oplossingmethode is weliswaar exact maar niet erg praktisch. Aangetoond wordt

dat een zeer nauwkeurige benaderingsformule kan worden gevonden voor deze

enkelzijdig verend ingeklemde staaf.

2

2

)2(

1

/

11

l

EIlrFk π+=

De alternatieve benaderingen van dit probleem in paragraaf 6.1.2 en 6.1.3 zijn geen

tentamenstof.

De tweezijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6.2 is zodanig opgelegd dat de

steunpunten loodrecht t.o.v. de oorspronkelijke staafas kunnen verplaatsen. Deze

situatie komt voor in ongeschoorde raamwerken. Door handig gebruik te maken van

de plek van het buigpunt in de uitbuigingsvorm kan een formule worden opgesteld

voor de kniklast.

LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de

enkelzijdig verend ingeklemde staaf !



vi

( )( )

EI

lr

EI

lr

l

EIF

22

2

2

11

1

1

2

2

2121

2

21k

;10

4

;10

4

:met

4

=+=

=+=

×−+

+=

ρρ

η

ρρ

η

π

ηηηη

ηη

In deze paragraaf wordt tevens aangetoond dat de kniklast voor de enkelzijdig verend

ingeklemde staaf uit paragraaf 6.1 ook met deze formule kan worden gevonden.

In paragraaf 6.3 komt het laatste basisgeval voor verend ingeklemde buigzame staven

aan bod. De staaf is nu geschoord hetgeen inhoudt dat de beide steunpunten loodrecht

op de staafas niet t.o.v. elkaar verplaatsen. Aangetoond wordt dat voor deze situatie

een kniklast kan worden gevonden met de onderstaande formule:

( )( )( )( )

EI

lr

EI

lr

l

EIFk

22

11

2

2

21

21

:met

.55

2525

==

++

++=

ρρ

π

ρρ

ρρ

In paragraaf 6.4 is het geheel nog een keer samengevat met een overzicht van de

gebruikte formules voor diverse configuraties van rotatieveren. De formules worden

op het tentamen allemaal gegeven op een bijgevoegd formuleblad.

In paragraaf 6.5 worden diverse voorbeelden behandeld. Bestudeer met name

voorbeeld 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en de uitbreiding van blz 222 en 222a.

Hoofdstuk 7 : Bijzondere verende ondersteuningen In hoofdstuk 7 zijn diverse voorbeelden gegeven van mogelijke verende

ondersteuningen. Dit kunnen zowel rotatie als translatieveren zijn. Van dit hoofdstuk

is alleen van belang om de stappen in de modelvorming te herkennen. Met name het

formuleren van de randvoorwaarden en het uitwerken van de randvoorwaarden m.b.v.

de D.V. zijn hierbij belangrijke stappen.

Hoofdstuk 8 : Aanpendelende belasting voor buigzame knikstaaf Hoofdstuk 8 gaat nogmaals in op de aanpendelende belasting zoals geïntroduceerd in

hoofdstuk 3. Voor diverse buigzame knikstaven wordt gekeken naar de kniklast. In de

sheets wordt een iets andere benadering gekozen, Voor een aantal voorbeelden wordt

onderzocht in hoeverre de exacte maximale belasting zich verhoudt tot het eenvoudige

model dat in hoofdstuk 3 is gevonden.

1

1

1k

F

mlF

l

=

+

Uit het onderzoek blijkt dat deze aanpak conservatief is en een goede afschatting geeft

van de maximale belasting op een gekoppeld systeem waarbij het schorende element

een op druk belaste buigzame staaf is (les7.pdf).


verend ingeklemde ongeschoorde staaf !


verend ingeklemde geschoorde staaf !


© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman vii

Hoofdstuk 9 Dit hoofdstuk behoort niet tot de tentamenstof.

Hoofdstuk 10 In dit hoofdstuk wordt het begrip vergrotingsfactor geïntroduceerd. Dit onderwerp

komt terug bij de construerende vakken en is buitengewoon belangrijk voor de

ingenieurspraktijk. Het blijkt dat initieel scheef staande constructies die op druk

worden belast, door de excentrisch aangrijpende drukkracht, schever gaan staan. De

uiteindelijke scheefstand kan worden uitgedrukt in de initiële scheefstand d.m.v. een

zgn. vergrotingsfactor. Voor starre staafsystemen geldt:

F

Fnw

n

nw k

0 :met1

=−

=

vergrotingsfactor

Naarmate de belasting F dichter in de buurt ligt van de kniklast neemt de

vergrotingsfactor steeds meer toe. Om constructies dus min of meer ongevoelig te

maken voor het 2e orde effect (d.w.z. gevoelig voor het schever gaan staan door

invloed van de excentrische kracht in combinatie met de initiële scheefstand) is het

dus noodzakelijk de vergrotingsfactor niet te groot te laten worden. Een factor 1,1

betekent dat de verplaatsingen en ook de krachtsverdeling in de constructie met 10%

toeneemt. Vaak is dit al onacceptabel. Om een vergrotingsfactor kleiner dan 1,1 te

verkrijgen moet de factor n groter zijn dan 11. Hetgeen inhoudt dat de werkelijke

belasting één-elfde-deel van de kniklast mag zijn. !

Het onderdeel op blz 312 betreffende de exacte oplossing die ook geldig is bij grote

verplaatsingen is geen tentamenstof. Aardig detail van dit onderdeel is overigens wel

dat de starre staaf met translatieveer een naknikgedrag heeft dat niet stabiel terwijl het

systeem met een rotatieveer wel een stabiel naknikgedrag heeft.

Een initiële scheefstand kan ook worden veroorzaakt door horizontaal aangrijpende

belastingen (netjes dwarsbelasting genoemd). Paragraaf 10.2 behandelt dit onderwerp.

De initiële scheefstand ten gevolge van alleen de dwarsbelasting is in feite een

eerstejaars mechanica-uitdaging en kan worden bepaald met een zgn. eerste orde

berekening.

LET OP : Bestudeer grondig de begrippen die in dit hoofdstuk aan de orde

komen, met name de begrippen 1e en 2

e orde zijn van belang !

Hoofdstuk 11 In hoofdstuk 11 wordt onderzocht of de vergrotingsfactor uit hoofdstuk 10 ook geldig

is voor buigzame staven. Het blijkt in het algemeen niet zo te zijn maar de praktische

formule geeft over het algemeen prima resultaten. In de college sheets wordt met

behulp van voorbeelden de procedure uiteengezet hoe de exacte vergrotingsfactor kan

worden bepaald. Ook hier geldt dat alleen de modelstappen van belang zijn. Op het

tentamen wordt zeker niet gevraagd om voor een bijzonder geval de exacte

vergrotingsfactor te bepalen. Paragraaf 11.3 is extra verrijkingstof en geen

tentamenstof.



viii

Hoofdstuk 12 Het laatste onderwerp behandelt de invloed van plasticiteit op het bezwijkgedrag van

constructies. Hiervoor is het noodzakelijk om uit deel 3 Toegepaste Mechanica van

Hartsuijker en Welleman hoofdstuk 3 (blz 383) en met name paragraaf 3.1.3 (blz 390)

te bestuderen. Een samenvatting van het meest relevante onderdeel van dit hoofdstuk

is hieronder weergegeven.

ACTIE : Loop zelf deze samenvatting na aan de hand van de genoemde passages !

Door plastisch gedrag van de doorsnede in combinatie met een initiële scheefstand

kan veel eerder instabiliteit ontstaan. De kniklast is dan helemaal niet maatgevend. Op

blz 385 is in figuur 12.3 dit grafisch weergegeven. De kritieke belasting waarbij

bezwijken door instabiliteit ontstaat wordt aangegeven met Fc . Als wp de verplaatsing

is waarbij plasticiteit optreedt kan eenvoudig een verband worden gevonden tussen de

kritieke belasting Fc, de kniklast Fk, de initiële scheefstand wo en de verplaatsing wp :

1p

o

k

C =+w

w

F

F formule van Merchant

Als de initiële scheefstand wordt veroorzaakt door b.v. een horizontale belasting Hc

dan kan deze formule worden herschreven tot :

1p

C

k

C =+H

H

F

F

Hierin is Hp de kracht waarbij volgens een eerste orde berekening voor het eerst de

doorsnede volplastisch wordt.

LET OP : 1e orde betekent dus zonder de invloed van de excentrisch aangrijpende

drukkracht want dat is juist de 2e orde component in het geheel !

ACTIE : Bestudeer de uitgewerkte tentamenopgaven, maak deze ook zelf en

maak de opgaven achter in het boek waarvan de antwoorden en veelal de

uitwerkingen van zijn gegeven.

Hier wordt voor een op buiging belaste doorsnede gekeken naar het maximale moment dat de doorsnede kan

opnemen als we toestaand dat overal in de doorsnede vezels de trek en druk spanningen mogen toenemen tot

de (maximale) vloeispanning van het materiaal.

Voor een rechthoekige doorsnede kan eenvoudig worden gevonden dat geldt:

y

2

p4

fbh

M =

Waarbij Mp staat voor het volplastisch moment van de doorsneden. Als alleen in de uiterste vezels de

vloeispanning wordt toegestaan geldt de bekende elastische grenswaarde voor het moment in de doorsnede:

y

2

e6

fbh

M =

Voor de rechthoekige doorsnede geldt dat deze volplastisch 1,5 keer het elastisch moment kan dragen. Er zit

dus boven de elastische grens voor deze doorsnedevorm nog flink wat reserve draagvermogen in de

doorsnede. De factor 1,5 wordt de vormfactor genoemd en veelal aangeduid met de letter α.



ix

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT


1

1. Stabiliteit van het evenwicht

1.1

Wat verstaat men onder “stabiel evenwicht”?

1.2

Waarom dient men te spreken over de “stabiliteit van het evenwicht” en is het

onjuist te spreken over de “stabiliteit van een constructie”?

1.3-1/2

Gegeven twee buigzame staven.

Gevraagd:

Schets voor elke staaf twee “kinematisch mogelijke configuraties” in de

omgeving van de evenwichtsstand.

1.4

Wat is het essentiële verschil tussen een geometrisch lineaire berekening en een

geometrisch niet-lineaire berekening?

1.5

Iemand vraagt u naar het verschil tussen neutraal en instabiel evenwicht. Hoe

zou u deze vraag kunnen beantwoorden?

1.6

Gevraagd de aard van het evenwicht van een kogeltje met gewicht G dat zich in

0x = op het vlak 3

z ax= bevindt. De z-richting is evenwijdig aan de richting

van de zwaarteveldsterkte.

1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3


2

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD


3

2. Knik van starre-staaf-systemen met één

vrijheidsgraad

Opmerking vooraf:

Staven waarbij geen stijfheid wordt vermeld moeten als oneindig stijf worden

opgevat.

2.1

Een homogene prismatische staaf met een massa van 1 200 kgm = is

scharnierend opgelegd in A. Onder aan de staaf hangt aan een koord een

homogeen blok met een massa van 2 1100 kgm = . De staaf wordt bovenin

belast door een verticale kracht F. De zwaarteveldsterkte bedraagt 10 N/kg.

Gevraagd:

De knikbelasting kF .

2.2-1/2

Starre staaf AB is in A scharnierend opgelegd en in B opgehangen aan een

draad. Het systeem wordt belast door het gewicht van de massa’s 1m en 2m en

is in evenwicht.

2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3


4

Gevraagd:

De verhouding 1 2/m m waarbij het evenwicht stabiel is voor:

1. 0θ = .

2. 180θ = �.

2.3-1/2

Een massieve homogene kubus met gewicht G wordt in de getekende stand in

evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k. De veren zijn op twee

verschillende manieren gepositioneerd.

Gevraagd:

Het blokgewicht waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt.

2.4-1/2

Een massieve homogene kubus met gewicht 300 kNG = wordt in de

getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid

50 kN/mk = . De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd.

Op de top grijpt een verticale kracht F aan.

Gevraagd:

Bij welke kracht F wordt het evenwicht instabiel?



5

2.5-1/2

Gegeven twee verend ingeklemde oneindig stijve staven.

Gevraagd:

a. De kniklast kF .

b. Als de staaflengte groter wordt, neemt de kniklast dan toe of af?

2.6-1 t/m 3

Gegeven drie door translatieveren gesteunde oneindig stijve kolommen.

Gevraagd:

a. De knikkracht kF .

b. Als de kolomlengte groter wordt, en de veren blijven op dezelfde hoogte,

neemt de knikkracht dan toe of af?

c. Als de veren lager worden geplaatst, neemt de knikkracht dan toe of af?



6

2.7-1/2

Houd in de berekening aan 24500 kNmEI = .

Gevraagd:

De kniklast kF .

2.8-1/2

Houd in de berekening aan 230 MNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



7

2.9-1 t/m 4

De op druk belaste kolom is oneindig stijf. Houd voor de buigstijfheid van de

regels in de berekening aan 2

1 8 MNmEI = en 2

2 16 MNmEI = .

Gevraagd:

a. De kniklast kF .

b. De richting waarin de oneindig stijve kolom in werkelijkheid uitknikt.

2.10-1 t/m 4

Een oneindig stijve kolom is ingeklemd in een ligger met buigstijfheid 22000 kNmEI = die op vier verschillende manieren in de uiteinden is

opgelegd.



8

Gevraagd:

De knikkracht kF .

2.11-1 t/m 3

Het evenwicht van de drie oneindig stijve constructies is bij de gegeven

belasting stabiel.

Gevraagd:

De vereiste stijfheid k van de translatieveren.

2.12

Spant ABCD heeft een gewicht G dat men geconcentreerd mag denken in B.

De twee even zware blokken die aan de staven AE en CF en deels in het water

hangen zijn even zwaar en hebben een horizontale doorsnede van 21 m .

Gevraagd:

Het spantgewicht kG waarbij het evenwicht instabiel wordt.



9

2.13

In de getekende constructie is BCDG onvervormbaar. Van AB en DE is de

buigstijfheid EI; de wringstijfheid is verwaarloosbaar klein. De hoekverbin-

dingen in B en D zijn volkomen stijf.

Bij de aangegeven belasting kan knik optreden door rotatie van BCDG om

BCD, maar ook door rotatie van BCDG om een as door C loodrecht op BCDG.

Gevraagd:

a. De verhouding /a b waarbij de knikkracht voor beide gevallen gelijk is.

b. De grootte van deze kniklast.

2.14

In een hanggebouw dragen alle vier verdiepingen dezelfde gelijkmatig

verdeelde volbelasting q. De benodigde gegevens kunnen aan de figuur worden

ontleend.

Gevraagd:

De belasting kq waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt.



10

2.15-1/2

Gegeven twee oneindig stijve verend ingeklemde constructies.

Gevraagd:


2.16-1 t/m 4

Gevraagd:




11

2.17-1/2

Gegeven twee oneindig stijve constructies in evenwicht gehouden door

translatieveren. De stijfheid van de veren is uitgedrukt in 250 kN/mk = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

2.18-1 t/m 4

Vier oneindig stijve op druk belaste staven worden in evenwicht in evenwicht

gehouden door translatie en rotatieveren waarvan de stijfheden in de figuur zijn

gegeven.

Gevraagd:

De knikkracht kF .



12

2.19-1 t/m 3

De resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting q op de oneindig stijve

kolom AB is Q.

Gevraagd:

De knikbelasting kQ .

2.20-1/2

Gegeven hetzelfde spant op twee verschillende manieren belast door een kracht

F. De stijlen zijn oneindig stijf; de regel heeft een buigstijfheid EI.

Gevraagd:

De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

2.21-1/2

De op druk belaste kolommen zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening

aan 29 MNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



13

2.22-1 t/m 3

Dezelfde gegevens als in opgave 2.21.

Gevraagd:

De knikkracht kF .

2.23-1/2

Gegeven twee symmetrische spanten met oneindig stijve kolommen. Houd

voor de buigstijfheid van de regels aan 2

1 10 MNmEI = en 2

2 2 MNmEI = .

Gevraagd:

De belasting waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

2.24

De knikbelasting van het getekende raamwerk met oneindig stijve kolommen is

k 2000 kNF = .

Gevraagd:

De lengte ℓ van de regels.



14

2.25-1 t/m 3

In de getekende constructies en hebben alle buigzame delen een buigstijfheid

EI, zoals in de figuur is aangegeven. Alle andere delen zijn oneindig stijf. De

linker kolom wordt belast door een drukkracht F en de rechter door een

drukkracht Fλ .

Gevraagd:

a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, uit te drukken in

EI, ℓ en λ .

b. In welke mate beïnvloedt de verdeling van de belasting over beide

kolommen de grootte van de totale belasting ( )F Fλ+ waarbij bezwijken

door instabiliteit optreedt?

2.26-1/2

Houd in de berekening aan 227000 kNmEI = en t 1000 kN/mk = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

2.27

In welk geval kan men in opgave 2.26 spreken van een systeem met

a. parallel geschakelde veren?

b. in serie geschakelde veren?



15

2.28-1 t/m 4

Houd in de berekening aan 225000 kNmEI = , t 600 kN/mk = en

r 2700 kNm/radk = . De delen waar geen stijfheid staat bijgeschreven zijn

oneindig stijf.

Gevraagd:

De knikkracht kF .

2.29

In welke gevallen kan men in opgave 2.28 spreken van een systeem met

a. in serie geschakelde veren?

b. parallel geschakelde veren?

2.30

Een starre staaf wordt aan de top in evenwicht gehouden door twee horizontale

draden die alleen trekkrachten kunnen overbrengen. In onbelaste toestand is de

constructie spanningsloos. De draden hebben een rekstijfheid EA.



16

Gevraagd:


b. Naar welke kant zal de staaf uitknikken?

2.31

Als opgave 2.30, maar nu heerst in beide draden een voorspankracht 0S .

2.32-1 t/m 3

Een starre mast is onder scharnierend opgelegd en boven afgetuid met draden.

In de draden heerst een voorspankracht 0S .

Gevraagd:

a. Wat is de aard van het evenwicht: stabiel, labiel of neutraal?

b. Motiveer uw antwoord.

2.33

Een homogeen driehoekig blok ABC met gewicht G is in A scharnierend

opgelegd en in B en C door middel van draden spanningsloos verbonden met

twee ingeklemde kolommen met buigstijfheid 236 MNmEI = . De draden

kunnen alleen trekkrachten overbrengen en mogen voor dat geval worden

geschematiseerd tot translatieveren met een stijfheid t 500 kN/mk = .

Gevraagd:

Het kritische gewicht kG van het blok.



17

2.34-1/2

Een starre mast is afgetuid met draden. In onbelaste toestand is de constructie

spanningsloos. De rekstijfheden van de draden zijn uitgedrukt in EA.

Gevraagd:


b. Naar welke kant zal de mast uitknikken?

2.35-1/2

In de getekende constructie zijn AB, CD en AD oneindig stijf. BC is een

buigzame staaf met buigstijfheid 22250 kNmEI = . Houd verder in de

berekening aan 3 m=ℓ . De constructie wordt op twee verschillende manieren

belast.

Gevraagd:

De knikkracht kF bij de aangegeven belasting.



18

2.36-1 t/m 3

Een starre staaf met lengte ℓ is op drie verschillende manieren verend

opgelegd.

Gevraagd:


b. Leid uit het onder a gevonden resultaat de knikkracht af voor het extreme

geval een van beide veerstijfheden oneindig groot, respectievelijk nul is

(vier mogelijkheden).

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN


19

3. Knik van gekoppelde starre staven

Opmerkingen vooraf:

• Gebruik de afgeleide formules bij de vraagstukken uitsluitend als controle

op de door u uitgevoerde berekeningen.

• Gebruik de afgeleide formules verder alleen als u ze begrijpt en ook zelf

kunt afleiden.

3.1-1/2

De stabiliteit van de getekende constructies wordt verzekerd door een

translatieveer met stijfheid tk .

Gevraagd:

De waarde van tk waarvoor het evenwicht bij de gegeven belasting instabiel

wordt.

3.2-1/2

De stabiliteit van de constructie wordt ontleend aan een verend ingeklemde

kolom. De stijfheid van de verende inklemming is r 4 MNm/radk = . Alle

staven zijn verder oneindig stijf.

Gevraagd:


3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3


20

3.3-1/2

De stabiliteit van de getekend constructies wordt ontleend aan een ingeklemde

kolom met eindige buigstijfheid. Alle andere staven zijn oneindig stijf. Houd in

de berekening aan 2

1 7200 kNmEI = en 2

2 4 MNmEI = .

Gevraagd:


3.4

Alle staven in de getekende constructie zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De knikbelasting kF , uitgedrukt is a, b, tk en ℓ .

b. De verhouding /a b waarvoor het evenwicht altijd stabiel is.



21

3.5-1 t/m 3

De stabiliteit van de constructies wordt ontleend aan ligger AB met

buigstijfheid 236 MNmEI = .

Gevraagd:


3.6

Op de getekende constructie werken de aangegeven krachten 1F , 2F en 3F . λ

is een belastingfactor waarmee men de krachten 1F t/m 3F geleidelijk kan laten

aangroeien van 0 ( 0)λ = tot de waarde waarbij bezwijken door instabiliteit

optreedt k( )λ λ= .

Gevraagd:

a. Bereken kλ als functie van 1F , 2F , 3F , EI en ℓ .

b. De kniklast k k1F F= als 2 3 0F F= = .

c. De met betrekking tot instabiliteit gevaarlijkste plaats van een enkele

kracht F (in A, B of C) en de grootte van de bijbehorende kniklast kF .

d. De kniklast kF in het geval 1 2 3F F F F= = = .



22

3.7-1 t/m 3

De oneindig stijve staven AS en BS zijn in S scharnierend met elkaar

verbonden.

Gevraagd:

De knikkracht kF .

3.8-1/2

Beide constructies zijn opgebouwd uit oneindig stijve staven.

Gevraagd:

De knikbelasting kq .



23

3.9-1/2

Houd in de berekening aan: 2

1 3200 kNmEI = , 2

2 2400 kNmEI = en

r 2400 kNm/radk = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

3.10-1/2

Houd in de berekening aan r1 2000 kNm/radk = , r2 3200 kNm/radk = en

r3 1800 kNm/radk = .

Gevraagd:

De waarde van 2F waarbij het evenwicht instabiel wordt.

3.11-1/2

Houd in de berekening aan r1 6000 kNm/radk = , r2 5400 kNm/radk = en

r3 3600 kNm/radk = .



24

Gevraagd:

De knikkracht kF .

3.12

Houd in de berekening aan r1 36 MNm/radk = en r2 8 MNm/radk = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

3.13

Als F in A staat geldt k 2000 kNF = . Staat F in B dan geldt k 600 kNF = .

Gevraagd:

De knikkracht kF bij de in de figuur aangegeven positie.



25

3.14

Gegeven het getekende een spant opgebouwd uit starre staven met verende

verbindingen en verder scharnierend opgelegd. Houd voor de stijfheid van de

rotatieveren aan r 7200 kNm/radk = .

Gevraagd:

Voor welke combinaties van 1F en 2F is het evenwicht stabiel?

3.15

Houd voor de stijfheid van de drie rotatieveren aan r 18 MNm/radk = .

Gevraagd:

Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van 1F en 2F

is het evenwicht stabiel?

1F (kN) 2F (kN)

a. 14500 1800

b. 13000 2400

c. 12500 3000

d. 11500 3600



26

3.16

Houd voor de stijfheid van de vier rotatieveren aan r 4000 kNm/radk = .

Gevraagd:

Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van 1F en 2F

is het evenwicht instabiel?

1F (kN) 2F (kN)

a. 4200 200

b. 3200 700

c. 2200 1500

d. 900 2000

3.17-1/2

In de getekende constructies zijn de oneindig stijve staven AB, BC en CD

onderling scharnierend verbonden en wordt de vormvastheid van de constructie

ontleend aan de twee draden AC en BD die een rekstijfheid EA hebben. In

onbelaste toestand zijn de constructies spanningsloos.

Houd in de numerieke uitwerking aan 5 m=ℓ en 7 MNEA = .

Gevraagd:

a. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

b. De richting waarin constructie uitknikt, naar links of naar rechts?



27

3.18

Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en

verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: 3 ma = en

B 8 MN/radk = .

Gevraagd:

a. De vereiste veerstijfheid Ck , opdat er lokale instabiliteit optreedt.

b. De vereiste veerstijfheid Ck , opdat er globale instabiliteit optreedt.

c. De knikkracht kF waarbij lokale en globale instabiliteit gelijktijdig

optreden.

3.19

In de getekende constructie heeft de centrale ingeklemde kolom een

wringstijfheid 2

w 120 MNmGI = . De pendelkolommen zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.



28

3.20

Twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen verzorgen de stabiliteit van

de twee op druk belaste pendelkolommen. De buigstijfheid van de kolommen is

EI; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd.

Gevraagd:

De verhouding /a b waarbij rotatie- en translatie-instabiliteit onder dezelfde

belasting optreden.

3.21

In de getekende constructie zijn de pendelkolommen 3 m lang en de in de

fundering ingeklemde kolommen 4 m. Voor de ingeklemde kolommen zijn

ronde buizen toegepast met buigstijfheid 232 MNmEI = ; de wringstijfheid

mag worden verwaarloosd.

Gevraagd:

a. De waarde van F waarbij translatie-instabiliteit optreedt.

b. De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

c. Welke vorm van instabiliteit is maatgevend?



29

3.22-1/2

Van een gebouwtje met een regelmatige zeshoek als plattegrond wordt het dak

in het midden gedragen door een wringstijve kolom en aan de omtrek door zes

pendelstijlen in de hoekpunten. De kolom is ingeklemd in zowel het dak als de

fundering en heeft een wringstijfheid wGI . Kolom en pendelstijlen hebben

verschillende lengten. De dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht, is

gelijkmatig verdeeld. De totale dakbelasting is Q.

Gevraagd:

De dakbelasting kQ waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

3.23

Een vierkant dak wordt in de hoeken gedragen door vier pendelkolommen en in

het midden door een wringstijve kolom.

Gevraagd:

a. Uit onderstaande tabel de combinatie van a en h te kiezen die het gunstigst

is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie.



30

a (m) h (m)

1. 8 4

2. 7 5

3. 6 6

4. 5 7

b. Bij de gekozen combinatie van a en h de verdeelde belasting kq te

berekenen waarbij de stabiliteitsgrens met betrekking tot torsie wordt

bereikt.

3.24

Een cirkelvormig dak met straal r wordt langs de omtrek gedragen door een

aantal pendelkolommen en in het midden door een wringstijve buis.

Gevraagd:

a. De combinatie van r en h die het gevaarlijkst is met betrekking tot de

rotatiestabiliteit van de constructie.

r (m) h (m)

1. 5 3

2. 10 4

3. 15 5

4. 15 6

b. Bij de gekozen combinatie van r en h de verdeelde belasting kq te

berekenen waarbij torsie-instabiliteit optreedt.



31

3.25

De translatie- en rotatiestabiliteit van een gebouw moet worden verzorgd door

vier in hun vlak oneindig stijve wanden die dak en fundering met elkaar

verbinden.

Gevraagd:

Bij welk van de getekende oplossingen lukt dat?

3.26

In een hoogbouwskelet wordt de translatie- en rotatiestabiliteit ontleend aan

drie in hun vlak oneindig stijve wanden, die over de volle hoogte doorlopen en

op verschillende manieren in de plattegrond kunnen worden gesitueerd.

Gevraagd:

Welke situering werkt het meest doelmatig.



32

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN


33

4. Knik van starre-staaf-systemen met twee

vrijheidsgraden

4.1

Gegeven twee door translatieveren gekoppelde oneindig stijve kolommen. De

kolommen worden verschillend belast. Houd in de berekening aan: 4 m=ℓ en

625 kN/mk = .

Gevraagd:

a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

c. De knikbelasting kF .

4.2-1/2

Gegeven twee door translatieveren gekoppelde starre drukstaven. De rekstijf-

heden verschillen en worden uitgedrukt in k.

Gevraagd:



c. De knikbelasting kF .

4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3


34

4.3-1/2

In de getekende constructies hebben de liggers een buigstijfheid EI en zijn de

kolommen oneindig stijf.

Gevraagd:

a. Een voorspelling omtrent de knikvorm (zonder te rekenen).

b. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

c. De bijbehorende uitbuigingsvormen.

d. De knikbelasting kF .

4.4-1 t/m 4

Gegeven vier portalen met oneindig stijve kolommen. De regels hebben een

buigstijfheid EI.

Gevraagd:

a. De knikbelasting kF

b. De bijbehorende knikvorm.



35

4.5-1/2

Gegeven twee gelede knikstaven, samengesteld uit de oneindig stijve delen AB

en BC.

Gevraagd:



c. De knikkracht kF .

4.6-1 t/m 3

Gegeven dezelfde constructie op drie verschillende manieren belast. In de

constructie gedraagt de buigzame staaf met buigstijfheid EI zich als een veer.

Maak voor het veergedrag gebruik van wat werd afgeleid in hoofdstuk 4,

voorbeeld 3.

Gevraagd:

a. De belastingen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.


c. De knikbelasting.



36

4.7-1/2

In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de

liggers een eindige buigstijfheid EI.

Bij de gegeven belasting zijn er twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in

uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische

uitbuigingsvorm.

Gevraagd:

a. De kracht 1F F= die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm.

b. De kracht 2F F= die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm.


4.8-1/2

In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de

liggers een eindige buigstijfheid EI.

In de linker constructie worden beide kolommen verhinderd naar links te

verplaatsen; in de rechter constructie wordt een verplaatsing naar rechts

verhinderd.

Gevraagd:

a. Bij welke uitbuigingsvormen is er evenwicht in uitgebogen stand mogelijk?

b. Bereken bij elke uitbuigingsvorm de bijbehorende waarde van F.




37

4.9-1/2

De gelede knikstaven zijn opgebouwd uit onderling verend verbonden starre

staven. Houd in de berekening voor de veerstijfheden aan:

r1 3000 kNm/radk = , r2 1200 kNm/radk = en r3 2400 kNm/radk = .

Er zijn bij de gegeven belasting twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in

uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische.

Gevraagd:

a. De kracht 1F F= die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm.

b. De kracht 2F F= die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm.


4.10-1/2

Houd in de berekening aan 23000 kNmEI = en r 1500 kN/radk = .

a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.

b. De bijbehorende uitbuigingsvorm(en).


d. Is de grootte van de veerstijfheid rk van invloed op de grootte van de

knikkracht?



38

4.11

Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en

verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: 2 ma = , B 12 MN/radk =

en C 4 MN/radk = .

Gevraagd:

a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.



4.12

Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan B 9 MN/radk = en

C 2 MN/radk = .

4.13

Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan B 15 MN/radk = en

C 3 MN/radk = .

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN


39

5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen

Opmerkingen vooraf:

• Het eigen gewicht van de constructie wordt verwaarloosd, tenzij anders is

aangegeven.

• Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als

oneindig buigstijf worden opgevat.

• Tenzij anders is aangegeven zijn alle constructiedelen oneindig rekstijf en

is er geen normaalkrachtvervorming.

• Alle staven zijn prismatisch tenzij anders is aangegeven.

• Houd ter vereenvoudiging van de berekeningen aan 102π = .

5.1

Staaf AB heeft een buigstijfheid 25 MNmEI = .

Gevraagd:

De kracht F waarbij knik optreedt.

5.2

In het getekende vakwerk hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI. Er

treedt bezwijken door instabiliteit op als 640 kNH = .

Gevraagd:

De buigstijfheid EI.

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3


40

5.3-1 t/m 5

Gevraagd:

a. Wat verstaat men onder “kniklengte”?

b. Schets de knikvorm.

c. De kniklengte van de op druk belaste buigzame kolom.

5.4

Gegeven de vijf constructies uit opgave 5.3.

Gevraagd:

a. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte daarvan.

b. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte daarvan.

5.5-1 t/m 4

De regel is oneindig stijf. De kolom heeft een buigstijfheid 21280 MNmEI = .

Gevraagd:

a. Een schets van de knikvorm.

b. De kracht kF waarbij het evenwicht instabiel wordt.

c. De kniklengte kℓ .



41

5.6

Houd in de berekening aan 22 MNmEI = .

Gevraagd:

a. De waarde van 1kF , respectievelijk 2kF , waarbij een van de staven

uitknikt.

b. Verklaar het relatief grote verschil tussen deze waarden.

5.7-1 t/m 3

In de getekende constructies zijn de regels oneindig stijf en heeft de kolom een

buigstijfheid 22800 kNmEI = .

Gevraagd:

a. Een schets van de knikvorm.

b. De kniklengte kℓ .


5.8

In de figuur hebben alle vier kolommen dezelfde buigstijfheid. De regels zijn

oneindig stijf. Let op: de kolomlengten zijn verschillend.



42

Gevraagd:

Rangschik de constructies naar toenemende kniklengte. Vermeld daarbij de

kniklengte.

5.9

Zie de gegevens in opgave 5.8. Als extra is de buigstijfheid van de kolommen

gegeven: 3920 kNEI = .

Gevraagd:

Rangschik de constructies naar toenemende knikkracht. Vermeld daarbij de

grootte van de knikkracht.

5.10

Een prismatische kolom krijgt aan de top een uitwijking 0 20 mmw =

tengevolge van de kracht 30 kNH = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



43

5.11-1 t/m 3

Houd voor de buigstijfheid van de kolommen aan 25000 kNmEI = . De regels

zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

De verticale oplegreactie in A op het ogenblik van bezwijken door instabiliteit.

5.12-1 t/m 4

Alle vakwerkstaven hebben dezelfde buigstijfheid 23 MNmEI = .

Gevraagd:

De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

5.13

Gegeven een scharnierend opgelegde en op druk belaste houten balk met

elasticiteitsmodulus 15 GPaE = . De balkdoorsnede is rechthoekig.



44

Gevraagd:

De knikkracht kF .

5.14

Een stalen strip moet een belasting van 50 kNF = dragen. De waarde van

k/n F F= mag niet kleiner zijn dan vier. Houd in de berekening aan

200 MPaE = en 102π = .

Gevraagd:

De maximum lengte ℓ die de strip mag hebben.

5.15

Een stalen staaf wordt in de slappe richting op halve hoogte gesteund. De

elasticiteitsmodulus is 3 2210 10 N/mmE = × .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



45

5.16-1/2

In de getekende constructie zijn de liggers oneindig stijf en heeft de kolom een

eindige buigstijfheid 224 MNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

5.17

Een gebouw wordt in het verticale vlak geschematiseerd tot een oneindig stijve

wand die draagt op twee kolommen. De kolommen zijn volledig ingeklemd in

de wand en in de oneindig stijf veronderstelde fundering.

Gevraagd:

De kniklengte van beide kolommen.

5.18

Gevraagd:

De maximum kracht F die de constructie kan dragen alvorens bezwijken door

instabiliteit optreedt en de richting (0 /2)β β≤ ≤ π waarin deze kracht werkt.



46

5.19-1 t/m 4


1 4000 kNmEI = , 2

2 3000 kNmEI = , 2

3 7200 kNmEI = en 2

4 2500 kNmEI = .

Gevraagd:

De belasting kq waarbij het evenwicht instabiel wordt.

5.20-1/2

In de linker constructie is DE oneindig stijf. In de rechter constructie is CDE

oneindig stijf. Alle andere staven zijn buigzaam en hebben een buigstijfheid EI.

Gevraagd:

De kracht waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.



47

5.21

In de getekende constructie is de ligger oneindig stijf. De kolommen hebben bij

dezelfde buigstijfheid verschillende rekstijfheden.

Gevraagd:

a. De pendelstijl die bij de gegeven rekstijfheden het eerst uitknikt.

b. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.

5.22

Van de op druk belaste ligger is het middendeel oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De knikkracht.

b. Een schets van de knikvorm.

5.23

Alle kolommen hebben over de gehele lengte ℓ dezelfde buigstijfheid EI. Alle

regels zijn oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte hiervan.

b. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte hiervan.



48

5.24-1/2

Van de kolommen zijn de buigstijfheden in de figuur bijgeschreven.

Gevraagd:

a. Op welke manieren kan de constructie bezwijken door instabiliteit?

b. De knikkracht kF .

5.25

Houd in de berekening aan, 2

1 2000 kNmEI = , 2

2 240 kNmEI = en

r 800 kNm/radk = .

Gevraagd:

a. De knikkracht bij partiele instabiliteit.

b. De knikkracht bij globale instabiliteit.

c. Welke van de twee is maatgevend.

5.26-1/2

Gevraagd:

Welke relatie bestaat er tussen de buigstijfheid 1EI van de pendelkolom en de

buigstijfheid 2EI van de ingeklemde kolom als knik van de pendelkolom

(lokale of partiele instabiliteit) samenvalt met knik van de constructie in zijn

geheel (globale instabiliteit)?



49

5.27

Gevraagd:

Aan welke eis moet de buigstijfheid 2EI van de pendelkolom voldoen opdat de

constructie niet zal bezwijken door partiele instabiliteit.

5.28

Gegeven en met tuien afgespannen mast. De tuien zijn spanningsloos in

onbelaste toestand. De rekstijfheid van de tuien is 2500 kNEA = . De

buigstijfheid van de mast is 22500 kNmEI = .

Gevraagd:

a. Welke knikvormen zijn mogelijk?

b. De kracht kF waarbij het evenwicht de stabiliteitsgrens bereikt.



50

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN


51

6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven

Opmerkingen vooraf:

• Tenzij anders is aangegeven zijn alle staven prismatisch.

• Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten,

tenzij anders is aangegeven.



• Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven.

• Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms

verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins

kunnen afwijken.

• Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden 102π = .

6.1-1 t/m 6

Gegeven zes verend ingeklemde prismatische knikstaven met lengte ℓ en

buigstijfheid EI.

Gevraagd:

a. De randvoorwaarden te formuleren in de grootheden w, w′ , M, zS en de

veerstijfheden.

b. De randvoorwaarden uit te werken tot vergelijkingen in de constanten 1C

t/m 4C (dit zijn de constanten in de algemene oplossing van de

differentiaalvergelijking voor buigingsknik, zie paragraaf 5.3, uitdrukking

5.21).

6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3


52

6.2

Een gedeeltelijk in de grond geslagen paal mag als verend ingeklemd worden

beschouwd.

Gevraagd:

Voor de kniklengte van de paal geldt:

A. k 4 m=ℓ

B. k4 m < < 8 mℓ

C. k 8 m=ℓ

D. k > 8 mℓ

6.3

In geval (1) is de knikkracht k1 2000 kNF = . In geval (2) is de knikkracht

k2 500 kNF = .

Gevraagd:

De knikkracht k3F in geval (3).



53

6.4-1/2

Gegeven twee verend ingeklemde kolommen met een lengte 5 m=ℓ .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

6.5-1/2

Houd in de berekening aan 254 MNmEI = en t 500 kN/mk = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



54

6.6

Gevraagd:

De kniklengte kℓ van kolom AB.

6.7

Een kolom is in A ingeklemd in een rotatieveer met stijfheid

r 5,4 MNm/radk = . De kniklast bedraagt 300 kN.

Gevraagd:

De knikkracht als de kolom volledig in A is ingeklemd.

6.8


Gevraagd:

a. De knikkracht van de verend ingeklemde kolom als de stijfheid van de

rotatieveer wordt verdubbeld.

b. De procentuele toename van de knikkracht.

6.9


Gevraagd:

De stijfheid van de rotatieveer opdat de knikkracht van de kolom 400 kN

bedraagt.



55

6.10

Gegeven een kolom op een paalfundering. De paalfundering kan worden

opgevat als een verende inklemming met een rotatiestijfheid van 4800

kNm/rad. Als de kolom oneindig stijf is ingeklemd bedraagt de knikkracht 300

kN.

Gevraagd:

De knikkracht van de kolom op de paalfundering.

6.11

Een 6 m lange kolom is op vier verschillende manieren ingeklemd in andere

staven. Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI.

Gevraagd:

De gevallen te rangschikken van de grootste naar de kleinste knikkracht.

6.12-1 t/m 4

Dezelfde gegevens als in opgave 6.11. Alle staven hebben dezelfde

buigstijfheid 27,08 MNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



56

6.13

Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid 215,4 MNmEI = .

Gevraagd:



6.14

Kolom ABC, met buigstijfheid EI, wordt door oneindig stijve schoren

verhinderd in B te verplaatsen.

Gevraagd:

De kolom knikt uit bij de kracht kF die het best wordt benaderd door de

waarde:

A. k 2

EIF

2π=ℓ

B. k 24

EIF

2π=ℓ

C. k 27

EIF

2π=ℓ

D. k 212

EIF

2π=ℓ



57

6.15

Gegeven vier op druk belaste staven AB.

Gevraagd:

a. De staaf die het eerst door instabiliteit bezwijkt.

b. De bijbehorende knikkracht.

6.16-1 t/m 4


Gevraagd:



6.17

Op de verend ingeklemde prismatische staaf werkt alleen het eigen gewicht met

resultante G. Houd in de berekening aan 2100 MNmEI = en r 5 MNm/radk = .

Gevraagd:

De belasting kG waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.



58

6.18

Gegeven een verend ingeklemde prismatische kolom met een gelijkmatig

verdeelde verticale belasting q.

Gevraagd:


6.19-1/2

Op de kolommen werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q.

Houd in de berekening aan 2

1 64 MNmEI = en 2

2 32 MNmEI = .

Gevraagd:


6.20

Op de drie getekende kolommen werkt dezelfde gelijkmatig verdeelde verticale

belasting q. De resultante van deze belasting is Q. De knikbelasting is kQ .

De factor n wordt gedefinieerd als k /Q Q .

Voor de oneindig stijf ingeklemde buigzame kolom geldt 20n = .

Voor de verend ingeklemde buigzame kolom geldt 4n = .



59

Gevraagd:

De factor k /n Q Q= als de verend ingeklemde kolom oneindig stijf is.

6.21

De knikkracht van kolom AB is k 3000 kNF = .

Gevraagd:

Hoe groot zal ongeveer de verplaatsing in B zijn tengevolge van een

horizontale kracht 10 kNH = aldaar?

6.22-1 t/m 3

Van drie verend kolommen is de verplaatsing in de top gegeven tengevolge van

een horizontale kracht aldaar.

Gevraagd:

Hoe groot is ongeveer de knikkracht kF van de kolom?



60

6.23

Een prismatische hoogbouw heeft een doorsnede van 240 40 m× en een hoogte

van 220 m. Het gebouwgewicht (inclusief inhoud) bedraagt 32,5 kN/mq = .

Tengevolge van alleen een horizontale windbelasting van 22 kN/m loodrecht

op een van de gevelvlakken is de uitwijking 0,5 m.

Gevraagd:

De factor k /n q q= .

6.24

Gegeven een verend ingeklemde kolom waarvan de bovenste helft oneindig

buigstijf is.

Gevraagd:

Benader de knikkracht met de formule k 0/F H w= ℓ .



61

6.25

Gegeven vier op druk belaste kolommen met buigstijfheid EI. De regels zijn

oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De kolommen te rangschikken van de kleinste naar de grootste kniklengte

kℓ .

b. De grenzen aan te geven waartussen de kniklengten liggen.

6.26


Gevraagd:

De kolommen te rangschikken van de kleinste naar de grootste knikkracht kF .

6.27

Een in A verend ingeklemde prismatische mast AB wordt in B door tuien

verhinderd horizontaal te verplaatsen.

Gevraagd:

Wat zou de kniklengte van de mast kunnen zijn?

A. 0,5ℓ

B. 0,6ℓ

C. 0,9ℓ

D. 1,0ℓ



62

6.28-1 t/m 6

Gegeven zes op druk belaste kolommen met lengte ℓ .

Gevraagd:

Voor de kniklengte van de kolom geldt:

A. k0,5 < < 0,7ℓ ℓ ℓ E. k < < 2ℓ ℓ ℓ

B. k0,5 < < ℓ ℓ ℓ F. k > ℓ ℓ

C. k0,7 < < ℓ ℓ ℓ G. k 2=ℓ ℓ

D. k =ℓ ℓ H. k > 2ℓ ℓ

6.29-1 t/m 6

Dezelfde gegevens als in opgave 6.28. Houd verder in de berekening aan

6 m=ℓ en 2

1980 kNmEI = .

Gevraagd:





63

6.30-1/2

Een spant met een oneindig stijve pendelkolom wordt op twee manieren belast.


7,2 MNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .

6.31-1/2

Dezelfde constructie wordt op twee manieren belast. Houd in de berekening

aan 2

1800 kNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht.

6.32-1/2



64

Gevraagd:

1. De knikkracht kF uit te drukken in EI en ℓ in het geval 0β = .

2. De knikkracht kF uit te drukken in EI en ℓ in het geval 90β = �.

6.33-1 t/m 4


1 1800 kNmEI = en 2

2 3625 kNmEI = .

Gevraagd:



6.34-1/2

In beide constructies hebben alle staven dezelfde buigstijfheid 2

2050 kNmEI = .

Gevraagd:

De knikkracht kF .



65

6.35-1 t/m 3

Alle staven hebben een eindige buigstijfheid uitgedrukt in EI, met uitzondering

van de kolom in constructie (1) die oneindig stijf is.

Gevraagd:

De knikkracht kF uitgedrukt in EI en ℓ .

6.36-1 t/m 3

Gegeven drie symmetrische spanten met symmetrische belasting. Houd in de

berekening aan 2

1800 kNmEI = . De spanten kunnen zowel symmetrisch als

keersymmetrisch uitknikken.

Gevraagd:

a. Een schets van de symmetrische en keersymmetrische knikvorm.

b. De maatgevende knikvorm. Motiveer het antwoord.




66

6.37

Gegeven een spant in de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Alle staven

hebben dezelfde lengte 5 m=ℓ en buigstijfheid 2

2335 kNmEI = . Het spant

kan zowel symmetrisch als keersymmetrisch uitknikken.

Gevraagd:

a. Een schets van de symmetrische en keersymmetrische knikvorm.

b. De maatgevende knikvorm. Motiveer het antwoord.


CONSTRUCTIEMECHANICA 3 7 KNIK VAN DOOR TRANSLATIEVEREN ONDERSTEUNDE BUIGZAME STAVEN


67

7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame

staven

Van dit hoofdstuk zijn geen opgaven beschikbaar.

7 KNIK VAN DOOR TRANSLATIEVEREN ONDERSTEUNDE BUIGZAME STAVEN

CONSTRUCTIEMECHANICA 3


68

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN


69

8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen

Opmerkingen vooraf:

• Alle staven zijn prismatisch.

• Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten,

tenzij anders is aangegeven.



• Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven.

• Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms

verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins

kunnen afwijken.

• Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden 102π = .

8.1-1/2

Gegeven een (verend) ingeklemde kolom met drie aanpendelende kolommen

met de daarop aangrijpende belasting. Houd in de berekening aan 2

37,5 MNmEI = en r 15 MNmk = . Er treedt geen lokale instabiliteit op door

het uitknikken van één van de pendelkolommen.

Gevraagd:

a. De factor n waarmee de belasting moet worden vergroot om bezwijken

door instabiliteit te bewerkstelligen.

b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat

er geen partiele knik optreedt.

8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3


70

8.2-1/2

De constructie bestaat uit een volledig ingeklemde kolom met een aantal

aanpendelende kolommen. De ingeklemde kolom heeft een buigstijfheid 2

24,8 MNmEI = . Er treedt geen lokale instabiliteit op.

Gevraagd:

a. De knikbelasting kF .


er geen partiele knik optreedt.

8.3-1/2

Dezelfde gegevens en vragen als opgave 8.1, alleen moet de volledig stijve

inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid

r 49,6 MNmk = .



71

8.4-1 1 t/m 4

De buigstijfheid van de volledig ingeklemde kolom is 2

33,6 MNmEI = . Er

treedt geen lokale instabiliteit op.

Gevraagd:

a. De factor n waarmee de belasting moet worden vergroten om bezwijken

door instabiliteit te bewerkstelligen.


er inderdaad geen lokale instabiliteit optreedt.

8.5-1 t/m 4



r 48 MNmk = . Er treedt geen knik op van de aanpendelende kolommen.



72

8.6-1/2

De kolommen AB zijn in A scharnierend opgelegd en in B volledig ingeklemd

in de oneindig stijve regel. Op de regel werkt een gelijkmatig verdeelde

volbelasting q. Er treedt geen partiële knik op. Houd in de berekening aan 2

1 27,5 MNmEI = en 2

2 29,7 MNmEI =

Gevraagd:

a. De knikbelasting kq .

b. De buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat er geen partiële

knik optreedt.

8.7

Gegeven drie constructies.

Gevraagd:

In welk van de drie gevallen knikt kolom AB het eerst uit?



73

8.8-1 t/m 3

Dezelfde constructies als in opgave 8.7. Houd in de berekening aan 2

4050 kNmEI = en rk = ∞ (volledige inklemming in A).

Gevraagd:

De knikkracht kF .

8.9-1 t/m 3

Dezelfde constructies als in opgave 8.7. Houd in de berekening aan 2

4050 kNmEI = en r 8750 kNmk = (verende inklemming in A).

Gevraagd:

De knikkracht kF .

8.10-1/2

Een dakconstructie rust op twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen

en twee pendelkolommen. De buigstijfheid van de ingeklemde kolommen is 2

11,75 MNmEI = ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. Houd verder

in de berekening aan: 2 ma = , 6 mb = en 4 mh = .



74

Gevraagd:

a. De belasting waarbij translatie-instabiliteit optreedt.

b. De belasting waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is.

d. De minimaal vereiste buigstijfheid van de pendelkolommen opdat er geen

lokale instabiliteit optreedt.

8.11-1/2

Een dakconstructie rust op twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen

en twee pendelkolommen. De buigstijfheid van de ingeklemde kolommen is 2

15 MNmEI = ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd.

Gevraagd:

a. De belasting waarbij translatie-instabiliteit optreedt.

b. De belasting waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is.

d. De minimaal vereiste buigstijfheid van de pendelkolommen opdat er geen

lokale instabiliteit optreedt.



75

8.12-1/2

Een betonnen dak in de vorm van een gelijkzijdige driehoek is vrij opgelegd op

drie pendelkolommen en drie stijf in de fundering ingeklemde kolommen. Alle

kolommen hebben een cirkelvormige dwarsdoorsnede. De buigstijfheid van de

in de fundering ingeklemde kolommen is EI. De pendelkolommen zijn

oneindig stijf. In constructie (1) hebben alle kolommen dezelfde lengte; in

constructie (2) zijn de pendelkolommen half zo lang als de ingeklemde

kolommen.

De totale dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht van het dak, is Q. De

dakbelasting is gelijkmatig verdeeld. Voor het berekenen van de

kolombelastingen mag men het dak opgebouwd denken uit vier vrij opgelegde

driehoeken.

Gevraagd:

a. De belasting Q waarbij translatie-instabiliteit optreedt.

b. De belasting Q waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.

c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is en de knikbelasting kQ .



76

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH *


77

9. Formule van Rayleigh *

Opmerking vooraf:

• De knikkracht RF is een benadering van de werkelijke knikkracht kF met

behulp van de formule van Rayleigh.

• Formules:

2

2

sin 2sin d

4 2

sin 2cos d

4 2

x

x

α αα

α αα

= − +

= + +

∫

∫

9.1

Gevraagd:

a. Wat is de achtergrond van de formule van Rayleigh voor het berekenen van

de knikbelasting.

b. Geeft de formule van Rayleigh een te grote of te kleine waarde voor de

knikbelasting. Motiveer het antwoord.

9.2-1 t/m 3

Gegeven een volledig ingeklemde ligger met lengte ℓ en buigstijfheid EI.

Voor de knikvorm kan worden gekozen:

1. 2( )w x Cx=

2. 2 3( ) (3 )w x C x x= −ℓ

Opmerking:

Deze knikvorm is affien met de doorbuiging van de ligger tengevolge

van een kracht in het vrije einde x = ℓ , loodrecht op de liggeras.

3. ( ) (1 cos )x

w x Cπ

= −2ℓ

Gevraagd:

a. De knikkracht RF .

b. De afwijking ten opzichte van de exacte waarde van de knikkracht.

9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA 3


78

9.3-1/2

Gegeven dezelfde ingeklemde ligger als in opgave 9.2. De knikkracht wordt

benaderd met de formule van Rayleigh. Voor de uitbuigingsvorm bij knik kan

worden gekozen:

1. 2 3( )w x ax bx= +

2. 2 4( )w x ax bx= +

Hierin zijn a en b vrije parameters.

Gevraagd:


b. De verhouding /a b waarbij RF optreedt.

c. De afwijking van RF ten opzichte van de exacte waarde van de knikkracht.

9.4

Gegeven in figuur (a) de taps verlopende strip met constante dikte a. Voor de

buigstijfheid in het x-z-vlak geldt:

( ) (1 )x

EI x EI= −ℓ

Hierin is EI de buigstijfheid ter plaatse van de inklemming.

In figuur (b) is de strip geschematiseerd tot een lijnelement, op centrische druk

belast door de kracht F.

Gevraagd:

De knikkracht RF bij uitknikken in het x-z-vlak. Stel daarbij voor de knikvorm:

2

2( )

xw x C=

ℓ



79

9.5-1 t/m 3

Gegeven drie eenzijdig ingeklemde prismatische staven met lengte ℓ en

buigstijfheid EI, op verschillende manieren op centrische druk belast1. De

knikkracht wordt benaderd met de formule van Rayleigh waarbij voor de

knikvorm wordt aangehouden:

2( )w x Cx=

Gevraagd:

De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .

9.6-1 t/m 3

Als opgave 9.5, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:

2 3( ) (3 )w x C x x= −ℓ

Opmerking:

De gekozen knikvorm is affien met de doorbuiging van de ligger tengevolge

van een kracht in het vrije einde x = ℓ , loodrecht op de liggeras.

9.7-1 t/m 3


( ) (1 cos )x

w x Cπ

= −2ℓ

1 Om de figuur duidelijk te houden zijn de krachten die in het midden van de staaf aangrijpen

excentrisch getekend



80

9.8-1 t/m 3

Gegeven dezelfde drie liggers als in opgave 9.5. Voor de knikvorm wordt

aangehouden:

2 3( )w x ax bx= +

Hierin zijn a en b vrije parameters.

Gevraagd:


b. De verhouding /a b waarbij RF optreedt.

9.9-1 t/m 3

Gegeven drie eenzijdig ingeklemde niet-prismatische liggers met lengte ℓ en

op verschillende manieren op centrische druk belast2. De buigstijfheden zijn

bijgeschreven in de figuren. De knikkracht wordt benaderd met de formule van

Rayleigh waarbij voor de knikvorm wordt aangehouden:

2( )w x Cx=

Gevraagd:


9.10-1 t/m 3


2 3( ) (3 )w x C x x= −ℓ

Opmerking:

Deze knikvorm is affien met de doorbuiging van een prismatische ligger

tengevolge van een kracht in het vrije einde x = ℓ , loodrecht op de liggeras.

2 Om de figuur duidelijk te houden zijn de krachten die in het midden van de staaf aangrijpen

excentrisch getekend



81

9.11-1 t/m 3


( ) (1 cos )x

w x Cπ

= −2ℓ

9.12

Gegeven een op druk belaste prismatische ligger die aan de ene kant volledig is

ingeklemd en aan de andere kant vrij is opgelegd. De knikkracht wordt

benaderd met de formule van Rayleigh. Hierbij wordt aangenomen dat de

knikvorm affien is met de doorbuigingsvorm tengevolge van een gelijkmatig

verdeelde belasting:

2 2 3 4( ) (3 5 2 )w x C x x x= − +ℓ ℓ

Gevraagd:


9.13-1 t/m 3

Gegeven drie vrij opgelegde staven die in het midden van de overspanning ℓ

worden belast door een centrische drukkracht F. De buigstijfheden zijn

uitgedrukt in EI en in de figuur bijgeschreven. Voor de knikvorm wordt

aangehouden:

2

2( ) (1 4 )

xw x C= −

ℓ

Gevraagd:




82

9.14-1 t/m 3


( ) cosx

w x Cπ

=ℓ

Gevraagd:


9.15-1 t/m 3

Gegeven drie vrij opgelegde staven die worden belast door twee drukkrachten

F. Voor de knikvorm wordt aangehouden:

2( ) ( )w x C x x= −ℓ

Gevraagd:


9.16-1 t/m 3


( ) sinx

w x Cπ

=ℓ

Gevraagd:


9.17-1 t/m 3

Als opgave 9.15, maar nu wordt voor de (symmetrisch veronderstelde)

knikvorm aangehouden:

2 3 12

( ) (3 4 ) voor w x C x x x= − ≤ℓ ℓ

Gevraagd:




83

9.18-1 t/m 4

Gegeven vier over drie steunpunten doorgaande liggers. De veldlengte is ℓ .

Buigstijfheden en belasting kunnen uit de figuren worden afgelezen. Voor de


( ) sinx

w x Cπ

=ℓ

Gevraagd:


9.19

De gegeven constructie bestaat uit drie gekoppelde kolommen, zie figuur (a).

De kolommen verschillen in lengte en hebben verschillende buigstijfheden.

Gevraagd:

Toon met de formule van Rayleigh aan dat voor de knikbelasting (bij

benadering) geldt:

31 2

k1 k2 k3

1FF F

F F F+ + =

Hierin is kiF ( 1,2,3)i = de knikkracht in het geval alleen kolom i wordt belast

en de overige kolommen onbelast zijn.



84

Voor de uitbuiging van kolom i ( 1,2,3)i = kan men bijvoorbeeld aanhouden,

zie figuur (b):

1 cosi

xw C

π −= 2 ℓ

9.20-1 t/m 6

Gegeven zes over drie steunpunten doorgaande liggers. De veldlengte is ℓ .

Buigstijfheden en belasting kunnen uit de figuren worden afgelezen. Voor de


( ) sinx

w x Cπ

=ℓ

Gevraagd:


CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)


85

10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen)

Opmerkingen vooraf:

• Tenzij anders is aangegeven wordt gevraagd naar de verplaatsingen,

rotaties, krachten en momenten volgens een geometrisch niet-lineaire

berekening.

• Staven waarvan de stijfheid niet is gegeven moeten als oneindig stijf

worden opgevat.

• Translatieveren kunnen zowel trek- als drukkrachten overbrengen.

• De deelvragen mogen worden beantwoord in een volgorde naar eigen

keuze.

• Tenzij anders is aangegeven wordt het eigen gewicht van de constructie

verwaarloosd (buiten beschouwing gelaten).

• De figuren zijn niet altijd op schaal getekend.

10.1-1/2

Beide staven staan in onbelaste toestand volkomen verticaal.

Gevraagd:

a. De eerste-orde scheefstand.

b. De tweede-orde scheefstand.

c. Het eerste-orde inklemmingsmoment.

d. Het tweede-orde inklemmingsmoment.

10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3


86

10.2-1/2

Voer een geometrisch niet-lineaire berekening uit.

Gevraagd:

a. De uitwijking aan de top.

b. De veerkrachten.

10.3

Gegeven een prismatische kolom met een eigen gewicht van 100 kN, die wordt

belast door een horizontale en een verticale kracht van respectievelijk 45 kN en

150 kN. Houd voor de stijfheid van de translatieveer aan r 300 kN/mk = .

Gevraagd:


b. De kracht in de veer.



87

10.4-1/2

Op de verend ingeklemde kolommen AB werkt over de volle lengte een

gelijkmatig verdeelde verticale belasting en in de top B een horizontale kracht.

Gevraagd:

a. De eerste-orde verplaatsing in B.

b. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A.

c. De tweede-orde verplaatsing in B.

d. Het tweede-orde inklemmingsmoment in A.

e. De knikbelasting.

10.5-1/2

Op de verend ingeklemde kolommen werkt over de volle lengte een horizontale

en verticale gelijkmatig verdeelde belasting.

Gevraagd:

a. De eerste-orde uitwijking aan de top.

b. Het eerste-orde inklemmingsmoment.

c. De tweede-orde uitwijking aan de top.


e. De knikbelasting.



88

10.6

Op de kolom werkt over de volle lengte een gelijkmatig verdeelde verticale en

horizontale belasting, respectievelijk vq en hq . Voor de verticale belasting

geldt v 80 kN/mq = .

Gevraagd:

a. De horizontale belasting hq waarbij de tweede-orde uitwijking aan de top

200 mm bedraagt.

b. Het tweede-orde inklemmingsmoment bij de onder (a) berekende

horizontale belasting hq .

10.7

Voor de stijfheid van de rotatieveren geldt r 12 MNm/radk = .

Gevraagd:

a. De verplaatsing van de regel.

b. Het buigend moment in de rotatieveren.



89

10.8

De horizontale kracht H veroorzaakt in combinatie met de verticale kracht van

250 kN een scheefstand van 0,02 rad. Voor de stijfheid van de rotatieveren

geldt: r1 4000 kNm/radk = en r2 2000 kNm/radk =

Gevraagd:

De grootte van de kracht H.

10.9-1 t/m 3

Drie rechte kolommen zijn scheef gemonteerd. In onbelaste scheefstand zijn de

veren spanningsloos. Door de aangegeven belasting zal de initiële scheefstand

0ϕ toenemen met een bedrag 0ϕ∆ .

Gevraagd:

a. De toename 0ϕ∆ .

b. Het inklemmingsmoment.



90

10.10-1/2

Gegeven twee kromme kolommen die voordat de horizontale en verticale

belasting is aangebracht een initiële uitwijking van respectievelijk 30 mm en 20

mm aan de top hebben. In onbelaste scheefstand zijn de veren spanningsloos.

De grootte van de belasting is uit de figuren af te lezen.

Gevraagd:


b. Het moment in de veer.

10.11-1/2

Twee oneindig stijve kolommen hebben, voordat de horizontale en verticale

belasting is aangebracht, aan de top een initiële uitwijking van respectievelijk

60 mm en 20 mm. In de figuren is verder de grootte van de knikkracht kF

gegeven.

Gevraagd:

Het buigend moment in A bij de aangegeven belasting.



91

10.12-1 t/m 3

In de getekende schuine stand van de kolom is de veer spanningsloos. In deze

stand worden de krachten aangebracht.

Gevraagd:

a. De kracht in de veer met de vermelding of dit een trek- of drukkracht is.

b. De scheefstand van de kolom in radialen.

10.13-1 t/m 6

Gegeven zes verschillende kolommen.



92

Gevraagd:


b. De krachten in de translatieveren.

c. De momenten in de rotatieveren.

d. De knikkracht.

10.14

Een constructie wordt in evenwicht gehouden door twee translatieveren veren

met stijfheid t 4000 kN/mk = . Neem aan dat de constructie zelf gewichtloos is.

Gevraagd:


b. De veerkrachten.

10.15-1/2

Gegeven twee constructies die door translatieveren in evenwicht worden

gehouden. Houd in de berekening aan t1 1000 kN/mk = en t2 2000 kN/mk = .



93

Gevraagd:


b. De krachten in de translatieveren.

c. De oplegreacties in A.

10.16-1/2

Gegeven twee kolommen met een excentrisch aangrijpende verticale belasting.

Houd in de berekening aan t1 500 kN/mk = , t2 750 kN/mk = en

r 12 MNm/radk = .

Gevraagd:

a. De factor n.

b. De eerste-orde uitwijking aan de top.

c. De tweede-orde uitwijking aan de top.

d. De eerste-orde veerkracht(en).

e. De tweede-orde veerkracht(en).

10.17

AB heeft een eindige buigstijfheid 2

1000 kNmEI = . De rest van de constructie

is oneindig stijf.



94

Gevraagd:

a. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in A in grootte en richting.

b. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in B in grootte en richting.

10.18-1/2

AB heeft een eindige buigstijfheid 2

500 kNmEI = . BCD is oneindig stijf.

Gevraagd:

a. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in A in grootte en richting.

b. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in B in grootte en richting.

10.19-1 t/m 3

Twee bollen met massa,s 1 3000 kgm = en 1 9000 kgm = zijn via draden van

ongelijke lengte opgehangen aan een oneindig stijve verend ingeklemde mast.

De stijfheid van de rotatieveer is r 3600 kNm/radk = . De zwaarteveldsterkte is

10 N/kgg = .

Gevraagd:

a. De eerste-orde uitwijking aan de top.

b. De tweede-orde uitwijking aan de top.





95

10.20

De vrij opgelegde ligger ACB heeft in C een verende verbinding. De ligger

wordt in C belast door een verticale kracht P en in B door een drukkracht F.

Gevraagd:

a. De eerste-orde verticale verplaatsing 0w in C, uitgedrukt in P, ℓ en rk .


c. Toon aan dat voor de tweede-orde verplaatsing w in C geldt:

01

nw w

n=

−

d. Toon aan dat voor het tweede-orde moment M in C geldt:

01

nM M

n=

−

10.21-1 t/m 4

Ligger ACB draagt een gelijkmatig verdeelde volbelasting 16 kN/mq = en

wordt in B belast door een drukkracht 800 kNF = . De stijfheid van de

rotatieveren is uitgedrukt in r 7200 kNm/radk = .



96

Gevraagd:

a. De eerste-orde verplaatsing in C.

b. Het eerste-orde moment in de verende verbinding(en).

c. De knikkracht.

d. De tweede-orde verplaatsing in C.

e. Het tweede-orde moment in de verende verbinding(en).

f. Teken de eerste- en tweede-orde momentenlijn in één figuur.

10.22-1 t/m 3


1 3 MNmEI = en 2

2 3 32 MNmEI EI= = .

Gevraagd:

a. De tweede-orde verplaatsing van de regel.

b. De eerste-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.

c. De tweede-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.

d. Het eerste-orde inklemmingsmoment.

e. Het tweede-orde inklemmingsmoment.



97

10.23-1/2

Alle staven zijn oneindig stijf en beide rotatieveren hebben dezelfde

veerstijfheid r 7200 kNm/radk = .

Gevraagd:

a. De eerste-orde verplaatsing van de regel.

b. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.

c. De eerste-orde inklemmingsmomenten.

d. De knikkracht.

e. De tweede-orde verplaatsing van de regel.

f. De tweede-orde inklemmingsmomenten.

g. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.

10.24

Alle staven zijn oneindig stijf en alle rotatieveren hebben dezelfde veerstijfheid

r 15 MNm/radk = .

Gevraagd:

Dezelfde vragen als in opgave 10.23.



98

10.25-1 t/m 3

Alle staven zijn oneindig stijf. De stijfheden van de rotatieveren zijn

r1 9 MNm/radk = en r2 4,5 MNm/radk = .

Gevraagd:

a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de

regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is.

b. De eerste-orde verplaatsing van de regel.

c. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.

d. De eerste-orde inklemmingsmomenten.

e. De factor n

f. De tweede-orde verplaatsing van de regel.

g. De tweede-orde inklemmingsmomenten.

h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.

10.26-1/2

Houd in de berekening aan t1 1000 kN/mk = en t2 500 kNm/radk = .

Gevraagd:


b. De tweede-orde verplaatsing van de regel.

c. De eerste-orde kracht in de translatieveer.

d. De tweede-orde kracht in de translatieveer.

e. De eerste-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.

f. De tweede-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.



99

10.27-1/2

Houd in de berekening aan r1 2000 kNm/radk = en r2 10 MNm/radk = .

Gevraagd:





d. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.

e. De factor n


g. Het tweede-orde inklemmingsmoment.


10.28-1/2

Alle staven zijn oneindig stijf. Houd voor de stijfheid van de verende

inklemmingen aan r 13,5 MNm/radk = .



100

Gevraagd:




c. De eerste-orde inklemmingsmomenten.

d. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.

e. De factor n


g. De tweede-orde inklemmingsmomenten.


10.29-1 t/m 4

Alle staven zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening aan

r1 12 MNm/radk = en r2 18 MNm/radk = .

Gevraagd:


CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)


101

11. Vergrotingsfactor (buigzame staven)

Opmerkingen vooraf:

• Alle op druk belaste staven hebben een eindige buigstijfheid tenzij anders

is aangegeven.

• Translatieveren kunnen zowel trek- als drukkrachten overbrengen.

• De deelvragen mogen worden beantwoord in een volgorde naar eigen

keuze.

• Tenzij anders is aangegeven wordt het eigen gewicht van de constructie

verwaarloosd.

• De figuren zijn niet altijd op schaal getekend.

• Tenzij anders is aangegeven wordt gevraagd naar de verplaatsingen,

rotaties, krachten en momenten volgens een geometrisch niet-lineaire

berekening.

• Voor het berekenen van de hiervoor genoemde grootheden zijn soms

verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling kunnen

afwijken.

• Ter vereenvoudiging mag in de berekeningen worden aangehouden

102π = .

• Beantwoord de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze.

• Bij opgaven of deelvragen voorzien van een asterisk (*) dient men gebruik

te maken van de benaderingsformule k 0/F H w= ℓ , zie paragraaf 6.1.3.

11.1

Tengevolge van alleen de kracht H is de uitbuiging aan de top 10 mm. De

kniklast van de kolom bedraagt 1000 kN.

Gevraagd:

De uitbuiging aan de top als op de kolom ook nog een verticale kracht van 200

kN werkt.

11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3


102

11.2

Tengevolge van alleen de kracht H buigt de kolom aan de top 30 mm uit. De

kniklast van de kolom bedraagt 2400 kN.

Gevraagd:

De bijkomende uitbuiging aan de top tengevolge van een verticale kracht van

400 kN.

11.3

Bij de gegeven belasting door H en F is de tweede-orde verplaatsing aan de top

40 mm. De knikkracht van de kolom bedraagt 4000 kN.

Gevraagd:

De eerste-orde verplaatsing aan de top.

11.4

De eerste-orde verplaatsing aan de top bedraagt 20 mm. De tweede-orde

verplaatsing is 28 mm.

Gevraagd:

De knikkracht.



103

11.5-1/2

Gegeven twee volledig ingeklemde kolommen. Buigstijfheden en belasting zijn

in de figuur aangegeven.

Gevraagd:



11.6

De getekende prismatische kolom heeft een buigstijfheid EI en is volledig

ingeklemd. De eerste-orde verplaatsing aan de top bedraagt 60 mm.

Gevraagd:

a. De buigstijfheid EI.

b. De verplaatsing aan de top.

c. Het inklemmingsmoment.

11.7-1/2*

Gegeven twee verend ingeklemde knikstaven. De verplaatsing aan de top

tengevolge van een eerste-orde berekening is in beide gevallen 12 mm.



104

Gevraagd:

a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top.

b. Een schatting van het tweede orde inklemmingsmoment van de kolom.

11.8*

Van de verend ingeklemde kolom is gegeven dat de knikkracht 2400 kN

bedraagt.

Gevraagd:

a. Bij benadering de verplaatsing in de top.

b. Een schatting van het inklemmingsmoment.

11.9

In geval (a) bedraagt het tweede-orde inklemmingsmoment van de kolom 150

kNm.

Gevraagd:

Een schatting van de uitwijking aan de top in geval (b).



105

11.10

Gegeven de verplaatsing aan de top voor dezelfde kolom onder invloed van

twee verschillende belastingen.

Gevraagd:

a. De knikkracht.

b. De toename van het inklemmingsmoment onder invloed van de verticale

kracht.

11.11

Gegeven de verplaatsing aan de top voor dezelfde kolom onder invloed van

twee verschillende belastingen.

Gevraagd:

a. De knikkracht.

b. Het inklemmingsmoment voor de rechter kolom.

11.12

De knikkracht van de kolom bedraagt 1600 kN.

Gevraagd:

Een schatting van het inklemmingsmoment.



106

11.13

Bij de gegeven belasting bedraagt het tweede-orde inklemmingsmoment 150

kNm.

Gevraagd:

Een schatting van knikkracht.

11.14-1 t/m 3

Gegeven drie verend ingeklemde kolommen waarvan de knikkrachten in de

figuur zijn bijgeschreven.

Gevraagd:

Het buigend moment in de kolomvoet.

11.15*

Een toren ondervindt tengevolge van een gelijkmatig verdeelde horizontale

belasting van 40 kN/m in de top een eerste-orde verplaatsing van 0,20 m. De

verticale belasting van de toren bedraagt 220 MN en is gelijkmatig verdeeld

over de hoogte.



107

Gevraagd:


b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment.

11.16*

Gegeven een prismatische hoogbouw met een doorsnede van 2

35 35 m× en een

hoogte van 200 m. De verticale belasting, inclusief eigen gewicht, bedraagt 3

2,2 kN/m . Tengevolge van een horizontale windbelasting van 2

2 kN/m is de

eerste uitbuiging aan de top 0,4 m.

Gevraagd:



11.17

De knikkracht van de excentrisch belaste kolom bedraagt 500 kN.

Gevraagd:

a. Het eerste-orde inklemmingsmoment.




108

11.18

Een volledig ingeklemde kolom met buigstijfheid 2

10,8 MNmEI = wordt

belast door een excentrisch aangrijpende drukkracht.

Gevraagd:

a. De verplaatsing aan de top.


11.19

Een verend ingeklemde kolom blijkt enigszins krom getrokken. De uitwijking

aan de top bedraagt 30 mm. De knikkracht van de kolom bedraagt 2 MN. De

kolom wordt belast door een verticale kracht van 500 kN. In de figuur is de

kolom in onvervormde stand getekend.

Gevraagd:

a. De bijkomende uitwijking aan de top.

b. Het eerste- en tweede-orde inklemmingsmoment

11.20-1/2

Gegeven twee verend ingeklemde kolommen waarvan de knikkrachten in de

figuur zijn bijgeschreven. De kolommen zijn niet recht maar hebben een

kromming, respectievelijk een knik, waardoor zij in de top een initiële

uitwijking van respectievelijk 80 mm en 50 mm hebben. De kolommen zijn in

onvervormde stand getekend.



109

Gevraagd:

Het inklemmingsmoment van de kolom.

11.21

In het raamwerk zijn alle staven prismatisch en hebben zij dezelfde

buigstijfheid. Uit symmetrieoverwegingen kan een kwart van het raamwerk

worden bekeken. Zie voor verdere informatie de figuur.

Gevraagd:

a. Een schatting van de buigende momenten in de hoekpunten.

b. Een schatting van de verplaatsing van de bovenregel*.

11.22

Bij de gegeven belasting bedraagt de doorbuiging in het midden van de

prismatische ligger 6 mm. De eerste-orde doorbuiging is 4 mm.

De grootte van ℓ , EI en P zijn niet gegeven.



110

Gevraagd:

a. De knikkracht van de ligger.

b. Het eerste-orde buigend moment onder de puntlast.

c. Het tweede-orde moment onder de puntlast.

11.23*

De ligger is symmetrisch ten opzichte van het midden, maar hoeft niet

prismatisch te zijn. De eerste-orde doorbuiging in het midden bedraagt 30 mm.

Gevraagd:

a. Een schatting van de tweede-orde doorbuiging in het midden.

b. Een schatting van het tweede-orde buigend moment in het midden.

11.24

Op een gevelkolom werkt drukkracht van 250 kN en een windbelasting van 3

kN/m. De buigstijfheid van de kolom is 2

2 MNmEI = .

Gevraagd:

a. De maximum eerste-orde uitbuiging.

b. De maximum tweede-orde uitbuiging.

c. Het maximum eerste-orde buigend moment.

d. Het maximum tweede-orde buigend moment.



111

11.25

Gegeven een op excentrische druk belaste ligger met buigstijfheid 2

360 MNmEI = .

Gevraagd:

a. Een schatting van de maximum doorbuiging.

b. Een schatting van het maximum buigend moment.

11.26

Gegeven een op excentrische druk belaste prismatische ligger waarvan de

knikkracht is k 500 kNF = . De lengte ℓ en buigstijfheid EI zijn niet gegeven.

Gevraagd:

a. Een schatting van de maximum doorbuiging.

b. Een schatting van het maximum buigend moment.

11.27-1/2

In beide constructies is de regel oneindig stijf en heeft de kolom een

buigstijfheid 2

1500 kNmEI = .

Gevraagd:


b. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing van de regel.

c. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A.

d. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment in A.

e. De verticale oplegreactie in B

f. De verticale oplegreactie in A.



112

11.28

De kolom heeft een buigstijfheid 2

36 MNmEI = . Beide regels zijn oneindig

stijf.

Gevraagd:


11.29

De kolommen hebben een buigstijfheid 2

16 MNmEI = . De regel is oneindig

stijf.

Gevraagd:


b. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing van de regel.

c. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A.

d. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment in A.



113

11.30-1/2

In de getekende constructies hebben de regels dezelfde buigstijfheid. De

knikkracht van de kolom is in de figuur bijgeschreven.

Gevraagd:

Volgens een eerste orde berekening:

a. Het buigend moment in A.

b. De verticale oplegreacties in A en B.

Volgens een tweede orde berekening:

c. Het buigend moment in A.

d. De verticale oplegreacties in A en B.

11.31-1/2

In de getekende constructies hebben alle staven dezelfde buigstijfheid. Houd in

de berekening aan: 2

1 10,5 MNmEI = en 2

2 13,81 MNmEI = .

Gevraagd:

Dezelfde vragen als in opgave 11.30



114

11.32

De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en

CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. Beide

kolommen zijn prismatisch met buigstijfheid 2

6,4 MNmEI = .

Gevraagd:

Volgens een eerste-orde berekening:

a. De normaalkracht in staaf BC.

b. De verplaatsing van staaf BC.

c. Het inklemmingsmoment in A.

d. Het inklemmingsmoment in D.

Volgens een tweede-orde berekening:

e. Een schatting van de normaalkracht in staaf BC.

f. Een schatting van de verplaatsing van staaf BC.

g. Een schatting van het inklemmingsmoment in A.

h. Een schatting van het inklemmingsmoment in D.

11.33-1/2


CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. De

buigstijfheden van de kolommen zijn uitgedrukt in 2

9 MNmEI = .

Gevraagd:




115

11.34-1/2


CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. De

kolommen zijn prismatisch met verschillende buigstijfheden, uitgedrukt in 2

12,8 MNmEI = .

Gevraagd:


11.35

In het getekende spant hebben alle kolommen dezelfde buigstijfheid 2

2048 kNmEI = .

Gevraagd:

a. De eerste-orde inklemmingsmomenten.

b. Een schatting van de tweede-orde inklemmingsmomenten.

11.36-1/2

Gegeven een (verend) ingeklemde kolom met drie aanpendelende kolommen

met de daarop aangrijpende belasting. Houd in de berekening aan 2

37,5 MNmEI = en r 15 MNmk = . Er treedt geen lokale instabiliteit op door

het uitknikken van één van de pendelkolommen.



116

Gevraagd:



11.37-1 t/m 4

De buigstijfheid van de volledig ingeklemde kolom is 2

33,6 MNmEI = . Er

treedt geen lokale instabiliteit op.

Gevraagd:



11.38-1 t/m 4



r 48 MNmk = . Er treedt geen knik op van de aanpendelende kolommen.

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG


117

12. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag

Opmerkingen vooraf:

• Maak de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze.

• In de berekening mag het eigen gewicht van de constructie worden

verwaarloosd.

• Er wordt aangenomen dat de grootte van het volplastisch moment pM

onafhankelijk is van de grootte van de in de staaf aanwezige

normaalkracht.

• Het wordt aanbevolen de vergrotingsfactor /( 1)n n − alleen te gebruiken als

men deze voor het betreffende vraagstuk ook kan afleiden.

• Gebruik de regel van Merchant alleen ter controle van de gevonden

resultaten.

12.1

Starre staaf AB is ingeklemd in buigzame ligger BC. Ligger BC gedraagt zich

elasto-plastisch met buigstijfheid 2

1800 kNmEI = en volplastisch moment

p 180 kNmM = . Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven.

Gevraagd:

a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van

AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van:


c. De eerste-orde bezwijklast pH .

d. De eerste-orde verplaatsing van A als 20 kNH = en 200 kNF = .

e. De tweede-orde verplaatsing van A als 20 kNH = en 200 kNF = .

f. Teken voor 20 kNH = het - -diagramF w voor A, zowel in het elastische

als plastische gebied.

g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

20 kNH = .

h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

150 kNF = .

i. Controleer de juistheid van de onder g en h berekende waarden met behulp

van de formule van Merchant.

12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3


118

12.2

Een oneindig stijve mast met lengte 6 m=ℓ is afgetuid met twee draden en

wordt in de top A belast door de verticale kracht 220 kNF = . De mast staat

scheef met aan de top een uitwijking 0 12,5 mmw = . De draden hebben een

rekstijfheid 2500 kNEA = en een vloeikracht p 7,5 kNN = . In de onbelaste

constructie zijn de draden spanningsloos.

Figuur 12.1

Gevraagd:

a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van

AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van:


c. De eerste orde verplaatsing van A.

d. De tweede-orde verplaatsing van A.

e. De kracht cF waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.

f Verifieer de onder e berekende waarde met behulp van de formule van

Merchant.

g. Het - -diagramF w voor A, zowel in het elastische als plastische gebied.

12.3

De oneindig stijve kolom AB is in B stijf verbonden met ligger BC. BC heeft

een buigstijfheid 2

1250 kNmEI = en een volplastisch moment p 53 kNmM = .

Houd verder in de berekening aan 3,15 m=ℓ .



119

Gevraagd:

a. AB in B vrij te maken van BC en te tekenen in de toestand dat B een

horizontale verplaatsing w heeft ondergaan, met alle krachten die er in B op

werken.

b. In deze stand de vergelijking (in symbolen) op te stellen voor het

momentenevenwicht van AB om A.

c. De verplaatsing pw waarbij in B het volplastisch moment wordt bereikt.

d. De eerste-orde verplaatsing van B als 125 kNF = en 4,8 kNH = .

e. De tweede-orde verplaatsing van B als 125 kNF = en 4,8 kNH = .

f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

4,8 kNH = .

g. De kniklast kF .

h. De eerste-orde bezwijklast pF .

i. De onder f berekende waarde te controleren met behulp van de formule van

Merchant.

j. Het - -diagramF w te tekenen voor 4,8 kNH = , zowel in het elastische als

het plastische gebied.

12.4

AEB is een volkomen stijve staaf, die zijdelings wordt gesteund door staaf CD

met buigstijfheid 2

25,6 MNmEI = en volplastisch moment p 64 kNmM = .

Houd verder in de berekening aan: 4 m=ℓ , 6 kNH = en 800 kNF = .



120

Gevraagd:

a. De uitwijking in B volgens een eerste-orde berekening.

b. De uitwijking in B volgens een tweede-orde berekening.


d. De waarde van cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als

6 kNH =

e. Controleer de onder d gevonden waarde met de formule van Merchant.

f. Teken het - -diagramF w voor B als 6 kNH = , zowel in het elastische als

het plastische gebied.

12.5

Een verticaal opgestelde starre staaf wordt op halve hoogte gesteund door twee

horizontale draden. De draden hebben een rekstijfheid 3

10,8 10 kNEA = × en

een vloeikracht p 120 kNN = . Afmetingen en belasting zijn in de figuur

aangegeven. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.



121

Gevraagd:

a. De knikkracht.

b. De eerste-orde bezwijklast.

c De eerste-orde verplaatsing in A tengevolge van 450 kNF = .

d. De tweede-orde verplaatsing in A tengevolge van 450 kNF = .

e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. Controleer

deze waarde met de regel van Merchant.

f. Het - -diagramF w voor A, zowel in het elastische als plastische gebied.

12.6

De oneindig stijve staaf AB is in C stijf verbonden met ligger CD. CD heeft

een buigstijfheid 2

4500 kNmEI = en een volplastisch moment

p 150 kNmM = . Houd verder in de berekening aan: 3 m=ℓ .

Gevraagd:

a. De waarde van cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als

10 kNH = .

b. De waarde van cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als

100 kNF = .

c. De waarde van cF F= en cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit

plaats vindt als 6F H= .

d. Controleer de onder a, b en c gevonden waarden met de formule van

Merchant.

12.7

De oneindig stijve kolom AB is stijf ingeklemd in de ligger BC met een

buigstijfheid 3 2

25 10 kNmEI = × en een volplastisch moment p 120 kNmM = .

De kolom wordt belast door een drukkracht F, die aangrijpt met een

excentriciteit 10 mme = . Kolom en ligger hebben beide een lengte 5 m=ℓ .



122

Gevraagd:

a. De eerste-orde momentenlijn als 600 kNF = .

b. De tweede-orde momentenlijn als 600 kNF = .

c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze

waarde te controleren met de formule van Merchant.

d. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale

kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische

als plastische gebied.

12.8

In de getekende constructie zijn AB, BC en BD starre staven. Staaf DE heeft

een eindige buigstijfheid 2

37,5 MNmEI = en een volplastisch moment

p 135 kNmM = . De staven zijn in B en D scharnierend met elkaar verbonden.

De constructie is in A scharnierend opgelegd, in C opgelegd op een rol met

verticale rolbaan en in B volledig ingeklemd. De belasting bestaat uit de

verticale kracht 750 kNF = in C en de horizontale kracht 9 kNH = in D.

Houd verder in de berekening aan: 5 ma = .



123

Gevraagd:

a. De eerste-orde verplaatsing van C.

b. De tweede-orde verplaatsing van C.

c. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening.

d. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening.

d. De knikkracht kF .

f. De eerste-orde bezwijklast pH .

g. De kracht cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

9 kNH = .

h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F

en de horizontale verplaatsing w van C in het geval 9 kNH = . Schrijf de

waarden er bij.

i. De kracht cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

750 kNF = .

j. Controleer de onder g en i gevonden waarden met de formule van

Merchant.

12.9

In de getekende constructie zijn AC, CD en DB starre staven, die in C en D

scharnierend met elkaar zijn verbonden. De constructie is in A en B

scharnierend opgelegd en in C en D via de tuidraden EC en GD verbonden met

de opleggingen in E en G. De afmetingen kunnen uit de figuur worden

afgelezen.

Op CD werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting 36 kN/mq = . De

constructie wordt tevens in C belast door een horizontale kracht 2,7 kNH = .

De rekstijfheid van de tuidraden is 5000 kNEA = . De vloeikracht in de

tuidraden is p 12 kNN = . In de onbelaste constructie zijn de tuidraden

spanningsloos.

Gevraagd:

a. De knikbelasting.




124

c. De verplaatsing van C waarbij in een tuidraad de vloeikracht wordt bereikt.

d. De eerste-orde verplaatsing van C.

e. De tweede-orde verplaatsing van C.

f. De eerste-orde normaalkracht in CD.

g. De tweede-orde normaalkracht in CD.

h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

2,7 kNH = .

i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor C als 2,7 kNH = , in

zowel het elastische als plastische gebied.

j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

36 kN/mq = .

k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.10

De oneindig stijve kolom AB is in C stijf verbonden met de buigzame ligger

DCE. Deze ligger heeft een buigstijfheid 2

15 MNmEI = en een volplastisch

moment p 105 kNmM = . Afmetingen en belasting volgen uit de figuur.

Gevraagd:



c. De verplaatsing van B waarbij in de verende inklemmingen het

vloeimoment wordt bereikt.

d. De eerste-orde verplaatsing van B ten gevolge van 21 kNH = en

1200 kNF = .

e. De tweede-orde verplaatsing van B ten gevolge van 21 kNH = en

1200 kNF = .


21 kNH = .



125

g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor B als 21 kNH = , in


h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

/40H F= .

i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor B als /40H F= , in


j. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.11

In de getekende constructie zijn de verbindingen in A en D scharnierend en die

in B en C volkomen stijf. AB, AD en CD zijn oneindig stijf. BC heeft een

buigstijfheid 2


Houd verder in de berekening aan 3 m=ℓ .

De constructie wordt belast door een verticale kracht 240 kNF = in A en een

horizontale kracht 4 kNH = in D.

Gevraagd:

a. De verplaatsing van A volgens een eerste-orde berekening.

b. De normaalkracht in AD volgens een eerste-orde berekening.

c. De verplaatsing van A volgens een tweede-orde berekening.

d. De normaalkracht in AD volgens een tweede-orde berekening.

e. De knikkracht kF .

f. De eerste-orde bezwijklast pF .

g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

4 kNH = .


240 kNF = .

i. Controleer de onder g en h gevonden waarden met de formule van

Merchant.

j. Het - -diagramF w voor A als 4 kNH = , zowel in het elastische als het

plastische gebied.

k. Het - -diagramF w voor A als 9,6 kNH = , zowel in het elastische als het

plastische gebied.



126

12.12

In de getekende constructie heeft ACB een eindige buigstijfheid EI en een

volplastisch moment pM . Alle andere staven zijn oneindig stijf.

Houdt in de berekening aan: 4 m=ℓ , 2

16 MNmEI = , p 50 kNmM = ,

9 kNH = en 600 kNF = .

Gevraagd:



c. De verplaatsing van D waarbij in ACB het volplastisch moment wordt

bereikt.

d. De eerste-orde verplaatsing van D.

e. De tweede-orde verplaatsing van D.


9 kNH = .

g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor D als 9 kNH = , in



600 kNF = .

i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.13

In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met

uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en

BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met

buigstijfheid 2

72 MNmEI = . Deze staaf heeft een volplastisch moment

p 81 kNmM = . Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen.

Houd in de berekening aan 10,8 kNH = en 300 kNF = .



127

Gevraagd:


b. De eerste-orde bezwijkbelasting.

c. De eerste-orde verplaatsing van B.

d. De tweede-orde verplaatsing van B.

e. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening.


10,8 kNH = .

g. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

300 kNF = .

h. Controleer de onder f en g berekende waarden met de regel van Merchant.

12.14

In de getekende constructie zijn AD, BE, CG, DE en EG oneindig stijve staven,

die scharnierend met elkaar zijn verbonden. Ligger BC heeft een eindige

buigstijfheid EI en een volplastisch moment pM . De staven BE en CG zijn stijf

verbonden met ligger BC. De constructie is in A, B en C scharnierend

opgelegd. Op DEG werkt een gelijkmatig verdeelde belasting q. Verder werkt

in D een horizontale kracht H.

De horizontale uitwijking van regel DEG wordt aangeduid met w. De daarbij

behorende rotatie van stijl CG wordt aangeduid met ϕ .


2100 kNmEI = , p 350 kNmM = en 2 m=ℓ .



128

Gevraagd:


b. De eerste-orde bezwijklast pH .

c. De eerste-orde hoekverdraaiing in C als 90 kN/mq = en 70 kNH = .

d. De tweede-orde hoekverdraaiing in C als 90 kN/mq = en 70 kNH = .

e. De belasting cq waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

70 kNH = .

f. Controleer dit antwoord met de regel van Merchant.

g. Teken voor 70 kNH = het verband tussen de belasting q en de rotatie ϕ

van stijl CG, zowel voor als na het bezwijken door instabiliteit.

12.15

Tweescharnierenspant ABCD bestaat uit de twee oneindig stijve stijlen AB en

CD die stijf verbonden zijn met de buigzame regel BC. BC heeft een

buigstijfheid 2


Stijlen en regel hebben dezelfde lengte 4 m=ℓ .

De constructie wordt belast door de verticale krachten: 2F in B en F in C.

Daarnaast werkt er in B een horizontale kracht H.

Gevraagd:

a. De verplaatsing van B volgens een eerste-orde berekening als 18 kNH =

en 100 kNF = .

b. De verplaatsing van B volgens een tweede-orde berekening als 18 kNH =

en 100 kNF = .


d. De eerste-orde bezwijklast pF .

e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

18 kNH = .

f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

100 kNF = .

g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van

Merchant.

h. Verwerk de hiervoor gevonden resultaten in een last-verplaatsing-diagram.



129

12.16

De getekende constructie is opgebouwd uit de stijlen AC en BD, de horizontale

regel CD en de kabels AD en BC. De buig- en rekstijfheid van stijlen en regel

is oneindig groot. De beide kabels hebben een eindige rekstijfheid 7 MNEA =

en een vloeikracht p 21 kNN = . In onbelaste toestand zijn alle constructie

delen spanningsloos.

De constructie wordt in E belast door een verticale kracht F en in C door een

horizontale kracht H.

Gevraagd:

a. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F

en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het geval 0 kNH = ,

zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in een aantal punten de

waarden er bij.

b. De eerste-orde normaalkracht in CD als 1500 kNF = en 3 kNH = .

c. De tweede-orde normaalkracht in CD als 1500 kNF = en 3 kNH = .

d. In het last-verplaatsing-diagram uit vraag a ook het verband te schetsen

tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het

geval 3 kNH = , zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in

een aantal punten de waarden er bij.

e. De kracht cF waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 3 kNH = .

f. Controleer de onder e gevonden waarde met de formule van Merchant.

12.17

Portaal ABCD heeft oneindig stijve kolommen AB en CD en een buigzame

regel die in B en C stijf met de kolommen is verbonden. Regel BC heeft een

buigstijfheid 2

12 MNmEI = en een volplastisch moment p 100 kNmM = .

Kolommen en regel hebben dezelfde lengte 3 m=ℓ . A en D zijn scharnier-

opleggingen. Het portaal wordt boven kolom CD belast door een excentrisch

aangrijpende verticale kracht F. De grootte van de excentriciteit is 50 mme = .



130

Gevraagd:


b. De eerste-orde bezwijkbelasting pF .

c. In een last-verplaatsing-diagram voor 0e = het verband na uitknikken te

schetsen tussen de kracht F en de afstand w van de werklijn van F tot

scharnieroplegging D, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf

op markante plaatsen de waarden er bij.

d. Voor 50 mme = een betrekking af te leiden tussen de kracht F en de

afstand w van de werklijn van F tot scharnieroplegging D, zowel in het

elastische als plastische gebied.

e. De kracht cF , waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit, als

50 mme = . Deze waarde te controleren met de formule van Merchant.

f. De onder d afgeleide betrekking te schetsen in het onder b gevraagde last-

verplaatsing-diagram, met vermelding van de waarden op markante punten.

12.18

In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met

uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en

BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met

buigstijfheid 2

72 MNmEI = . Deze staaf heeft een volplastisch moment

p 90 kNmM = . Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen.

Houd in de berekening aan 3 kNH = en 90 kNF = .



131

Gevraagd:



c. De eerste-orde verplaatsing van B.

d. De tweede-orde verplaatsing van B.

e. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening.

f. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening.

g. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening.

h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

3 kNH = .

i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

90 kNF = .

j. Controleer de onder h en i berekende waarden met de regel van Merchant.

12.19

In de getekende constructie zijn de (doorgaande) stijlen oneindig stijf en

hebben de regels een buigstijfheid 2

3600 kNmEI = en een volplastisch

moment p 60 kNmM = . Alle hoekverbindingen zijn volledig stijf. Afmetingen

en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd in de berekening aan: 3 m=ℓ ,

12 kNH = en 400 kNF = .

Gevraagd:



c. De eerste-orde verplaatsing van de bovenste regel.

d. De tweede-orde verplaatsing van de bovenste regel.

e. De maximum kracht H die de constructie nog kan dragen als 400 kNF = .

f. De maximum kracht F die de constructie nog kan dragen als 12 kNH = .

g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van

Merchant.



132

12.20

In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend met

uitzondering van de volkomen stijve verbinding tussen de AB en BC.

Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC. BC heeft een

buigstijfheid 2


Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd daarbij in de

berekening aan 3 kNH = en 20 kN/mq = .

Gevraagd:


b. De eerste-orde bezwijkbelasting pH .

c. De eerste-orde verplaatsing van knooppunt C.

d. De tweede-orde verplaatsing van knooppunt C.

e. De normaalkracht in CE volgens een eerste-orde berekening.

f. De normaalkracht in CE volgens een tweede-orde berekening.

g. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

3 kNH = .

h. Een schets van het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w betrokken op

de verplaatsing van knooppunt C, voor en na bezwijken door instabiliteit.

i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

20 kN/mq = .

j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.21

De getekende constructie bestaat uit de starre staven AB en CD die in

respectievelijk B en C stijf zijn verbonden met ligger BC. Ligger BC heeft een

buigstijfheid 2


Alle staven hebben een lengte 3 m=ℓ .

De constructie wordt belast door de horizontale kracht D 40 kNH = , zoals in

de figuur aangegeven, en verder door een verticale kracht F in A.



133

Gevraagd:





d. Voor D 40 kNH = in een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen

tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel

voor het elastische als plastische gebied.

12.22

Gegeven dezelfde constructie als in opgave 12.21. De belasting bestaat nu uit

de horizontale krachten A 20 kNH = en D 10 kNH = , zoals aangegeven in de

figuur, en verder een verticale kracht F in A.

Gevraagd:





d. Bij de gegeven horizontale krachten in A en D in een last-verplaatsing-

diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de

horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische

gebied.



134

12.23

In de getekende constructie zijn AD en CE draden met een rekstijfheid 3

27,78 10 kNEA = × en een vloeikracht p 40 kNN = . Alle andere

constructiedelen zijn oneindig stijf en onderling scharnierend verbonden. De

afmetingen zijn in de figuur aangegeven.

De constructie wordt in A belast door een horizontale kracht 18 kNH = . Op de

regels AB en BC werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting

40 kN/mq = . In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.

Gevraagd:



c. De verplaatsing van A waarbij vloeien optreedt

d. De eerste-orde verplaatsing van A.

e. De tweede-orde verplaatsing van A.

f. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

18 kNH = .

g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor A als 18 kNH = , zowel

in het elastische als plastische gebied.


40 kN/mq = .


Merchant.

12.24

In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. Alle verbindingen

tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen. C is een

scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde

veerkarakteristiek: tot het vloeimoment pM is het gedrag lineair elastisch met

veerstijfheid rk .

Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. Houdt in de uitwerking

de volgende waarden aan: 3 m=ℓ , r 13,5 MNmk = en p 54 kNmM = .



135

Gevraagd:


b. De eerste-orde verplaatsing van D als 6 kNH = en 100 kN/mq = .

c. De tweede-orde verplaatsing van D als 6 kNH = en 100 kN/mq = .

d. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

6 kNH = .

e. In een - -diagramq w het verband tussen de belasting q en de verplaatsing w

van D te tekenen als 6 kNH = .

f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

100 kN/mq = . Teken dit punt in het onder e gevraagde - -diagramq w .

g. De eerste orde bezwijkbelasting pH .

h. Controleer de onder d en f berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.25

In onderstaande constructie zijn AD, DE, BEG, GK en CK starre staven.

AB en BC zijn buigzame staven met buigstijfheid EI en volplastisch moment

pM . AB en BC zijn in respectievelijk A, B en C stijf verbonden met AD, BEG

en CK. Afmetingen en belasting kunnen uit de figuur worden afgelezen.

Houd in de uitwerking aan: 6 m=ℓ , 3 2

10,8 10 kNmEI = × , p 72 kNmM = ,

50 kN/mq = en 9 kNH = .



136

Gevraagd:



c. De verplaatsing van D waarbij in ABC het volplastisch moment wordt

bereikt.



f. De eerste-orde normaalkracht in GK.

g. De tweede-orde normaalkracht in GK.

h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

9 kNH = .

i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor D als 9 kNH = , in


j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

50 kN/mq = .

k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.26

In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. De verbindingen

tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen, C is een

scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde

veerkarakteristiek: tot het vloeimoment p 105 kNmM = gedragen zij zich

lineair elastisch met veerstijfheid r 35 MNm/radk = . Afmetingen en belasting

zijn in de figuur aangegeven.

Houd in de berekening aan: 14 kNH = en 500 kNF = .



137

Gevraagd:



c. De verplaatsing van D waarbij in de verende inklemmingen het

vloeimoment wordt bereikt.




14 kNH = .

g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor D als 14 kNH = ,

zowel in het elastische als plastische gebied.


500 kNF = .


Merchant.

12.27

In de getekende constructie zijn alle staven scharnierend met elkaar verbonden.

Afmetingen en belasting kunnen uit de figuur worden afgelezen. De staven AB,

BC en CD zijn oneindig stijf. De schoorstaven AC en BD kunnen uitsluitend

trekkrachten overbrengen. Deze staven hebben een eindige rekstijfheid EA een

vloeikracht pN . In onbelaste toestand zijn alle staven spanningsloos.

Houd in de berekening aan 1 ma = ; 3

125 10 kNEA = × , p 80 kNN = ,

16 kNH = en 3

19,2 10 kNF = × .



138

Gevraagd:

a. De horizontale verplaatsing van B volgens een 1e orde berekening.

b De kracht in staaf BC volgens een 1e orde berekening.

c. De horizontale verplaatsing van B volgens een 2e orde berekening.

d. De kracht in staaf BC volgens een 2e orde berekening.

e. De knikbelasting kF .


16 kNH = . Teken dit punt in last-verplaatsing-diagram.

g. Controleer de onder f gevonden waarden met de formule van Merchant.

h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F

en de horizontale verplaatsing w van B voor 16 kNH = , zowel in het

elastische als plastische gebied.

12.28

In de getekende constructie zijn AB, BD en CDE starre staven. AC is een

buigzame staaf met buigstijfheid EI en volplastisch moment pM . Afmetingen

en belasting zijn in de figuur aangegeven. λ is een belastingfactor.

Houd in de uitwerking de volgende waarden aan: 3 m=ℓ , 2

2250 kNmEI = ,

p 63 kNmM = , 15 kNH = , 1 200 kNF = en 2 150 kNF = .



139

Gevraagd:

a. De waarde kλ λ= waarbij de knikbelasting wordt bereikt.

b. De eerste-orde bezwijkbelasting pH .

c. De eerste-orde verplaatsing van B als 1λ = .

d. De tweede-orde verplaatsing van B als 1λ = .

e. De eerste-orde normaalkracht in BD als 1λ = .

f. De tweede-orde normaalkracht in BD als 1λ = .

g. De waarde cλ λ= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te tekenen tussen de

belastingfactor λ en de verplaatsing van B, zowel in het elastische als

plastische gebied.

i. De waarde van cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

1λ = .

j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van

Merchant.

12.29

BCD is oneindig stijf en in B stijf verbonden met de buigzame ligger AB. AB

heeft een buigstijfheid EI en een volplastisch moment pM . De constructie

wordt in C en D belast door de verticale krachten 1Fλ en 2Fλ . λ is een

belastingfactor. De afmetingen zijn in de figuur bijgeschreven. Houd verder in

de berekening aan: 2

3000 kNmEI = , p 60 kNmM = , 1 50 kNF = en

2 25 kNF = .

Gevraagd:

a. De eerste-orde rotatie van BCD als 1λ = .

b. De tweede-orde rotatie van BCD als 1λ = .

c. De waarde kλ λ= waarbij de knikbelasting wordt bereikt.

d. De waarde pλ λ= waarbij de eerste-orde bezwijkbelasting wordt bereikt.

e. De waarde cλ λ= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

f. Controleer de onder d berekende waarde met de formule van Merchant.



140

12.30-1/2

Een initieel gekromde kolom, met buigstijfheid 2

63 MNmEI = en volplastisch

moment p 360 kNmM = , heeft aan de top een uitwijking 80 mme = . Houd

verder in de berekening aan: 5 m=ℓ en, voor de stijfheid van de verende

inklemming, r 30 MNmk = .

Gevraagd:

a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, als bij

benadering het tweede-orde buigend moment mag worden berekend uit het

eerste-orde buigend moment met behulp van de vergrotingsfactor /( 1)n n − .

b. Controleer de gevonden waarde met de formule van Merchant.

12.31-1/2

De getekende kolom, met buigstijfheid 2

40 MNmEI = en volplastisch

moment p 200 kNmM = , wordt in het vrije einde belast door een horizontale

kracht 12 kNH = . Houd verder in de berekening aan: 5 m=ℓ en, voor de

stijfheid van de verende inklemming, r 5 MNmk = .

Gevraagd:




141

12.32-1/2

De getekende kolom, met buigstijfheid 2

53,76 MNmEI = en volplastisch

moment p 560 kNmM = , wordt in het vrije einde belast door een verticale

kracht F en een horizontale kracht /15F . Houd verder in de berekening aan:

4 m=ℓ en, voor de stijfheid van de verende inklemming, r 20,16 MNmk = .

Gevraagd:


12.33

De getekende vrij opgelegde ligger heeft een buigstijfheid 2

54 MNmEI = en

een volplastisch moment p 375 kNmM = . Afmetingen en de wijze van belasten

zijn in de figuur aangegeven.

Gevraagd:


12.34

Onderstaande in A volledig ingeklemde ligger AB met een lengte 2 m=ℓ

wordt in het vrije einde B belast door de krachten F en P. Ligger AB is

prismatisch met een buigstijfheid 2

4000 kNmEI = en een volplastisch

moment p 58 kNmM =

Maak gebruik van het feit dat de verplaatsing van B volgens een tweede orde

berekening goed kan worden benaderd door de eerste orde verplaatsing te

vermenigvuldigen met de vergrotingsfactor /( 1)n n − .



142

Gevraagd:

a. Het maximum buigend moment in de ligger als 500 kNF = en 12 kNP = .

b. De waarde cP P= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als

500 kNF =

c. De waarde cP P= berekend met de formule van Merchant.

d. Verklaar het verschil tussen de onder b en c gevonden waarden.

12.35

AB is een in A ingeklemde prismatisch ligger met een lengte 2 m=ℓ , een

buigstijfheid 2

4000 kNmEI = en een volplastisch moment p 75 kNmM = . De

belasting is in de figuur aangegeven.

De verplaatsing van B volgens een tweede orde berekening kan goed worden

benaderd door de eerste orde verplaatsing te vermenigvuldigen met de

vergrotingsfactor /( 1)n n − .

Gevraagd:

a. Het maximum buigend moment in de ligger als 270 kNF = .

b. De waarde cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

c. De waarde cF F= berekend met de formule van Merchant.

d. Verklaar het verschil tussen de onder b en c gevonden waarden.

2016 deel2 Vraagstukkenbundel -...

Documents

Transcript of 2016 deel2 Vraagstukkenbundel -...