8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

http://slidepdf.com/reader/full/a-g-r-a-p-h-t-h-e-o-r-e-t-i-c-m-o-d-e-l-o-f-d-a-t-a-s-t-r-u-c-t-u-r-e-s 1/9

A G R A P H T H E O R E T I C M O D E L O F D A T A S T R U C T U R E S

J . H e l l e r a n d B e n S c h n e i d e r m a n

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w Y o r k a t S t o n y B r o o k

T h e w i d e s p r e a d d e v e l o p m e n t o f l a r g e s h a r ed

d a t a b a s e s h a s p r o c e e d e d m a i n l y o n e m p i r i c a l n o -

t i o n s . O n l y i n t h e p a s t f e w y e a r s h a v e t h e r e b e e n

a t t e m p t s a t f o r m a l i z i n g t h e u n d e r l y i n g c o n c e p t s i n -

t o a t h e o r y o f d a t a s t r u c t u r e s . T h e p r e s e n t m o d e l s

h a v e b e e n f o u n d e d o n t h e w e l l - e s t a b l i s h e d m a t h e -

m a t i c a l t h e o r i e s o f s e t s , r e l a t i o n s a n d g r a p h s , b u t

f e w d e s c r i p ti o n s h a v e b e e n s u f f i c i e n t l y d e v e l o p e d

t o m e e t t h e n e e d s o f a c o m p l e t e t h e o r y o f d a t a

s t r u c t u re s . T h e s e t t h e o r e t i c f o r m a l i s m o f f e r e d b y

C h i l d s ( I ) o r S c h w a r t z ( 2 ) o r t h e r e l a t i o n a l m o d e l b y

C o d d ( 3 ) a r e u s e f u l b u t f a i l t o g i v e a c o m p l e t e d e -

s c r i p t i o n o f t h e c o m p l e x s t r u c t u r e s f o u n d i n m o d e r n

d a t a b a s e s . T h e g r a p h t h e o r e t i c c o n c e p t s f o u n d i np a p e r s b y H a r a r y a n d H s i a o ( 4 ) a n d E a r l e y ( 5 ) a r e m o r e

a p p e a l i n g b u t n e e d f u r t h e r e l a b o r a t i o n . T h i s p a p e r

i s a n a t t e m p t t o d e v e l o p a g r a p h t h e o r e t i c m o d e l

i n t o a us e f u l f o r m a l i s m f o r d e s c r i b i n g a n d m a n i p u -

l a t i n g d a t a s t r u c t u r e s .

D a t a e x i s t e d l o n g b e f o r e c o m p u t e r s w e r e e v e r

d r e a m e d o f a n d e v e n t h e f i r s t l i b r a r i a n h a d s o m e

n o t i o n o f t h e o r g a n i z a t i o n a n d s t r u c t u r e o f h i s d a ta .

C l e a r l y , i n f o r m a t i o n h a s a l o g i c a l s t r u c t u r e i n d e -

p e n d e n t o f t h e p h y s i c a l i m p l e m e n t a t i o n i n s i d e a

c o m p u t e r . A t h e o r y o f d a t a s t r u c t u r e s s h o u l d d e -

s c r i b e t h e l o g i c a l s t r u c t u r e s e p a r a t e l y f r o m t h e

i m p l e m e n t a t i o n b u t s h o u l d e n a b l e t h e s y s t e m d e -

s i g n e r t o e v a l u a t e t h e e f f e c t i v e n e s s a p a r t i c u l a r

i m p l e m e n t a t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e t h e o r e t i c a l f o r m -

l a t i o n s h o u l d b e i n t u i t i v e l y a p p e a l i n g a n d a c c e p t -

a b l e t o d a t a m a n a g e r s , s u c h a s l i b r a r i a n s a n de x e c u t i v e s , w h o m a y n o t h a v e a s o p h i s t i c a t e d u n -

d e r s t a n d i n g o f c o m p u t e r t e c h n o l o g y a n d t e c h n i q u e s .

T h e c o m p u t e r s c i e n t i s t m u s t p r o v i d e t h e d a t a

m a n a g e r w i t h a " m a g i c g e n i e " f o r m a n i p u l a t i n g d a t a

a c c o r d i n g t o t h i s l o g i c a l v i e w o f t h e d at a .

T o m o t i v a t e t h e f o r m a l d e f i n i t i o n s o f a g r a p h

t h e o r e t i c m o d e l , w e c o n s i d e r t h r e e s i m p l e e x a m p l e s :

a o n e - w a y l i s t w i t h t o p a n d b o t t o m p o i n t e r s , a r i n g

w i t h o n e e n t r y n o d e , a n d a f u l l b a l a n c e d b i n a r y

t r e e w i t h o n e e n t r y n o d e .

S i n c e o n e o f th e s t r o n g a r g u m e n t s i n f a v o r

o r t h e g r a p h t h e o r e t i c m o d e l a r e t h e v i s u a l c u e s

t a k e n f r o m t h e p i c t u r e o f t h e g r a p h , w e w i l l m a k e

f r e q u e n t u s e o f s u c h p i c t u r e s . T h u s a o n e - w a y

l i s t w i t h t o p a n d b o t t o m p o i n t e r s l o o k s l i k e :

* * * F i g u r e I * * *

T h e s q u a r e n o d e s E = { e l , e 2 } , c a l l e d e n t r y n o d e s ,

p r o v i d e a c c e s s t o t h e d a t a n o d e s D = { d l . . . d n } . I n -

f o r m a l l y , t h e e n t r y n o d e s a r e a l w a y s i n s t a n t l y a c -

c e s s i b l e a n d a l l s e a r c h e s m u s t b e g i n a t a n e n t r y

n o d e . T h e g r a p h d e s c r i b e s t h e l o g i c a l s t r u c t u r e

o f t h e d a t a a n d t h e c o n n e c t i o n s a m o n g t h e d a t a n o d e s .

T h e n o d e s c a n c o n t a i n a n y a m o u n t o f i n f o r m a t i o n a n d

m a y h a v e a c o m p l e x s u b s t r u c t u r e w h i c h m i g h t b e a n -

o t h e r g r a p h . O n e o f t h e v i r t u e s o f t h e g r a p h d e -

s c r i b e d a t a a t t h e d e t a i l e d l e v e l a n d t h e c o m p l e x

s t r u c t u r e o f e n t i r e f i l e s .

T h e l o g i c a l s t r u c t u r e g i v e n b y t h e g r a p h m a y

b e i m p l e m e n t e d i n a m u l t i p l i c i t y o f w a y s . T h e d a ta

n o d e s m i g h t b e m a i n t a i n e d i n t he p r o c e s s o r s t o r a g e

w i t h i m p l i c i t o r e x p l i c i t po i n t e r s . A l t e r n a t i v e l y ,

e a c h n o d e c o u l d b e a r e g i o n o n a d i s k f i l e w i t h

r e g i o n a d d r e s s e s a s t h e p o i n t e r s .

T h e r e l a t i o n s h i p a m o n g t h e n o d e s i s d e s c r i b e d

b y a m a p p i n g

F : ( D U E ) + D

w h e r e , i n o u r e x a m p l e ,

Pel ={d I } Pe2 ={ d } Pd i = ({~ i+l } l=ni<n

W e c a n c o m p o u n d t h e m a p p i n g

F2 di = F(Fd n) = ({ ~i +2 } i>n-li<n-i

I n g e n e r a l

F n d . = F n - l ( F d i ) = F ( F n - l d i )l

W e f u r t h e r d e f i n e t h e i n v e r s e m a p

F-i di = ({ ~i -l } l<i<ni=l

a n d a n i d e n t i t y o r z e r o m a p

F O d i = { d i }

I n g e n e r a l t h e m a p p i n g i s n o t s i n g l e v a l u e d ,

b u t y i e l d s a s e t o f n o d e s , t h a t i s

Fd = A = {d ,... d. }

1 i k

w h e r e k i s t h e o u t - d e g r e e o f t h e n o d e d .

T h u s

F2d = FA = Fd.1 1 U F % 2 U " - - ~ J r d i k

o r m o r e s u c c i n c t l y ,

F 2 d = F A = Q F d

Y d e A

36

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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F I G U R E 1

F I G U R E 2

F I G U R E 3

F I G U R E 4

37

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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A s o u r s e c o n d e x a m p l e w e c o n s i d e r a r i n g w i t h

o n e e n t r y n o d e

* * * F i g u r e 2 * * *

T h e g r a p h c o n s i s t s o f t h e e n t r y n o d e s e t E = { e l } a n d

t h e d a t a n o d e s e t D = { d l . . . d n } a n d t h e m a p p i n g

F e { d l } F d i { d i + l } l < i < n= = { d I } i = -- n

N o t i c e t h a t i n b o t h o u r e x a m p l e s t h e r e a r e n o n o d e s

" f l o a t i n g " f r e e l y t h a t a l l n o d e s a r e c o n n e c t e d a n d

a n y d a t a n o d e i s r e a c h a b l e b y f o l l o w i n g a p a t h

f r o m o n e o f t h e e n t r y n o d e s .

A s o u r t h i r d e x a m p l e w e c o n s i d e r a f u l l y b i n a r y

t r e e w i t h a s i n g l e e n t r y n o d e E = { e l } a n d D = { d l . . . d n }

w h e r e n i s 2 k - i f o r s o m e i n t e g e r k , w h i c h r e p r e s e n t s

t h e n u m b e r o f l e v e l s i n t h e t r e e .

* * * F i g u r e 3* * *

T h e m a p p i n g F fo r t h i s s t r u c t u r e i s d e f i n e d b y

l < 2 k - l _ 1F e = { d l } F d i = ~ { d 2 i , $ 2 i + i }

i > 2 k - i

C l e a r l y , a l l d a t a n o d e s a r e r e a c h a b l e f r o m t h e

s i n g l e e n t r y n o d e w i t h a m a x i m u m n u m b e r o f s t e p s

e q u a l t o k , t h a t i s

k =(.7 Fi el D

i = l

A n a l y s i s o f t h e s e t h r e e e x a m p l e s a n d t h e s t u d y

o f a w i d e v a r i e t y o f c o m m o n l y u s e d s t r u c t u r e s m o t i -

v a t e s t h e d e f i n i t i o n o f a W e l l - F o r m e d L i s t S t r u c -

t u r e ( W D L S ). D e f i n i t i o n : L = ( D , E , F ) i s a W e l l -

F o r m e d L i s t S t r u c t u r e i f a n d o n l y i f ( 1) D ~ E i s a

c o n n e c t e d s e t o f n o d e s , t h a t i s , i f w e r e m o v e t h e

d i r e c t i o n o n t h e d i r e c t i o n o n t h e e d g e s , t h e r e i s

a p a t h b e t w e e n e v e r y p a i r o f n o d e s .

F o r m a l l y i f A = D L T E = { a i l i = l . . . n }

k

¥ (i ,j )~ . . . . . . a. a . ~ . ~F a. , k = + la l a i l a 1 2 a l 3 l £ j - i ~ + 1 m R

( 2) E i s a n o n - e m p t y s e t o f n o d e s w i t h e a c h n o d e

h a v i n g i n - d e g r e e z e r o a n d D i s a n o n - e m p t y s e t

o f no d e s w i t h n o d e h a v i n g a n i n - d e g r e e g r e a t e r

t h a n z e r o .

F o r m a l l y E # ~ V e e E F - l e = ~

D # ~ V d c D r - l d # ~

( 3) A n y n o d e i n t h e s e t D i s r e a c h a b l e f r o m a t

l e a s t o n e o f t h e n o d e s i n t h e s e t E .

F o r m a l l y , O * F i E = D = F E ( 2 F 2 E iT. • ~ 2 F n * E

i = l

w h e r e n * i s t h e s m a l l e s t i n t g g e r f o r w h i c h t h i st r u e . C o n d i t i o n ( i ) i s m e a n t t o e x c l u d e s t r u c t u r e s

s u c h a s

* * * F i g u r e 4 * * *

w h i c h a r e t w o W F L S s w h i c h a r e n o t c o n n e c t e d . C o n d i -

t i o n ( 2 ) i s m e a n t t o e x c l u d e s t r u c t u r e s s u c h a s

* * * F i g u r e 5 * * *

w h i c h i s a r i n g w i t h o u t a n e n t r y n o d e , a n d

* * * F i g u r e 6 * * *

w h i c h i s a d e g e n e r a t e o n e w a y l i s t w i t h t o p a n d

b o t t o m p o i n t e r s , t h a t i s, a s t r u c t u r e w i t h o u t d a t a

N o t i c e t h a t t h i s s t r u c t u r e a l s o v i o l a t e s c o n d i t i o n

( i) c o n c e r n i n g c o n n e c t e d n e s s . F u r t h e r v i o l a t i o n s

o f c o n d i t i o n ( 2) a r e

* * * F i g u r e 7 * * *

s i n c e e n t r y n o d e s m a y n o t p o i n t t o e a c h o t h e r a n d

* * * F i g u r e 8 * * *

s i n c e d a t a n o d e s m a y n o t p o i n t t o e n t r y n o d e s .

F i n a l l y c o n d i t i o n ( 3) is m e a n t t o e x c l u d e s t r u c t u r e s

s u c h a s

* * * F i g u r e 9 * * *

w h i c h c o n t a i n s a n o n - r e a c h a b l e r i n g.

T h e s t a t i c d e s c r i p t i o n o f a d a t a s t r u c t u r e i s

n o t s u f f i c i e n t ; o u r m o d e l m u s t i n c l u d e a n o t a t i o n

f o r d y n a m i c a l l y m a n i p u l a t i n g t h e s e s t r u c t ur e s . C o n -

s i d e r t h e s t a t i c d e s c r i p t i o n o f a s t a c k S = ( D , E , F ) ,

D = { d l . • . a n } , E = { e l } ,

F e l = { d n } ' d i = ~ { d ~ - I } i = l< i < n

• * * F i g u r e i 0 " * *

T h i s c o u l d J u s t a s e a s i l y d e s c r i b e a o n e w a y l i s t

W i t h a t o p p o i n t e r o n l y . W h a t d i s t i n g u i s h e s t h e

a b o v e s t r u c t u r e a s a s t a c k a r e t h e d y n a m i c o p e r a -

t i o n s w h i c h a r e d e f i n e d f o r a s t a c k : P U S H o r P O P .

F o r a s t a c k w e d e f i n e P O P ( S) a s a t r a n s f o r m a t i o n

w h i c h p r o d u c e s a n e w s t r u c t u r e s S ' = P O P ( S ) w h e r e

S ' = ( D ' , E ' , F ' ) , D ' = { d l . . . d n _ l } , E ' = { e l } ,

F , e l = { d n _ ~ F , d i = < { d ~ _ I } l <i< n-l i= ~

* * * F i g u r e i i * * *

S i m i l a r l y , w e d e f i n e S ' ' = P U S H ( S) w h e r e

S ' ' = ( D " , E " , F " ) ,

D " = { d l . . . d n + l } , E " = { e l } ,

F" el ={ dn +l } 'F" di= {{ d~ -I} i=ll<i<--n+l

* * * F i g u r e 1 2 " * *

A t w o w a y l i s t w i t h t o p a n d b o t t o m p o i n t e r s

* * * F i g u r e 1 3 " * *

i s i d e n t i c a l w i t h a q u e u e o r a d i - q u e ( d e q u e ) w h e n

e x a m i n e d f o r s t a t i c s t r u c t u r e . O n l y b y o b s e r v i n gt h e d y n a m i c o p e r a t i o n s w h i c h a r e p e r m i t t e d c a n w e

d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e s t r u c t ur e s .

A n a l o g o u s o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n a n d d e l e t i o n

o f n o d e s c a n b e d e f i n e d f o r o t h e r s t r u c t u r e s a n d

c a n e a s i l y b e d e s c r i b e d a n d i m p l e m e n t e d i n t e r m s o f

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s u b r o u t i n e s . S u c h a d i s c u s s i o n ,

w h i l e u s e f u l , w o u l d n o t c o n t r i b u t e t o t h e d e v e l o p m e n t

o f a m o r e p r o f o u n d c o n c e p t u a l i z a t i o n o r f o r m a l i z a -

t i o n o f d a t a s t r u c t u r e s . W e s e e k a m o r e g e n e r a l ,

a b s t r a c t t h e o r y w h i c h w o u l d s u b s u m e e a c h o f t h e s e

3 8

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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I I

F I G U R E 9

F I G U R E 6

I

<

I

) <

F I G U R E 7

F I G U R E 5

)

F I G U R E 8

F I C U R E I 0

F I G U R E i ]

F IO [~ R E 1 2

• . - - ~ )

3 9

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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d i s c u s s i o n s a s a s p e c i a l c a s e . T h u s , w e a r e l e d t o

c o n s i d e r t h e p r i m i t i v e s o f g r a p h t h e o r e t i c o p e r a -

t i o n s .

C e r t a i n l y w e m u s t b e a b l e t o

i ) A d d a n o d e a n d a b r a n c h

E x a m p l e : A d d a n e w l e a f t o a t r e e

2 ) I n s e r t a n o d e a n d a b r a n c h a n d c h a n g e a t

l e a s t o n e b r a n c h

E x a m p l e : I n s e r t a n o d e i n a o n e - w a y l i s t

3 ) A d d a b r a n c h t o c o n n e c t tw o a l r e a d y e x i s t -

i n g n o d e s

E x a m p l e : A d d a b r a n c h t o c o n v e r t a o n e -

w a y l i s t i n t o a r i n g

a n d w e m u s t b e a b l e t o p e r f o r m t h e d e l e t e o p e r a t i o n s

w h i c h a r e t h e i n v e r s e o p e r a t i o n s :

i ) D e l e t e a n o d e a n d a b r a n c h p o i n t i n g t o that

n o d e

E x a m p l e : D e l e t e a n o d e o f a t r e e a n d t h e

b r a n c h p o i n t i n g t o th a t n o d e

2 ) D e l e t e a n i n t e r n a l n o d e w i t h i t s o u t g o i n g

a n d i n c o m i n g b r a n c h e s

E x a m p l e : . D e l e t e a n o d e i n a o n e - w a y l i s t

3 ) D e l e t e a b r a n c h w h i c h l e a v e s t h e s t r u c t u r e

w e l l f o r m e d

E x a m p l e : D e l e t e a b o t t o m p o i n t e r

T h e k e y p o i n t i n t h e s e s i m p l e o p e r a t i o n s i s

t h a t e a ch t r a n s f o r m a t i o n m u s t b e d e f i n e d s o as t om a i n t a i n a W F L S .

E n t i r e s t r u c t u r e s c a n b e a d d e d o r d e l e t e d. W e

m i g h t b e i n t e r e s t e d i n a d d i n g a s u b - t r e e a t a l e a f

F r e e o r i n a d d i n g a o n e w a y l i s t t o a o n e w a y l i s t .

S i m i l a r l y , w e m i g h t d e l e t e l a r g e s e c t i o n s o f a

s t r u c t u r e b y c r e a t i n g s u b g r a p h s o r p a r t i a l g r a p h s .

A s u b g r a p h i s c r e a t e d b y d e l e t i n g a n e d g e a n d

t h e n d e l e t i n g a l l u n c o n n e c t e d n o d e s a n d b ra n c h e s .

A p a r t i a l g r a p h i s c r e a t e d b y d e l e t i n g a n o d e a n d

t h e n e l i m i n a t i n g u n c o n n e c t e d n o d e s a n d b r a n c h e s .

I n a d d i t i o n t o t r a n s f o r m a t i o n s o f a W F L S w e

n e e d t o b e a b l e t o d e s c r i b e t h e r u l e s f o r c o m b i n -

i n g p a i r s o f W F L S s . T w o W F L S s c a n b e c o m b i n e d t o

f o r m a s i n g l e W F L S i n o n l y t w o w a y s

* * * F i g u r e 1 4 " * *

I n t h e s e t w o p i c t u r e s w e a s s u m e t h a t t h e n o d e s

D 1 a n d D2 m i g h t r e p r e s e n t c o m p l i c a t e d s t r u c t u r e s a n d

t h a t t h e s y m m e t r i c c o m b i n a t i o n s o f W 2 p o i n t i n g t o

W 1 a r e p o s s i b l e . F o r m a l l y , i f

W 1 = ( D i , E i , F i ) a n d W 2 = ( D 2 , E 2 , F 2 )

t h e n

W3

w h e r e

= ( D i ( J D 2 , E i ~ 7 E 2 ,F i ( ] F 2 £ T F i 2 )

Fi2: (DitT E I) + D 2

T w o s t r u c t u r e s w h i c h a r e f r e q u e n t l y u s e d f o r

i n f o r m a t i o n r e t r i e v a l s y s t e ms , i n d e x e d s e q u e n t i a l

a n d a o n e - w a y l i s t o f o n e - w a y l i s t s , c a n b e e a s i l y

r e p r e s e n t e d i n g r a p h t h e o r e ti c t e r m s . A n i n d e x e d

s e q u e n t i a l f i l e h a s t w o e n t r y n o d e s , o n e t o t h e i n -

d e x a n d o n e t o t h e f i l e, a n d t w o t y p e s o f d a t a n o d e s ;

i n d e x n o d e s a n d r e c o r d n o d es . W e h a v e a s s u m e d t h a t

e a c h i n d e x b r a n c h r e f e r e n c e s t h e b e g i n n i n g o f

• t r i n g s o f e q u a l l e n g t h ( i n t h i s c a s e 3 ) . T h e

g r a p h a n d t h e g r a p h t h e o r e t i c n o t a t i o n t o d e s c r i b e

i t a r e :

* * * F i g u r e 1 5 " * *

A s a m o r e c o m p l e x e x a m p l e , l e t u s c o n s i d e r t h e

G R I P H O S s y s t e m; a n i n f o r m a t i o n r e t r i e v a l s y s t e m

w h i c h d e a l s w i t h s e t s o f t a g g e d s t r i n g s . T h e d a t a

n o d e s a r e o r d e r e d p a i r s r e f e r r e d t o a s f i e l d s . C o n -

s i d e r a t a g

T = { t o ] O = 1 . . . # T }

a n d a s t r i n g t a k e n f r o m t h e s et :

s = { s ~ l ~ = 1 . . . # s } I

W e d e f i n e a f i e l d a s a n o r d e r e d p a i r < t , s > o f

t h e s e t T X S. I n a g i v e n d a t a b a s e t h e s e t o f a l l

f i e l d s w i l l b e :

F = { f o ] o = i . . . # F } ~ T x S

A r e c o r d i n t h e G R I P H O S s y s t e m i s a s e t o f f i e l d s :

r = { f I ~ = l . . . # r }

a n d t h e d a t a b a s e i s v i e w e d a s a s e t o f r e c o r d s .

T h e r e c o r d s a r e o r g a n i z e d b y t h e i n p u t p r o g r a m

s o t h a t e a c h r e c o r d c a n b e s e a r c h e d f o r t h e f i e l d si t c o n t a i n s o r f o r t h e n e x t r e c o r d e n t e r e d i n t o

t h e d a t a b a s e . W h e n r e c o r d s a r e e n t e r e d i n t o t h a t

d a t a b a s e p o i n t e r s a r e e n t e r e d s o t h a t f i e l d s c a n

b e a d d e d t o a n y r e c o r d a t a f u t u r e t i m e w i t h a

m i n i m a l a m o u n t o f s e a r c h i n g . I f w e d e s i g n a t e t h e

~ t h i n p u t r e c o r d a s r i c o n t a i n i n g f i e l d s f i g a n d a

d u m m y r e c o r d r 0 c o n t a i n i n g a t o p a n d b o t t o m p o i n t e r ,

t h e o r g a n i z e d r e c o r d s h a v e t h e m a p p i n g F :

F r 0 = { r l , r n }

F r i = { r i + l , f i l , f i # r " } i < n1

F r n = { f n l , f n # r }n

F f i ~ = { f i o + l } ~ < # r i

F f i # r . =1

* * * F i g u r e 1 6 " * *

I t is p o s s i b l e t o s e a r c h o u t e a c h f i e l d a n d

t e l l w h i c h r e c o r d c o n t a i n s a g i v e n f i e l d b y s e -

q u e n t i a l l y s e a r c h i n g f o r th e n e x t r e c o r d a n d t h e n

s e q u e n t i a l l y s e a r c h i n g f o r t h e n e x t f i e l d . S i n c e

t h i s m o d e o f r e t r i e v a l i s v e r y t i m e c o n s u m i n g , t h e

G R I P H O S s y s t e m s u p p o r t s s e a r c h s t r a t e g i e s b a s e d o n

i n v e r t e d f i l e s . T h e i n v e r t e d f i l e s a r e b a s e d o n a

h a s h i n g f u n c t i o n f o r a l l f i e l d s w i t h a g i v e n t a g .

W e f o r m a p a r t i t i o n o f t h e s e t of f i e l d s F b y

t a g t i E T :

F i = { f i o l t i e f i ~ , ~ = l . . . # F } i = l . . . # T

T h e h a s h i n g f u n c t i o n h ( f) f u r t h e r s u b d i v i d e s t h e

s e t o f f i e l d s F b y p a r t i t i o n i n g t h e s e t F i :

F.13 = f i j ~ I t i g f i j O ' h ( f i j O ) = j ' O = l ' ' ' # F i j ~ j = l ' ' "

# h ( f i j ~ )

A s s o c i a t e d w i t h e v e r y f i e l d f ~ 4 ~ E F i4 , t h e r e i s aJ

s e t o f i n t e g e r s ~ i J _ ~ j { l . . . # r ~ o f w ~ i c h e a c h e l e -

4 0

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

http://slidepdf.com/reader/full/a-g-r-a-p-h-t-h-e-o-r-e-t-i-c-m-o-d-e-l-o-f-d-a-t-a-s-t-r-u-c-t-u-r-e-s 6/9

PJ

F I G U R E 1 3

P

F I G U R F 1 4

\

F I G U R E 1 5 a

4 1

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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h "

i

/ [

q

Y L ~ ,

. ~ d : l

i

FIGURE 15b

P

F I G U R E 16

42

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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m e n t c o r r e s p o n d s t o a r e c o r d c o n t a i n i n g a f i e ld w i t h

a t a g t i w h o s e h a s h v a l u e i s j:

~ i j = { £ o l t i e f i j o , h ( f i j o ) = J , f E r £ ,e

o = l . . . # F i j , 0 = l . . . # ~ i j }

T h e a b o v e p a r t i t i o n i n g o f t h e f i e l d s i s u s e d

b y t h e G R I P H O S s y s t e m t o f o r m a " t r e e s e a r c h a b l e "

i n d e x t o t h e r e c o r d s { r i } of t h e d a t a b a s e . T h e

e n t r y n o d e s t o t h e i n d e x p o r t i o n o f t h e d a t a b a s e

i s t h a t s e t of t a g s { t o } ~ T f o r w h i c h a u s e r c o n -s t r u c t s a n i n d e x . T h e m a p p i n g F w h i c h s p e c i -

f i e s t h e f i l e o r g a n i z a t i o n i s g i v e n b y :

F t i = { f i j l l t i ~ f i J l ' h ( f i j l ) = j }

Ffij 1 { fiJ 2' f iJ #FiJ' ~ i }

F f i j o = { f i j o + l , £ I l < ° < # F i j

F f i j # F i j = { £ 1 }

F £ 1 = { ~ o + l , r £ o } l < £ o < # ~ i j

F Z # ~ i j = { r ~ # ~ i j }

* * * F i g u r e 1 7 " * *

T h e G R I P H O S s y s t e m h a s a d a t a b a s e o r g a n i z a -

t i o n w h i c h s u p p o r t s s e l e c t i v e s e a r c h i n g f o r r e c o r d s

c o n t a i n i n g a g i v e n f i e l d o r s u b s e t o f f i e l d s a n d

t h e n a c o m p l e t e s e a r c h o f t h e r e c o r d .

T h i s p a p e r i s a n i n t r o d u c t i o n t o th e g r a p h

t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s . T h e f o l l o w -

i n g i d e a s w i l l b e m o r e f o r m a l l y d e v e l o p e d i n u p -

c o m i n g r e p o r t s :

i ) B y a f f i x i n g a n u m e r i c a l v a l u e t o e a c h o f

t h e e d g e s w e c a n s t u d y t h e p r o p e r t i e s o f p a r t i c u -

l a r i m p l e m e n t a t i o n s . T h e v a l u e s r e p r e s e n t t h e

t i m e n e c e s s a r y t o t r a v e r s e t h a t b r a n c h . T h u s t h e

e f f i c i e n c y o f v a r i o u s o r g a n i z a t i o n s a n d i n d e x e s

c a n b e C o m p a r e d .

2 ) T h e t o p o l o g y o f a g r a p h c a n b e s t u d i e s

i n d e p e n d e n t o f a n y i n t e r p r e t a t i o n i n t h e s a m e

w a y t h a t f l o w c h a r t s c h e m a t a a r e s t u d i e d . W e

a r e i n t e r e s t e d i n c o n s i d e r i n g t e a c h a b i l i t y ,

c o n n e c t i v i t y a n d c y c l i c i t y . T h e l e n g t h , d i a -

m e t e r a n d o t h e r m e t r i c s a r e u s e d t o d e s c r i b e

v a r i o u s g r a p h s . T h e n a n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e

g r a p h c a n b e m a d e b y a s s u m i n g t h a t e a c h n o d e

h a s i n f o r m a t i o n w h i c h i n f l u e n c e s o u r s e a r c h

t e c h n i q u e s . F o r e x a m p l e , w e c a n d i s t i n g u i s h

b e t w e e n t h e p r o p e r t i e s o f a s e a r c h o n a n o r -

d e r e d l i s t a n d a n u n o r d e r e d l i st .

3 ) T h e p o s s i b i l i t y o f u s i n g " c o l o r e d "

b r a n c h e s f u r t h e r e n h a n c e s t h e r i c h n e s s o f

s t r u c t u r e . A s i n g l e m a y c o n t a i n s e v e r a l

s t r u c t u r e s e a c h o f w h i c h c a n b e v i s u a l i z e d

a s h a v i n g d i f f e r e n t c o l o r e d b r a n c h e s . T h i s

f u r t h e r d e l i n e a t e s t h e n a t u r e o f s t r u c t u r ea n d r e q u i r e s a r e d e f i n i t i o n o f s o m e o f th e p r o p e r -

t i e s o f s u c h s t r u c t u r e s .

4 ) B y a s s i g n i n g v a l u e s t o e a c h n o d e , r e f l e c t -

i n g t h e p r o b a b i l i t i e s o f e a c h n o d e b e i n g a c c e s s e d ,

w e c a n m o r e c l o s e l y d e f i n e o p t i m u m o r g a n i z a t i o n s .

5 ) M o s t i n t e r e s t i n g o f a l l , a r e t h e p r o p e r -

t i e s o f d y n a m i c g r a p h s , t h a t i s, g r a p h s w h i c h

c h a n g e w i t h t i me . W e a re i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g

o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n , d e l e t i o n a n d c o m b i n a t i o n

o f W F L S s a n d h o w t h e s e o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n , d e -

l e t i o n a n d c o m b i n a t i o n o f W F L S s a n d h o w t h e s e

o p e r a t i o n s a f f e c t p r o p e r t i e s o f t h e g r a p h . T h e r e

i s v e r y l i t t l e w o r k i n g r a p h t h e o r y o n g r a p h t r a n s -

f o r m a t i o n s , m o s t o f t h e e f f o r t h a s b e e n d e v o t e d t o

d e s c r i b i n g t h e p r o p e r t i e s o f a n a l r e a d y e x i s t i n g

g r a p h . W e w o u l d l i k e to d e s c r i b e t e c h n i q u e s f o r

c r e a t i n g a g r a p h s o t h a t i t h a s c e r t a i n p r o p e r t i e s ,

s u c h a s a m a x i m u m s e a r c h l e n g t h o r f r e e d o m f r o m

c y c l e s .

B I B L I O G R A P H Y

i . C h i l d s , D . C . F e a s i b i l i t y o f a s e t - t h e o r e t i c d a t a

s t r u c t u r e . P r o c . I F I P C o n g r e s s 1 9 6 8 , V o l . i ,

N o r t h H o l l a n d P u b . C o . , A m s t e r d a m , p p . 4 2 0 - 4 3 0 .

2. Schwar tz, J. Set theory as a langu age for pro-

g r a m s p e c i f i c a t i o n a n d p r o g r a m m in g . N e w Y o r k

U n i v e r s i t y , 1 9 7 0 .

3 . C o d d , E . F . A r e l a t i o n a l m o d e l o f d a t a f o r l a r g e

s h a r e d d a t a b a n k s , C o m m , A C M 1 3 , 6 ( J u n e 1 9 7 0 ) ,

3 7 7 - 3 8 7 .

4 . H s i a o , D . a n d H a r a r y , F . A F o r m a l S y s t e m f o r

I n f o r m a t i o n R e t r i e v a l f r o m F i l e s . C o m m . A C M 1 3 ,

2 (February 1970), pp. 67-73.

5 . E a r l e y , J . T o w a r d a n U n d e r s t a n d i n g o f D a t a

S t r u c t u r e s . C o m m . A C M 14 , i 0 ( O c t o b e r 1 97 1 ) ,

pp. 617-627.

43

8/3/2019 A g r a p h t h e o r e t i c m o d e l o f d a t a s t r u c t u r e s

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O

O B

F I G U R E 1 7

44