Post on 31-Mar-2018
OLIMPIADA NAT,IONALA DE MATEMATICA
ETAPA NAT,IONALA, 1988
Clasa a IX-a
1. Se considera un triunghi echilateral ABC de latura 1 s, i punctele A1 ∈ (BC), B1 ∈ (AC),C1 ∈ (AB). Sa se arate ca:
A1B2
1 +B1C2
1 + C1A2
1 ≥3
4.
2. Fie un triunghi ABC s, i punctele M ∈ (AB), N ∈ (AC) astfel ıncat lungimile tangentelorduse din B s, i C la cercul circumscris triunghiului AMN sa fie egale. Sa se arate camijloacele segmentelor [AB], [AC], [BN ], [CM ] sunt puncte conciclice.
3. Fie m s, i n numere naturale, n ≥ 1. Sa se determine numerele reale x pentru care
⌊x+ 1⌋+⌊
x+1
2
⌋
+
⌊
x+1
3
⌋
+ · · ·+⌊
x+1
n
⌋
= m.
4. a) Sa se arate ca nu exista funct, ii f : Z → Z astfel ıncat
(f ◦ f)(x) = x+ 1, (∀) x ∈ Z.
b) Sa se arate ca exista o infinitate de funct, ii g : Z → Z astfel ıncat
(g ◦ g)(x) = −x, (∀) x ∈ Z.
1
Clasa a X-a
1. Sa se demonstreze ca daca a s, i b sunt doua numere complexe astfel ıncat tb+(1− t)a 6= 0,
(∀) t ∈ [0, 1] s, i Rea
b≥ 0, atunci Re
ab
[tb+ (1− t)a]2> 0, (∀) t ∈ (0, 1).
2. Sa se arate ca un s, ir neconstant de numere naturale nenule (xn)n≥0 este o progresiearitmetica daca s, i numai daca exista a > 0 astfel ıncat
xn+1 = xn +
⌊
xn
n+ a
⌋
.
3. Pentru n ∈ N∗ se considera numerele Ck
2n , k = 1, 2, . . . , 2n − 1. Sa se arate ca:
a) toate aceste numere sunt pare;
b) unul singur dintre numerele considerate nu este multiplu de 4.
4. Fie o piramida regulata de varf V s, i baza ABCD. Se considera punctele A′ ∈ (V A),B′ ∈ (V B), C ′ ∈ (V C), D′ ∈ (V D) s, i se noteaza cu M s, i N mijloacele segmentelor(A′C ′), respectiv (B′D′). Sa se arate ca punctele V , A′, B′, C ′, D′ se afla pe o sfera dacas, i numai daca dreapta MN este paralela cu planul bazei.
2
Clasa a XI-a
1. Fie A =
(
a b
c d
)
∈ M2(R) cu a+ d > 2. Sa se arate ca oricare ar fi n ∈ N∗, An 6= I2.
2. Fie un triunghi ABC s, i un punct M ın planul sau. Notam cu s(M) suma patratelordistant,elor punctului M la laturile triunghiului s, i cu S(M) suma patratelor distant,elorpunctului M la varfurile triunghiului. Sa se demonstreze ca urmatoarele afirmat, ii suntechivalente:
a) 4 · s(M) ≥ S(M), pentru orice punct M din plan;
b) triunghiul ABC este echilateral.
3. Fie s, irul (an)n≥2 definit prin an = maxk∈{1,2,...,n}
(k − 1)n−k.
a) Sa se arate ca ecuat, ia x+ (x− 1) ln(x− 1) = n, unde n ∈ N, n ≥ 2, admite o unica
solut, ie xn s, i limn→∞
xn
n
lnn
= 1.
b) Sa se arate ca limn→∞
n
√an
n
lnn
=1
e.
4. Se considera s, irurile (xn)n≥1 s, i (yn)n≥1 cu proprietatea ca limn→∞
xn = limn→∞
yn = 1. Notand
zn =x1yn + x2yn−1 + · · ·+ xny1
n, pentru orice n ≥ 1, sa se demonstreze ca lim
n→∞zn = 1.
3
Clasa a XII-a
1. Fie n ≥ 2 un numar natural. Sa se calculeze partea ıntreaga a numarului
2n∑
k=1
k1n−1.
2. Fie f : [0, 1] → R o funct, ie continua cu proprietatea ca
∫
1
0
f(t) dt = 0. Sa se arate ca
exista x0 ∈ [0, 1], astfel ıncat
∫ x0
0
f(t) dt = (f(x0))3.
3. Fie G un grup finit de ordin n s, i f : G → G un morfism cu proprietat, ile f ◦ f = 1G s, if(x) = x ⇒ x = e. Sa se arate ca:
a) {f(x)x−1 | x ∈ G} = G;
b) G este abelian;
c) n este impar.
4. Sa se demonstreze ca daca polinomul p ∈ R[X ], de grad n, are n radacini reale, atuncioricare ar fi a ∈ R, polinomul qa = p(X + ia) + p(X − ia) are, de asemenea, n radacinireale.
4