Post on 04-Jul-2015
description
Van Heisenberg naar
Quantumzwaartekracht
Marcel VonkMasterclass Quantum Universe
27 november 2013
2/96
Inhoud
1. Entropie
2. Entropie op quantumschaal: de
onzekerheidsrelatie.
3. Entropie en zwaartekracht:
zwarte gaten.
1. Entropie
4/96
Het begrip entropie zegt iets over hoe
waarschijnlijk en willekeurig bepaalde
natuurkundige toestanden zijn.
Entropie
5/96
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
We beginnen met de statistische
definitie.
Entropie
6/96
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
Entropie
7/96
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
Entropie
8/96
Welke configuratie is waarschijnlijker?
Entropie
(1) (2)
9/96
Antwoord 1: beide configuraties zijn
even waarschijnlijk!
Entropie
(1) (2)
10/96
De microscopische toestand
…is even waarschijnlijk als de
microscopische toestand
Entropie
11/96
Antwoord 2: configuratie (2) is veel
waarschijnlijker!
Entropie
…
12/96
De macroscopische toestand
…is veel waarschijnlijker dan de
macroscopische toestand
Entropie
2 : 2
4 : 0
13/96
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
Entropie
4 : 0
14/96
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
Entropie
2 : 2
…
15/96
Bij de macrotoestand 3:1 horen
bijvoorbeeld 16 microtoestanden:
…en bij 2:2 horen er 36.
Entropie
16/96
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
Entropie
17/96
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
Entropie
meest waarschijnlijke
uitkomst
18/96
Dit wordt nog veel extremer als we
grotere systemen beschouwen:
Entropie
meest waarschijnlijke
uitkomst
19/96
Het aantal microtoestanden per
macrotoestand is vaak gigantisch:
290221898034278978720212488115162781261285921681
585875907636440223079481193218327138795984664929
829737740145115100023594381414400 microtoestanden
Entropie
20/96
De entropie van een macrotoestand
wordt mede daarom gedefinieerd als
de logaritme van het aantal
microtoestanden.
Entropie
21/96
Een belangrijke eigenschap van
entropie is dat die in grote systemen
altijd toeneemt.
Entropie
22/96
Ook dit is een puur statistische
eigenschap, er is dus geen
mysterieuze “kracht” aan het werk.
Entropie
23/96
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
Entropie
24/96
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
Entropie
0td
Sd
25/96
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
Entropie
0td
Sd
Tweede Hoofdwet van
de thermodynamica
26/96
Overigens had Clausius nog niet het
statistische beeld van entropie dat wij
nu hebben.
Entropie
27/96
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
Wat is de thermodynamische
definitie?
Entropie
28/96
Een fysisch systeem zoals een gas
heeft twee soorten energie:
• Energie die kan worden omgezet
in arbeid
• Energie die “niet beschikbaar is”
Entropie
29/96
De verhouding tussen beschikbare
energie en (absolute) temperatuur
bleek constant.
Clausius noemde deze verhouding,
gemeten in J/K, de entropie.
Entropie
30/96
Ludwig Boltzmann liet in 1877 zien
dat de twee definities van entropie
hetzelfde zijn.
Entropie
31/96
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
Entropie
32/96
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
Entropie
WkS B ln
33/96
kB heet de constante van Boltzmann:
kB = 1,3806488 x 10-23 J/K
Entropie
WkS B ln
34/96
We hebben gezien dat entropie tot
allerlei dynamische effecten kan
leiden. Deze effecten kunnen zelfs de
vorm van krachten aannemen.
Voorbeeld: een elastiekje.
Entropie
35/96
Rubber bestaat uit polymeren:
Entropie
36/96
Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
Entropie
37/96
Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
Entropie
evenwichtslengte
38/96
Als het polymeer zich in een
warmtebad bevindt (bijvoorbeeld de
lucht) zal het zijn evenwichtslengte
opzoeken.
Entropie
Kracht!
39/96
Eén van de vragen die Erik Verlinde
in zijn onderzoek probeert te
beantwoorden is: kunnen we de
zwaartekracht ook zien als een
entropische kracht?
Meer daarover om 15:00
Entropie
2. Entropie op quantumschaal
41/96
Levert het begrip entropie geen
probleem op als het aantal
microtoestanden oneindig is?
Entropie op quantumschaal
WkS B ln
42/96
Oplossing in de klassieke
natuurkunde: kies een
“basistoestand” als referentie
Entropie op quantumschaal
43/96
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
Entropie op quantumschaal
44/96
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
Entropie op quantumschaal
WkS B ln
45/96
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
Entropie op quantumschaal
WkS B ln
46/96
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
Entropie op quantumschaal
WkS B ln
2lnBab kSS
47/96
In de klassieke natuurkunde zijn
entropieverschillen dus wel goed
gedefinieerd.
In het algemeen zijn we alleen in
zulke verschillen geïnteresseerd!
Entropie op quantumschaal
0td
Sd
48/96
In de quantumfysica blijkt het wel
vaak zo te zijn dat we toestanden
kunnen tellen.
Entropie op quantumschaal
49/96
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.
Entropie op quantumschaal
50/96
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.
Entropie op quantumschaal
51/96
Voeg een tweede auto toe:
Entropie op quantumschaal
52/96
Voeg een tweede auto toe:
Entropie op quantumschaal
53/96
Voeg een tweede auto toe:
Entropie op quantumschaal
54/96
Voeg een derde auto toe:
Entropie op quantumschaal
55/96
De faseruimte is een
configuratieruimte waarin we de
posities en impulsen (snelheden)
aangeven.
Voorbeeld:
Harmonische oscillator
Entropie op quantumschaal
56/96
Harmonische oscillator:
Entropie op quantumschaal
57/96
Harmonische oscillator:
Entropie op quantumschaal
58/96
Harmonische oscillator:
Entropie op quantumschaal
59/96
De faseruimte is opgebouwd uit
fasebanen.
Entropie op quantumschaal
60/96
In de klassieke mechanica kan zo’n
baan willekeurig (continu) gekozen
worden. In de quantummechanica zijn
de banen discreet.
Entropie op quantumschaal
61/96
Een macroscopische toestand
bepaalt een (bewegend) volume in de
faseruimte.
Entropie op quantumschaal
62/96
We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
Entropie op quantumschaal
63/96
We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
Entropie op quantumschaal
64/96
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?
Entropie op quantumschaal
65/96
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?
Entropie op quantumschaal
2
px
66/96
Coclusie: het aantal toestanden in
een bepaald stuk faseruimte is
eenvoudigweg het volume, uitgedrukt
in “Planckcellen”.
Entropie op quantumschaal
67/96
Dit idee (iets anders geformuleerd)
staat bekend als Bohr-
Sommerfeldquantisatie.
Entropie op quantumschaal
68/96
Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
volume in de faseruimte niet verandert.
Entropie op quantumschaal
69/96
Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
volume in de faseruimte niet verandert.
Entropie op quantumschaal
70/96
Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
Entropie op quantumschaal
WkS B ln
71/96
Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
Entropie op quantumschaal
BkS
72/96
Zie dit als het “toevoegen van 1 bit”
om de nieuwe microtoestanden te
kunnen tellen.
Entropie op quantumschaal
BkS
73/96
Deze “minimale toename van
informatie” speelt een belangrijke rol
in het werk van Erik Verlinde (15:00).
Entropie op quantumschaal
BkS 2
3. Entropie en zwaartekracht:
zwarte gaten
75/96
Zwaartekracht begrijpen we op grote
schaal heel goed…
Entropie en zwaartekracht
76/96
…maar op quantumschaal kost het
veel moeite de kracht als een
fundamentele kracht te beschrijven.
Entropie en zwaartekracht
77/96
De beste aanwijzingen voor de
oplossing van dit probleem vinden we
in zwarte gaten.
Entropie en zwaartekracht
78/96
Een zwart gat is een gebied met een
horizon waarbinnen de zwaartekracht
zo sterk is dat zelfs het licht niet kan
ontsnappen.
Entropie en zwaartekracht
79/96
Het (direct) waarnemen van zwarte
gaten valt niet mee, maar we kunnen
er wel goed aan rekenen.
Entropie en zwaartekracht
80/96
Stephen Hawking liet in zo’n
berekening zien dat zwarte gaten toch
straling kunnen uitzenden.
Schetsmatig ziet dat er zo uit:
Entropie en zwaartekracht
81/96
We zien hier heel duidelijk dat zowel
de zwaartekracht als de quantum-
mechanica een rol spelen – voor een
goed begrip hebben we dus een
theorie van quantumzwaartekracht
nodig!
Entropie en zwaartekracht
82/96
Als een zwart gat straling uitzendt,
heeft het dus ook een temperatuur…
Entropie en zwaartekracht
83/96
Met andere woorden: een zwart gat is
een thermodynamisch systeem. We
verwachten daarom dat een zwart gat
ook een entropie heeft.
Entropie en zwaartekracht
84/96
Samen met Jacob Bekenstein
rekende Stephen Hawking deze
entropie uit. Ze vonden een
verrassend eenvoudig antwoord:
Entropie en zwaartekracht
G
AcS
4
3
85/96
G, c en ħ geven aan dat we werken
met begrippen uit de quantum-
zwaartekracht. Ze doen weinig meer
dan de eenheden kloppend maken.
Entropie en zwaartekracht
G
AcS
4
3
86/96
De echte inhoud van de formule blijkt
als we eenheden kiezen waarin al
deze constanten 1 zijn:
De entropie van een zwart gat is
evenredig met het oppervlak!
Entropie en zwaartekracht
4
AS
87/96
Het lijkt dus alsof alle informatie over
een zwart gat “op de horizon
geschreven kan worden”.
Entropie en zwaartekracht
88/96
Een belangrijke uitdaging voor elke
theorie van quantumzwaartekracht is
om de Bekenstein-Hawkingentropie te
verklaren.
Dat valt niet mee, want hoe zien de
microscopische toestanden van een
zwart gat eruit?
Entropie en zwaartekracht
?
89/96
De snaartheorie heeft op dit gebied
twee successen geboekt.
Ten eerste is er het holografisch
principe.
Entropie en zwaartekracht
90/96
Juan Maldacena (1998):
• D-dimensionale theorie
met zwaartekracht
=• (D-1)-dimensionale theorie
zonder zwaartekracht
Entropie en zwaartekracht
91/96
Dit lijkt een goede hint te zijn naar het
antwoord op de vraag waarom de
entropie van een zwart gat groeit als
het oppervlak.
Entropie en zwaartekracht
4
AS
92/96
Andrew Strominger en Cumrun Vafa
behaalden in 1996 het tweede succes
door als eerste precies uit te rekenen
hoeveel snaartoestanden een
bepaald zwart gat beschrijven.
Entropie en zwaartekracht
93/96
Hun berekening werkt maar voor een
heel beperkte klasse van zwarte
gaten, maar komt wel op precies het
juiste resultaat uit!
Entropie en zwaartekracht
94/96
De grote vraag is: hoe nu verder?
Eén van de nieuwe ideeën is
afkomstig van Erik Verlinde: hij stelt
de lessen uit de holografie centraal,
en probeert de (quantum-)
zwaartekracht te begrijpen vanuit
entropie.
Entropie en zwaartekracht
95/96
Veel meer over zijn ideeën hoor je in
de lezing van 15:00 vanmiddag.
Entropie en zwaartekracht
Vragen?