Naslagwerk deel 8

Zwaartepunt en traagheid

Uitgave

2016-1

Auteur

HC

hugoclaeys@icloud.com

Inhoudsopgave

1 Zwaartepunt 41.1 Inleiding zwaartepunt van een lichaam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Momentenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Symmetrieassen en symmetrievlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Het zwaartepunt van lijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Zwaartepunt van een vlakke gebroken lijn . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een vlakke kromme . . . 61.4.3 Zwaartepunt van de omtrek van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.4 Zwaartepunt van een cirkelboog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Het zwaartepunt van oppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een vlakke figuur . . . . 91.5.2 Zwaartepunt van de oppervlakte een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 Zwaartepunt van de oppervlakte van een trapezium . . . . . . . . . . . . . 111.5.4 Zwaartepunt van een cirkelsector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Het zwaartepunt van lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een lichaam . . . . . . 131.6.2 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een homogeen lichaam . 131.6.3 Zwaartepunt van een piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.4 Zwaartepunt van een kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.5 Zwaartepunt van een omwentelingslichaam . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.6 Zwaartepunt van een bolsegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Stellingen van Guldin 162.1 Eerste stelling van Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Tweede stelling van Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Enkele toepassingen op de stellingen van Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Voorbeeld 1: de oppervlakte van een torus . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Voorbeeld 2: de inhoud van een torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Statisch momenten 203.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Statisch moment van een oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

3.3 Statisch moment van een rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Statisch moment van een volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Oppervlaktetraagheidsmomenten 234.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Lineair oppervlaktetraagheidsmoment van een vlakke figuur . . . . . . . . . . . . 234.3 Traagheidsstraal van een vlakke figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.1 Polair oppervlaktetraagheidsmoment van vlakke figuur . . . . . . . . . . . 244.4 Verandering van oppervlaktetraagheidsmoment bij verschuiving van de assen . . . 254.5 Centrifugaalmoment van een vlakke figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Traagheidsassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.7 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt van enkele

eenvoudige figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7.1 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt van een

rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7.2 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt van een

driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7.3 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt van een

cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

Lijst van figuren

1.1 Momentenstelling van een vlakke figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Zwaartepunt van een vlakke gebroken lijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Zwaartepunt van een vlakke kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Zwaartepunt omtrek driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Zwaartepunt cirkelboog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Zwaartepunt van vlakke figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Zwaartepunt driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Zwaartepunt trapezium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9 Zwaartepunt cirkelsector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10 Zwaartepunt omwentelingslichaam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.11 Zwaartepunt bolsegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Stelling 1 van Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Stelling 2 van Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Doorsnede van torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Statisch moment van een oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Statisch moment van een rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Oppervlaktetraagheidsmomenten van een vlakke figuur . . . . . . . . . . . . . 234.2 Oppervlaktetraagheidsmoment van rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Oppervlaktetraagheidsmomenten van driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Oppervlaktetraagheidsmomenten van cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

Hoofdstuk 1

Zwaartepunt

1.1 Inleiding zwaartepunt van een lichaam

Een lichaam kan men beschouwen als bestaande uit een oneindig aantal elementaire massa-deeltjes die allen afzonderlijk onderhevig zijn aan de zwaartekracht.

De zwaartekracht is de aantrekkingskracht die de aarde uitoefent op een massa. Allezwaartekrachtvectoren komen samen in het middelpunt van de aarde. Maar we mogende zwaartekrachten die inwerken op alle elementaire massadeeltjes van een voorwerp alsevenwijdig beschouwen. De resultante van deze elementaire krachten is de zwaartekracht vanhet lichaam. Het aangrijpingspunt van de zwaartekracht noemen we het zwaartepunt Z.De zwaartekracht op aarde noemen we het gewicht G van een lichaam.

1.2 Momentenstelling

Indien op een lichaam meerdere krachten inwerken dan kan men deze krachten vervangen door deresultante ervan. Wil men dat de resultante hetzelfde effect heeft op het lichaam als de meerderekrachten samen dan moet men er zorg voor dragen dat het moment hetzelfde blijft. Hetaangrijpingspunt van de resultante wordt bepaald met behulp van de momentenstelling.

Stel dat ons voorwerp uit vele deeltjes bestaat met gewichten G1, G2, ... met resp. coördinaten(x1, y1, z1), (x2, y2, z2). Indien G de resultante is van G1, G2, ... en de coödinaten van G zijn(xZ , yZ , zZ) dan zegt de momentenstelling:

GxZ = G1x1 +G2x2 + ...

GyZ = G1y1 +G2y2 + ...

GzZ = G1z1 +G2z2 + ...

4

De figuur 1.1 verklaart de momentenstelling voor een vlakke figuur. Ik heb de figuur opgedeeld intwee rechthoeken, die resp. het ’gewicht’ G1 en G2 hebben. G = G1+G2. Het aangrijpingspuntvan G is Z, het ligt op de x-as op. De momentenstelling ten opzichte van het punt O:

xZ =G1x1 +G2x2

G[m]

z

xZ

G

G

1

2

G

Ox x x1 z 2

Figuur 1.1: Momentenstelling van een vlakke figuur

1.3 Symmetrieassen en symmetrievlakken

Het zwaartepunt zal steeds op de symmetrieas of in het symmetrievlak liggen. Als gevolghiervan kunnen we stellen dat:

• Het zwaartepunt van een recht lijnstuk in het midden ervan ligt.

• Het zwaartepunt van een cirkel- en ellipsomtrek in hun middelpunt ligt.

• Het zwaartepunt van een vierkant, rechthoek, ruit of parallellogram (oppervlakken) ophet snijpunt van de diagonalen ligt.

• Het zwaartepunt van een cirkel en ellips (oppervlakken) in hun middelpunt ligt.

• Het zwaartepunt van een bol in zijn middelpunt ligt.

5

1.4 Het zwaartepunt van lijnen

1.4.1 Zwaartepunt van een vlakke gebroken lijn

Zie figuur 1.2:

• l1, l2 en l3 zijn de lengten van de drie lijnstukken van onze gebroken lijn. Ik stel hunresp. ’gewichten’ gelijk aan hun resp. lengten.

• E(x1, z1), F (x2, z2) en G(x3, z3) zijn de resp. middens (zwaartepunten) van de drielijnstukken. Het zijn de punten waar hun gewichten aangrijpen.

• Z(xZ , zZ) is het zwaartepunt van de gebroken lijn.

z

x

E

FG

l1

l2

l3Z

Figuur 1.2: Zwaartepunt van een vlakke gebroken lijn

Op basis van de momentenstelling zijn:

xZ =l1x1 + l2x2 + l3x3

l1 + l2 + l3[m]

zZ =l1z1 + l2z2 + l3z3

l1 + l2 + l3[m]

1.4.2 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een vlakke kromme

Het zwaartepunt van een vlakke kromme, gelegen in het vlak van de xz-assen, die voldoet aande vergelijking z = f(x) en met een lengte s (zie figuur 1.3) heeft op basis van de vergelijkingen

6

voor het zwaartepunt van een vlakke gebroken lijn de coördinaten:

xZ =

∫x ds

s[m] (1.1)

zZ =

∫z ds

s[m] (1.2)

z

x

A B

ds

Z

x

z

Figuur 1.3: Zwaartepunt van een vlakke kromme

1.4.3 Zwaartepunt van de omtrek van een driehoek

Zie figuur 1.4. We hebben de driehoek ABC. Het ’gewicht’ van de zijde AB grijpt aan in Fen is evenredig met de lengte c. Het gewicht van de zijde AC grijpt aan in E en is evenredigmet de lengte b.

De resultante van deze twee krachten grijpt aan in J . De ligging van het punt J vind ik metde vergelijking :

JE · b = JF · c

D is het zwaartepunt van zijde BC. Volgens de meetkunde is DJ de bissectrice van ∠EDF .De resultante van de krachten in J (het gewicht van zijden AB +AC) en D (het gewicht vanzijde BC) is het totaal gewicht van de driehoek en moet op de lijn JD liggen (het zwaartepuntZ moet dus op JD liggen).

Ik pas nu dezelfde redenering toe voor de zijden AB en BC. Dit levert mij de bissectrice EGvan ∠FED. Het snijpunt van beide bissectrices moet het zwaartepunt Z zijn.

7

z

x

EF

D

Z

A

B Ca

bcJ

G

Figuur 1.4: Zwaartepunt omtrek driehoek

1.4.4 Zwaartepunt van een cirkelboog

Zie figuur 1.5.

z

xO

rβ

α

Z

dsz

Figuur 1.5: Zwaartepunt cirkelboog

r is de straal van de cirkelboog en O is de oorsprong. Ik leg ons assenstelsel in de oorsprongvan de cirkelboog en zorg dat de z-as op symmetrielijn ligt. α is de halve hoek in radialen. Ikmoet alleen zZ berekenen want het zwaartepunt ligt op de symmetrielijn en dit is onze z-as.

Ik verdeel de boog in elementaire segementjes met lengte ds. Het zwaartepunt van een

8

elementair segementje ligt op hoogte z. Ik kies β als veranderlijke. Nu zijn:

s = r(2α)

ds = r dβ

z = r cosβ

zZ =

∫z ds

s

Deze laatste vergelijking is het zwaartepunt van een vlakke kromme (zie paragraaf 1.4.2 ).

Ik los eerst∫z ds op: ∫

z ds =

∫ α

−αr cosβ · r dβ

= r2∫ α

−αcosβ dβ

= r2[sinα− sin(−α)]

= 2r2 sinα

Dus voor een cirkelboog is:

zZ =2r2 sinα

r(2α)

=r sinα

α[m] (1.3)

Voor een halve cirkelboog is α = π/2, dus zZ =2r

π[m].

1.5 Het zwaartepunt van oppervlakken

1.5.1 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een vlakke figuur

Figuur 1.6 toont een vlakke figuurABCD met oppervlakte A gelegen in het vlak van dexz-assen. Bovendien heb ik de x-as laten samenvallen met de de rechte zijde CD.

Het zwaartepunt vind ik door de figuur op te delen in elementaire rechthoekjes met als basisdx en hoogte z. Voor deze elementaire rechthoekjes geldt:

xZ =

∫x dA

A[m] (1.4)

zZ =

∫z

2dA

A[m] (1.5)

9

Figuur 1.6 maakt duidelijk waarom ik z/2 moet gebruiken 1.

z

x

A B

dx

z

CD

Z

x

z/2

Figuur 1.6: Zwaartepunt van vlakke figuur

Omdat de x-as samenvalt met de rechte basis van de vlakke figuur ABCD is dA = z dx. Debovenstaande algemene vergelijkingen worden dan:

xZ =

∫xz dx∫z dx

[m] (1.6)

zZ =1

2

∫z2 dx∫z dx

[m] (1.7)

1.5.2 Zwaartepunt van de oppervlakte een driehoek

Zie figuur 1.7. Het zwaartepunt van een driehoek ligt op het snijpunt van de zwaartelijnenAD, BE en CF . Dit zijn de lijnen die een hoekpunt verbinden met het midden van detegenover liggende zijde. Het zwaartepunt ligt op h/3 (h wordt altijd loodrecht op de zijdegenomen).

1 dA is een rechthoek met hoogte z.

10

z

x

EF

D

A

B C

Z

2h/3

h/3

Figuur 1.7: Zwaartepunt driehoek

1.5.3 Zwaartepunt van de oppervlakte van een trapezium

Zie figuur 1.8. Ik leg de x-as op de basis van het trapezium ABCD. M is het midden vanzijde AB en N is het midden van zijde CD. Het zwaartepunt moet wegens scheve symmetrieop MN liggen.

z

x

M

Z

a

b

h

ND

A B

C

F

Eb

a

Z1

Z2

Figuur 1.8: Zwaartepunt trapezium

De lijn BD deelt het trapezium in twee driehoeken, met resp. de zwaartepunten Z1 enZ2. Het zwaartepunt Z ligt op de snijpunt van de lijnen MN en Z1Z2. Op basis van demomentenstelling van de driehoeken ABD en BCD ten opzichte van de z-as kan ik schrijven

11

dat:

zZ =

[bh

2· 2h3

]+

[ah

2· h3

]bh

2+ah

2

=h(2b+ a)

3(a+ b)[m] (1.8)

In de meetkunde wordt bewezen dat de lijn EF de lijn MN snijdt in het zwaartepunt Z.

1.5.4 Zwaartepunt van een cirkelsector

Zie figuur 1.9. Ik leg het assenstelsel in de oorsprong O van de cirkelsector en leg de z-as opde symmetrielijn. α is de halve hoek in radialen. r is de straal van de cirkelboog. Ik moetalleen zZ berekenen want het zwaartepunt ligt op de symmetrielijn.

z

xO

r

Z

α

A B

C DZ

2r/3

Figuur 1.9: Zwaartepunt cirkelsector

Ik verdeel de cirkelsector in elementaire cirkelsectoren. Die kan ik beschouwen als driehoeken.Nu ligt het zwaartepunt van een driehoek op 2h/3 van de top. In ons geval is h = r. Dezwaartepunten van alle elementaire driehoeken vormen de cirkelboog CD met straal 2r/3. Hetzwaartepunt van de cirkelboog CD is het zwaartepunt van de cirkelsector OAB.

Het zwaartepunt van een cirkelboog ligt volgens paragraaf 1.3 op:

zZ =(2

3r) sinα

α=

2r sinα

3α[m] (1.9)

12

Voor een halve cirkel is α = π/2, dus zZ =4

3πr [m].

1.6 Het zwaartepunt van lichamen

1.6.1 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een lichaam

Met behulp van de momentenstelling kan ik de coördinaten van het zwaartepunt berekenen.Doe ik dit op basis van de massa m van het lichaam dan is:

xZ =

∫x dm

m[m] (1.10)

yZ =

∫y dm

m[m] (1.11)

zZ =

∫z dm

m[m] (1.12)

1.6.2 Algemene vergelijkingen van het zwaartepunt van een homogeen li-chaam

Wanneer een voorwerp homogeen is (dit wil zeggen de dichtheid ρ = cte) dan kan ik in plaatsvan massa ook het volume V gebruiken want dm = ρdV en m = ρV . De bovenstaandevergelijkingen worden:

xZ =

∫x dV

V[m] (1.13)

yZ =

∫y dV

V[m] (1.14)

zZ =

∫z dV

V[m] (1.15)

1.6.3 Zwaartepunt van een piramide

Eerst bepaal ik het zwaartepunt van het grondvlak. Vervolgens teken ik vanuit dit zwaartepunteen lijn naar de top. Op deze zwaartelijn ligt het zwaartepunt op een hoogte h/4 2.

1.6.4 Zwaartepunt van een kegel

Ook hier ligt het zwaartepunt op hoogte h/4 op de zwaartelijn (dit is de lijn die het middelpuntvan het grondvlak verbindt met de top).

2Loodrecht gemeten op het grondvlak.

13

1.6.5 Zwaartepunt van een omwentelingslichaam

Zie figuur 1.10.

z

x

A B

dx

Zx

a b

z

Figuur 1.10: Zwaartepunt omwentelingslichaam

Ik laat de kromme AB rond de x-as wentelen. Het zwaartepunt ligt op de x-as (de x-as issymmetrie-as). Een elementair cilindertje heeft een volume dV = πz2 dx en het zwaartepuntervan ligt op x van de oorsprong.

Het zwaartepunt van het ganse lichaam ligt dan op:

xZ =

∫x dV∫dV

(1.16)

=

∫ b

axz2 dx∫ b

az2 dx

[m] (1.17)

1.6.6 Zwaartepunt van een bolsegment

Zie figuur 1.11. Mijn assenstelsel gaat door het middelpunt van de bol. De vergelijking vaneen cirkel met middelpunt in de oorsprong is x2 + z2 = r2 waaruit z2 = r2 − x2.

Het zwaartepunt van een omwentelingslichaam ligt volgens paragraaf 1.6.5) op:

xZ =

∫ b

axz2 dx∫ b

az2 dx

[m]

14

z

xZ ba

r

O

Figuur 1.11: Zwaartepunt bolsegment

Ik los eerst de teller op:

T =

∫ r

axz2 dx

=

∫ r

ax(r2 − x2) dx

=r4

4− r2a2

2+a4

4

Nu los ik de noemer op:

N =

∫ r

az2 dx

=

∫ r

a(r2 − x2) dx

=2r3

3− r2a+

a3

3

Zodat na substitutie en uitwerking:

xZ =3

4· (r + a)2

2r + a[m] (1.18)

Voor een halve bol is a = 0 zodat xZ =3

8r [m].

15

Hoofdstuk 2

Stellingen van Guldin

2.1 Eerste stelling van Guldin

Een vlakke lijn beschrijft bij het wentelen om een as die in haar vlak ligt maar haar niet snijdteen oppervlak waarvan de oppervlakte gelijk is aan het product van de lengte van de lijn enomtrek beschreven door het zwaartepunt.

Zie figuur 2.1.

z

x

Z

A B

s

dsz

Figuur 2.1: Stelling 1 van Guldin

Het zwaartepunt van de vlakke lijn ligt volgens paragraaf 1.4.2 op:

zZ =

∫ B

Az ds

s

16

Waaruit ik afleid: ∫ B

Az ds = zZs

De oppervlakte bij omwenteling rond de x-as van een elementair lijnstuk ds is:

dA = 2πz ds

Waaruit ik A afleid:

A = 2π

∫ B

Az ds = 2πzZs [m2]

2.2 Tweede stelling van Guldin

Een vlakke lijn beschrijft bij het wentelen om een as die in haar vlak ligt maar haar niet snijdteen omwentelingslichaam waarvan de inhoud gelijk is aan het product van de oppervlakte vande vlakke figuur en omtrek beschreven door het zwaartepunt.

z

x

Z

1

2

z

z

a b

Figuur 2.2: Stelling 2 van Guldin

In de figuur 2.2 heb ik twee functies 1: z1 = f1(x) en z2 = f2(x) begrensd door x = a en x = b.Bij het wentelen rond de x-as krijg ik een omwentelingslichaam dat ik kan beschouwen als hetverschil van twee omwentelingslichamen.

De algemene vergelijkingen voor het zwaartepunt van een vlakke figuur is volgens paragraaf1.5.1:

zZ =1

2

∫z2 dx∫z dx

[m]

1Ik had het eenvoudiger kunnen houden door slechts één functie te nemen... maar het besluit blijft hetzelfde.

17

In ons geval wordt deze vergelijking:

zZ =

1

2

∫ b

az21 dx− 1

2

∫ b

az22 dx

A

=

∫ b

a(z21 − z22) dx

2A

2zZA =

∫ b

a(z21 − z22) dx

Nu is het volume:

Vx = π

∫ b

a(z21 − z22) dx

Dus:Vx = 2πzZA [m3]

2.3 Enkele toepassingen op de stellingen van Guldin

2.3.1 Voorbeeld 1: de oppervlakte van een torus

z

xO

R

r

Figuur 2.3: Doorsnede van torus

De oppervlakte van een torus of ronde ring is eenvoudig te berekenen met de eerste stellingvan Guldin:

A = 2πr · 2πR = 4π2rR [m2]

18

2.3.2 Voorbeeld 2: de inhoud van een torus

Zie figuur 2.3. De inhoud van een torus bereken ik met de tweede stelling van Guldin:

V = 2πR · πr2 = 2π2r2R [m3]

19

Hoofdstuk 3

Statisch momenten

3.1 Inleiding

Bij sterkteberekeningen op buiging, wringing en of knik doen we beroep op statische momentenen traagheidsgrootheden van oppervlakken 1. Het gaat in deze twee hoofdstukken vooral overstatische grootheden van een doorsnede (dus van een oppervlak).

3.2 Statisch moment van een oppervlak

Definitie:

Het statisch moment van een oppervlak ten opzichte van een as is het product van het oppervlaken de afstand van haar zwaartepunt tot de as.

De algemene vergelijking voor het statisch moment van een oppervlak ten opzichte van dex-as is (zie figuur 3.1):

Ly =

∫Ax dA [m3] (3.1)

Of uitgewerkt:

Lx = AyZ [m3] (3.2)

Ly = AxZ [m3] (3.3)

1Oppervlaktetraagheidsmoment is de correcte benaming verwar dit niet met massatraagheidsmoment.De oppervlaktetraagheidsmomenten komen aan bod in het volgend hoofdstuk.

20

y

xo xxz

yz

dA

Z

Figuur 3.1: Statisch moment van een oppervlak

Wanneer de as door het zwaartepunt gaat dan is het statisch moment van het oppervlakL = 0 m3.

3.3 Statisch moment van een rechthoek

Zie figuur 3.2.

Y

X

Z h

by

xx x

y

y1

2

1 2

O

o

Figuur 3.2: Statisch moment van een rechthoek

Ik beschouw eerst het assenstels xy. De coödinaten van het zwaartepunt zijn (xZ , yZ). De

21

basis van de rechthoek is b en de hoogte h. Ik ga het statisch moment ten opzichte van dey-as afleiden:

dLy = x dA

Ly =

∫ x2

x1

xh dx

= h

∫ x2

x1

x dx

= h

[x2

2

]x2x1

=h

2

(x22 − x21

)=bh

2(x1 + x2) [m3]

Het assenstels XY valt samen met twee zijden van de rechthoek. Ik bepaal nu het statischmoment ten opzichte van de Y -as. In dit geval zijn de waarden van x1 = 0 en x2 = b waardoor:

LY =b2h

2[m3] (3.4)

3.4 Statisch moment van een volume

Definitie:

Het statisch moment van een volume ten opzichte van een as is het product van het volume ende afstand van haar zwaartepunt tot de as. Dit levert ons de algemene vergelijking :

S = V xZ [m4] (3.5)

Wanneer de as door het zwaartepunt gaat dan is het statisch moment van het volume S = 0 m4.

22

Hoofdstuk 4

Oppervlaktetraagheidsmomenten

4.1 Inleiding

We maken onderscheid tussen lineaire en polaire oppervlaktetraagheidsmomenten van vlakkefiguren.

4.2 Lineair oppervlaktetraagheidsmoment van een vlakke figuur

X

Y

b

aO

y

xo

r

x

ydA

α

Z

x

yz

z

Figuur 4.1: Oppervlaktetraagheidsmomenten van een vlakke figuur

1. Gegeven:

• Een assenstelsel xy met oorsprong o (zie figuur 4.1).

23

• Een vlakke figuur 1 heeft een oppervlakte A (m2) 2.

2. Definitie:

Het lineair oppervlaktetraagheidsmoment van een elementair oppervlakte element dA tenopzichte van de x-as is: dIx = y2 dA. Hierin is y de afstand van het zwaartepunt vanhet oppervlakte element dA ten opzichte van de x-as. Ten opzichte van de y-as is het:dIy = x2 dA.

3. Voor het ganse oppervlak:

Ix =

∫Ay2 dA [m4] (4.1)

Iy =

∫Ax2 dA [m4] (4.2)

4.3 Traagheidsstraal van een vlakke figuur

De traagheidsstraal i van een vlakke figuur ten opzichte van een as is:

i =

√I

A[m] (4.3)

I is het lineair oppervlaktetraagheidsmoment van de vlakke figuur ten opzichte van de gekozenas.

4.3.1 Polair oppervlaktetraagheidsmoment van vlakke figuur

1. Gegeven:

• Zie figuur 4.1.

• Een assenstelsel xy. De oorsprong van het assenstelsel valt samen met de oorsprongo van de poolcoördinaten.

• De poolcoördinaten van een elementair oppervlak dA zijn r (m) en α (rad).

• De vlakke figuur heeft een oppervlak A (m2).

2. Definitie:

Het polair oppervlaktetraagheidsmoment van een oneindig klein oppervlak dA ten opzichtevan de oorsprong o is dIp = r2 dA. Met r de afstand van het zwaartepunt van dA tenopzichte van de oorsprong. Nu is r2 = x2 + y2.

1In de sterkteleer zal dit de doorsnede van een voorwerp zijn.2In de sterkteleer gebruikt men meestal cm2 als eenheid.

24

3. Het polair oppervlaktetraagheidsmoment voor het ganse oppervlak:

Ip =

∫Ar2 dA [m4] (4.4)

Ip = Ix + Iy [m4] (4.5)

4.4 Verandering van oppervlaktetraagheidsmoment bij verschui-ving van de assen

1. Gegeven:

• Zie figuur 4.1.

• De assenstelsels xy en XY . De coördinaten van de oorsprong o van het assenstelselxy in het assenstelsel XY zijn (a, b).

2. Het lineair oppervlaktetraagheidsmoment van het elementair oppervlak dA tov deX-as is: dIX = Y 2 dA = (y + b)2 dA = y2 dA+ b2 dA+ 2by dA.

y dA is het statisch moment van het oppervlak dA ten opzichte van de x-as. Voorhet ganse oppervlak is het statisch moment tov de x-as yzA. Met yz de afstand van hetzwaartepunt van de vlakke figuur ten opzichte van de x-as.

3. Voor het ganse oppervlak. Na oplossen van het bovenstaande vergelijkingen krijg ik:

IX = Ix + b2A+ 2byzA [m4] (4.6)

IY = Iy + a2A+ 2axzA [m4] (4.7)

4. Indien de xy-as door het zwaartepunt van het oppervlak zou gaan, dan zijn xz = yz = 0

en de vergelijkingen 4.6 en 4.7 worden dan:

IX = Ix + b2A [m4] (4.8)

IY = Iy + a2A [m4] (4.9)

Hieruit blijkt dat het oppervlaktetraagheidsmoment zijn kleinste waarde heeft als hetassenstelsel door het zwaartepunt gaat.

5. Algemene vergelijking voor oppervlaktetraagheidsmomenten bij verschui-ving van de assen: is IZ het lineair oppervlaktetraagheidsmoment ten opzichte vaneen as door het zwaartepunt, dan is het traagheidsmoment ten opzichte van een asevenwijdig met de as die door het zwaartepunt gaat en op een afstand a ervan ligt:

I = IZ + a2A [m4] (4.10)

25

4.5 Centrifugaalmoment van een vlakke figuur

1. Gegeven: zie figuur 4.1.

2. Definitie:

Het centrifugaalmoment van een elementair oppervlakte element dA ten opzichte van dex-as en de y-as is dCxy = xy dA. Met (x, y) de coördinaten van het zwaartepunt vandA. Voor het ganse oppervlak is:

Cxy =

∫Axy dA [m4] (4.11)

3. Verandering van het centrifugaalmoment bij verschuiving van de assen:

Het centrifugaalmoment van het elementair oppervlak dA tov het XY-assenstelsel isdCXY = XY dA = (x+a)(y+ b) dA = xy dA+ab dA+ bx dA+ay dA . Hierin zijn x dAen y dA de statische momenten van dA ten opzichte van resp. de x- en y-as. Voor hetganse oppervlak zijn de statische momenten resp. Axz en Ayz. Na integratie krijg ik:

CXY = Cxy +Aab+ bAxz + aAyz [m4] (4.12)

Laat ik de de x- en y-as door het zwaartepunt van het oppervlak gaan dan zijn xz = yz = 0

en de vergelijking 4.12 wordt:

CXY = Cxy +Aab [m4] (4.13)

4. Algemene formule voor centrifugaalmoment bij verschuiving van de assen:is CZ het centrifugaalmoment tov een assenstelsel door het zwaartepunt, dan is hetcentrifugaalmoment voor een assenstelsel evenwijdig met dit assenstelsel en op eenafstand (a, b) ervan:

Cab = CZ +Aab [m4] (4.14)

4.6 Traagheidsassen

Door ieder punt van een figuur kan een assenstelsel getekend worden waarvoor het centrifugaal-moment nul is en de lineaire oppervlaktetraagheidsmomenten resp. minimum en maximumzijn.

• Hoofdtraagheidsassen: is het assenstelsel die door de punten met minimum enmaximum traagheidsmomenten gaat.

26

• Centrale hoofdtraagheidsassen: zijn de hoofdtraagheidsassen die door het zwaarte-punt gaan.

4.7 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaar-tepunt van enkele eenvoudige figuren

4.7.1 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt vaneen rechthoek

Onze rechthoek heeft een basis b en een hoogte h. De x-as is evenwijdig met de basis en gaatdoor het zwaartepunt Z. Zie figuur 4.2.

Algemeen is:

IZ = Ix =

∫ h2

−h2

y2 dA =

∫ h2

−h2

y2bdy = b

[1

3y3]h

2

−h2

De oplossing is:

IZ =bh3

12[m4] (4.15)

y

xZ

hy

dy

b

Figuur 4.2: Oppervlaktetraagheidsmoment van rechthoek

4.7.2 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt vaneen driehoek

Onze driehoek heeft een basis b en een hoogte h. De x-as is evenwijdig met de basis en gaatdoor de top T . Zie figuur 4.3

27

y

xy dy

b

h

Z

Tx

Figuur 4.3: Oppervlaktetraagheidsmomenten van driehoek

Algemeen is:

IT = Ix =

∫ h

0y2 dA =

∫ h

0y2x dy

Met x =b

hy krijg ik na uitwerking:

IT = Ix =bh3

4

Ik verschuif de x-as naar het zwaartepunt:

IZ = Ix −A

(2h

3

)2

=bh3

36(4.16)

Toemaat: valt de x-as samen met de basis dan is het verband tussen x en y:

xb

h(h− y)

Nu is:

Ix =

∫ h

0y2 dA

=

∫ h

0y2b

h(h− y) dy

=bh3

12

28

Ik had de opdracht ook kunnen oplossen met: Ix = IZ + a2A. IZ heb ik reeds berekend en

a2A =

(h

3

)2 bh

2=bh3

18. Ik kom terug uit op Ix =

bh3

12.

4.7.3 Oppervlaktetraagheidsmomenten ten opzichte van het zwaartepunt vaneen cirkel

y

x

dr

r

R

Z

Figuur 4.4: Oppervlaktetraagheidsmomenten van cirkel

Gegeven is een cirkel met straal R of diameter d. De x-as gaat door het zwaartepunt. Ziefiguur 4.4

Het polaire traagheidsmoment ten opzichte van het middelpunt (zwaartepunt) is:

Ip =

∫ R

0r2 dA =

∫ R

0r22πr dr =

πR4

2=πd4

32

Nu is Ip = Ix+Iy en bovendien is voor een cirkel Ix = Iy als de beide assen door het middelpuntgaan, zodat:

IZ =πd4

64(4.17)

29