1

Dag van de wiskunde 2011

Zelf leren Escher-tekeningen maken en andere leuke dingen voor in uw wiskundeles

Peter Raedschelders

O-L-VR-PL-15-1

9150 Kruibeke

België

peter.raedschelders@scarlet.be

website: http://www.raedschelders.webs.com/

2

DEEL 1 Zelf leren Escher-tekeningen maken

De methode is vrij eenvoudig zodat ook kinderen er vlot mee kunnen

experimenteren. De wiskundige kennis beperkt zich tot eenvoudige begrippen

zoals een vierkant en een driehoek. Wat men vooral nodig heeft om mooie

resultaten te verkrijgen is wat fantasie.

Er bestaan verschillende methodes om vlakverdelingen te maken. De hier

beschreven methode is diegene die we zelf hebben ontwikkeld en die we zelf

gebruiken.

Hieronder ziet u een vlakverdelingen met schildpadden. Het is een van mijn

eerste tekeningen volledig in de stijl van Escher.

De vlakverdeling is opgebouwd uit allemaal dezelfde figuren. In ons voorbeeld

zijn dat schildpadden. .

Er zijn vier eigenschappen:

1) De tegels hebben dezelfde vorm.

2) De tegels zijn allemaal even groot.

3) Er zijn geen overlappingen van tegels.

4) En er zijn geen gaten tussen de tegels.

Voorlopig zullen we werken met deze 4 eigenschappen. Later zullen we zien dat

we ook vlakverdelingen kunnen maken met tegels van verschillende grootte. We

noemen de vlakverdelingen met tegels van verschillende grootte dan wel niet

meer “regelmatig”.

De allereenvoudigste vorm van een regelmatige vlakverdeling is waarschijnlijk

onze keukenmuur die bezet is om vierkante tegels die mooi boven elkaar

geplaatst zijn.

Dit is onze vlakverdeling waarmee we starten. Allemaal even grote vierkantjes,

zonder gaten of overlappingen. De volgende stap is nu dat ze zo één vierkantje

3

een klein beetje gaan vervormen. Dat doen we door ergens op een zijde van het

vierkant een totaal willekeurige vorm te plaatsen. We kunnen bv een klein

driehoekje bovenaan de linker zijde van het vierkantje vastmaken.

De vorm en de plaats van het stukje dat toegevoegd wordt mag u volledig zelf

kiezen. Maar eenmaal het gekozen is , ligt het vast voor alle andere vierkanten.

Als we dit vierkant vervormen door er ergens een driehoekje bij te plaatsen, dan

moeten we dit doen bij alle vierkanten want we willen steeds dezelfde vorm

hebben. We moeten dus bij alle vierkantje een klein driehoekje plaatsen

bovenaan de linker zijde.

Als we dat driehoekje bovenlinks plaatsen bij het tweede vierkant betekent dit

automatisch dat we bovenrechts een instulping krijgen bij het eerste vierkant dat

links naast ligt.

Op de plaats waar we het kleine driehoekje hebben vastgemaakt is er een stukje

van de zijde van het oude vierkant niet meer nodig en dat stukje lijn kunnen we

weggommen.

Onze tegel ziet er nu zo uit:

De vlakverdeling ziet er dan als volgt uit:

2 1 1

4

We kunnen nu proberen om in deze tegel een herkenbaar figuurtje te steken

maar de kans is groot dat het ons niet gaat lukken. We zullen waarschijnlijk zeer

veel fantasie nodig hebben. Dus is het beter om de tegel nog wat te vervormen

en dan lukt het hopelijk beter.

De bovenkanten van al onze vierkanten is nog steeds de oorspronkelijke zijde

die gevormd wordt door een rechte lijn. We gaan hetzelfde doen als hierboven

beschreven namelijk we gaan een totaal willekeurige vorm kiezen en dat ergens

op de bovenzijde van onze tegel zetten. We hadden niet veel inspiratie dus

namen we maar opnieuw een klein driehoekje en plaatste het driehoekje rechts.

We willen nogmaals benadrukken dat de vorm totaal willekeurig mag zijn, het

moest dus helemaal niet opnieuw een driehoekje te zijn. Het mocht ook een

boogje of een golfje of iets anders zijn.

We willen dat al onze tegel dezelfde vorm hebben , dus als we een driehoekje

toevoegen aan één tegel moeten we dat bij alle tegels doen. We veronderstellen

hierbij steeds dat we het ganse platte vlak volleggen met tegels. We tekenen

maar enkele tegels maar boven,onder links en rechts moeten we er nog

veronderstellen. Dus in onze eenvoudige schets hierboven hebben we negen

driehoekjes getekend en we zien maar zes tegels. We hebben natuurlijk ook

driehoekjes getekend voor tegels onderaan die we nog niet getekend hebben.

Opnieuw gommen we dat gedeelte van de lijn weg die we niet meer nodig

hebben.

Het voorlopige eindresultaat ziet er al behoorlijk indrukwekkend uit: als men u

plots deze figuur zou laten zien en vragen of het mogelijk was om een heel vloer

te betegelen met deze figuur dan zullen vele mensen het heel moeilijk hebben

om dit snel juist te beantwoorden.

5

Nu moeten we deze tegel nog opvullen met een herkenbare figuur. En dit is voor

sommige mensen het moeilijkste. Maar u moet het een beetje als een spelletje

zien. Bij psychologische testen gebruikt men soms de Rorschachtest soms de

RIM de Rorschach Inktvlekken methode genoemd. Het is een psychologische

test die door Hermann Rorschach werd geïntroduceerd in 1921. De test is

gebaseerd op de menselijke neiging interpretaties en gevoelens te projecteren

op, in dit geval , inktvlekken. Men nam een blaadje papier en deed daar enkele

druppels zwarte inkt op . Vervolgens vouwde men het papiertje dicht en zo

ontstond er een symmetrische inktvlek. De proefpersonen werden dan gevraagd

om te beschrijven wat men in deze inktvlekken zag. Alle antwoorden waren

juist, men kon niet verkeerd antwoorden. De psychologen trokken conclusies

aan de hand van de antwoorden die men gaf.

Nu willen we u iets gelijkaardigs vragen. Laat uw fantasie volledig de vrije loop.

Alle antwoorden zijn juist. Verkeerd antwoorden bestaat niet. De vraag die we

stellen is heel eenvoudig en er zullen ditmaal geen psychologische besluiten

worden getrokken over uw persoonlijkheid. De vraag is dezelfde als bij de

Rorschachtest: wat ziet u hier? In ons geval misschien de vraag een heel klein

beetje aanpassen. “Waarvan ziet u hier de omtrek?”: dit is onze vraag. We

vragen u dus om uw fantasie te laten werken en u een figuur in te beelden die

ongeveer in onze tegel zou passen.

Op het eerste zicht is de vraag erg eenvoudig , maar toch is ze dikwijls heel

moeilijk te beantwoorden. Dit hebben we zelf dikwijs ervaren. Het is helemaal

niet gemakkelijk om van een willekeurig vorm zomaar te zeggen dat het de

omtrek is van iets. We gaan u wat helpen. We nemen de tegel die we daarna

geconstrueerd hebben en we willen weten welke figuur erin past. Maar we

hebben niet gezegd dat de tegel niet verdraaid mag worden. Het zou kunnen zijn

dat we plots wel een herkenbare figuur zien in de tegel als we deze een

kwartslag draaien.

We gaan dus de vraag opnieuw stellen: kan u zich een herkenbare figuur

voostellen bv een dier of iets anders die ongeveer in deze vorm zou kunnen

passen. U mag de vorm draaien.

Dit is het truckje dat we zelf ook toepasten. We tekende de gevonden tegel op

een blad papier en lieten dan het blad traag roteren zodat we de tegel zagen

vanuit verschillende gezichtpunten. Het is namelijk eenvoudiger om de omtrek

van iets te herkennen als de omtrek juist staat en dus bijvoorbeeld niet op zijn

kop. Een omtrek van iets die op zijn kop staat is veel moeilijker om te

herkennen.

Dus laat het blad met de tekening van de tegel op, rustig ronddraaien en stel u de

vraag: wat zie ik? Laat uw fantasie de vrije loop. Het kan zijn dat u dingen ziet

die misschien wat vervormd zijn, dit mag best.

6

We zagen in onze tegel een gezicht met een hoed. Mogelijk heeft u andere

figuren gezien en die zijn vanzelfsprekend ook bruikbaar. Zoals we reeds

zeiden, er zijn geen foute antwoorden.

We geven nog enkele eenvoudige voorbeelden: het is steeds dezelfde figuur

enkel is de gebroken lijn steeds een klein beetje anders en hierdoor komen er

met wat fantasie andere dierenkoppen te voorschijn:

kat vos ezel gazel met hoorns

Twee soorten vlinder Een rog

7

Een vogel en als we deze figuur draaien krijgen we een hondenkop met

halsband!

Tot hier de uitgebreide tekst van het eerste deel van de workshop.

Hieronder staat nog een erg verkorte tekst van een meer uitgebreide lezing:

We zijn begonnen met een badkamervloer met vierkanten, maar er bestaan ook

badkamervloeren met rechthoeken. Als we verschillende vierkantjes

samennemen dan hebben we een rechthoek. Dit hebben we gebruikt voor het

maken van de schildpadden

We zetten ergens een driehoekje bv op het vierkantje dat bovenaan links is. Dat

doen we opnieuw voor alle vierkanten en dan hebben we weer een andere tegel.

We kunnen een rij van de rechthoekjes een beetje verschuiven, opnieuw

driehoekje of een andere figuur erop plaatsen en dan blijkt dat we een andere

tegel krijgen .

8

Alle pijlen wijzen in dezelfde richting. Dit betekent dat de rechthoeken allemaal

in dezelfde richting liggen, maar we kunnen ook één rij in één richting leggen en

de volgende rij in de omgekeerde richting leggen.

Steeds opnieuw plaatsen we de driehoeken en maken een tegel.

Hier is wel iets speciaal gebeurt, de driehoeken worden hier opgedeeld, dat is

helemaal niet erg.

We kunnen dus ander tegels maken door richtingen aan te geven en dat gaan we

nu eens toepassen terug op onze vierkanten.

9

We nu enkel meer uitgewerkte voorbeelden:

10

Daarnet zijn we gestart van vierkantjes. En stilzwijgend hebben we aangenomen

dat alle vierkantjes dezelfde richting hadden. De richting kunnen we op de

vierkanten aanduiden met een pijltje. We hebben daarnet dus verondersteld dat

alle pijltjes in dezelfde richting wezen.

Eigenlijk is het woord richting niet volledig juist want we kunnen deze

vierkanten ook spiegelen en dan wijzen de pijltjes nog steeds in dezelfde

richting nl. naar boven maar ze komen nu van rechts. We spreken dus eigenlijk

beter van een oriëntatie van de vierkanten.

We kunnen de vierkanten met hun pijltjes niet enkel spiegelen we kunnen ze

ook draaien en zo krijgen we 8 verschillende oriëntaties van vierkanten

1 2 3 4 5 6 7 8

We kunnen nu vierkanten gebruiken met verschillende oriëntaties, waarbij we er

enkel rekening moeten mee houden dat de punt van de pijltjes nu steeds de

“bovenkant” van de vierkanten aanduidt. Want we weten door de pijltjes dat de

“bovenkant” van een vierkant , doordat sommige vierkanten gedraaid zijn, nu

wel eens links of rechts of aan de onderkant van onze tekening zouden kunnen

liggen.

We hebben het iets vereenvoudigd en we gebruiken in dit voorbeeld wel

vierkanten die we gedraaid hebben maar we hebben ze niet gespiegeld.

Aan de bovenkant of top van ieder vierkant tekenen we een soort gebogen lijn.

De bovenkant wordt steeds aangegeven door de punt van de pijl.

Dit doen we voor de negen vierkanten.

11

Als dat klaar is tekenen we aan de onderkant van ieder vierkant , en dat wordt

aangegeven door de onderkant van de pijltje ook dezelfde gebogen lijn, maar we

hebben de gebogen lijn nu omgedraaid.

Als we de pijlen weglaten krijgen we dit:

Nu moeten we deze figuren opvullen met een dier of iets anders. Bv Een kikker

past er in, nog een klein beetje aangepast zodat de kikker een mooie vorm krijgt.

Laten we nu even terug gaan naar het begin: we nemen terug een hoop

vierkanten .

En we gaan deze een nader bekijken. Zo een hoop vierkanten kunnen we

beschouwen als een rooster, een reeks horizontale en verticale lijnen. Als we zo

een rooster van lijnen gaan construeren dan beginnen we met 1 horizontale lijn

en 1 verticale lijn, en vervolgens trekken we op een regelmatige afstand de

andere lijnen. We zijn dus begonnen met twee lijnen.

12

Maar niets verplicht ons te beginnen met slechts 2 lijnen. We zouden even goed

een rooster kunnen tekenen als we beginnen met 4 lijnen.

We trekken niet enkel de twee lijnen maar ook nog 2 diagonalen. Nu vullen we

de rooster niet met rechte lijnen, maar met krommen. Men kan hiervoor bv

hyperbolen gebruiken.

We krijgen nu een rooster met vierhoeken maar deze vierhoeken zijn vervormd.

Het zijn geen mooie vierkanten. In het centrum zijn ze erg vervormd maar als

we ons verder verwijderen van het centrum dan lijken de vierhoeken meer op

echte vierkanten. Net zoals in ons eerste rooster staat er links en rechts van elk

vierkant opnieuw een vierkant, boven en onder elk vierkant staat er weer een

vierkant.

Dit betekent dat we onze methode van vervormingen die we daarnet hebben

uitgelegd ook nu weer kunnen toepassen. We kunnen een groep van vierkanten

opnieuw vervormen tot bv schildpadden. En dan krijgen we volgende figuur:

Eenmaal we dit hebben kunnen we weer een stapje verder gaan en we kunnen

ook een rooster maken met 5 assen: Opnieuw maken we een rooster met

gebogen lijnen. En vullen heel het rooster met bv. vissen.

13

Tot nu toe hebben we figuren getekend die zeer plat waren. Maar we kunnen

ook de rooster gebruiken om meer 3-dimensionele figuren te tekenen.

We kunnen op een rooster bv een huisje tekenen, door de lijnen van het huis te

trekken op de lijnen van het rooster, schuine lijnen van het huisje kunnen we

tekenen door verschillende punten van het rooster te verbinden.

Als we een rooster nemen met gebogen lijnen dan zal het huisje ook vervormd

zijn, de muren zullen gebogen lijken. Op het eerste zicht kunnen we hiermee

weinig beginnen maar als we verder huisje tekenen dan opstaat er een

eigenaardige stad.

Men kan in deze stad rondwandelen waarbij we bv beginnen aan de waterput

onderaan en onze wandeling beëindigen aan de waterput bovenaan . De stad is

volledig symmetrisch ten opzichte van het middelpunt. Eigenlijk staat de stad er

tweemaal op.

14

Natuurlijk kunnen we dat ook toepassen op de tweede rooster met gebogen

lijnen, de rooster met de 5 assen. Omdat de stad die toen ontstond zo complex in

elkaar geweven zat hebben we besloten om een 3-dimensionale structuur te

tekenen waarvan we enkel de vloer tekenden, op deze vloer kronkelen 5 slangen

die in elkaars staart bijten. Alhoewel we op de tekening muren kunnen

onderscheiden, hebben we die niet bewust getekend, ze ontstonden automatisch

van zodra we de vloer tekenden.

We hebben u dus laten zien dat als u een nieuw rooster gemaakt hebt dat u dan

twee tekeningen kan maken, namelijk een platte vlakverdeling en een

merkwaardige 3-dimensionale wereld.

Tot nu toe hebben we ons bezig gehouden met vierkanten , het wordt dus nu de

hoogste tijd om andere figuren eens uit te proberen, en we beginnen weer zeer

eenvoudig.

Met regelmatige zeshoeken kunnen we ook een soort rooster maken en hierop

hetzelfde gekende principe toe passen. Driehoekjes of een andere figuur plaatsen

en zo de zeshoeken vervormen. Voor een eerste oefening is het best aan te

nemen dat alle zeshoekje dezelfde richting of oriëntatie hebben. Nadien kunnen

we aannemen dat we verschillende oriëntaties geven aan de zeshoeken.

We hebben hier gekozen voor oriëntaties zonder spiegelingen, dit betekent dat

we de zeshoeken 6 verschillende richtingen kunnen geven, met spiegelingen zou

dit aantal op 12 komen.

15

We moeten eerlijkheidshalve wel vermelden dat zeker niet alle combinaties van

oriëntaties tot goede resultaten leidt, zeer dikwijls blokkeert het systeem en moet

u opnieuw beginnen.

Maar soms lukt het met een vrij willekeurige combinatie. Toen we deze

combinatie uitprobeerden hadden we zeer veel geluk, het systeem blokkeerde

niet , dat zal u dadelijk zien, maar het resultaat was zeer bijzonder: de tegel die

ontstond heeft vele merkwaardige eigenschappen. Maar laten we eerste de tegel

maken.

We kennen de oriëntaties van de zeshoeken, dus we kennen de “bovenkant” van

elk zeshoek,namelijk aangegeven door de punt van de pijlen. Aan de bovenkant

van de zeshoeken knippen we een klein driehoekje uit. Vanzelfsprekend kan

men andere vormen gebruiken dan driehoekjes. Zoals steeds herhalen we dit bij

alle zeshoeken want we willen dat op het einde alle vervormde zeshoeken

dezelfde vorm hebben. Door dit te doen verandert de vorm van de centrale

zeshoek in hoge mate. We knippen niet enkel een driehoekje weg, er komen

automatisch ook twee driehoekje bij.

Maar als de centrale zeshoek deze vervorming moet ondergaan dan moeten de

andere zeshoeken dezelfde vervorming krijgen want we willen dat de allemaal

dezelfde vorm hebben. Dus passen we de vervorming toe op de rest. Nu blijkt

dat door dit te doen de zes zijden van de centrale zeshoek worden vervormd. Als

we alle pijlen en oorspronkelijke lijnen wegdoen hebben we onze tegel

gevonden en nu moeten we enkele nog een figuur zoeken die er ongeveer inpast.

Dat bleek een vereenvoudigd eendje te zijn.

Als we dat eendje dan nog eens 540 keer met de hand getekend hebben en

ingekleurd hebben krijgen we de prent eendjes.

16

Deze tegel kan men nog iets veranderen tot een soort van troeteldiertje en dan

ontstaat deze figuur.

Tot dus ver vierkanten en zeshoeken, we gaan verder en we proberen het eens

met vijfhoeken.

Maar nu stuiten we op een ernstig probleem: we kunnen een vlak vol leggen met

driehoeken, vierkanten of zeshoeken. Maar met de rest dus ook het regelmatige

vijfhoeken lukt het niet.

Het enige wat we kunnen doen met regelmatige vijfhoeken is die op een zodanig

manier te schikken dat de tussenruimten tussen de vijfhoeken steeds dezelfde

vorm hebben.

Een voorbeeld van zo een schikking is de volgende, maar er bestaan er nog veel

meer.

17

We willen tegels maken die dezelfde vorm hebben , maar hier hebben we twee

figuren, namelijk de vijfhoeken en de tussenruimten. De oplossing voor dit

probleem is vrij simpel.

Neem 1 vijfhoek en 1 tussenruimte en voeg die samen tot 1 figuur en zoek

vervolgens bv een dier dat in de samengevoegde vorm past. Bv vissen.

We moeten onmiddellijk toegeven dat dat ons niet volledig is gelukt want er

zitten gaten tussen de vissen die we dan zwart hebben gekleurd zodat u ze niet

zou zien.

De vijfhoek in het midden geeft nu een ander probleem, in de buurt van deze

vijfhoek was er geen tussenruimte meer vrij om een vis te vormen. Maar we

hebben geluk, de vijftig vissen vormen ongeveer een grote vijfhoek en centraal

moeten we een vijfhoek nog opvullen, dus lag de oplossing voor de hand, we

tekenden opnieuw 50 kleinere vissen in het centrale gat. Helaas bleek nu weer

dat binnen deze 50 kleinere vissen er opnieuw een vijfhoekig klein gaatje was

dat niet opgevuld was, dus moeten we opnieuw nog veel kleinere visjes tekenen

en zo kunnen we oneindig lang doorgaan.

Zoiets noemen we een tekening met een limiet.

Dat is de volgende stap. We gaan nu tekening maken waarbij we niet heel het

vlak moeten voltekenen want dat is zeer vermoeiend, we gaan nu tekeningen

maken die vanzelf stoppen.

We zijn gestart met schildpadden, dus laten we verder gaan met schildpadden,

dat is gemakkelijk want die tekening hadden we al.

18

De schildpadden waren opgebouwd uit vervormde rechthoeken dus tekenen we

eerst rechthoeken die steeds kleiner worden, de methode is nog steeds dezelfde

als een rechthoek ergens een vervorming krijgt krijgen de ander rechthoeken die

ook , in dit geval wordt de vervorming natuurlijk ook steeds kleiner en kleiner .

Voor de rest is het net hetzelfde als steeds.

We hebben de schildpadden een beetje moeten aanpassen, maar nu hebben we

wel een tekening die toch al stopt, we moeten nu nog maar de helft van het blad

voltekenen.

We kunnen trachten het nog beter te doen, want een half blad voltekenen is nog

steeds zeer vermoeiend, dus proberen we eens of we iets kunnen doen met een

vierkant dat we opdelen in twee gelijke driehoeken.

Op deze grote driehoeken kunnen we nu kleiner driehoeken van dezelfde vorm

zetten. En als we dat eenmaal kunnen, kunnen we proberen of we dit niet

kunnen herhalen.

19

We krijgen dat een vrij ingewikkelde figuur maar als we zo blijven verder doen ,

dan komt er ooit wel een eind aan en inderdaad de driehoeken blijken nu binnen

ons blad papier te blijven

We vervormen de driehoeken tot zeehonden en vullen heel de figuur op. Let

wel, deze figuur een soort achthoek is vanzelf ontstaan. We waren blij dat we

niet meer heel het blad moesten voltekenen maar onze blijdschap was van korte

duur toen we beseften dat we nu nog veel meer zeehondjes moesten tekenen

want ze worden wel oneindig klein, maar hun aantal wordt wel oneindig groot. .

Een ander voorbeeld van driehoeken die steeds kleiner worden is volgende

figuur. U ziet dat u gewoon uw fantasie moet laten werken en wat spelen met

eenvoudige wiskundige vormen om tot een nieuwe basisfiguur te komen. De

driehoeken worden ook steeds kleiner, nu is de limiet, de plaats waar de kleinste

vormen aanwezig zijn , niet de rand maar zit de limiet centraal in de tekening.

Het eeuwige probleem is iets te vinden dat zo vriendelijk is om in deze

driehoeken te passen.

Enkele jaren geleden was mijn dochter dol op dinosaurussen, dus keek ik in een

van haar boeken met tekeningen van dino’s en zag dat een stegosaurus ongeveer

de vorm had van een driehoek. Na wat zoeken bleek dat deze dieren perfect

geschikt waren om als opvulling te dienen. Probleem hier was dat de tekening

steeds een grote driehoek als vorm had en dat is natuurlijk niet zo mooi voor een

20

prent dus vulde ik de rest op met het landschap waarin deze dieren leefden in het

Krijttijdperk dat ik ook vond in haar boek.

Volgende is een zeer eenvoudige vlakverdeling die plots toch een 3-

dimensionaal beeld geeft.

We nemen 54 regelmatige driehoeken en vullen die op met enkel een hoop

goedgekozen lijnen. Het resultaat is een eigenaardige wereld met een

eigenaardig perspectief. De wormvormige wezens hebben we er later bijgevoegd

om wat meer diepte te krijgen.

In de volgende tekening maken we een onmogelijke figuur: we starten met twee

vierkanten die evenwijdig van elkaar liggen en die verbonden zijn door een

tunnel. Als we de tekening doorknippen en wat vervormen kunnen we de twee

vierkanten laten samen vloeien tot 1 groot vlak.

Vervolgens tekenen we op dit vlak een stad.

21

Als we een koepel zouden bouwen over deze stad dan heeft het geheel de

eigenschappen van een fles van Klein.

In een tovervierkant met getallen hebben de rijen , de kolommen en de

diagonalen dezelfde som. In een semi-tovervierkant hebben enkel de rijen en de

kolommen dezelfde som. We

kunnen vlakvullingen maken die deze eigenschappen dicht benaderen.

In onderstaande prent hebben de 8 verschillende orientaties van de duif een

verschillende kleur gegeven.In elke rij en in elke kolom komt elke orientatie

eenmaal en slechts eenmaal voor. Voor de diagonalen geldt niet niet.

De eigenschappen van deze prent komen die sterk overeen met een semi-

tovervierkant of met een Sudoku-puzzel.

22

Magic Monkeys

De prent “Magic Monkeys” of Magische aapjes is een bijzonder vlakverdeling.

Een vlakverdeling is een tekening die bestaat uit steeds dezelfde figuur, in dit

geval een aapje, die steeds mooi in elkaar past zoals puzzelstukjes en al de

figuren samen kunnen het ganse platte vlak volledig vullen.

In dit geval bestaat de prent uit 64 aapjes. De aapjes hebben 4 verschillende

kleuren: ros, bruin, grijs en zwart als we de wijzers van de klok volgen.

23

We kunnen de prent beschouwen als een vierkant van 4x4, dus met 4 rijen en 4

kolommen.

In het totaal dus 4x4 = 16 vlakjes en in elk vakje zitten er 4 apen.

Tot nu toe niets bijzonders. Het wordt pas echt interessant als we even kijken

naar de ogen van de aapjes. Sommige apen hebben hun ogen open en andere

hebben hun ogen gesloten.

Laten we even in detail kijken naar het bovenste linkse vlakje.

Laten we eens punten geven aan de aapjes. We kunnen dit op vele verschillende

manieren doen. Een erg leuke manier is de volgende:

Ogen

gesloten

Ogen open

Ros 0 punten 1 punt

Bruin 0 punten 2 punten

Grijs 0 punten 4 punten

Zwart 0 punten 8 punten

Aapjes die slapen en hun ogen dicht hebben, krijgen geen punten. Aapjes die

hun ogen open houden krijgen punten maar het aantal punten is afhankelijk van

de kleur. Als we de punten van de 4 aapjes in het vak optellen hebben we de

waarde van elk vakje.

We kunnen dus nu aan de hand van deze tabel berekenen hoeveel punten elke

vakje waard is.

Laten we een voorbeeld nemen en eens berekenen hoeveel punten het bovenste

linkse vakje waard is. Ros heeft de ogen gesloten, bruin open, grijs open en

zwart heeft de ogen gesloten.

24

Ogen

gesloten

Ogen open

Ros 0 punten

Bruin 2 punten

Grijs 4 punten

Zwart 0 punten

Dus het vakje links boven heeft een totaal van 6 punten.

Opmerking:

Voor de mensen die bekend zijn met het binaire stelsel: we kunnen de waarde

van elk vakje aflezen als een binair getal van de tegen-klokwijzerszin

(beginnend bij het zwarte aapje) een 1 geven aan een aap met open ogen en een

nul aan een aap met gesloten ogen. In het geval van het vakje links

bovenkrijgen we het binaire getal 0110(binair) = 6 (decimaal).

We berekenen nu voor elke van de 16 vakjes de waarde en we vinden:

6 13 0 11

1 10 7 12

15 4 9 2

8 3 14 5

( Binair)

110 1101 0 1011

1 1010 111 1100

1111 100 1001 10

1000 11 1110 101

We zien dat we alle getallen tussen 0 en 15 eenmaal en slechts eenmaal

terugvinden.

Dus blijkbaar zijn alle vakjes verschillend van elkaar.

De naam van de prent kunnen we nu begrijpen als we de som van de waarden

maken.

De som van de waarden voor de bovenste rij is 6+13+0+11=30.

De som van de tweede rij is 1+10+7+12=30.

De som van de derde rij is 15+4+9+2=30.

De som van de vierde rij is 8+3+14+5 = 3.

Dus voor elke rij is de som steeds 30.

Maken we de som van de kolommen dan vinden we ook steeds 30 als resultaat.

Kijken we naar de twee diagonalen, dan vinden we ook steeds 30 als som,

namelijk 6+10+ 9+5 en 11+7+4+8.

Als een rooster van 4x4 vakjes met 16 verschillende getallen steeds dezelfde

som hebben voor zowel de rijen als de kolommen alsook voor de

25

tweediagonalen dan noemt met dit een magisch vierkant of een tovervierkant.

Omdat het 4x4 vakjes heeft noemt men dit een tovervierkant van orde 4.

De prent de Magic Monkeys is dus een magisch vierkant van orde 4. Vandaar de

naam. Maar er is meer. Rond de tekening is er een wit-zwarte rand getekend.

Deze rand bestaat uit allemaal kleine roostertjes van 4x4. Het zijn eigenlijk

kleine voorstellingen van ons 4x4 vierkant met apen.

Laten we de rand eens bekijken in detail. De rand bestaat uit 4 hoeken die dik

omlijnd zijn.

Deze bespreken we later.

Kijken we links boven dan zien we naast de hoek volgende rooster:

Dit is de schematische voorstelling van ons vierkant met apen. De bovenste rij is

zwart gemaakt. Dit betekent dat als we de som maken van de vakjes die zwart

zijn dat we 30 zullen vinden.

De rooster ernaast is een schematische voorstelling die aanduidt dat de som van

de vakjes van de tweede rij ook als som 30 zullen hebben.

De tien eerste roosters geven dus aan dat de som voor alle rijen , alle kolommen

en de twee diagonalen 30 zal zijn. Als we hebben hierboven aangegeven dat dit

juist is. Maar er staan nog 42 andere roosters in de rand. Dit zijn allemaal

combinaties die steeds 30 als som zullen geven. We hebben in het totaal 52

verschillende manieren om de som van 30 te vinden. We hebben dus niet een

magisch vierkant maar een super-magisch vierkant.

We zouden ook nog iets zeggen over de hoekpunten. De vier dikomlijnde

hoekpunten zijn ook schematische voorstellingen van ons vierkant. De zwarte

vakjes geven nu de plaats weer waar de ogen van de ogen geopend of gesloten

zijn. Wit is open , zwart gesloten. Het hoekpunt links boven komt overeen met

de apen linksboven , dit zijn de zwarte apen.

Rechtsboven met de rosse. Links-beneden met grijs en rechts-beneden met

bruin.

We hebben nu alles besproken, maar er is meer…

We hebben hierboven de waarden van de apen bepaald aan de hand van een

tabel. We hebben de waarden in de tabel zodanig gekozen dat alle getallen van 0

tot en met 15 verschenen. Maar we kunnen de waarden in de tabel ook

veranderen.

Ogen

gesloten

Ogen open

Ros a punten b punt

Bruin c punten d punten

Grijs e punten f punten

Zwart g punten h punten

26

We zullen nu mogelijk 16 getallen krijgen die misschien helemaal niet meer

mooi op elkaar volgen.

We krijgen volgende getallen:

g+f+d+a = waarde van vakje 1

h+f+c+b = waarde van vakje 2

g+e+c+a = waarde van vakje 3

h+e+d+b = waarde van vakje 4

g+e+c+b = waarde van vakje 5

h+e+d+a = waarde van vakje 6

g+f+d+b = waarde van vakje 7

h+f+c+a = waarde van vakje 8

h+f+d+b = waarde van vakje 9

g+f+c+a = waarde van vakje 10

h+e+c+b = waarde van vakje 11

g+e+d+a = waarde van vakje 12

h+e+c+a = waarde van vakje 13

g+e+d+b = waarde van vakje 14

h+f+d+a = waarde van vakje 15

g+f+c+b = waarde van vakje 16

We kunnen verschillende waarden zelf kiezen.

Zo kan u bv een tovervierkant maken met in de eerste 3 vakjes een

geboortedatum en in het vierde vakje de ouderdom van iemand.

Stel bv dat we iemand hebben die geboren is op 25 juni 1957 en die 52 jaar oud

is in 2009

Dat stellen we dan

g+f+d+a = 25

h+f+c+b = 6

g+e+c+a = 1957

h+e+d+b = 52

g+e+c+b = 2009

als oplossing vinden

a =1957

b = 2009

c = 0

d = -943

e = 0

f = -989

g = 0

h = -1014

Er zijn verschillende oplossing mogelijk. Maar alle oplossingen geven hetzelfde

tovervierkant.

27

DEEL II Leuke dingen doen gebaseerd op wiskunde

1) Het POP-UP twaalfvlak

Benodigheden:

Stevig karton

Een grote elastiek

Op het karton tekenen we twee keer bovenstaande figuur: een regelmatige

vijfhoek omringt door vijf regelmatige vijfhoeken. Knip deze figuren uit.

Maak vouwlijnen van de zijden van de centrale vijfhoek. Dit kan u doen door

met een stompe punt over de lijnen de gaan bv. de punt van een kogelpen die

niet meer schrijft.

Leg de twee figuren nu gedraaid over elkaar. Let er op dat de middelpunten van

de figuren zo goed mogelijk boven elkaar liggen.

Neem nu de grote elastiek en stan die over de figuur zoals aangegeven is in de

tweede tekening. De elastiek wordt voorgesteld door de dikke lijn. Als de

elastiek onder het karton zit , wordt de elastiek aangegeven door een stippellijn.

Het kan zijn dat het geheel zich reeds begint te vormen door de spanning van de

elastiek. Mogelijk ontstaat er een soort komvormige figuur.

Dan is best om met de platte hand de figuur plat te drukken op de tafel.

Eenmaal u de figuur met elastiek plat heeft op een tafel, is het enige dat u moet

doen, nu gelijkmatig de druk van uw hand te verminderen. Onder uw hand zal

automatisch een regelmatig twaalfvlak of dodecahedron ontstaan.

28

2) Moebius band

Vele mensen kennen een Moebiusband en de voornaamste eigenschappen dus

hierover gaan we niet meer veel zeggen. Een Moebiusband (afgekort MB) kan

men maken door een papieren strook aan elkaar te kleven maar één uiteinde van

de stroop 180° te draaien vooraleer men de plakband aanbrengt.

De bij velen gekende eigenschappen zijn:

- de band heeft maar 1 oppervlakte en maar 1 rand.

- als men de band volgens de middenlijn doorknipt ontstaat er een dubbel zo

lange band

- als men deze lange band doorknipt krijgt men 2 lange band in elkaar

- als men een MB doorklipt volgens een lijn die op 1/3 van de breedte loopt

krijgt een lange en een korte band in elkaar.

- er zijn linksdraaiende en rechtsdraaiende MB-en.

Eigenschappen die minder gekend zijn.

- Neem een stroop papier en steek de stroop door een ring.

Maakt vervolgens een MB maar draait de strook papier 3x 180°.

Knip deze MB in het midden door en de ring zit van in een knoop.

- Maak een linksdraaiende en een rechtsdraaiende MB en kleef ze loodrecht

op elkaar vast. U krijgt een misvormde figuur die op een 8 lijkt en waarbij

de “ringen” van de acht loodrecht op elkaar staan dus 90° gedraaid ten

opzichte van elkaar. Knip deze banden door in de het midden. Het

resultaat zijn papieren stroken die in elkaar hangen. Als u ze in de juiste

positie houdt dan krijgt u iets dat erg lijkt op 2 hartjes die in elkaar

hangen.

29

3) De getallen van Fibonacci

De getallen van Fibonacci zijn meestal algemeen bekend, het betreft de reeks

getallen waarbij een getal in de reeks de som is van de twee voorgaande getallen

waarbij we starten met 0 en 1 als eerste getallen.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ……

De getallen van Fibonacci worden veel terug gevonden in de natuur. Het aantal

spiralen linksdraaiend en rechtsdraaiend van bv een dennenappel, ananas en

zonnebloem zijn twee opeenvolgende getallen van Fibonacci.

Enkele merkwaardige eigenschappen van deze getallen:

1) Als we 1 delen door 89 krijgen we 0,0112359550561797752808988764044943820247191 en vanaf nu herhalingen

van deze cijfers. Merkwaardig is dat deze reeks van cijfers ook ontstaat door de

getallen van de reeks van Fibonacci te gebruiken.

Maak de som van

0,0

0,01

0.001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

Enz enz

Als resultaat krijgt u 1/89.

Er zijn nog andere reeksen van getallen die op dezelfde manier de uitkomst van

breuken geven:

1/8 kan gevormd worden met reeks 1-2-4-8-16-32-….

1/9 kan gevormd worden met reeks 9-18-27-36-45-…

1/27 kan gevormd worden met reeks 3-6-9-12-15-…

1/81 kan gevormd worden met reeks 0-1-2-3-4-5-…

1 kan gevormd worden met reeks 81-2x81-3x81-4x81-…

2) neem 10 willekeurige opeenvolgende getallen uit de reeks van Fibonacci en

som is gelijk aan 11 keer het zevende getal uit deze reeks van 10 getallen.

3) ) neem 6 willekeurige opeenvolgende getallen uit de reeks van Fibonacci en

som is gelijk aan 4 keer het vijfde getal uit deze reeks van 6 getallen.

30

4) Constructie van Platonische figuren

Eenvoudige manier voor de constructie van Platonische en andere figuren.

Benodigdheden:

Rietjes

Oorstokjes in kunststof

Plakband

Garendraad

Felgekleurde draad

We geven hier de uitleg voor een regelmatig twintigvlak, de isocaëder, te maken

De constructie zelfs leggen we niet uit, daar we veronderstellen dat u best wel

weet hoe een twintigvlak eruit ziet.

Maak met 3 rietje met 3 oorstokjes een gelijkbenige driehoek.

Neem een rietje en steek er een oorstokje in.

Vouw het oorstokje om in een hoek van 120°.

Steek over het uiteinde van het oorstokje een tweede rietje en herhaal dit totdat u

met drie rietjes en drie oorstokjes een gelijkbenige driehoek heeft gevormd.

U kan nu met wat plakband de oorstokjes wat beter vastmaken aan de rietjes

Dit is 1 “vlak” van het twintigvlak, u moet dus 20 keer zo een driehoek maken.

31

Kleef nu met plakband de driehoeken aan elkaar tot u een twintigvlak heeft.

In de hoekpunten komen nu 5 driehoeken samen. We kunnen de ruimtelijke

figuur nu nog verstevigen door garendraad rond de verschillende rietjes in een

hoekpunt te winden. Ook handig om het ding aan het plafond te hangen.

U kan binnen de figuur nog de duale figuur maken door met de felgekleurde

draad de juiste hoekpunten te verbinden. Binnen de rietjes figuur ontstaat van

de stervormige docedaëder. Op hun beurt kunnen de knooppunten van de

felgekleurde draden verstevigd worden door de verschillende draden in een

knooppunt vast te binden door er een knoop rond te leggen.

Het spreekt van zelf dat op deze manier allerhande wiskundige modellen kunnen

geconstrueerd worden. De modellen die hoofdzakelijk zijn opgebouwd met

driehoeken zijn wel de stevigste. Bv een kubus is minder stevig.

32

5) Teken een complex huisje na zonder de pen van het papier te nemen

Een klassieker is: “Teken dit huisje na zonder uw pen van het papier te nemen.

Tweemaal over dezelfde lijn tekenen mag niet”

Ondanks dat vele mensen deze simpele opgave niet zo eenvoudig vinden , zijn

er vele oplossingen. Men kan dit huisje op 236 verschillende manieren tekenen

maar er zijn nog veel meer manier waarbij het niet lukt. De oplossing bestaat

erin om het juiste beginpunt te kiezen.

We kunnen in gelijk welk punt van de figuur starten zelfs ergens in het midden

van een lijnstuk. Maar de meeste mensen zijn proberen om te starten in een

hoekpunt. Als we in een hoekpunt starten dan zijn hebben we keuze uit 5

hoekpunten. (6 als u het kruispunt in het midden van de figuur beschouwt als

hoekpunt). Twee ervan zijn goed startpunten en 3 geven geen oplossing.

Dus eigenlijk hebben we 40% kans om te slagen. Toch lukt het dikwijls niet

omdat we blijkbaar een voorkeur hebben om een hoekpunt te kiezen juist onder

het dak. En dit zijn geen goed hoekpunten.

De oplossing is zeer eenvoudig. Als we onze pen niet van het papier mogen

nemen en we komen tijdens het tekenen in een hoekpunt aan dan moet er ook

een vervolg zijn van onze tocht. Dit wil zeggen dat er in een hoekpunt een

aankomst lijn is en een vertreklijn dus 2 lijnen. Komen er nu vele lijnen samen

in een hoekpunt dan moeten er voor elke aankomstlijn ook een vertreklijn zijn ,

dus een even aantal lijnen anders kunnen we niet verder tekenen.

Een punt waar er een oneven aantal lijnen in samenkomen zal dus steeds een lijn

overhebben, dit kan een vertreklijn zijn of een aankomstlijn. Deze punten

moeten dus ofwel het begin van de tekening zijn of het eindpunt.

De oplossing is dus heel eenvoudig. Tel voor elk hoekpunt hoeveel lijnen er

samenkomen en start in een punt met oneven aantal.

Omdat we een vloeiende tekening moeten maken kan er maar 1 beginpunt zijn

en 1 eindpunt. Als we in een tekening meer dan 2 punten vinden met een oneven

aantal lijnen dan is er geen oplossing mogelijk. Anderszijds is het ook

onmogelijk om een tekening te maken met maar 1 punt met oneven aantal lijnen.

33

Het aantal punten met een even aantal lijnen is onbeperkt. Dus kunnen we

complexere tekeningen maken.

Het ontwerpen van complexere figuur is eenvoudig, zet gewoon uw pen op

papier begin maar te tekenen het moeten zelfs geen rechte lijnen te zijn.

Zonder de methode te kennen is het oplossing dan weer veel moeilijker.

Bij het ontwerpen moet men er enkel op letten dat het begin en eindpunt van de

tekening niet samenvallen want dan hebben alle hoekpunten even aantal lijnen

en zijn dus alle punten mogelijke startposities.

Eenmaal men de 2 mogelijk startpunten van een complexe figuur kent kan men

het aantal mogelijke oplossingen proberen te berekenen. Dit aantal kan zeer

groot worden.

34

6) Leuke rekenraadseltjes

Het jongentje met zijn hond

Er is een jongetje dat een hond heeft. Het jongetje zit op school op 10 km van

zijn huis. Om klokslag 4 uur in de namiddag springt de jongen op zijn fiets en

rijdt tegen 10km/uur naar huis. Om klokslag 4 uur zet zijn moeder de voordeur

open en ontsnapt het hond. De hond loopt tegen 20km/uur naar zijn baasje.

Eenmaal de hond bij zijn baasje is, draait de hond zich om rn loopt terug naar

huis. Daar draait hij weer om loopt terug naar zijn baasje. Dit blijft hij doen

totdat ze beiden thuis zijn.

Hoeveel kilometer heeft de hond gelopen?

De eerste ontmoeting tussen jongen en hond heeft plaats op 6.66 km van huis.

De hond heeft 6.66 km gelopen en loopt nog eens 6.66 km terug naar huis.

Daar komt hij aan na 40 minuten en begin terug naar de jongen te lopen enz enz.

Er ontstaat blijkbaar een complexe berekening.

De eenvoudige oplossing is dat de jongen de 10 km aflegt in exact 1 uur omdat

hij 10 km/ uur fietst. De hond heeft dus 1 uur de tijd om te lopen. De Hond loopt

tegen 20 km/uur dus loopt hij in 1 uur 20 km.

De leeftijd van de kinderen

Zeer leuk raadseltje omdat het op het eerste zicht totaal onmogelijk lijkt om het

op te lossen. Toch is de oplossing heel logisch en eenvoudig.

Een gemeenteambtenaar moet langs alle huizen gaan en de leeftijd noteren van

alle kinderen. Hij belt echter aan bij een mevrouw die graag wiskundige

raadseltjes maakt. Hij vraagt het aantal kinderen en de leeftijden van de

kinderen.

Als antwoord krijgt hij: “Ik heb 3 kinderen. Het product van hun leeftijden is

gelijk aan 36. En de som van hun leeftijden is ons huisnummer.”

De man kijkt naar het huisnummer, noteert alles en vertrekt.

De dag nadien belt hij terug aan en zegt dat hij getracht heeft dit raadsel op te

lossen maar dat hij er niet uit geraakt. De vrouw antwoordt: “Inderdaad, ik heb u

te weinig gegevens gegeven, mijn excuses. Als ik u zeg dat onze oudste piano

speelt, dan weet u voldoende” waarop ze deur dicht deed.

Verbaast liet de ambtenaar verder maar na wat zoeken wist hij de oplossing.

Oplossing

Er zijn 3 kinderen en het product van hun leeftijden is 36.

it geeft volgende mogelijkheden:

som

1 1 36 38

1 2 18 21

1 3 12 16

1 4 9 14

1 6 6 13

2 2 9 13

2 3 6 11

Vermits de man het huisnummer kende zou hij de oplossing moeten weten maar

blijkbaar was het huisnummer 13

35

7) Waarom IQ testen dom zijn.

Iedereen heeft wel eens een IQ test gedaan. Als men gaat solliciteren is het

dikwijls de normaalste zaak dat men een hoop testen moet afleggen.

Zo worden er ook getallenreeksen gegeven waarbij men moet uitzoeken wat de

volgende getallen in de reeks zijn. Dit zou iets zeggen over de rekenvaardigheid

van de testpersoon. Probleem hierbij is dat er andere mogelijke oplossingen

bestaan die wiskundig perfect juist zijn, maar die men bij een IQ-test als foutief

zal beoordelen.

Hier volgen en mooie voorbeelden van reeksen die men geheel terecht foutief

kan beantwoorden:

Wat is het volgende getal?

a) 1-2-3-4-5-6-?

b) 1-2-4-8-16-?

c) 1-2-3-4-5-6-7-8-…….-109-110-111

d) Verbanden tussen woorden

Kies het juiste woord

KORT staat tot LANG zoals

VEEL staat tot a) weinig b) zuur c) moeilijk d) veelvoud

Oplossingen volgens de klassieke IQ-testen

a) 7 tel (1 op bij vorig getal)

b) 32 (vermenigvuldig vorig getal maal 2)

c) 112 (tel 1 op bij vorig getal)

d) weinig (geef het tegengestelde)

Oplossingen die ook juist zijn maar niet aanvaard zullen worden:

a) 8

b) 31

c) 113

d) zuur

Redenering achter deze oplossingen:

a) getallen die de som zijn van maximum 3 kwadraten

1 = 1², 2 = 1²+1², 3= 1²+1²+1², 4 = 2², 5 = 1²+2², 6= 1²+1²+2², 7

gaat niet , 8= 2²+2² dus juiste antwoord is 8.

b) In hoeveel delen wordt een cirkel verdeeld door de verbindingslijnen tussen n

punten?

Neem een cirkel en zet op de rand van de cirkel een punt. De cirkel wordt in 1

verdeeld. Als we een tweede punt zetten en we verbinden de punten op de arnd

van de cirkel met elkaar dan wordt de cirkel in 2 delen verdeeld.

36

1 2

4 8

16

31

c) Alle gehele getallen kunnen geschreven worden als som van 4 kwadraten. Dit

werd in 1770 door Lagrange bewezen. Alle getallen tot en met 111 kunnen

geschreven worden als maximaal 3 kwadraten of als maximaal 3 kwadraten +1.

112 is het kleinste getal dat niet zo kan geschreven worden.

37

Anders uitgedrukt. Als we kijken naar de rij van getallen die niet geschrevene

kunnen worden als som van 3 kwadraten dan vinden we:

7-15-23-28-31-39-47-55-60-63-71-79-87-92-95-103-111-112.

Het getal 112 is het eerste getal dat volgt op een getal dat niet geschreven kan

worden als som van 3 kwadraten en dat zelf ook niet zo kan geschreven worden.

Ik geef toe, het is een beetje vergezocht maar het is klopt wel.

d)Als we in een IQ-test verbanden tussen woorden moeten zoeken, dan zijn deze

verbanden meestal taalkundig of ze gaan over de betekenis van een woord. Maar

we kunnen woorden ook als wiskundige eenheden beschouwen en kijken welke

wiskundige eigenschappen en structuren ze hebben.

Men geeft ons aan dat er een verband is tussen KORT tot LANG.

En inderdaad we kunnen dat verband beschrijven als: beide zijn woorden die uit

4 letters bestaan.

Dus als we een woord moeten zoeken dat een verband heeft met VEEL dan

moeten we het aantal letters tellen. We moeten dus een woord zoeken met 4

letters en dan is het duidelijk dat de oplossing het woord ZUUR moet zijn.

Maar er zijn nog andere verbanden. Kijken we naar de

klinker(K)/medeklinker(M)- structuur van het woord KORT. Medeklinker

gevolgd door een klinker en we eindigen met twee medeklinkers. Dus KORT

heeft een MKMM structuur. En LANG heeft ook eenzelfde MKMM structuur.

Dit tweede verband zien we ook bij VEEL en ZUUR , beide woorden hebben

een MKKM structuur. Dus krijgen opnieuw een bevestiging dat ZUUR de juiste

oplossing is. Maar helaas krijgen we voor deze redenering weinig punten voor

de IQ-test…

38

8) Platonische figuur maken met je vingers

Geef iemand een bolletje van ongeveer 2 cm plasticine en vraag om een

Platonische figuur te maken.

De figuur moet niet perfect zijn, maar het moet toch een goed benadering zijn.

Een kubus zal na een tijdje wel lukken, maar snel zal het zeker niet gaan.

Er bestaat echter een snelle manier om een tetraëder et vormen.

Hiervoor neemt men slecht een klein bolletje plasticine van ongeveer een halve

cm diameter. Zet vervolgens uw vijsvinger op uw duim. Doe dit met beide

handen. Beweeg uw vinger niet meer en neem met de toppen van deze vingers

de plastice vast. Breng dus de vinger van rechterhand tegen deze van uw

linkerhand maar draai hierbij een van de handen voor 90°.

Door dit te doen zullen alle vier de vinger elkaar raken.

De ruimte tussen de vier vingers heeft ongeveer de vorm van een tetraëder.

En daar zit nu juist de plasticine.

Goed aandrukken en als u uw vingers nu opendoet heeft u een klein tetraëder

gemaakt. Deze methode is zeer snel.

Een tetraëder maken met een grotere hoeveelheid plasticine is echter geen

gemakkelijke opgave.

We kunnen zelfs een isocahedron maken met plasticine.

Hiervoor gebruiken we de eigenschap dat we met 20 tetraëders een figuur

kunnen maken die sterk trekt op een isocaëder. Het is geen iscocaëder, maar

omdat de plasticine goed vervormbaar is, lijkt de figuur er toch zeer sterk op.

We hebben in het begin gezegd dat de figuur niet perfect moest zijn.

Een tetraëder kunnen we vormen tussen onze vingers dus als we twintig kleine

tetraëders vormen en deze vervolgens tegen elkaar plakken, hebben we als

resultaat een isocahedron.

39

Een kubus maken met plasticine is vrij gemakkelijk, en een octaeder iets

moeilijker. Een kubus kan men maken door de (ongeveer) vierkante

tussenruimte tussen de vinger te gebruiken. Door het blokje plasticine eerst

samen te drukken in deze ruimte en dan een kwartslag te draaien bekomt men

(na enkele aandrukkingen) een figuur die erg lijkt op een kubus.

Dezelfde methode kan men gebruiken voor een octaeder. Maar nu moet men de

ruimte tussen de vingers geleidelijk kleiner maken. Een octaeder heeft namelijk

een vierkante doorsnede waarbij het vierkant van de doorsnede steeds kleiner

wordt als men een top van de octaeder nadert. Dit vergt wel even oefenen.

We hebben nog geen oplossing voor een dodecahedron. Suggesties zijn welkom.

40

9) Maak 3 snijdende vlakken uit papier

We starten met 3 vierkanten uit papier.

3

4

1 2

A B C

De volle lijnen zijn insnijdingen.

De gestreepte lijnen zijn vouwen.

Neem papier A en maak de twee vouwen 1 en 2 : van opzij gezien ziet papier A

er nu zo uit:

Steek papier A nu door de middelste gleuf in papier B.

Schuif papier A zover door totdat die er voor de helft doorgeschoven is.

Open papier A zodat het terug zijn oorspronkelijke vorm heeft.

Maak de twee vouwen in papier B en maak ook vouwen 3 en 4 in papierA.

Van opzij gezien krijgt u nu volgend resultaat:

Dit papieren kruis steken we nu in de kruisvormige gleuf van papier C.

Schuif kruis door totdat die er voor de helft doorgeschoven is.

Open nu alle vouwen. U heeft nu 3 snijdende vlakken.

Deze leuke constructie vond ik in een klein boekje met allerhande trukjes voor

kinderen. Maar toen ik het resultaat eens goed bekeek zag ik dat het

waarschijnlijk mogelijk was om de constructie nog veel ingewikkelder te

maken. Namelijk 9 snijdende vlakken (3 aan 3 evenwijdig) Zie foto. Deze

constructie bestaat uit 9 vlakjes onderverdeeld in 16 kleinere vierkanten. In het

totaal 9 x 16 =144 kleinere vierkanten.

41

Het zou heel erg leuk zijn geweest moest het mogelijk zijn om met 9 papieren

vierkanten deze constructie te maken. Hiervoor het ik geen oplossing gevonden.

Er bestaat wel een oplossing met 21 stukken papier. De totale oppervlakte van

het papier is gelijk aan de oppervlakte van 144 kleine vierkanten dus nergens is

er een dubbele papieren laag. Dus alle 144 kleinere vierkanten zitten op hun

plaats, ook binnenin de constructie. Vanzelfsprekend is de gehele constructie

papier en niets anders, geen lijn, geen plakband.

Om dit te maken neemt u best stevig papier (bv steekkaarten). Voor de kaarten

A, B en C een andere kleur nemen helpt beter om de uitleg te volgen.

Maak volgende vormen:

X x

X x

2x A1 1x A2

1x B

2x C1 1x C2 4x D 10x E

Volle lijnen zijn insnijdingen.

Stippellijnen en bolletjeslijnen zijn vouwen.

42

1) neem A2 en maak de twee korte vouwjes (aangeduid met bolletjelijn)

2) Steek het gevouwen stuk van A2 door de gleuf in B.Schuif A2 voor de helft

door zodat u A2 terug kan openvouwen naar zijn oorspronkelijke vorm.

3) Maak de stippellijn vouwen in A2 en B. Er ontstaat nu een kruisvormige

vorm als u van de papieren van opzij bekijkt.

4) Steek deze kruisvormige figuur door de middelste kruisvormige gleuf van C2.

(Op de tekening aangegeven door de dikkere lijn)

Schuif door tot de helft.

U heeft nu een figuur die sterk gelijkt door 3 snijdende vlakken.

5 ) neem C1. Steek de kruisvormige figuur ( A2 en B) door de kruisvormige

gleuf van C1 en schuif nu voor één vierde door.

Herhaal dit met de tweede C2 aan de andere kant van de kruisvormige figuur.

Als alles goed is heeft u nu in een richting 3 evenwijdige vlakken ( de 3 C’s) en

in de loodrechte richtingen hierop telkens 1 vlak (A2 en B)

6) Open nu A2 terug naar zijn oorspronkelijke vorm. B nog niet openen dus

vouwen in B laten

7) Neem een exemplaar van A1 en maak de vouwen. Steek deze gevouwen

figuur door de bovenste gleuven van C2-C1-C2. Open A1 terug naar zijn

oorspronkelijk vorm.

8) Neem het tweede exemplaar van A2 en maak de vouwen. Steek deze

gevouwen figuur door de onderste gleuven van C2-C1-C2. Open het tweede A1

terug naar zijn oorspronkelijke vorm.

U heeft nu in twee richtingen 3 evenwijdige vlakken (de A’s en de C’s) en in de

derde richting 1 vlak.(B)

9) de 8 kleine vlakjes met een kruisje op moeten nu naar binnen worden

gevouwen maar slechts over 90°. Ze komen nu evenwijdig te liggen met vlak B.

Ze moeten naar binnen worden gevouwen wat inhoudt dat als u de figuur op

tafel zet ze de tafel NIET kunnen raken ook niet met een rand.

10) om de figuur te volledigen moet nu nu nog de kleine stukjes D en E zetten.

Begin eerst met de D-stukken. De kleine gleufjes van D moeten in de kleine

gleufjes geschoven worden. Eenmaal D geplaatst wordt het duidelijk waar u de

laatste E-stukjes moet plaatsen.

De ruimtelijke figuur met 9 snijdende vlakken is nu af.

43

10) Oloïde

Een Oloïde is een mooie ruimtelijke figuur bedacht door Paul Schatz.

Het bestaat uit twee cirkels in twee onderling loodrechte vlakken, zo dat het

middelpunt van de ene circel op de andere ligt en omgekeerd

We kunnen een Oloïde maken uit karton volgens dezelfde methode van de drie

snijdende vlakken (item 9).

Werkwijze:

Print de onderstaande figuren op stevig papier.

Knip ze vervolgens uit.

Volle lijnen zijn insnijdigen, maak de best voldoende breed zeker als u

met erg dik papier werkt.

De streepjeslijnen zijn vouwen.

Neem figuur B en plooi volgens de rode vouwen. De lengte van figuur B is nu

langs een zijde met de helft vermindert en u kan nu deze opgevouwen figuur

door de grote gleuf van figuur A steken. Schuif figuur B er door tot u niet meer

verder kan. U kan nu figuur B terug openvouwen. U ziet nu al de vorm van de

Oloïde maar deze figuur si nog niet stevig genoeg.

Maar nu de blauwe vouwen en dit zowel in figuur A als in figuur B.

Figuur A en B staan loodrecht op elkaar en vormen een soort kruis als u de

constructie van opzij bekijkt. De constructie is symmetrisch. Zowel van links als

van recht ziet u een soort kruis.

Schuif dit kruis nu door de centrale kruisvormige gleuf van een ellips.

Herhaal dit aan de andere kant.

U kan nu alle vouwen terug openvouwen en de Oloïde is klaar.

U kan de constructie nog steviger maken door alle stukjes met wat plakband te

verstevigen.

De rolbeweging van de Oloïde kan ook nog verbetert worden door op de figuren

A en B enkele kleine eurocentjes te kleven zo krijgt de Oloïde meer gewicht en

rolt dan beter.

44

45

11) Computerkunst

Maak uw eigen wiskundige kunstwerkje met Excel. Bovenstaande figuur is een

eenvoudig voorbeeld van een Excel kunstwerkje gebaseerd op 1 formule!

De formule is mod (sin x +cos y:1).

Mod is de afkorting van modulus een zeer krachtige formule.

Xe proberen zeer eenvoudig uit te leggen wat de formule juist doet.

7 = 1 (mod3) want als u van 7 het getal 3 aftrekt tot u niet meer verder kan houdt

u 1 over als rest. Want 7 = 2x3+1.

Om een modulus te berekenen heeft u twee getallen nodig: de modulus in ons

voorbeeld 3 en het getal waarop deze formule wil loslaten in ons geval 7. De

uitkomst is 1.

Nu gaan we even kijken wat we nodig hebben om een mooie grafiek te maken.

46

Stel we willen een vierkante tekening maken. De vierkante tekening delen we op

in kleine vakjes bv 50 x 50. Onze tekening zal dus 2500 vakjes bevatten.

Als we elk vakje een getal schrijven en aan een bepaald getal een bepaalde kleur

geven dan krijgen we een grafische voorstelling. We zouden manueel in elk

vakje een getal kunnen invullen en dan zullen we ongetwijfeld prachtige dingen

krijgen , alleen is dat veel werk want we moeten 2500 getallen invoeren.

We kunnen ook de getallen laten berekenen. Het programma Excel helpt ons

hierbij.

We maken in Excel een grote grafiek 50 op 50. We doen dit door een grote

tabel te maken van 50 op 50 vakjes. Boven de vakjes zetten we de getallen van

1t.e. m. 100. We geven hier als voorbeeld een kleine tabel van 3 op 3.

1 2 3

1 5 5 5

2 6 6 6

3 8 8 8

Nu moeten we nog in elke cel van onze tabel een formule steken die een mooie

grafiek oplevert. U kan hiermee zelf experimenteren maar van zodra u de

modulus formule gebruikt heel u veel kans om mooie beelden te maken.

De formule die wij gebruikten voor bovenstaande figuur te maken was.

=+REST(sin(x)+cos(y);1)*100

De modulus formule in een Nederlandstalige Excel versie is REST.

De x en de y zijn respectievelijk de getallen boven en links van uw tabel.

Mijn eerste cel van mijn tabel bevond zich in cel Q6. De x-waarde boven de

tabel was dus Q5 en de y-waarde links van de tabel stond in cel P6.

=+REST(sin(Q$5)+cos($P6);$B$1)*100

(De $-tekens dienen op de 5 resp de P vast te zetten.)

In cel B stond de modulus is ons voorbeeld was dat 1.

De formule kopieert u naar alle cellen en zo krijgen alle cellen een eigen waarde.

De grafiek kan u nu maken door in Excel een oppervlakte-grafiek te maken.

Hierbij heeft u verschillende keuze. We kozen voor Contour. Dit is eigenlijk een

3D-grafiek maar dan van bovenaf gekeken.

Want eigenlijk hebben we een landschap gemaakt waarvan we de hoogtes in

kaart brengen.

U kan nu zelf mooie grafieken maken. Probeer andere formule maar behoudt de

REST-functie wel. Enkel al door de waarde van de modulus te wijzigen krijgt u

al totaal andere grafieken. De waarde van de modulus moet zelfs geen geheel

getal te zijn. Door de getallen boven ene links van uw tabel te wijzigen kan u de

grafiek bewegen en ook in en uitzomen.

47

DEEL III “Goochelwiskunde”

Even een woordje over goochelen. Als men boeken leest zoals The Tricks of

Houdini dan blijkt dat vele goocheltrucks zijn gebaseerd op dingen die

verborgen worden voor het publiek of hulpmiddelen die er normaal uitzien maar

die zodanig gemanipuleerd werden dat ze “tover”-eigenschappen krijgen.

Sommige andere trucks zijn gebaseerd op de handigheid van de goochelaar.

Geen van dit soort trucs worden hier besproken. We bespreken hier enkel trucks

die op de een of ander manier gebaseerd zijn op wiskunde en die daarom steeds

lukken als u maar de voorschriften volgt.

Sommige zaken die we bespreken zijn misschien niet helemaal goocheltrucks,

en hadden evengoed in deel II gestaan kunnen hebben.

1)De geheimzinnige cirkel met de acht getallen

Regelmatig zag ik goochelnummer waarbij het publiek een cijfer mocht kiezen

uit getallen die in een cirkel stonden. Na wat zoeken vond ik zelf ook een leuke

variant.

Neem de getallen van 1 tot en met 8: 1 2 3 4 5 6 7 8

Plaats in elke cirkel van de hieronder getekende rooster een verschillend getal.

Er zijn twee regels die U moet volgen:

1) recht tegenover de cirkel met het getal 2 plaatst U het getal 6 bv:

2) naast een even getal staat steeds een oneven getal.

De rest mag u allemaal zelf kiezen.

6

2

48

Het leuke aan deze truck is dat u iedereen in het publiek een papiertje kan geven

en dat ze mogelijk allemaal verschillende roosters zullen hebben. U kan het nog

wat mysterieuzer maken door te beweren dat u de gedachten van het publiek

zodanig gaat beïnvloeden dat ze de juiste keuzes maken die u wil.

Eenmaal iedereen zijn rooster heeft opgeschreven, mag elk lid van het publiek

een getal van de rooster kiezen. We nemen als voorbeeld dat men het getal 3

kiest. Nu moet men 3 stappen , namelijk evenveel stappen als het getal aangeeft

waar men opstaat bewegen. De richting , naar links of naar rechts mag men ook

kiezen.

Waarschuw uw publiek dat 8 geen goede keuze is, want na 8 stappen staat men

terug op en dan maakt men het enkel maar gemakkelijk aan de goochelaar.

Nadat het publiek de stappen heeft gezet, zegt u dat iedereen nu op een ander

getal staat, behalve de mensen die niet naar u geluisterd hebben en toch 8 kozen.

Dat was een gemakkelijke voorspelling.

Maar u beweert bovendien dat er niemand nu, nadat de stappen gezet zijn op 1

of op 7 staat.

Men staat nu op een ander getal bv 5 , dan moet men nu 5 stappen zetten naar

links of naar rechts, de keuze is aan de persoon die de stappen gaat zetten. De

keuze links of rechts is onafhankelijk van de eerste keuze. Dus had men eerst

naar rechts bewegen dan mag men nu naar links of naar rechts bewegen.

Meldt nogmaals dat de 8 best vermeden wordt want dan zit men vast.

Opnieuw doet u een voorspelling. U zegt dat er nu niemand op 2, 3 of op 7 staat.

Het publiek mag voor de derde keer het aantal stappen zetten evenveel als het

getal waar ze nu opstaan. Opnieuw is de keuze naar links of naar rechts volledig

vrij.

Als de publiek klaar is met het zetten van de stappen doe u uw laatste uitspraak.

U zegt dat het publiek niet goed heeft geluisterd en dat u nog zo verwittigd heeft

om niet op de 8 te gaan staan. Dan voorspelt u dat iedereen nu op 8 staat.

Methode

Stel u staat op getal X, en stel X even dan beweegt u even stappen en vermits we

afwisselend even en oneven getallen hebben in ons rooster, staat u zeker terug

op een even getal. Bij X oneven , gaat u een oneven aantal stappen zetten en u

komt dan op een even getal uit.

Dus samengevat na de eerste stappen staat u zeker op een even getal.

49

U voorspelt dat ook dat men niet op enkele oneven getallen staat, best niet alle

oneven getallen opnoemen want dan wordt het systeem duidelijker voor het

publiek en dat willen we juist niet.

We kunnen vervolgens de rooster roteren en spiegelen zodat 8 bovenaan staan

en dan in klokwijzerszin 2, 4, 6 en 8.

We weten dat we op even staan, dus op een getal van de vorm 2n.

We moeten 2n naar links bewegen en komen dan op 4n uit of op 0n als we naar

rechts bewegen. 0n is de positie van de 8. Maar waar we ook uitkomen we staan

nu steeds op een 4-voud namelijk op 4 of op 8.

In uw voorspelling mag u nu enkel getallen noemen uit de reeks 1, 2,3,5,6,7.

Na de derde keer stappen staan we op 4n+4n= 8 of op 4n-4n=0=8.

Dan staan we zeker op positie 8.

Men kan dit systeem uitbreiden:

Uitbreiding 1

Men kan 8 opeenvolgende getallen kiezen. Het kleinste getal mag willekeurig

zijn bv tussen 1 en 10. Maar ook liefst niet te groot want dan moet men veel

stappen zetten dus laat geen getal kiezen tussen 1 en 1000. Het zal ook tot goede

resultaten leiden maar het stappen zal zeer lang duren.

Stel men kiest 10. Dan laat u de getallen 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17 in de

rooster invullen.

In deze reeks komen zeker één 8-voud en twee 4-vouden voor naast vier 2-

vouden en vier oneven getallen. Start met een 2-voud dat geen 4-voud is en geen

8-voud. In ons geval zijn dat de getallen 10 en 14. Hiermee moet u starten en

deze moeten tegenover elkaar geplaatst worden.

Verder moet u enkel de regel volgen dat naast een even getal een oneven getal

moet staan.

Het systeem blijft voor de rest gelden en het leuke is dat men nu niet op het

grootste getal zal uitkomen naar op 16 namelijk steeds op het enig 8-voud.

Uitbreiding 2

In plaatst van met 8 opeenvolgende getallen te werken kan u met 16,32,64

getallen werken. U moet dan respectievelijk 4,5 en 6 keer laten stappen.

Tegenover het 2n-de-voud moet dan een 2

n-1-ste-voud liggen.

Het opstellen van de rooster wordt dan wel iets ingewikkelder

50

2) De truc met de twee kurken

Deze leuke truc is gebaseerd op tolopgie en het analyseren van verschillende

mogelijkheden om iets te doen.

Neem 2 kurken van een wijnfles en plaats in elke holte tussen uw duim en uw

vijsvinger , dus zowel linker als rechterhand. De kurken raken uw handen langs

de lange zijden van de kruk dus de boven en onderkant van de kurk zijn vrij.

Opdracht is duim en wijsvinger van uw rechterhand op de boven en onderkant

van de linkerkurk te zetten en met dezelfde vingers van uw linkerhand de rechter

kurk vast te nemen. Vervolgens moeten u de handen ver uit elkaar bewegen. De

kurken moeten volledig bevrijd worden en dus niet in elkaar hangen. De meeste

mensen zullen de kurken zodanig vastnemen dat er 2 ringen ontstaan die in

elkaar haken, dit is dus verkeerd. De twee ringen die ontstaan met de kruken

tussen uw vingers moeten vrij zijn.

Methode

Zo kunnen we vragen om 3 voorwerpen achter elkaar op tafel te zetten.

Dit kunnen we op 6 verschillende manieren doen nl.123,132,213,231,312, en

321, als we de voorwerpen zouden nummeren met 1,2 en 3.

Analoog kunnen we ons afvragen op hoeveel verschillende manier en men

bepaalde handelingen kan uitvoeren. Bij onze handeling nl: neem de linkerkurk

tussen de rechter duim en wijsvinger en neem de rechterkurk tussen de linker

duim en wijsvinger kunnen we ook bekijken op hoeveel verschillende manieren

we dus kunnen doen.

Stel we vernoemen eerste de vinger die de bovenkant van de kurk vastneemt en

vervolgens de vinger die de onderkant vastneemt.

Dan hebben we voor ons linkerhand: duim – vinger ofwel vinger-duim.

Analoog hebben we twee mogelijkheden voor ons rechterhand en de

mogelijkheden zijn onafhankelijk van elkaar.

Samengevat: links rechts

Duim –vinger Duim-vinger los maar moeilijk uit te voeren

Duim –vinger Vinger-duim vast

Vinger –duim Duim-vinger los

Vinger –duim Vinger-duim los

Dus 4 mogelijkheden waarvan er twee een oplossing bieden en waarvan er

slechts 1 goed uitvoerbaar is.

51

3) Topologische truc met een brede band/elastiek

We hebben al vermeld dat een Moebiusband in twee versie bestaat namelijk een

linksdraaiende en een rechtsdraaiende.

Deze truck laat mooi zien dat een linksdraaiende band niet kan omgezet worden

in een rechtdraaiende. We werken echter niet met een Moebiusband maar met

een gewone band. Beste gebruiken we een brede elastiek zodat we goed kunnen

zien dat er draaiingen in zitten.

Neem de brede elastiek met uw twee handen vast. De bovenkant neemt u vast

tussen duim en vijsvinger van uw rechterhand. De onderkant van de elastiek

neemt u vast tussen vijsvinger en duim van uw linkerhand.

Beweeg uw duim van uw rechterhand naar rechts en uw vijsvinger naar links

zodat er door de torsing de elastiek 2 maal wordt verdraaid.

Geef de gedraaide elastiek nu aan iemand van uw publiek en vraag om zonder

de elastiek los te laten om de elastiek weer “normaal” te maken dus zonder

draaiingen. Dit zal niet lukken. Hij mag zijn vingertoppen niet bewegen wel zijn

handen.

Neem de elastiek teug zoals u hem oorspronkelijk vasthad en beweeg rechthand

omlaag en linkerhand omhoog, de verdraaiing verdwijnt vanzelf.

Geef de elastiek aan uw toeschouwer en laat hem zijn duim van zijn rechterhand

naar links bewegen en zijn vijsvinger naar rechts. Laat hem zijn rechterhand

omlaag bewegen en linkerhand omhoog , er ontstaan nog meer verdraaiingen!

Neem de elastiek van hem over en u kan de verdraaiing terug doen verdwijnen.

Methode

Door de manier waarop de vinger de elastiek doen verdraaiien ontstaan er twee

soorten verdraaiingen: een linksdraaiende en een rechtdraaiende. De als u de

vervormde elastiek nu links of rechts vastneemt zal een groot verschil maken.

Door de elastiek vast te nemen verandert de topologie van de elastiek van een

normale gesloten band naar een gesloten band met nog een extra band nl onze

armen.

Afhankelijk of die extra band zich nu links of rechts bevindt ontstaat er andere

figuren.

52

4) Origami

Niet echt een goocheltruc maar toch verrassend als u het nog niet gezien heeft.

Neem een strook papier, best een stuk papier van een rolletje papier van een

rekenmachine. De lengte moet best ongeveer 10 keer de breedte van het papier

zijn. Vraag aan uw publiek om er een regelmatige vijfhoek mee te vormen en als

het even kan ook nog een vijfster in de vijfhoek.

Methode

Leg een knoop in uw papieren strook en druk het papier voorzichtig plat op

tafel. Als u het papier voorzichtig aantrekt bij het platdrukken ontstaat er een

regelmatige vijfhoek. Als u deze vijfhoek tegen het licht houdt ziet u een vijfster

(op 1 zijde na)

Men kan ook een regelmatige driehoek , vierkant, zeshoek, zevenhoek en

achthoek vormen met een strook papier.

Het is ook mogelijk om met verschillende gelijkzijdige driehoeken achter elkaar

een tetraëder, octaëder en isocahedron te maken , wel met behulp van wat

plakband.

53

5) Knoop leggen in touw

Een volgend truckje is gebaseerd op eenvoudige topologie.

De opdracht is eenvoudig: “ Leg een knoopje in een stukje touw”

De opdracht wordt wat moeilijker als men erbij vereist dat men eenmaal men de

touw heeft vastgenomen met deze niet meer mag lossen.

We starten met een stuk touw op een tafel. We nemen de touw ergens vast met

duim en wijsvinger. Eenmaal we dit hebben gedaan ontstaat er een gesloten ring.

De ring is de touw en onze twee armen. Nu weten we uit de topologie dat het

onmogelijk is om een knoop in een gesloten ring te leggen. Dus dit is zeker geen

goede manier.

Vermits de touw op de tafel ligt als een stuk van de ring zonder knoop erin,

moeten we daar de oplossing niet gaan zoeken. De touw ergens anders

vastnemen heeft geen zin. We moeten de oplossing in onze armen gaan zoeken.

En in de topologie. We weten dat als we een ring hebben MET een knoop erin

dat we deze kunnen verplaatsen naar gelijk welke plaats in de ring. En dat is de

oplossing. We maken dat er een knoop zit in onze armen nemen dan de touw

vast en verplaatsen de knoop.

Een knoop in onze armen kunnen we op twee manieren doen, een linksdraaiende

knoop of een rechtdraaiende knoop maar hier heeft dit geen belang.

Leg uw rechterhand onder uw linker elleboog met de handpalm naar beneden.

Breng uw linkerarm onder uw rechterpols en leg uw linkerhand op uw rechter

elleboog.

Neem nu zonder de positie te wijzigen met uw twee handen de koord vast , best

dicht bij de koordeinden. Als uw nu uw armen terug “ontknoopt” verplaats te

knoop van uw armen zich naar de koord.

Een leuke alternatief kennen we van de beroemde goochelaar Houdini.

U laat de touw op uw handpalmen rusten zonder de touw vast te nemen.

Hierbij plaats u uw linkerhand voor uw rechterhand met de handpalmen naar

boven. De touw loopt tussen uw linker duim en linkerwijsvinger over uw

linkerhandpalm, vervolgens best een lang stuk in de lucht. Dan loopt de touw

tussen uw rechterduim en rechterwijsvinger en zo over uw rechterhandpalm.

Beweeg nu uw rechterhand onder uw linkerhand door totdat het rechterhand

zich voor uw linkerhand bevindt. Neem nu de touwuiteinden vast tussen

wijsvinger en middenvinger. Als u uw handen vervolgens uit elkaar beweegt

ontstaat er tussen uw handen ene knoop.

54

6) Voorspellen van de som

Neem een rooster van N x N en schrijf er alle getallen op van 1 tot en met N² in

de normale volgorde. Bijvoorbeeld voor een 4 x 4-rooster geeft dit:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Vraag aan het publiek eender welk getal te kiezen. Vervolgens moeten alle

getallen in dezelfde rij en in dezelfde kolom als het gekozen getal geschrapt

worden. Dus we kiezen bv. 6 dan schrappen we 2-5-7-8-10 en 14.

Het publiek mag een tweede getal kiezen en opnieuw moet er geschrapt worden

volgens hetzelfde princiep. Het publiek mag een derde keer kiezen en opnieuw

schappen. Automatisch zal er een vierde getal ergens overblijven.

De som van de vier overblijvende getallen is steeds 34 ( voor een 4 x x4 rooster)

Voor N gelijk aan 1 is de som 1.

2 5

3 15

4 34

5 65

6 111.

Methode

Op de eerste rij staan de getallen 0+1. 0+2. 0+3. 0+4

Op de tweede rij staan de getallen 4+1. 4+2. 4+3. 4+4

Op de derde rij staan de getallen 8+1. 8+2. 8+3. 8+4

Op de vierde rij staan de getallen 12+1. 12+2. 12+3. 12+4

Door onze methode van schrappen hebben we uiteindelijk steeds:

1+2+3+4 + 0+4+8+12= 34

55

7) Kaarten trucs

Deze kaartentruck is zo wiskundig dat het niet de goochelaar is die voorpselt

waar zich een kaart bevindt maar de kaarten zelf.

Neem een normaal kaartspel met 52 kaarten. Neem 9 willekeurige kaarten en

laat deze aan het publiek zien. Vraag om een willekeurig kaart te kiezen.

Het publiek en u ziet welke kaart dit is en deze kaart wordt onthouden.

Neem de 8 overblijvende kaarten en leg ze omgekeerd op tafel, met de rug naar

boven. Leg de gekozen kaart hierop ook met de rug naar boven.

De rest van het kaartspel legt u nu bovenop dit stapeltje , ook met de rug naar

boven.

Nu laat u de kaarten beslissen waar de gekozen kaart zich bevindt:

U draait een voor een de kaarten om en telt hierbij af van 10 naar 1.

Als een kaart de waarde heeft die u juist heeft vernoemt stopt u.

Dus u neemt alle kaarten en legt de bovenste kaart met de voorzijde zichtbaar op

tafel en u zegt 10. Als deze kaart een 10 is stopt u, anders telt u verder.

U legt de volgende kaart er boven op en telt verder af:9.Als deze kaart een negen

si stopt u, ander steltu verder.

Zo doet u verder totdat u aan 1 komt.

Stel dat u nadat u tot 1 geteld heeft geen overeenkomst had, dan legt u bovenop

de 10-de kaart nog een kaart met de voorzijde naar onder.

U herhaalt dit totdat u 4 stapeltjes heeft.

(Het minst leuke is als u nooit overeenkomst had, dan heeft u 4 afgedekte

stapeltjes, de gezochte kaart is dat de kaart die het 4-de stapeltje afdekt)

Stel u heeft een stapeltje met een 7 als bovenste kaart (er was dus bij 7

overeenkomst tussen kaart en genoemd getal), een stapeltje met 6 en twee

afgedekte stapeltjes.

U heeft nu nog een hoopje kaarten in uw hand.

Tel het aantal kaarten dat zichtbaar ligt van het hoopje kaarten in hun hand.

In dit geval is dat 7+6 = 13. De dertiende kaart van uw hoopje is de gezochte

kaart.

Methode

De gezochte kaart zit op de 44° positie namelijk 43 kaarten , de gekozen kaart en

daaronder de 8 niet gekozen kaarten.

We maken 4 stapeltjes en die zijn steeds 11 waard. Namelijk 10 + 1 afgedekte

als er geen overeenkomst is. Of bij overeenkomst bv. bij het getal 7, telden we

10-9-8-7 dus er liggen al 4 kaarten en nadien nemen we voor deze stapel nog

eens 7 kaarten van het laatste hoopje, dus 4+7 is ook 11.

De 4 stapeltjes verplichten ons steeds om de 44° kaart om te draaien en dat is de

gezochte kaart.