Wortels met getallen en letters© WISNET-HBO

update sept 2009

1 InleidingVoorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de basisrekenregels voor machten. Deze rekenregels worden geoefend in de les over Machten.We gaan ervan uit dat we in deze les rekenen met alleen de reële getallen.Voor het rekenen met complexe getallen, waarbij er aan de verzameling van de reële getallen de imaginaire getallen worden toegevoegd, zien we een andere les. Dit komt later. De bedoeling is deze les door te werken met behulp van pen en papier.

2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel(Tweedemachts wortel)De vierkantswortel (Engels: square root afkorting sqrt) is de (tweede machts) wortel. Denk aan .

2.1 leer uit het hoofd want

want

want

want

want

want

want

want

want

want

want

In de volgende voorbeelden staan de letters steeds voor positieve reële getallen.Ga zorgvuldig de volgende voorbeelden na en als je het niet helemaal begrijpt, kijk je naar de aanwijzingen die erbij gegeven worden.Vaak zijn er verschillende schrijfwijzen voor dezelfde vorm. Het is belangrijk voor de communicatie dat je álle mogelijke schrijfwijzen kent.De volgende rode voorbeelden zijn eigenlijk basisrekenregels voor wortels. Ga deze in ieder geval even na.

voorbeeld 1De wortel uit is het zelfde als de macht van

De betekenis is de volgende:De uitkomst van is een getal dat in het kwadraat levert.

want

want

Het zal duidelijk zijn dat onder het wortelteken geen negatief getal kan staan.Immers iets in het kwadraat kan niet negatief zijn.

vraag 1 Je zou kunnen zeggen: kan de uitkomst van dan niet zijn? Immers is toch ook 4?

antwoordDe afspraak is dat een wortelfunctie éénwaardig is en dat we de positieve waarde nemen.Dus de uitkomst van is steeds per afspraak een positief getal.

vraag 2

Wat komt er uit als je niet weet of zelf positief of negatief is?

antwoordZie voor de afspraak van de eenwaardige wortelfunctie bij vraag 1.

Je zou kunnen zeggen = x als x positief is en = als x negatief is.

Dus

Korter is te zeggen dat . Zo ben je ingedekt.

vraag 3

Wat is de uitkomst van

antwoord

= 3

Zie bij vraag 1 voor de afspraak die gemaakt is over eenwaardige wortelfuncties.

voorbeeld 2Ga ervan uit dat a en b reëel zijn en positief.Bedenk een voorbeeld van de rekenregel

antwoordEen antwoord zou kunnen zijn:

=

voorbeeld 3Ga na dat

als reëel en positief is.

aanwijzingJe kunt dit op verschillende manieren beredeneren.Het eenvoudigste is om te bedenken dat

=

Ervan uigaande dat dus een positief reëel getal is.Je moet dan natuurlijk wel de rekenregels voor machten kennen.

voorbeeld 4

Bedenk een voorbeeld van de rekenregel

antwoordEen antwoord zou kunnen zijn

=

voorbeeld 5Vaak is het handig om niet al te grote getallen onder het wortelteken te hebben. Maak de getallen onder het wortelteken zo klein mogelijk zodat de formule er eenvoudiger op wordt.

antwoord

Verder kan natuurlijk korter geschreven worden omdat het getal 4 en kwadraatis.

Zoek dus de kwadraten in een groot getal.

voorbeeld 6Zie voorbeeld 5 en vereenvoudig de volgende wortelvormen:

antwoord=

=

=

=

=

=

=

=

3 Optellen en vermenigvuldigen van wortelsZoals in voorbeeld 5 is te zien, kun je gelijke wortels optellen (en aftrekken)Als de wortels ongelijk zijn, kun je niet optellen en aftrekken (maar wel vermenigvuldigen).

kan niet verder opgeteld worden

kan verder geschreven worden als

voorbeeld 7 (optellen en vermenigvuldigen van wortels)Vereenvoudig de volgende wortelvormen waarbij aangenomen wordt dat en reëel en positief zijn.

1

=

antwoordDezelfde wortels kun je optellen tot

2

=

antwoordVermenigvuldigen levert:

=

=

=

3

=

antwoordOngelijke wortels kun je niet verder optellen dus dat blijft zo staan

4

=

antwoordVermenigvuldigen levert:

=

voorbeeld 8 (zoveel mogelijk voor het wortelteken halen)Ga na dat als een positief reëel getal is:

=

aanwijzing

Immers en als gegeven is dat x positief is dan is gelijk aanx.Ook kun je zeggen dat

= = .

Verder is

= = x = Haal altijd zoveel mogelijk vóór het wortelteken.

voorbeeld 9 (breuken onder de wortel)Ga zorgvuldig na voor positieve reële a dat:

=

aanwijzingJe kunt de vorm

ook anders schrijven met behulp van de rekenregel van voorbeeld 2.

=

en onder het wortelteken vervolgens de haakjes wegwerken.

= =

voorbeeld 10 (wortels zo klein mogelijk maken)Ga zorgvuldig na dat

=

Het doel is eigenlijk om het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk te houden.

aanwijzingZie ook voorbeeld 2 dat je kunt schrijven

=

voorbeeld 11 (wortel uit de noemer halen)Ga zorgvuldig na dat

Het doel is eigenlijk om geen wortelvormen in de noemer te hebben.

aanwijzingVermenigvuldig teller en noemer met

=

Immers zie ook voorbeeld 3.

voorbeeld 12 (breuken uit de wortel halen)Ga zorgvuldig na dat

Hier is het doel eigenlijk om geen breuken onder het wortelteken te hebben en geen wortels meer in de noemer.

aanwijzingGa na dat

=

waarbij

trucZorg dus dat je van de noemer een kwadraat maakt zodat de wortel eruit getrokken kan worden.

Dus

voorbeeld 13 (ontbinden onder het wortelteken)Vereenvoudig de volgende wortelvorm:

aanwijzingMisschien zie je dat =

Oefen anders nog met het wegwerken van haakjes en het ontbinden in factoren.

antwoordAls je met letters werkt moet je wel controleren of deze uitkomst wel positief is want de wortel uit een getal is per definitie een positief getal.Zie daarvoor ook bij voorbeeld 1.

voorbeeld 14 (gebroken vorm onder het wortelteken)Vereenvoudig de volgende wortelvorm zodat er geen breuken meer onder het wortelteken staan.

=

antwoordMaak van de vorm onder het wortelteken één breuk en zorg ervoor dat de noemer dan kwadratisch is.

=

Dit kun je verder vereenvoudigen tot:

voorbeeld 15Vereenvoudig de volgende wortelvorm zodat er geen breuken meer onder het wortelteken staan.

=

antwoordVoor het wortelteken staat 9 en daarvan maak je

Nu de twee wortels samen nemen:

Dan de binnenste haakjes wegwerken:

4 WorteltrucBij het volgende voorbeeld heb je nodig de formule die je bij het ontbinden in factoren geleerd hebt. Kijk anders nog even bij het ontbinden in factoren en haakjes wegwerken.

Vergelijk de volgende herleidingen met de standaardvorm hierboven.

=

4.1 Meer voorbeelden worteltrucWerk de haakjes weg om te zien dat het klopt.

= 4

= 3

= 2

Merk op dat je hierdoor na het wegwerken van de haakjes geen wortel meer terugziet!

Dit kun je gebruiken bij het vereenvoudigen van breuken met wortels in de noemer!

4.2 Toepassing van de worteltrucVereenvoudigen van een breuk waarbij er wortels zitten in de noemer.

voorbeeld 16Vereenvoudig de volgende breuk zodat er geen wortels meer in de noemer zit en dat de wortels zo eenvoudig mogelijk worden.

=

aanwijzingVermenigvuldig teller en noemer met .

antwoord

Als je teller en noemer met vermenigvuldigt, verdwijnt de wortel uit de noemer.Er komt dan wel een wortel in de teller tevoorschijn maar dat is minder erg.

=

Herleiden:

=

Minteken verwerken door teller en noemer met -1 te vermenigvuldigen:

=

Zie daarvoor eventueel in de les Minteken in de breuk.

voorbeeld 17Vereenvoudig de volgende breuk zodat er geen wortels meer in de noemer zit en dat de wortels zo eenvoudig mogelijk worden.Ga ervan uit dat a een positief getal is.

aanwijzingVermenigvuldig teller en noemer met .

antwoord

Als je teller en noemer met vermenigvuldigt, verdwijnt de wortel uit de noemer.Er komt dan wel een wortel in de teller tevoorschijn maar dat is minder erg.

=

5 TrainingNeem pen en papier ter hand en maak de volgende opgaven waarbij de gebruikte letters positieve reële getallen voorstellen.Bij het vereenvoudigen van wortelvormen zorg je ervoor dat het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk is en vrij is van breuken. Zorg er ook voor dat in breuken er geen wortels in de noemer zitten. Klik steeds op het antwoord om te zien of je het goed deed.Ga er steeds van uit dat de gebruikte letters staan voor positieve reële getallen.

oefening 1Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk.

aanwijzingOntbind zoveel mogelijk in kwadraten.

antwoord

=

a =

of ook wel als geschreven.Zie ook de rekenregel van voorbeeld 2.

oefening 2Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak de wortelvorm breukvrij.

aanwijzing 1

Maak van de breuk en zie ook voorbeeld 9.

aanwijzing 2Je kunt ook apart de wortel van de teller en de noemer nemen

=

Vervolgens de teller en de noemer met vermenigvuldigen

=

=

antwoord

Dit wordt ook wel geschreven als

oefening 3Vereenvoudig de volgende wortelvorm en zorg dat er geen breuken onder het wortelteken staan.De letter a staat dus voor een positief reëel getal.

aanwijzingHerleid de vorm onder het wortelteken tot één breuk.Zie eventueel in de les over breuken hoe je breuken optelt tot één breuk.

antwoord

=

Onder het wortelteken één breuk maken:

=

Teller en noemer apart de wortel nemen:

oefening 4Vereenvoudig de volgende wortelvorm en zorg ervoor dat hetgeen onder het wortelteken staat zo eenvoudig mogelijk wordt. Ga er weer van uit dat a positief en reëel is.

aanwijzingHaal zoveel mogelijk kwadratische factoren uit de vorm onder het wortelteken.antwoord

=

uitleg

=

Onder het wortelteken buiten haakjes halen

=

Van beide factoren apart de wortel nemen.

oefening 5Vereenvoudig de volgende wortelvorm en zorg ervoor dat hetgeen onder het wortelteken staat zo eenvoudig mogelijk wordt.

=

antwoord

uitlegSteeds anders geschreven waarbij je onder het wortelteken zoveel mogelijk kwadratische factoren maakt (ontbinden in factoren).

=

=

=

=

oefening 6Vereenvoudig de volgende wortelvorm waarbij aangenomen wordt dat de symbolen positief en reëel zijn.

=

aanwijzing

Voor positieve reële y is .

antwoord

=

uitwerking

= = =

oefening 7Vereenvoudig de volgende vorm. De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal zo klein mogelijk is.

=

antwoord =

aanwijzingGa na dat

= Evenzo geldt

=

Zie verder voorbeeld 7 om wortels samen te nemen.

oefening 8Vereenvoudig de volgende vorm. De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal zo klein mogelijk is.

=

antwoord

oefening 9 met machten werkenSchrijf de volgende vormen zo eenvoudig mogelijk met behulp van wortels.

=

tip

Ga na dat en dat = Ga ook eventueel nog de rekenregels van machten repeteren. Deze staan ook in deze les onderaan.antwoord

=

en als je geen wortels in de noemer wilt hebben kun je eventueel nog verder:

=

aanwijzingNeem de machten met gelijke grondtallen bij elkaar.

=

= =

oefening 10Vereenvoudig de volgende vorm zodat er geen breuken meer onder het wortelteken staan.

=

tipJe kunt de teller van de breuk onder het wortelteken ontbinden tot een kwadraat!Als je niet goed kunt ontbinden in factoren, doe dan de oefeningen met Ontbindenin Factoren.antwoord

=

Moeite hiermee? Loop dan nog eens de voorbeelden 1 t/m 8 na en kijk in de volgende tips.extra tip

De wortel van een breuk is de wortel uit de teller gedeeld door de wortel uit de noemer.

=

nog een tipDe wortel uit een kwadraat is gemakkelijk:(Neem in dit geval wel aan dat anders komt er iets negatiefs onder het wortelteken.

Als dan is )

= =

nog een tip

Ga na dat = .

Werk met machten en de rekenregels van machten. ( )

oefening 11 werken met machtenVereenvoudig de volgende wortelvorm

antwoord

=

berekening

=

Onder het wortelteken ontbinden ( buiten haakjes halen).

= Van beide factoren apart de wortel nemen.

=

Als je niet goed met machten kunt werken en met ontbinden in factoren, doe dan eerst de les Werken met machten. Onderaan deze les staan nog even de rekenregels van machten op een rij.

oefening 12 wortel uit de noemer halenVereenvoudig de volgende vorm zodat er in de noemer geen x meer staat.

antwoord

=

aanwijzingDe teller en de noemer is vermenigvuldigd met

oefening 13 met de worteltrucVereenvoudig de volgende vorm zodat er in de noemer geen meer staat.

antwoord

=

aanwijzingJe kunt de teller en de noemer vermenigvuldigen met , want dan komt er na vermenigvuldiging met noemer in ieder geval geen wortel meer in de noemer. Immers .

Als je dit niet goed weet ga dan de haakjes maar wegwerken en dan zie je dat het mooi uitkomt.Dus:

= =

6 Basisrekenregels voor machtenWe noemen de uitdrukking een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a en de exponent is hier het getal 4.

Voor a en b ongelijk aan 0 gelden de volgende algemene rekenregels voor het werken met machten. Hierbij kunnen de getallen m en n (de exponenten) zowel negatief als positief, maar ook gebroken zijn.Eerst oefenen we met gehele exponenten om de rekenregels te leren kennen.Als er een spatie tussen de letters staat, dan betekent dat een vermenigvuldiging: b = .Ga onderstaande rekenregels nog eens na en probeer in gedachten even een voorbeelderbij te bedenken.Als je geen voorbeelden kunt bedenken, ga je naar de les over Machten.

=

=