Werkcollege 1: Krachtvectoren: grafische methode...

1

Mechanica - werkcolleges 2018-2019 Universiteit Gent

Werkcollege 1: Krachtvectoren: grafische methode ______________________________ 4

1.1 Werken met krachten in twee dimensies__________________________________ 4

1.2 Krachtenevenwicht uitdrukken in twee dimensies __________________________ 5

Werkcollege 2: Krachtvectoren: cartesische notatie ______________________________ 7

2.1 Werken met krachten in twee dimensies__________________________________ 7

2.2 Krachtenevenwicht uitdrukken in twee dimensies __________________________ 9

2.3 Werken met krachten in drie dimensies _________________________________ 10

2.4 Krachtenevenwicht uitdrukken in drie dimensies __________________________ 11

Werkcollege 3: Krachtmoment en koppelmoment ______________________________ 13

3.1 Moment van een kracht t.o.v. een punt__________________________________ 13

3.2 Moment van een krachtenkoppel ______________________________________ 14

3.3 Vereenvoudiging van belastingen – bepalen van een resultante ______________ 15

Werkcollege 4: Evenwicht van een voorwerp ___________________________________ 17

4.1 Tekenen van een vrijlichaamschets _____________________________________ 17

4.2 Evenwicht van een voorwerp in twee dimensies ___________________________ 17

Werkcollege 5: Evenwicht van samengestelde structuren _________________________ 20

5.1 Vakwerken ________________________________________________________ 20

5.2 Andere samengestelde structuren ______________________________________ 21

Werkcollege 6: Droge wrijving _______________________________________________ 23

6.1 Statische wrijving ___________________________________________________ 23

6.2 Glijden versus kantelen en rollen _______________________________________ 26

6.3 Wrijving bij riemen - rolweerstand ______________________________________ 27

Werkcollege via zelfstudie: Zwaartepunten_____________________________________ 29

Zwaartepunt van een tweedimensionaal voorwerp _______________________________ 29

Verdeelde belastingen ______________________________________________________ 30

Zwaartepunt van een driedimensionaal voorwerp ________________________________ 31

Herhalingsoefeningen: Statica _______________________________________________ 32

Werkcollege 7: Kinematica van een puntmassa _________________________________ 41

7.1 Verband tussen plaats, snelheid en versnelling ____________________________ 41

7.2 Eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging _____________________________ 43

7.3 Beweging op een kromme baan - cartesisch ______________________________ 43

7.4 Beweging op een kromme baan – tangentieel en normaal ___________________ 44

7.5 Gekoppelde en relatieve beweging _____________________________________ 46

2


Werkcollege 8: Kinematica van een voorwerp (1/2) _____________________________ 48

8.1 Zuivere rotatie _____________________________________________________ 48

8.2 Gelijktijdige translatie en rotatie – de snelheidsvector ______________________ 50

8.3 Gelijktijdige translatie en rotatie – ogenblikkelijke pool _____________________ 51

Werkcollege 9: Kinematica van een voorwerp (2/2) _____________________________ 53

9.1 Gelijktijdige translatie en rotatie – de versnellingsvector ____________________ 53

9.2 Bewegingsanalyse met één enkele parameter ____________________________ 54

Werkcollege 10: Kinetica van een puntmassa: de tweede wet van Newton __________ 56

10.1 Cartesische coördinaten ______________________________________________ 56

10.2 Tangentiële en normale coördinaten ____________________________________ 57

Werkcollege 11: Kinetica van een puntmassa: energie- en impulsmethoden _________ 59

11.1 Energiemethoden ___________________________________________________ 59

11.2 Impulsmethoden ___________________________________________________ 61

Werkcollege 12: Kinetica van een voorwerp ___________________________________ 64

12.1 Massatraagheidsmoment _____________________________________________ 64

12.2 Beweging in het vlak _________________________________________________ 65

12.3 Energie ___________________________________________________________ 67

Herhalingsoefeningen: Dynamica _____________________________________________ 68

3


Algemene informatie

Globale strategie bij het oplossen van vraagstukken in de mechanica:

1. Lees het vraagstuk aandachtig en probeer het verband te zoeken tussen het werkelijke, fysische probleem en de geziene theorie;

2. Maak indien nodig één of meerdere duidelijke (vrijlichaam)schets(en) van het probleem, en duid alle onbekende en bekende belastingen (krachten en krachtenkoppels) en afmetingen en hoeken aan;

3. Pas de relevante wetten uit de mechanica toe en zorg dat ze in een wiskundig bruikbare (scalaire) vorm genoteerd worden. Geef de voorkeur aan de oplossingsmethode zoals gezien tijdens de hoorcolleges;

4. Ga na of alle vergelijkingen dimensioneel homogeen zijn; 5. Los de wiskundige vergelijkingen op, al dan niet met behulp van een rekenmachine; 6. Noteer het antwoord van de vergelijking of stelsel van vergelijkingen; 7. Gebruik je gezond verstand om na te gaan of de verkregen resultaten realistisch zijn.

Standaardnotatie en eenheden:

Er wordt gevraagd om steeds gebruik te maken van de standaardnotaties, -eenheden en -dimensies die tijdens de hoorcolleges gehanteerd worden.

Alternatieve schrijfwijzen kunnen worden toegelaten, maar enkel op voorwaarde dat de betekenis ervan duidelijk en expliciet wordt vermeld.

4


Werkcollege 1: Krachtvectoren: grafische methode

Voorbereiding: theoriecursus hoofdstukken 1 en 2, met specifieke aandacht voor volgende onderwerpen

• Driehoeksmeetkunde • Formule van sinus, cosinus en tangens, sinus- en cosinusregel • Parallellogrammethode (of driehoeksmethode)

• Begrip krachtresultante • Evenwichtsvoorwaarde (statica) bij samenlopende krachten • Begrip krachtenveelhoek (of krachtendriehoek)

1.1 Werken met krachten in twee dimensies

VRAAG 1-1. Indien θ = 30° en T = 6 kN, bepaal de grootte van de resulterende kracht op het haakje, en zijn richting ten opzichte van de positieve x-as. (Antwoord: FR = 8,67 kN, φ = 3,05°)

VRAAG 1-2. Indien FB = 2 kN en de resultante volgens de positieve u-as werkt, bepaal dan de grootte van de resultante en de hoek θ. (Antwoord: FR = 3,92 kN en θ = 78,6°)

Vraag 1-1 Vraag 1-2

VRAAG 1-3. Bepaal de hoek θ waaronder profiel A moet verbonden worden met de plaat zodat de resultante van FA en FB horizontaal komt te liggen naar rechts. Wat is grootte van de resultante? (Antwoord: FR = 10,4 kN en θ = 54,9°)

VRAAG 1-4. Bepaal de componenten van F1 en F2 volgens de u en de v-as. (Antwoord: F1,v = 129 N, F1,u = 183 N, F2,v = 77,6 N en F2,u = 150 N)

5


Vraag 1-3 Vraag 1-4

VRAAG 1-5. Een trolley beweegt op een horizontale ligger als gevolg van de twee krachten die er op ingrijpen. (a) Bepaal, wanneer α = 25°, de grootte van P zo dat de resultante van de krachten verticaal komt te liggen. (b) Wat is de corresponderende grootte van de resultante? (Antwoord: (a) P = 3660 N en (b) FR = 3730 N)

VRAAG 1-6. Een stalen profiel wordt opgetild met twee kettingen. Indien de resultante 600 kN bedraagt en gericht is volgens de positieve y-as, bepaal de groottes van FA en FB op elke ketting en de hoek θ zodat FB minimaal wordt. (Antwoord: θ = 60°, FA = 520 kN en FB = 300 kN)

Vraag 1-5 Vraag 1-6

1.2 Krachtenevenwicht uitdrukken in twee dimensies

VRAAG 1-7. Twee kabels worden aan elkaar geknoopt in C en belast met een kracht P = 500 N. Als α = 60°, bepaal de kracht in kabel AC en kabel BC. (Antwoord: TAC = 305 N en TBC = 514 N)

6


VRAAG 1-8. Twee kabels worden aan elkaar geknoopt in C en belast met een kracht van 660 N. Bereken de kracht die optreedt in beide kabels. (Antwoord: TAC = 350 N en TBC = 530 N)

Vraag 1-7 Vraag 1-8

VRAAG 1-9. Een kist van 50 kg is bevestigd aan een horizontale ligger. Als je weet dat a = 1,5 m, bepaal de kracht in kabel CD en de (reactie)kracht die optreedt in B. (Antwoord: TCD = 498,99 N en RB = 457 N)

VRAAG 1-10. Een dunne ring van 2 kg en straal r = 140 mm hangt aan een gladde wand met een touwtje van 125 mm lang. Bepaal (a) de afstand d, (b) de trekkracht in het touwtje, en (c) de reactiekracht die de muur uitoefent op de ring. (Antwoord: (a) d = 225 mm (b) T = 23,1 N (c) RC = 12,21 N)

Vraag 1-9 Vraag 1-10

7


Werkcollege 2: Krachtvectoren: cartesische notatie

Voorbereiding: theoriecursus hoofdstukken 1 en 2, met specifieke aandacht voor volgende onderwerpen

• Cartesische notatie van een tweedimensionale vector (componentenmethode) • Cartesische notatie van een driedimensionale vector (componentenmethode) • Begrip richtingshoek en richtingscosinus

• Begrip plaatsvector en eenheidsvector • Begrip krachtresultante • Krachtwerking bij touwen, kabels, kettingen, katrollen en veren • Begrip vrijlichaamschets (VLS) • Evenwichtsvoorwaarde bij samenlopende krachten

Opmerking: alle vraagstukken uit werkcollege 1 kunnen eveneens opgelost worden door gebruik te maken van de cartesische notatie.

2.1 Werken met krachten in twee dimensies

VRAAG 2-1. Geef de cartesische notatie van de drie getekende krachten. Stel α = 35°. Bereken ook de grootte van de resultante van de drie krachten. (Antwoord: FR = 309 N)

VRAAG 2-2. Geef de cartesische notatie van de drie getekende krachten. Stel F1 = 600 N en φ = 30°. Bepaal ook de grootte van de resultante op het ooghaakje en zijn richting gemeten vanaf de horizontale positieve x-as. (Antwoord: FR = 702 N en θ = -44,6°)

Vraag 2-1 Vraag 2-2

8


VRAAG 2-3. Bepaal de grootte en de richting van F1 zodat de resultante verticaal naar omhoog gericht is en een grootte van 800 N heeft. (Antwoord: F1 = 275 N en θ = 29,1°)

VRAAG 2-4. Drie krachten werken in op een haakje zodat de grootte van de resulterende kracht

FR = 0. Als F2 = 2/3F1 en F1 ligt loodrecht op F2, bepaal de hoek θ en de vereiste grootte van F3 in functie van F1. (Antwoord: θ = 63,7° en F3 = 1,2·F1)

Vraag 2-3 Vraag 2-4

VRAAG 2-5. Schrijf de drie krachten uit m.b.v. de cartesische notatie. Bepaal de grootte en richting van F1 zodat de resultante volgens de positieve x’-as ligt en een grootte FR = 600 N

heeft. (Antwoord: �⃗⃗� 𝟏 = (𝑭𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 �⃗� 𝒙 + 𝑭𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 �⃗� 𝒚)𝑵, �⃗⃗� 𝟐 = (𝟑𝟓𝟎�⃗� 𝒙)𝑵, �⃗⃗� 𝟑 =

(−𝟏𝟎𝟎�⃗� 𝒚)𝑵, θ = 67,0° en F1 = 434 N)

VRAAG 2-6. Bepaal de grootte van de kracht F zodat de resultante van de drie krachten zo klein mogelijk wordt. Wat is de grootte van deze kleinste krachtresultante? (Antwoord: F = 2,03 kN en FR = 7,87 kN)

Vraag 2-5 Vraag 2-6

9


2.2 Krachtenevenwicht uitdrukken in twee dimensies

VRAAG 2-7. Bepaal de grootte van de kracht in elk van beide stukken touw. Touw BC blijft horizontaal dankzij de roloplegging bij C. AB is 1,5 m lang. Afstand y = 0,75 m. De massa van de kist bedraagt 200 kg. (Antwoord: TBA = 3,92 kN en TBC = 3,40 kN)

VRAAG 2-8. Bepaal de rek in veren AC en AB bij evenwicht van het 2 kg wegende blok. De veren zijn afgebeeld in evenwichtstoestand. (Antwoord: xAC = 0,793 m en xAB = 0,467 m)

Vraag 2-7 Vraag 2-8

VRAAG 2-9. Een weegschaal wordt ontworpen met behulp van een massa van 10 kg, een schaal P van 2 kg, en een (massaloze) katrol en touw. Het touw dat B met de 10 kg wegende massa verbindt is 2 m lang. Stel s = 0,75 m (dit is de afstand tussen C en de pijl). De afmetingen van de katrol mogen verwaarloosd worden. Bepaal de massa D in de schaal. (Antwoord: mD = 11,9 kg)

VRAAG 2-10. Een kabel (met totale lengte 4 m) hangt rond 4 kleine katrollen A, B, C en D. Als je weet dat elke veer 300 mm uitgerekt is, bepaal de massa m van elk blok. Verwaarloos het gewicht van de katrollen en de kabels. De veren bevinden zich in rusttoestand als d = 2 m. (Antwoord: m = 15,6 kg)


10


2.3 Werken met krachten in drie dimensies

VRAAG 2-11. Als de x-en z-componenten van kracht F gelijk zijn aan -300 N en 600 N, en β = 60°, bepaal de grootte van F en zijn y-component. Bepaal ook de richtingshoeken α en γ. (Antwoord: F = 775 N, Fy = 387 N, α = 113° en γ = 39,2°)

VRAAG 2-12. Als de resultante van 𝐹 en 𝐹 1 gelijk is aan 𝐹 𝑅 = (−300𝑒 𝑥 + 650𝑒 𝑦 + 250𝑒 𝑧)𝑁,

bepaal dan de grootte en de richtingshoeken van 𝐹 . (Antwoord: F = 1,15 kN, α = 131° β = 70,5° en γ = 47,5°)


VRAAG 2-13. Als F3 = 9 kN, θ = 30° en φ = 45°, bepaal de grootte en de richtingshoeken van de resultante op het scharnier. (Antwoord: FR = 9,63 kN en α = 115°, β = 97° en γ = 154°)

VRAAG 2-14. Drie krachten werken op een ring. Als de krachtresultante FR een grootte en richting heeft zoals op de figuur, bepaal de grootte en richtingshoek van kracht F3. (Antwoord: F3 = 166 N, α = 97,5°, β = 63,7° en γ = 27,5°)


11


VRAAG 2-15. Bepaal de plaatsvector 𝑟 𝐴𝐵 van A naar B en de lengte van touw AB. De afstand z

bedraagt 4 m. (Antwoord: �⃗� 𝑨𝑩 = (−𝟑�⃗� 𝒙 + 𝟔�⃗� 𝒚 + 𝟐�⃗� 𝒛) en rAB = 7 m)

VRAAG 2-16. Bepaal de grootte en de richtingshoeken van de resultante van beide krachten (i) door gebruik te maken van plaatsvectoren, (ii) m.b.v. driehoeksmeetkunde. De afmetingen van het haakje bij A mogen verwaarloosd worden. (Antwoord: FR = 822 N, α = 72,8°, β = 83,3° en γ = 162°)


2.4 Krachtenevenwicht uitdrukken in drie dimensies

VRAAG 2-17. Bepaal de trekkracht in alle kabels. De plaat weegt 150 kg. (Antwoord: FB = 858 N, FC = 0 en FD = 858 N)

Vraag 2-17

12


VRAAG 2-18. Bepaal de maximale massa van de kist zo dat de trekkracht in geen enkel van de kabels groter wordt dan 3000 N. (Antwoord: m = 102 kg)

Vraag 2-18

VRAAG 2-19 Drie kabels verbinden de luchter (100 kg) met een ring. De ring hangt steeds horizontaal. Welke waarde moet z minimaal aannemen om te zorgen dat de kracht in de kabels nergens 1 kN overschrijdt? (Antwoord: z = 173 mm)

Vraag 2-19

13


Werkcollege 3: Krachtmoment en koppelmoment

Voorbereiding: doornemen theoriecursus hoofdstuk 3, met aandacht voor volgende onderwerpen

• Berekenen van de (grootte van) de momentvector • Stelling van Varignon (de momentenstelling) • Krachtenkoppel

• Vereenvoudigen van krachtenstelsels

3.1 Moment van een kracht t.o.v. een punt

VRAAG 3-1. Als θ = 45°, bepaal de grootte van het moment rond punt A veroorzaakt door de 4 kN grote kracht. Let op: de hoogte van de ligger dient in rekening te worden gebracht. Het punt A is het punt links bovenaan van de ligger. (Antwoord: MA = 7,21 kNm)

VRAAG 3-2. Indien de grootte van het moment rond A veroorzaakt door de 4 kN grote kracht 10 kNm bedraagt, bepaal dan de hoek θ (met 0° ≤ θ ≤ 90°). (Antwoord: θ = 64°)

VRAAG 3-3. Bereken de grootte van het moment dat uitgeoefend wordt door F ten opzicht van A, in functie van de hoek θ. (Antwoord: MA = (-36cos-18sinθ) kNm)

Vraag 3-1 en 3-2 Vraag 3-3

VRAAG 3-4. Een kabel oefent een kracht van 4 kN uit op het uiteinde van een 20 m lange kraanarm. Indien x = 25 m, bepaal de positie θ van de arm zodat de kracht zijn grootste moment veroorzaakt rond punt O. Hoeveel bedraagt dit moment? (Antwoord: θ = 33,6° en MO,max = 80 kNm)

14


VRAAG 3-5. Bereken de momentvectoren veroorzaakt door de kracht van 80 N rond punten A en

B. (Antwoord: �⃗⃗⃗� 𝑨 = {−𝟓, 𝟑𝟗�⃗� 𝒙 + 𝟏𝟑, 𝟏�⃗� 𝒚 + 𝟏𝟏, 𝟒�⃗� 𝒛} 𝑵𝒎 en �⃗⃗⃗� 𝑩 = {𝟏𝟎, 𝟔�⃗� 𝒙 +

𝟏𝟑, 𝟏�⃗� 𝒚 + 𝟐𝟗, 𝟐�⃗� 𝒛} 𝑵𝒎)

Vraag 3-4 Vraag 3-5

VRAAG 3-6. Bereken het resulterend moment veroorzaakt door krachten FB en FC rond punt O.

Druk het resultaat uit met de cartesische notatie. (Antwoord: �⃗⃗⃗� = −𝟕𝟐𝟎�⃗� 𝒙 +𝟕𝟐𝟎�⃗� 𝒚)

VRAAG 3-7. Een kracht van 20 N wordt loodrecht uitgeoefend op de sleutel. Bepaal de grootte en de richtingshoeken van de momentvector die ontwikkeld wordt rond O. (Antwoord: 4,27 Nm, α = 95,2° β = 110° en γ = 20,6°).

Vraag 3-6 Vraag 3-7

3.2 Moment van een krachtenkoppel

VRAAG 3-8. Een wiel wordt onderworpen aan twee koppels. Bereken de kracht F die de lagers uitoefenen op de as zo dat het resulterend moment op het wiel nul wordt. (Antwoord: F = 625 N)

15


VRAAG 3-9. Twee koppels werken in op de ingeklemde balk. Bepaal, met F = 6 kN, het resulterend koppelmoment. (Antwoord: M = -5,20 kNm)

Vraag 3-8 Vraag 3-9

VRAAG 3-10. Bepaal voor een kracht F van 80 N de grootte en de richtingshoeken van het koppelmoment. Het buizenstelsel ligt in het xy-vlak. (Antwoord: 40,8 Nm, α = 11,3° β = 101° en γ = 90°).

VRAAG 3-11. Twee koppels werken in op de pijpconstructie. Bereken de afstand d tussen A en B zo dat het resulterend koppelmoment een grootte MR = 20 Nm heeft. (Antwoord: d = 342 mm).


3.3 Vereenvoudiging van belastingen – bepalen van een resultante

VRAAG 3-12. Vervang deze krachten door een gelijkwaardige kracht en koppelmoment bij B. (Antwoord: FR = 5,93 kN, θ = 77,8° en MRB = 11,6 kNm)

VRAAG 3-13. Vervang deze krachten en het koppel door een gelijkwaardige kracht en koppelmoment bij A. (Antwoord: FR = 50,2 kN, θ = -95,7° en MRA = -239,46 kNm).

16


Vervang de kracht en het koppel nu door één gelijkwaardige kracht. Op welke horizontale afstand van A grijpt deze kracht aan? (Antwoord: d = 4,79 m).


17


Werkcollege 4: Evenwicht van een voorwerp

Voorbereiding: doornemen theoriecursus hoofdstukken 3 en 4, met aandacht voor volgende onderwerpen

• Tekenen van een vrijlichaamschets • Soorten steunpuntsreacties • Formuleren en oplossen van evenwichtsvergelijkingen

4.1 Tekenen van een vrijlichaamschets

VRAAG 4-1. Teken de vrijlichaamschets van container D op de vrachtwagen. De container heeft een massa van 3 ton, en zijn massamiddelpunt is gelegen in G. Hij wordt ondersteund door A en een hydraulische cilinder BC. Leg kort de betekenis uit van elk van de krachten.

VRAAG 4-2. Teken de vrijlichaamschets van staaf ABC. Leg kort de betekenis uit van elk van de krachten.

Vraag 4-1 Vraag 4-2

4.2 Evenwicht van een voorwerp in twee dimensies

VRAAG 4-3. Bepaal de horizontale en verticale componenten van de reactie in A en de kracht in kabel BC. (Antwoord: RAx = 20,8 kN, RAy = 87,7 kN, TBC = 34,62 kN)

VRAAG 4-4. Teken de vrijlichaamschets van dit vakwerk. Leg kort de betekenis uit van elk van de krachten. Bepaal de reactiekracht aan C en de kracht in het touw. (Antwoord: RCx = 5,11 kN, RCy = 4,05 kN en TAB = 5,89 kN)

18


Vraag 4-3 Vraag 4-4

VRAAG 4-5. Los vraagstukken 1-9 en 1-10 op door uitschrijven van krachten- en momentenevenwicht.

VRAAG 4-6. Een massa van 700 kg wordt opgehangen aan de haak van een kraan. De haak kan bewegen van d = 1,7 m tot d = 3,5 m. Bereken de kracht in BC en de grootte van de kracht in A als functie van d. Stel de resultaten grafisch voor. (Antwoord: FBC = 5722,5 d, RAx = 3433,5 d, RAy = 4578 d - 6867)

VRAAG 4-7. Bereken bij deze ingeklemde balk de reactiecomponenten bij 0. (Antwoord: ROx = 1500 N, ROy = 6100 N en M0 = 7560 Nm)

Vraag 4-6 Vraag 4-7

19


VRAAG 4-8. Veer CD blijft horizontaal dankzij de roloplegging bij D. De veer bevindt zich in rusttoestand indien θ = 0°. Indien plaat ABC is evenwicht is bij θ = 30°, bereken de veerconstante k en de horizontale en verticale component van de reactie in A. (Antwoord: k = 1,33 kN/m, RAx = 398 N, RAy = 300 N)

VRAAG 4-9. Bepaal de grootte van de reactie bij C en de kracht in de kabel (θ = 60° en P = 100 N). (Antwoord: T = 66,66 N, RC = 57,7 N)

Vraag 4-8 Vraag 4-9

VRAAG 4-10. Bepaal, indien θ = 30°, de grootte van de reactiekrachten bij B en C (P = 100 N). (RB = 200 N en RC = 123,9 N)

Vraag 4-10

20


Werkcollege 5: Evenwicht van samengestelde structuren


• Principe van actie en reactie • Eigenschappen van een vakwerk • Knooppunt- en snedemethode om krachten in vakwerkstaven te berekenen

• Krachten berekenen in andere samengestelde structuren

5.1 Vakwerken

VRAAG 5-1. Bepaal de krachten in elk van de staven, en geef aan of ze op trek (T) of druk (D) belast zijn. (Antwoord: FDC = 1,34 kN (D), FDE = 1,20 kN (T), FCE = 0, FCB = 1,34 kN (D), FEB = 1,27 kN (D) en FEA = 2,10 kN (T))

VRAAG 5-2. Bepaal de krachten in elk van de staven, en geef aan of ze op trek (T) of druk (D) belast zijn. De grootte van P = 4 kN (Antwoord: FAE = 8,94 kN (D), FAB = 8 kN (T), FBC = 8 kN (T), FBE = 8 kN (D), FEC = 8,94 kN (T) en FED = 17,9 kN (D), FDC = 8 kN (T) en DX = 16 kN)

Vraag 5-1 Vraag 5-2

VRAAG 5-3. De Howe brugligger wordt belast met onderstaande krachten. Bereken de kracht in staven HD, CD en GD, en geef aan of het om trek- of drukkrachten gaat. (Antwoord: FHD = 7,07 kN (D), FCD = 50 kN (T) en FGD = 5 kN (T))

21


VRAAG 5-4. Bereken de kracht in staven DC, HC en HI, en geef aan of het om trek- of drukkrachten gaat. (Antwoord: FHI = 42,5 kN (T), FHC = 100 kN (T) en FDC = 125 kN (D))

Vraag 5-3 Vraag 5-4

5.2 Andere samengestelde structuren

VRAAG 5-5. Bereken de horizontale en verticale componenten van de reacties bij A en C. (Antwoord: AX = 300 N, AY = 300 N, CX = 300 N en CY = 300 N)

VRAAG 5-6. Bereken de componenten van de reacties ter hoogte van de steunpunten. Neem aan dat het koppel van 30 kNm inwerkt op stang EC. (Antwoord: MA = 30 kNm, AX = 0, AY = 5 kN, BY = 15 kN, CY = 5 kN)

Vraag 5-5 Vraag 5-6

VRAAG 5-7. Indien een kracht van 50 N uitgeoefend wordt op het touw, bepaal dan de knipkracht bij D en de horizontale en verticale componenten van de kracht op A. Het touw gaat door een klein katrolletje bij C en een gladde ring bij E. (Antwoord: ND = 333 N, AX = 333 N, AY = 100 N)

22


VRAAG 5-8. Bepaal de horizontale en verticale componenten van de kracht op scharnier A en de reacties op de gladde contactpunten C en D. De grip bij B vangt zowel een horizontale als een verticale krachtcomponent op aan de rand van de 300 kg zware ton. (Antwoord: AX = 12,7 kN, AY = 2,94 kN, NC = 12,7 kN en ND = 1,05 kN)

Vraag 5-7 Vraag 5-8

VRAAG 5-9. Onderstaande weegschaal bestaat uit een aantal hefboomsystemen. Op deze manier kan een klein gewicht in balans blijven met een zeer groot gewicht. Indien x = 450 mm, en de massa van het tegengewicht S 2 kg bedraagt, bepaal de massa L vereist om evenwicht te garanderen. (Antwoord: mL = 106 kg)

VRAAG 5-10. Een man (gewicht 800 N) houdt zich in evenwicht op twee verschillende manieren. Bereken in beide gevallen de totale kracht die hij moet uitoefenen op staaf AB, evenals de reactie die hij uitoefent op platform C. Het gewicht van het platform is 200 N. (Antwoord: (a) F = 1000 N en NC = 1800 N, (b) F = 500 N en NC = 300 N)


23


Werkcollege 6: Droge wrijving


• Wrijvingskracht Fw en maximale statische wrijvingskracht Fs • Statische en kinetische wrijvingscoëfficiënt • Kantelevenwicht

• Wrijving bij een vlakke riem of touw over een cilindervormig oppervlak • Rolweerstand(scoëfficiënt)

6.1 Statische wrijving

VRAAG 6-1. Een 90 kg zware man klimt op een ladder en blijft staan op de getekende positie omdat hij de indruk krijgt dat de ladder dreigt weg te slippen. Bepaal de statische wrijvingscoëfficiënt tussen de onderkant van de ladder en de grond bij θ = 60°. De wand bij B is glad. Het gewicht van de ladder mag verwaarloosd worden. (Antwoord: µs = 0,231)

VRAAG 6-2. Een 50 kg zware paal dreigt weg te glijden ter hoogte van A wanneer θ = 45°. Bepaal de statische wrijvingscoëfficiënt bij A. (Antwoord: µS = 0,306)

Vraag 6-1 Vraag 6-2

VRAAG 6-3. Een kabelhaspel (m = 200 kg) rust op de vloer en steunt tegen de muur. De statische wrijvingscoëfficiënt bij B is µS,B = 0,3, terwijl de kinetische wrijvingscoëfficiënt µk,B =

24


0,2 bedraagt. De muur is glad. Bepaal de ontwikkelde wrijvingskracht ter hoogte van B indien de verticale kracht aan de kabel P = 800 N bedraagt. (Antwoord: FB = 200 N)

VRAAG 6-4. Bepaal de minimale statische wrijvingscoëfficiënt tussen de haspel (massa 50 kg) en de muur, zodanig dat de haspel niet slipt bij A. (Antwoord: μS = 0,577)

Vraag 6-3 Vraag 6-4

VRAAG 6-5. De statische wrijvingscoëfficiënten ter hoogte van de contactpunten A en B zijn µS = 0,4. Bepaal de minimale afstand d tot waar het 34 kg wegende meisje mag staan zonder dat de plank wegglijdt. Het gewicht van de plank mag verwaarloosd worden. (Antwoord: d = 0,92 m)

VRAAG 6-6. Een 45 kg zware cilinder rust op een oppervlak waarbij µS = 0,2. Vind het grootste koppelmoment dat mag uitgeoefend worden op de staaf zonder dat er beweging optreedt. (Antwoord: M = 77,3 Nm)

Vraag 6-5 Vraag 6-6

25


VRAAG 6-7. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen de 150 kg zware kist en de grond is µS = 0,3. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen de schoenen van de 80 kg wegende man en de grond is µS’ = 0,4. Ga na of de man de kist kan verplaatsen. (Antwoord: Ja. De wrijvingskracht bedraagt 376,28 N)

VRAAG 6-8. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen het wiel en de rem bedraagt µs = 0,4. Het koppelmoment M bedraagt 35 Nm. Bepaal de minimaal benodigde kracht P om te verhinderen dat de schijf draait. Bereken ook de corresponderende horizontale en verticale componenten van de reacties bij O. Verwaarloos het gewicht en de dikte van de rem. Het wiel zelf heeft een massa van 25 kg. (Antwoord: P = 350 N, ROX = -280 N en ROY = 945 N)

Vraag 6-7 Vraag 6-8

VRAAG 6-9. Twee grijparmen worden gebruikt om een 150 kg zware kist te tillen. Welke minimale statische wrijvingscoëfficiënt is er nodig om de kist te kunnen tillen? (Antwoord: µS = 0,595)

VRAAG 6-10. Onderstaande constructie wordt gebruikt om een specimen in te klemmen en hem vervolgens aan een trekproef te onderwerpen. Bepaal de grootste hoek θ van de wiggen zo dat het specimen er nooit van tussen kan glijden, ongeacht de grootte van de belasting P die er op werkt. De statische wrijvingscoëfficiënten ter hoogte van A en B zijn respectievelijk µS,A = 0,1 en µS,B = 0,6. De massa van de blokken mag verwaarloosd worden. (Antwoord: θ = 25,3°)

26



VRAAG 6-11. Bepaal de kleinste kracht P die nodig is om de 200 kg zware kist op te tillen. De wrijvingscoëfficiënt is aan alle contactoppervlakken 0,3. De massa van de wig mag verwaarloosd worden. (Antwoord: P = 1,98 kN)

Vraag 6-11

6.2 Glijden versus kantelen en rollen

VRAAG 6-12. Een ton met een gewicht van 500 N staat op de grond (statische wrijvingscoëfficiënt µS = 0,6). Indien a = 0,6 m en b = 0,9 m, bepaal dan de minimaal benodigde kracht P om de ton in beweging te krijgen. (Antwoord: P = 417 N)

VRAAG 6-13. Een ton met een gewicht van 500 N staat op de grond (statische wrijvingscoëfficiënt µS = 0,5). Indien a = 0,9 m en b = 1,2 m, bepaal dan de minimaal benodigde kracht P om beweging van de ton te veroorzaken. (Antwoord: P = 500 N)

27


VRAAG 6-14. Een koelkast met een gewicht van 900 N staat op een vloer, waarbij µS = 0,25. De man weegt 750 N en de statische wrijvingscoëfficiënt tussen zijn schoenen en de vloer bedraagt µS = 0,6. Bepaal of het mogelijk is voor hem om de koelkast in beweging te brengen als hij er horizontaal tegen duwt. Indien ja, kantelt of glijdt de koelkast dan? (Antwoord: Ja, het is mogelijk. De koelkast glijdt.)

Vraag 6-12/13 Vraag 6-14

VRAAG 6-15. De statische wrijvingscoëfficiënten ter hoogte van A en B zijn respectievelijk µS,A = 0,3 en µS,B = 0,4. Bepaal de kleinste kracht P nodig om beweging van de 150 kg zware haspel te veroorzaken. (Antwoord: P = 1,02 kN)

Vraag 6-15

6.3 Wrijving bij riemen - rolweerstand

VRAAG 6-16. Een cilinder (massa 250 kg) hangt aan een touw dat rond een buis gedraaid is. Bepaal de grootste verticale kracht F waarmee aan het touw kan getrokken wordt zonder dat de cilinder zal bewegen. Het koord wordt (a) één maal over de buis gedraaid, en (b) twee maal over de buis gedraaid. De statische wrijvingscoëfficiënt bedraagt µS = 0,2 (Antwoord: (a) F = 4,60 kN en (b) F = 16,2 kN)

VRAAG 6-17. Bereken de kleinste kracht P nodig om te verhinderen dat het wiel draait, indien dit wiel belast wordt met een koppelmoment M = 250 Nm. De statische

28


wrijvingscoëfficiënt tussen de riem en het wiel is µS = 0,3. Het wiel is in zijn middelpunt vastgemaakt door middel van een scharnier. (Antwoord: P = 42,3 N)


VRAAG 6-18. Bereken de kracht in veer AB om te verhinderen dat het wiel draait wanneer dit wiel onderworpen wordt aan een koppelmoment M = 200 Nm. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen de riem en het wiel is 0,2, en tussen de riem en staaf C 0,4. B is een wrijvingsloze katrol. (Antwoord: FAB = 2,32 kN)

VRAAG 6-19. Bepaal de kracht P nodig om de rolweerstand te overwinnen en de 50 kg zware cilinder op de helling te trekken met een constante snelheid. De rolweerstandscoëfficiënt a = 15 mm. (Antwoord: P = 299 N)


29


Werkcollege via zelfstudie: Zwaartepunten


• Gewichtszwaartepunt, massazwaartepunt en geometrisch zwaartepunt • Verdeelde belasting

Zwaartepunt van een tweedimensionaal voorwerp

VRAAG Z-1. De stalen plaat heeft een dichtheid van 7850 kg/m³. Indien zijn dikte 10 mm bedraagt, bepaal dan de horizontale en verticale componenten van de reactie bij A en de spankracht in kabel BC. (Antwoord: FBC = 2,64 kN, AX = 0 en AY = 1,98 kN)

VRAAG Z-2. Bepaal de afstand �̅� van het massamiddelpunt van de gebogen staaf, in functie van de straal r en de hoek α. (Antwoord: �̅� = 𝒓 𝐬𝐢𝐧𝜶 𝜶⁄ )

Vraag Z-1 Vraag Z-2

VRAAG Z-3. Bepaal de afstand �̅� van het massamiddelpunt van de homogene gebogen staaf. De staaf heeft een massa per lengteenheid van 0,5 kg/m. Bepaal ook de reacties ter hoogte van O. (Antwoord: �̅� = 0,546 m, OX = 0, OY = 7,06 N en MO = 3,85 Nm)

30


Vraag Z-3

VRAAG Z-4. Bepaal de ligging van het massamiddelpunt van deze keermuur. (Antwoord: �̅� = 2,22 m en �̅� = 𝟏, 𝟒𝟏 𝒎)

VRAAG Z-5. Bepaal de ligging van het massamiddelpunt van deze geplooide draad (Antwoord: �̅� = 34,4 mm en �̅� = 𝟖𝟓, 𝟖 𝒎𝒎)

Vraag Z-4 Vraag Z-5

Verdeelde belastingen

VRAAG Z-6. Bepaal de reacties ter hoogte van A. (Antwoord: RA = 32,0 kN en MA = 124 kNm)

VRAAG Z-7. Een houten plank tussen twee gebouwen buigt door wanneer er een persoon van 50 kg op staat. Deze vervorming veroorzaakt driehoekige belastingen aan beide uiteinden, met maximale waarden wA en wB. Bereken wA en wB indien de persoon 3 m van de linker kant staat. Het gewicht van de plank mag verwaarloosd worden. (Antwoord: wA = 1,44 kN/m, wB = 1,11 kN/m)

31


Vraag Z-6 Vraag Z-7

VRAAG Z-8. Bepaal de afstand a zo dat de reacties bij A en B gelijk zijn. Bereken tevens de corresponderende reacties. (Antwoord: a = 0,536 m, RA = RB = 761 N)

VRAAG Z-9. Balk AB wordt belast met twee puntlasten en rust op een zachte ondergrond die een lineair verdeelde opwaartse belasting veroorzaakt. Vind de waarden van wA en wB zodat evenwicht verkregen wordt. (Antwoord: wA = 10,00 kN/m, wB = 50,0 kN/m)

Vraag Z-8 Vraag Z-9

Zwaartepunt van een driedimensionaal voorwerp

VRAAG Z-10. Bepaal de ligging van het massamiddelpunt van dit homogene driedimensionale voorwerp (Antwoord: �̅� = 𝟑, 𝟐 𝒎)

VRAAG Z-11. Bepaal de ligging van het massamiddelpunt van dit homogene driedimensionale voorwerp (Antwoord: �̅� = 0,75h en �̅� = 𝒂 𝝅⁄ )

Vraag Z-10 Vraag Z-11

32


Herhalingsoefeningen: Statica

Ter informatie: Hieronder vind je een opsomming van een aantal vaak terugkomende fouten die gemaakt werden tijdens de examenoefeningen van de afgelopen jaren.

• Er wordt geen, een onvolledige of een veel te kleine en onduidelijke vrijlichaamschets getekend: Voor elke oefeningen die gaat over statisch of dynamisch evenwicht is een duidelijke vrijlichaamschets noodzakelijk. Op deze figuur staan alle nodige afmetingen (lengtes en afstanden), hoeken en gekende en niet gekende krachten die als basis dienen voor het uitschrijven van de evenwichtsvergelijkingen. Opmerking: oefeningen die enkel handelen over kinematica worden bij voorkeur ook verduidelijkt met één of meerdere figuren, maar deze figuren noemt met geen vrijlichaamschetsen.

• Er worden krachten in vergelijkingen gebruikt die niet op de vrijlichaamschets staan. In de evenwichtsvergelijkingen mogen enkel variabelen voorkomen die ook terug te vinden zijn op de vrijlichaamschets. De symbolen die gebruikt worden voor deze variabelen dienen identiek te zijn.

• Er wordt geen aandacht geschonken aan het gebruik van vectoren versus scalairen. Elke grootheid die informatie bevat over de grootte en over de oriëntatie in de ruimte of in het vlak dient aangeduid te worden met een vectorteken.

• De vrijlichaamschets bevat niet de juiste reactiecomponenten ter plaatse van de verbindingen (bv. gewone scharnier, rolscharnier en inklemming). Voor een rolscharnier is één component nodig, bij een gewoon scharnier twee. Bij een inklemming is daarbovenop nog een reactiemoment (of inklemmingsmoment nodig) nodig. Normaal gezien kiest men de (onbekende) componenten van de reacties volgens de positieve assen.

• Er wordt gepoogd om gebruik te maken van meer dan drie evenwichtsvergelijkingen bij één (tweedimensionale) vrijlichaamschets. Per vrijlichaamschets (in twee dimensies) kunnen maar drie onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen gebruikt worden. De vierde zal een lineaire combinatie van de eerste drie zijn en is dus praktisch niet bruikbaar.

• Er wordt geen assenstelstel getekend. Van zodra om het even welke vectorvergelijking geprojecteerd wordt (d.w.z. van een vectorvergelijking worden twee of drie scalaire vergelijkingen gemaakt), moet een assenstel getekend worden. In de statica kiest met normaal gezien een cartesisch rechtsdraaiend assenstelsel. Bij voorkeur wordt dit (in twee dimensies) getekend met een x-as positief naar rechts en een y-as positief naar boven. In de dynamica kan eveneens gekozen worden voor een assenstelsel met assen in de tangentiële en normale richting.

33


• Er wordt foutief aangenomen dat de normaalkracht per definitie gelijk is aan het eigengewicht. Dit is absoluut niet algemeen geldig. Het verband tussen de normaalkracht en het eigengewicht vind je enkel nadat de evenwichtsvergelijkingen werden uitgedrukt en uitgerekend. In de meest eenvoudige situaties kan het wel zijn dat N gelijk wordt aan G.

• Er wordt zeer ongestructureerd te werk gaan: Zorg ervoor dat de persoon die de oefening evalueert duidelijk ziet bij welke figuur welke vergelijkingen horen. Noteer ook steeds (in symbolen) welke soort vergelijkingen men aan het opschrijven is, bv. krachtenevenwicht, momentevenwicht, of dat het gaat over een vergelijking die berust op statische wrijving.

• De knooppuntenmethode en/of de snedenmethode worden foutief toegepast op constructies die geen vakwerken zijn. Ga steeds na vooraleer je één van deze methoden gebruikt, of de constructie alle eigenschappen van een vakwerk heeft.

• Er wordt geen onderscheid gemaakt tussen enerzijds Fw en anderzijds Fs = μsN. Enkel wanneer de wrijvingskracht Fw zo groot wordt dat het voorwerp zich (net) niet meer in statisch evenwicht bevindt, wordt de wrijvingskracht Fs = μsN. Indien niet geweten is dat het over zo een grenssituatie gaat, maak je gewoon gebruik van Fw. Achteraf dient er soms een controleberekening uitgevoerd te worden (zie voorbeeldoefeningen).

• De formule omtrent de wrijving van een riem/touw over een rond oppervlak wordt verkeerd gebruikt. Bij wrijving over een ronde buis mag geen gebruik gemaakt worden van één normaalkracht en één wrijvingskracht. (i) Let er op dat je de grootste kracht in de teller zet. Wat de grootste kracht is, hangt af van het vraagstuk. De contacthoek β wordt uitgedrukt in radialen.

• Het krachtmoment wordt onjuist berekend. Er zijn tal van mogelijkheden om het krachtmoment in twee en drie dimensies te berekenen (zie hoofdstuk 3). Let steeds goed op of er naar de krachtmomentvector of naar de grootte van het moment gevraagd wordt.

• Een koppelmoment wordt vervangen door maar één kracht. Een koppelmoment mag enkel vervangen worden door twee parallelle, evenwijdige en tegengestelde krachten (men noemt dit een krachtenkoppel). Praktisch gezien is er nochtans geen enkel voordeel om dit laatste effectief te doen.

• Vraagstukken die handelen over het vervangen van een krachtenstelsel door één kracht worden verward met vraagstukken omtrent het bepalen van reactiekrachten. Vervangen van een krachtenstelsel door één kracht wil zeggen dat die ene kracht dezelfde reactiekrachten als gevolg zal hebben als het originele krachtenstelsel. Er wordt (niet noodzakelijk) gevraagd om de reactiekrachten te berekenen.

• Op éénzelfde oppervlak wordt meer dan één wrijvingskracht getekend. Op één oppervlak kan er maar één wrijvingskracht bestaan.

34


• Het stelsel vergelijkingen wordt verkeerd uitgerekend. Ondanks het feit dat de evenwichtsvergelijkingen correct genoteerd staan, wordt het bijhorende stelsel van vergelijkingen foutief uitgerekend (zelfs met het gebruik van de grafische rekenmachine).

• In een vrijlichaamschets worden foutief ook de inwendige krachten getekend (bv. de contactkrachten tussen twee voorwerpen wanneer een vrijlichaamschets van twee voorwerpen tegelijk getekend worden). Er mogen geen krachten getekend worden die uitgeoefend worden tussen de voorwerpen binnenin de vrijlichaamschets, tenzij het om een eigengewicht of een uitwendige belasting gaat. Inwendige krachten mogen enkel getekend worden op een vrijlichaamschets wanneer bv. een staaf wordt ‘doorgeknipt’, zoals bij een vakwerk vaak gebeurt. In dat geval wordt de inwendige kracht getekend als druk- of trekkracht aan de rand van de vrijlichaamschets.

• Bij complexere vraagstukken kan men niet met zekerheid op voorhand weten op welke manier een voorwerp / de constructie uit evenwicht zal gebracht worden (bv. glijden versus kantelen). In dat geval dient men meerdere mogelijkheden afzonderlijk te bestuderen, met telkens een andere bijhorende vrijlichaamschets), en achteraf na te gaan welke mogelijkheid zich effectief zal voordoen. Het feit dat je meerdere manieren zal bestuderen, dien je in woorden bondig te noteren.

VRAAG S-1. Een man poogt een stapel boeken vast te houden door een drukkracht uit te oefenen van 120 N aan beide kanten van de stapel. Elk boek weegt 0,95 kg. Bepaal het maximaal aantal boeken dat op deze manier kan vastgehouden worden. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen twee boeken en tussen zijn hand en een boek bedragen respectievelijk µS,B = 0,4 en µS,H = 0,6. (Antwoord: n = 12)

VRAAG S-2. Twee staven zijn scharnierend met elkaar verbonden. Bepaal de trekkracht in de kabel en de grootte van de componenten van de kracht die via scharnier B wordt overgedragen. De zwarte lijn bij C stelt een touw voor. (Antwoord: T = 2320 N; RBx = 570 N en RBy = 1160 N)

35


Vraag S-1 Vraag S-2

VRAAG S-3. Bepaal in onderstaande constructie alle reactiecomponenten bij A en D. De cilinder weegt 50 kg. (Antwoord: RAx = 695 N; RAy = 245 N; RDx = 695 N ; RDy = 245 N)

VRAAG S-4. Beide cilinders wegen 50 kg. De wrijvingscoëfficiënten zijn respectievelijk µS,A = µS,B = µS,C = 0,5 en µS,D = 0,6. Bepaal het kleinste koppelmoment M nodig om cilinder E aan het draaien te brengen. (Antwoord: M = 90,6 Nm)

Vraag S-3 Vraag S-4

VRAAG S-5. Drie identieke boeken (gewicht G en lengte a) liggen gestapeld zoals op onderstaande figuur. Bepaal de maximale afstand d zodat de stapel niet begint te kantelen.

(Antwoord: d = 0,75a)

36


VRAAG S-6. Een dunne staaf met lengte l wordt ondersteund in een gladde buis. Bepaal de nodige afstand a om evenwicht te bereiken bij belasting P. (Antwoord: a = ((4r²l)2/3 – 4r²)1/2)

Vraag S-5 Vraag S-6

VRAAG S-7. Blokken A, B en C hebben een gewicht van respectievelijk 50, 25 en 15 N. Bepaal de kleinste kracht P nodig om beweging te veroorzaken. De statische wrijvingscoëfficiënten zijn: tussen A en B 0,3; tussen B en C 0,4 en tussen C en de grond 0,35. (Antwoord: P = 45 N)

VRAAG S-8. Twee kabels worden gebruikt om een overhangende balk en het gewicht van 1500 N in evenwicht te houden. Indien de krachtresultante gelegen is op de balk van A naar O, bepaal de grootte van de krachtresultante en krachten FB en FC. Stel x = 3 m en z = 2 m. (Antwoord: FB = 2,42 kN, FC = 1,62 kN en FR = 3,46 kN)

Vraag S-7 Vraag S-8

VRAAG S-9. Bereken de kleinste horizontale kracht P nodig om de 100 kg zware cilinder op te tillen. De statische wrijvingscoëfficiënt bij contactpunt A bedraagt 0,6 en de statische wrijvingscoëfficiënt bij contactpunt B bedraagt 0,2. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen de wig en de grond is 0,3.

37


VRAAG S-10. Een horizontale kracht P = 200 N wordt uitgeoefend zoals op bovenstaande figuur. Bereken in dit geval hoe groot het koppelmoment maximaal mag zijn waarbij het wiel net niet begint te draaien. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen de kabel en het wiel bedraagt 0,3.

Vraag S-9 Vraag S-10

VRAAG S-11. De laadbak van een tractor bevat 500 kg grond. Bereken de krachten die optreden in de hydraulische cilinders IJ en BC ten gevolge van deze belasting. (Antwoord: FBC = 15,4 kN en FIJ = 9,06 kN)

VRAAG S-12. Een 200 kg zwaar motorblok hangt aan een hijskraan. Bepaal de kracht die op de hydraulische cilinder AB werkt, alsook de horizontale en verticale componenten van de kracht op scharnier C en de reactie aan steunpunt (inklemming) D. (Antwoord: FAB = 9,23 kN, CX = 2,17 kN, CY = 7,01 kN, DX = 0, DY = 1,96 kN en MD = 2,66 kNm)


38


VRAAG S-13. Bepaal de reactiekrachten aan A en B. (Antwoord: RAx = 51132,5 N; RAy = -16666,7 N; RB = 33333,3 N)

VRAAG S-14. Bepaal de grootte van de krachten die bij A en B op de cilinder werken. (Antwoord: RA = 236 N; RB = 144 N)


VRAAG S-15. Bereken de grootte van de reactiecomponenten bij C en de grootte van de kracht die overgedragen wordt via scharnier D. (Antwoord: RCx = 300 N; RCy = 400 N; RD = 400 N)

VRAAG S-16. Bepaal de reacties in A en in B. (Antwoord: RAx = 0 N, NB = 900 N, MA = 1,49 kNm)


39


VRAAG S-17. Bepaal de grootste kracht P die mag uitgeoefend worden zonder dat één van beide blokken beweegt (Antwoord: Pmax = 20 N)

VRAAG S-18. De haspel weegt 25 N en blok C weegt 50 N. Bepaal de grootste kracht P die mag uitgeoefend worden zonder het statisch evenwicht van het systeem te verstoren. (Antwoord: Pmax = 36 N)


VRAAG S-19. Bepaal de grootte en het aangrijpingspunt x van de resultante van de lijnlast op deze balk. (Antwoord: R = 105 kN en x ligt op 5,62 m van O)

VRAAG S-20. Een balk van 210 kg hangt aan een touw en steunt op enkele rollers. Hoe groot is de trekkracht in het touw. (Antwoord: T = 2060,1 N)


40


VRAAG S-21. Bepaal de grootste hoek θ en kleinste wrijvingscoëfficiënt bij A waarbij de cilinder niet meer kan bewegen, ongeacht de grootte van de kracht P die wordt uitgeoefend op de riem. Verwaarloos het gewicht van de cilinder en de wrijving tussen de riem en het verticale oppervlak. De wrijvingscoëfficiënt bij B is 0,3. (Antwoord: θ = 33,4° en μs = 0,3)

Vraag S-21

41


Werkcollege 7: Kinematica van een puntmassa


• Definities van snelheid en versnelling • Formules horend bij de eenparige rechtlijnige veranderlijke beweging • Bewegingsvergelijkingen van een projectiel

• Werken met normale en tangentiële componenten • Relatieve en gekoppelde beweging

7.1 Verband tussen plaats, snelheid en versnelling

VRAAG 7-1. De positie van een puntmassa P wordt gegeven door 𝑟 (𝑡) = (3𝑡³ − 2𝑡)𝑒 𝑥 −

(4𝑡1/2 + 𝑡)𝑒 𝑦 + (3𝑡2 − 2)𝑒 𝑧. Bepaal de grootte van de snelheid en de versnelling

van P op t = 2 s (Antwoord: v = 36,1 m/s en a = 36,5 m/s²)

VRAAG 7-2. Een puntmassa maakt een cirkelvormige beweging van A naar B in 1 s. Als het 3 s duurt om van A naar C te gaan, bepaal dan de gemiddelde snelheid van B naar C (in vectorvorm). (Antwoord: �⃗⃗� 𝒈𝒆𝒎 = 𝟑, 𝟖𝟖�⃗� 𝒙 + 𝟔, 𝟕𝟐�⃗� 𝒚)

Vraag 7-2

VRAAG 7-3. Een puntmassa P verplaatst zich op een rechte baan met een snelheid v = (12-3t²) m/s, met t in seconden. Op t = 1 s bevindt de puntmassa zich op 10 m links van de oorsprong. Bepaal de versnelling op t = 4 s, de afstand tussen t = 0 en t = 10 s, en de weg die P aflegt in dit tijdsinterval. (Antwoord: a = -24 m/s², afstand = -880 m en afgelegde weg = 912 m)

42


VRAAG 7-4. Een trein vertrekt vanuit station A en gedurende de eerste kilometer ondervindt deze een gelijkmatige versnelling. De volgende twee kilometer rijdt de trein verder met een gelijkmatige snelheid. Tenslotte vertraagt de trein gelijkmatig over nog een kilometer en komt dan tot stilstand op station B. De rit duurt alles bij elkaar 6 minuten. Teken de v-t grafiek en bepaal de maximale snelheid van de trein. (Antwoord: vmax = 16,7 m/s)

VRAAG 7-5. De positie van een wielrenner wordt gegeven op onderstaande grafiek. Teken de grafieken van v-t en a-t.

VRAAG 7-6. Een wagen vertrekt vanuit rust en rijdt op een weg met een snelheid zoals gegeven in de grafiek. Bepaal de totale afgelegde weg tot wanneer de wagen stopt. Teken de s-t en de a-t grafieken. (Antwoord: s = 1350 m)

Vraag 7-5 Vraag 7-6

VRAAG 7-7. Het verband tussen versnelling en positie van een terreinwagen wordt hieronder gegeven. Teken de grafiek van snelheid versus positie. De snelheid v = 0 wanneer s = 0.

VRAAG 7-8. Een boot verplaatst zich volgens onderstaande grafiek. Teken de s-t en a-s grafieken, en bereken de tijd die de boot nodig heeft om een afstand s = 400 m af te leggen indien s = 0 op t = 0. (Antwoord: t = 16,9 s)

43


Vraag 7-7 Vraag 7-8

7.2 Eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging

VRAAG 7-9. Een wagen vertrekt vanuit rust met een constante versnelling, en bereikt een snelheid van 15 m/s na 200 m. Bereken de versnelling van de wagen en de tijd nodig om deze snelheid te halen. (Antwoord: ac = 0,5625 m/s² en t = 26,7 s)

VRAAG 7-10. Een auto heeft een beginsnelheid van 25 m/s en een constante vertraging van 3 m/s². Bepaal de snelheid van de auto op t = 4 s. Hoe groot is de verplaatsing van de auto tijdens dit tijdsinterval van 4 s? Hoeveel tijd is er nodig om de auto te laten stoppen. (Antwoord: v = 13 m/s, Δs = 76 m en t = 8,33 s)

VRAAG 7-11. Een bal wordt vanop het dak van een 10 m hoog gebouw verticaal omhoog geworpen met een snelheid van 5 m/s. Eén seconde later wordt een andere bal van op de grond omhoog gegooid met een snelheid van 10 m/s. Bepaal de hoogte (boven de grond) waarop de twee ballen elkaar kruisen. (Antwoord: h = 4,54 m)

7.3 Beweging op een kromme baan - cartesisch

VRAAG 7-12. Een skateboarder verlaat de ramp op punt A met een snelheid vA. Als hij 5 m verder terug de grond raakt, bepaal deze snelheid vA en de totale vluchttijd (Antwoord: vA = 6,49 m/s en t = 0,89 s)

VRAAG 7-13. Een projectiel wordt afgevuurd vanop een platform B. De schutter vuurt zijn wapen onder een hoek van 30°. Bepaal de beginsnelheid van de kogel zodat deze het projectiel kan raken bij C. (Antwoord: vA = 28,0 m/s)

44



VRAAG 7-14. Een projectiel wordt afgevuurd met een snelheid v = 60 m/s onder een hoek van 60°. Een tweede projectiel wordt 0,5 s later afgevuurd. Bepaal de hoek van dit tweede projectiel zodat beide projectielen elkaar raken. Waar zal dit gebeuren? (Antwoord: θ = 57,6° en x = 222 m en y = 116 m)

VRAAG 7-15. Een skischansspringer verlaat de schans onder een hoek van 25°, en komt terug op de grond bij B. Bepaal de beginsnelheid en de vluchttijd. (Antwoord: v = 19,4 m/s en t = 4,54 s)


7.4 Beweging op een kromme baan – tangentieel en normaal

VRAAG 7-16. Een motorboot start vanuit rust en volgt een cirkelvormige baan (r = 50 m) met een snelheid v = 0,8t m/s. Bepaal de grootte van de snelheid en de versnelling wanneer hij 20 m afgelegd heeft (Antwoord: v = 5,66 m/s en a = 1,02 m/s²).

VRAAG 7-17. Een auto rijdt over een cirkelvormige baan waarbij de snelheid opgevoerd wordt volgens at = (0,5 et) m/s², met t de tijd in s. Bepaal de grootte van de snelheid en de versnelling van de auto wanneer deze s = 18 m vanuit stilstand heeft afgelegd. Verwaarloos de afmetingen van de auto. (Antwoord: v = 19,9 m/s en a = 24,2 m/s²)

45



VRAAG 7-18. Een rollercoaster heeft een snelheid van 25 m/s bij punt B en deze snelheid neemt toe met 3 m/s². Bepaal de grootte van de versnelling van de rollercoaster en de hoek die deze maakt met de x-as. (Antwoord: a = 8,43 m/s² en θ = 38,2°)

VRAAG 7-19. Een bal beweegt met gegeven beginsnelheid en hoek. Bepaal de bewegingsvergelijking y=f(x) van de bal, en bereken de normale en tangentiële component van de versnelling op het ogenblik t = 0,25 s. (Antwoord: y = 0,839x – 0,131x², at = 3,94 m/s² en an = 8,98 m/s²)


46


7.5 Gekoppelde en relatieve beweging

VRAAG 7-20. Punt A beweegt naar beneden met een snelheid van 5 m/s. Bepaal de snelheid van B. (Antwoord: vB = 20 m/s (opwaarts))

VRAAG 7-21. De man trekt de jongen via de tak op door zelf achteruit te lopen. Hij start vanuit stilstand als xA = 0 en loopt achteruit met een constante versnelling aA = 0,2 m/s² Bepaal dan de snelheid van de jongen als yB = 4 m. Verwaarloos de afmeting van de tak. Wanneer xA = 0, is yB = 8 m, zodat A en B samenvallen; het touw is dus 16 m lang. (Antwoord: vB = 1,41 m/s)


VRAAG 7-22. Een wagen rijdt met een constante snelheid van 100 km/h. De regen valt met 6 m/s zoals op de figuur. Bepaal de grootte van de snelheid van de regen zoals gezien door de chauffeur. (Antwoord: vR/C = 31,2 m/s)

VRAAG 7-23. Op het getoonde ogenblik rijdt wagen A op een recht stuk baan met een snelheid van 25 m/s. Op ditzelfde ogenblik rijdt B op een cirkelvormige deel van de baan met een snelheid van 15 m/s. Bepaal de snelheid van wagen B t.o.v. wagen A en teken de relatieve snelheidsvector. (Antwoord: vB/A = 11,2 m/s)

47



VRAAG 7-24. Wagen B rijdt langs een gebogen baan met een snelheid van 15 m/s terwijl zijn snelheid afneemt met 2 m/s². Op dit zelfde ogenblik rijdt wagen C op een recht stuk baan met een snelheid van 30 m/s terwijl zijn snelheid afneemt met 3 m/s². Bepaal de grootte snelheid en versnelling van wagen B ten opzichte van wagen C. Teken beide vectoren op de figuur. (Antwoord: vB/C = 18,6 m/s en aB/C = 0,959 m/s²)

Vraag 7-24.

48


Werkcollege 8: Kinematica van een voorwerp (1/2)


• Herkennen van soorten beweging: translatie, rotatie en een samengestelde beweging • Rotatie - Begrippen hoeksnelheid en hoekversnelling van een voorwerp • Rotatie - Vectornotatie van hoeksnelheid en hoekversnelling

• Samengestelde beweging a.d.h.v. vectornotatie • Samengestelde beweging a.d.h.v. de ogenblikkelijke pool

8.1 Zuivere rotatie

VRAAG 8-1. Wanneer slechts twee tandwielen in elkaar grijpen, zullen het aandrijvende tandwiel A en het aangedreven tandwiel B altijd tegen elkaar indraaien. Om ze in dezelfde richting te laten draaien, wordt een tussentandwiel C toegepast. Bepaal, in de weergegeven situatie, de hoeksnelheid van tandwiel B op t = 5 s, als tandwiel A vanuit stilstand start en een hoekversnelling heeft van αA = (3t+2) rad/s², waarbij t de tijd is, uitgedrukt in seconden. (Antwoord: ωB = 31,7 rad/s)

VRAAG 8-2. De motor van de elektrische boormachine drijft de as van het anker S aan met een hoeksnelheid ωS = (100t1/2) rad/s. Bepaal de hoeksnelheid en de hoekversnelling van de as op het ogenblik dat deze vanuit stilstand 200 omwentelingen heeft gemaakt. (Antwoord: ωS = 266 rad/s en αS = 18,8 rad/s²)

Vraag 8-1 Vraag 8-2

49


VRAAG 8-3. Het mes C van de elektrische schaafmachine wordt aangedreven door riemschijf A op de as van het anker van de motor. De constante hoekversnelling van de riemschijf A is αA = 40 rad/s². Bepaal de hoeksnelheid van de as B als A 400 omwentelingen heeft gemaakt en vanuit stilstand in beweging kwam. (Antwoord: ωC = 224 rad/s)

VRAAG 8-4. Gedurende een korte tijd draait tandwiel A van de startmotor met een hoekversnelling αA = (50ω1/2) rad/s², waarbij ω uitgedrukt wordt in radialen per seconde. Bepaal de hoeksnelheid van tandwiel B nadat tandwiel A vanuit stilstand 50 omwentelingen heeft gemaakt. De stralen van de tandwielen A en B zijn 10 en 25 mm. (Antwoord ωB = 329 rad/s)

Vraag 8-3 Vraag 8-4

VRAAG 8-5. Tandwiel A draait met een constante hoeksnelheid ωA = 6 rad/s. Bepaal de grootste hoeksnelheid van tandwiel B en de snelheid van punt C bij die grootste hoeksnelheid. (Antwoord: ωB,max = 8,49 rad/s en vc = 0,6 m/s)

VRAAG 8-6. De fietser trapt op de pedalen waardoor die in eerste instantie 12 omw/min maken en hij versnelt vervolgens met 8 omwentelingen/min². Bepaal de hoeksnelheid van het vliegwiel F na 2 omwentelingen van de pedaalas. Merk op de dat de pedaalas vast verboden is met het kettingwiel A, dat op zijn beurt de poelie B aandrijft via het vast bevestigde tandwiel D. De aandrijfriem loopt over de poelie en de schijf E, die vast bevestigd is op het vliegwiel. (Antwoord: ωF = 484 omw/min)

Vraag 8-5 Vraag 8-6

50


8.2 Gelijktijdige translatie en rotatie – de snelheidsvector

VRAAG 8-7. Een bowlingbal wordt met een backspin ω = 10 rad/s gegooid, waarbij het middelpunt van de bal een voorwaartse snelheid v0 = 8 m/s heeft. Bepaal de snelheid van het contactpunt A met de baan. (Antwoord: vA = 9,20 m/s)

VRAAG 8-8. Door de rotatie van stang AB gaat tandwiel F heen en weer bewegen. Kruk AB heeft een hoeksnelheid ωAB = 6 rad/s. Bepaal de hoeksnelheid van tandwiel F op het ogenblik dat is weergegeven in de figuur. Het halve tandwiel E is vast bevestigd aan arm CD en scharniert bij D om een vast punt. (Antwoord: ωF = 12 rad/s)

Vraag 8-7 Vraag 8-8

VRAAG 8-9. Ring D draait tegenwijzerzin met ωD = 5 rad/s terwijl AB in wijzerzin draait met ωAB = 10 rad/s. Bepaal de hoeksnelheid van tandwiel C. (Antwoord: ωc = 50 rad/s)

VRAAG 8-10. Staaf AB heeft een hoeksnelheid ωAB = 4 rad/s. Bepaal de snelheid van de glijder C op het ogenblik dat is weergegeven in de figuur. (Antwoord: vc = 1,04 m/s)


51


VRAAG 8-11. Het mechanisme van een heen en weer bewegende druktafel wordt aangedreven met een kruk AB. De kruk heeft een hoeksnelheid ω = 10 rad/s. Bepaal de snelheid van punt C op het ogenblik dat is weergegeven in de figuur. (Antwoord: vc = 2,199 m/s)

Vraag 8-11

8.3 Gelijktijdige translatie en rotatie – ogenblikkelijke pool

OPMERKING: Onderstaande oefeningen kunnen ook opgelost worden met de methoden gebruikt in voorgaande paragraaf 8.2.

VRAAG 8-12. Op het getoonde ogenblik rijdt de vrachtwagen naar rechts terwijl de buis in tegenwijzerzin draait met 6 rad/s (zonder te slippen in B). Bereken de snelheid van het midden (zwaartepunt) G. (Antwoord: vG = 6 m/s)

VRAAG 8-13. Bepaal de hoeksnelheid van het wiel op het getekende ogenblik. (Antwoord: ω = 22,8 rad/s)


52


VRAAG 8-14. Uiteinde A van het koord wordt naar beneden getrokken met een snelheid vA = 4 m/s. Bepaal de hoeksnelheid van de haspel en de snelheid van C. (Antwoord: ω = 16 rad/s en vC = 8, 94 m/s)

VRAAG 8-15. Bepaal de snelheid van O op het getekende ogenblik. (Antwoord: vO = 1,04 m/s)


53


Werkcollege 9: Kinematica van een voorwerp (2/2)


• Rotatie - Begrippen hoeksnelheid en hoekversnelling van een voorwerp • Rotatie - Vectornotatie van hoeksnelheid en hoekversnelling • Samengestelde beweging a.d.h.v. vectornotatie

• Samengestelde beweging met de parametermethode

9.1 Gelijktijdige translatie en rotatie – de versnellingsvector

VRAAG 9-1. De schijf rolt zonder te glijden naar links met gegeven hoeksnelheid en –versnelling. Bepaal de versnelling van B en D. (Antwoord: aB = 2,25 m/s² en aD = 10,00 m/s²)

VRAAG 9-2. Een hydraulische cilinder beweegt met een snelheid vA = 1,5 m/s en een versnelling aA = 0,5 m/s². Bepaal de grootte van de hoekversnelling van ABC en de versnelling van C op het getoonde ogenblik. B is scharnierend verbonden met de glijder. (Antwoord: αABC = 41,63 rad/s² en aC = 38,2 m/s²)

Vraag 9-1 Vraag 9-2

VRAAG 9-3. Een hydraulische cilinder beweegt met getoonde snelheid en versnelling. Bepaal de hoekversnelling van AB en BC op het getoonde ogenblik. (Antwoord: αBC = -160,44 rad/s² en αAB = 172,93 rad/s²)

54


VRAAG 9-4. Bepaal de hoekversnelling van AB als CD met de getoonde hoeksnelheid en versnelling beweegt. (Antwoord: αAB = -36 rad/s²)

Vraag 9-3 Vraag 9-4

VRAAG 9-5. Tandwiel A draait in tegenwijzerzin met een constante hoeksnelheid ωA = 10 rad/s, terwijl arm DE draait in wijzerzin met een hoeksnelheid ωDE = 6 rad/s en een hoekversnelling van αDE = 3 rad/s². Bepaal de hoekversnelling van tandwiel B op het getekende ogenblik. (Antwoord: αB = 7,5 rad/s²)

Vraag 9-5

9.2 Bewegingsanalyse met één enkele parameter

VRAAG 9-6. Bepaal de snelheid en versnelling van platform P in functie van θ indien C draait met een constante hoeksnelheid. Ter info: Het platform kan enkel verticaal bewegen.

55


Neem aan dat het scharnier zelf de beweging van P niet hindert. (Antwoord: v =

ωrcosθ en a = -ω²rsinθ)

VRAAG 9-7. Een brugligger G van een ophaalbrug wordt in beweging gebracht door een hydraulische cilinder AB. Indien AB verkort met een constante snelheid van 0,15 m/s, bereken dan de hoeksnelheid van de ligger bij θ = 60°. (Antwoord: ω = 0,0808 rad/s)

Vraag 9-6 Vraag 9-7

56


Werkcollege 10: Kinetica van een puntmassa: de tweede wet van Newton


• De bewegingsvergelijking (2de wet van Newton) in verschillende coördinatenstelsels

10.1 Cartesische coördinaten

VRAAG 10-1. Een wagen van 2 ton rijdt met 15 m/s. Wanneer de chauffeur de remmen op alle wielen bedient, slipt de wagen over een afstand van 10 m en komt tot stilstand. Bepaal de constante horizontale kracht die in de koppeling C ontwikkeld wordt en de wrijvingskracht tussen de banden van de wagen en de weg tijdens dit tijdsinterval. De massa van de boot en de trailer is samen 1000 kg. De trailer heeft geen remmen. (Antwoord: T = 11,25 kN en F = 33,75 kN)

VRAAG 10-2. Blokken A (10 kg) en B (6 kg) worden op een helling losgelaten. Bepaal de grootte van de kracht in de verbindingsstang. Is dit een drukkracht of een trekkracht? De wrijvingscoëfficiënt tussen de blokken en de helling bedragen respectievelijk µA = 0,1 en µB = 0,3. De massa van de stang mag verwaarloosd worden. (Antwoord: F = 6,37 N)


VRAAG 10-3. Blok B met massa m wordt losgelaten op een wagentje A (met massa 3m). Bepaal de kracht in touw CD die nodig is om het karretje op zijn plaats te houden wanneer B naar beneden glijdt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen A en B is µk. (Antwoord: T = mgcosθ(sinθ - µkcosθ))

57


VRAAG 10-4. Een man van 75 kg klimt op een touw met een versnelling van 0,25 m/s², gemeten ten opzichte van het touw. Bepaal de trekkracht in het touw en de versnelling van massa A (80 kg). (Antwoord: T = 769 N, aA = 0,195 m/s²)


10.2 Tangentiële en normale coördinaten

VRAAG 10-5. Blok B (2 kg) en cilinder A (15 kg) zijn met elkaar verbonden d.m.v. een touw door een gat in een gladde tafel. Het blok beweegt in een cirkelvormige baan met straal r = 1,5 m. Bepaalde de snelheid van het blok. (Antwoord: v = 10,5 m/s)

VRAAG 10-6. In zijn laagste punt heeft de kogel (30 kg) een snelheid v = 4 m/s. Bepaal op dit ogenblik de trekkracht T0 in het touw. Bepaal tevens de maximale uitwijking van de kogel (d.w.z. waar de kogel ogenblikkelijk stil blijft hangen). Bepaal de trekkracht T20 in het touw en de grootte van de snelheidsverandering van de kogel wanneer θ = 20°. De grootte van de kogel mag verwaarloosd worden. (Antwoord: T0 = 414 N, θ = 37,2°, T20 = 361 N en at = 3,36 m/s²)

58



VRAAG 10-7. Een slede en de persoon erop hebben een totale massa van 90 kg en glijden naar beneden langs de (gladde) helling. Op het ogenblik dat x = 10 m heeft de slede een snelheid van 5 m/s. Bepaal de verandering van de snelheidsgrootte op dit punt en de normaalkracht die de helling uitoefent op de slede. Verwaarloos bij de berekening de afmetingen van de slede en de persoon erop. (Antwoord: at = 8,32 m/s² en N = 522 N)

VRAAG 10-8. Bepaal de minimale snelheid die aan de 2,5 kg zware doos bij A moet gegeven worden om in contact te blijven met de baan. Bereken ook de snelheid bij B. De straal van de baan bedraagt 1,2 m. (Antwoord: vmin = 7,67 m/s en vB = 3,86 m/s).


59


Werkcollege 11: Kinetica van een puntmassa: energie- en impulsmethoden


• Verband tussen arbeid en kinetische energie

• Wet van behoud van (mechanische) energie • Principe van krachtstoot en impuls • Impulsbehoud en botsing

11.1 Energiemethoden

VRAAG 11-1. Het blok met een massa van 1,5 kg glijdt over een glad oppervlak en botst tegen een niet-lineaire (!) veer met een snelheid v = 4 m/s. De veer wordt niet-lineair genoemd, omdat deze een weerstand Fv = ks² heeft, waarbij k = 900 N/m². Bepaal de snelheid van het blok op het moment dat het blok de veer s = 0,2 m heeft ingedrukt. (Antwoord: v = 3,58 m/s)

VRAAG 11-2. Een wagen van 2 ton heeft een snelheid v1 = 100 km/h wanneer de chauffeur een obstakel ziet. Hij doet er 0,75 s over om te reageren en op de rem te trappen, waardoor de auto gaat slippen. De totale remweg komt hierdoor op 175 m. Bepaal de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen de banden en de weg. (Antwoord: µk = 0,255)


VRAAG 11-3. Bepaal de hoogte h van de helling D die het achtbaanwagentje zal bereiken als het bij B weggeschoten wordt met een snelheid die precies groot genoeg is om de bovenkant van de looping bij C te nemen zonder los te komen van de baan. De kromtestraal bij C is ρC = 25 m. (Antwoord: h = 47,5 m)

60


VRAAG 11-4. Een kleine doos met massa m heeft een snelheid v = (0,25gr)1/2 op het ogenblik dat het zich boven op de gladde halve cilinder bevindt. Bepaal bij welke hoek de doos het contact met de cilinder zal verliezen. (Antwoord: θ = 41,4°)


VRAAG 11-5. Een wagen met een massa van 1750 kg ontwikkelt een vermogen van 37,5 kW wanneer hij op een helling van 10% rijdt. Bepaal de snelheid van de wagen indien de motor een rendement van 80 % heeft. (Antwoord: v = 17,56 m/s)

VRAAG 11-6. Aan een motor wordt continu een vermogen van 2 kW toegevoerd en de motor heeft een rendement ε = 0,8. Bepaal de afstand die de kist in 15 s aflegt als deze uit stilstand wordt weggetrokken. Laat de wrijving buiten beschouwing. (Antwoord: v = 15,5 m/s)

VRAAG 11-7. De veer is ontspannen als s = 1 m en het blok van 15 kg op deze positie vanuit stilstand losgelaten wordt. Bepaal de snelheidsgrootte van het blok als s = 3 m. De veer blijft horizontaal tijdens de beweging. De contactvlakken tussen het blok en de helling zijn glad. (Antwoord: v = 2,15 m/s)


VRAAG 11-8. Het wagentje van de achtbaan heeft een massa m en vertrekt vanuit stilstand bij punt A. De baan is zo ontworpen dat het wagentje niet loskomt bij B. Bepaal in dat geval de benodigde hoogte h. Bepaal ook de snelheid van het wagentje wanneer het bij C is. Laat de wrijving buiten beschouwing. (Antwoord: h = 23,75 m en vC= 21,6 m/s)

61


VRAAG 11-9. Een skiër van 65 kg start vanuit stilstand bij A. Bepaal de snelheidsgrootte bij B en de afstand s tot het punt C waar hij landt. Laat de wrijving buiten beschouwing. (Antwoord: vB = 17,16 m/s en s = 64,2 m)


11.2 Impulsmethoden

VRAAG 11-10. Een 10 kg zwaar blok schuift naar rechts op een glad oppervlak met een beginsnelheid v0 = 3 m/s wanneer een kracht F wordt uitgeoefend. Het verloop van deze kracht is te zien op de figuur. Bepaal de snelheid van het blok op t = 4,5 s. (Antwoord: v = 4,5 m/s)

VRAAG 11-11. Een trein bestaat uit een locomotief van 50 ton en drie wagons die elk een massa hebben van 30 ton. De trein doet er 80 s over om vanuit stilstand een snelheid van 40 km/u te bereiken. Bepaal de kracht T in de koppeling tussen de locomotief E en de eerste wagon A. De wielen van de locomotief leveren een resulterende wrijvingstractiekracht F, die de trein een voorwaarts gerichte beweging geeft. De wielen van de wagons kunnen vrij draaien. Bepaal ook de kracht F op de wielen van de locomotief. (Antwoord: T = 12,5 kN en F = 19,4 kN)


62


VRAAG 11-12. Een kist van 100 kg wordt opgetild met behulp van motor M. De motor oefent een kracht F = (200t1/2 +150) N uit op de kabel, waarbij t de tijd is, uitgedrukt in seconden. De kist start vanuit stilstand op de grond. Bepaal de snelheid van de kist op t = 5 s. (Antwoord: v = 2,34 m/s)

VRAAG 11-13. Een golfbal (m = 0,05 kg) wordt 150 m weggeslagen en beschrijft daarbij een baan zoals weergegeven in de figuur. Bepaal de gemiddelde stootkracht die de golfclub op de bal uitoefent als deze gedurende 0,5 ms contact maakt met de bal. (Antwoord: Fgem = 4122 N)


VRAAG 11-14. De bal van 2 kg wordt met een snelheid van 4 m/s tegen het opgehangen blok van 20 kg gegooid. De botsing tussen de bal en het blok duurt 0,005 s. Bepaal de gemiddelde normaalkracht die in die tijd op het blok uitgeoefend wordt, alsook de hoogte h. Veronderstel dat e = 0,8. (Antwoord: N = 2618 N, h = 2,15 cm)

VRAAG 11-15. De vrachtwagen van 5 ton en de auto van 2 ton rollen net voordat ze tegen elkaar botsen met de snelheden in de figuur. Na de botsing heeft de auto een snelheid van 15 km/u naar rechts ten opzichte van de vrachtwagen. Bepaal de restitutiecoëfficiënt tussen de vrachtwagen en de auto en het energieverlies als gevolg van de botsing. (Antwoord: e = 0,75 en Everlies = 9,65 kJ)


63


VRAAG 11-16. Bepaal de finale snelheden van schijf A (15 kg) en schijf B (10 kg). De restitutiecoëfficiënt bedraagt e = 0,8. (Antwoord: vA = 8,19 m/s en vB = 9,38 m/s)

VRAAG 11-17. Een meisje gooit een bal (m = 0,5 kg) naar de muur. Bepaal (a) de snelheid waarmee de bal de muur raakt bij B, (b) de snelheid waarmee de bal terugkaatst van de muur (e = 0,5) en (c) de afstand s tot waar de bal terug de grond raakt bij C. (Antwoord: 8,81 m/s (b) 4,62 m/s (c) 3,96 m)


64


Werkcollege 12: Kinetica van een voorwerp


• Betekenis van een massatraagheidsmoment – gebruik van de verschuivingsformule • Dynamische bewegingsvergelijkingen van een voorwerp tijdens een beweging in het vlak • Toepassen van energiemethode bij een beweging van een voorwerp in het vlak

• Link met de wetten van de kinematica van een voorwerp

12.1 Massatraagheidsmoment

VRAAG 12-1. Bereken het massatraagheidsmoment van de kegel rond de x-as. Druk het resultaat uit in functie van zijn massa. De dichtheid is constant. (Antwoord: Ix = (3/10)mr²).

VRAAG 12-2. Bereken het massatraagheidsmoment van de slinger om een as loodrecht op de pagina door het punt O. De massa van de dunne stang is 10 kg en die van het blok is 15 kg. Ter info: Het traagheidsmoment van de bol t.o.v. zijn eigen zwaartepunt is (2/5)mr². (Antwoord: I0 = 5,27 kgm²)


65


12.2 Beweging in het vlak

VRAAG 12-3. Het straalvliegtuig wordt aangedreven door vier motoren, die de snelheidsgrootte ervan in 500 m eenparig vanuit stilstand naar 100 m/s brengen. Bepaal de stuwkracht T die door elke motor ontwikkeld wordt en de normale reactie op het neuswiel A. De totale massa van het vliegtuig is 150 ton en het massamiddelpunt bevindt zich bij G. Verwaarloos lucht- en rolweerstand en de lifteffecten op de vleugels. (Antwoord: T = 375 kN en NA = 114 kN).

VRAAG 12-4. Bepaal de grootste versnelling waarmee de heftruck van 1 ton een kist van 750 kg kan optillen zonder dat de wielen bij B loskomen van de grond. De massamiddelpunten van de heftruck en de kist bevinden zich resp. bij G1 en G2. (Antwoord: a = 4,72 m/s²).


VRAAG 12-5. De 50 kg zware homogene kist rust op een plateau dat een statische wrijvingscoëfficiënt µs = 0,5 heeft. De koppelstangen hebben een hoeksnelheid ω = 1 rad/s. Bepaal de grootste hoekversnelling α die ze kunnen hebben zonder dat de kist gaat glijden of kantelen als θ = 30°. (Antwoord: α = 0,587 rad/s²)

VRAAG 12-6. De slinger bestaat uit een bol met massa 15 kg (straal 0,3 m) en een dunne stang van 5 kg (lengte 0,6 m). Bereken de grootte van de reactiekracht ter plaatse van O net nadat het touw AB doorgesneden wordt. (Antwoord: F = 30,12 N)

66



VRAAG 12-7. De homogene dunne stang heeft een massa van 9 kg. De veer is ontspannen als θ = 0°. Bepaal de grootte van de reactiekracht die door scharnier A op de stang wordt uitgeoefend als θ = 45°, wanneer ω op dit ogenblik 6 rad/s is. De veer heeft een stijfheid k = 150 N/m en blijft altijd horizontaal. (Antwoord: RA = 219 N).

VRAAG 12-8. De haspel heeft een massa van 100 kg en een gyrostraal kG = 0,3 m. De statische en kinetische wrijvingscoëfficiënten zijn µs = 0,2 en µk = 0,15. Bepaal de hoekversnelling van de haspel als P = 600 N. (Antwoord: α = 15,6 rad/s²)


VRAAG 12-9. De schijf A van 20 kg is m.b.v. de kabel en de katrol bevestigd aan het blok B van 10 kg. De schijf rolt zonder te glijden. Bepaal de hoekversnelling van de schijf en de versnelling van het blok wanneer het wordt losgelaten. Hoe groot is de trekkracht in de kabel? Verwaarloos de massa van de katrollen. (Antwoord: aB = 0,755 m/s², α = 7,55 rad/s² en T = 45,3 N)

67


Vraag 12-9

12.3 Energie

VRAAG 12-10. De haspel heeft een massa van 60 kg en een gyrostraal kG = 0,3 m. Bepaal hoe ver het middelpunt ervan zal afdalen over de helling voor de haspel een hoeksnelheid ω = 6 rad/s heeft gekregen als de haspel in eerste instantie stil lag. Verwaarloos de wrijving en de massa van het touw dat om de kern is gewikkeld. (Antwoord: s = 0.661 m)

VRAAG 12-11. De arm en het stoeltje van de kermisattractie hebben een massa van 1,5 ton en het massamiddelpunt bevindt zich bij G1. De passagier zit bij A en heeft een massa van 125 kg en diens massamiddelpunt bevindt zich bij G2. De arm wordt opgetakeld tot θ = 150 ° en dan vanuit rust losgelaten. Bepaal de snelheid van de passagier als θ = 0°. De arm heeft een gyrostraal kG1 = 12 m om het massamiddelpunt G1. Verwaarloos de afmetingen van de passagier. (Antwoord: v = 20,7 m/s)


68


Herhalingsoefeningen: Dynamica

Ter informatie: Hieronder vind je een opsomming van een aantal vaak terugkomende fouten die gemaakt werden tijdens de examenoefeningen van de afgelopen jaren.

• De evenwichtsvoorwaarden uit de statica worden toegepast, daar waar het duidelijk een vraagstuk uit de dynamica betreft (d.w.z. elk vraagstuk waar (hoek)versnelling relevant is).

• Er wordt geen, een onvolledige of een veel te kleine en onduidelijke vrijlichaamschets getekend: Voor elke oefeningen die gaat over statisch of dynamisch evenwicht is een duidelijke vrijlichaamschets noodzakelijk. Op deze figuur staan alle nodige afmetingen (lengtes en afstanden), hoeken en gekende en niet gekende krachten die als basis dienen voor het uitschrijven van de evenwichtsvergelijkingen. Opmerking: oefeningen die enkel handelen over kinematica worden bij voorkeur ook verduidelijkt met één of meerdere figuren, maar deze figuren noemt met geen vrijlichaamschetsen.

• Er wordt zeer ongestructureerd te werk gaan: Zorg ervoor dat de persoon die de oefening evalueert duidelijk ziet bij welke figuur welke vergelijkingen horen. Noteer ook steeds (in symbolen) welke soort vergelijkingen men opschrijft, bv. krachtenevenwicht, momentevenwicht, of dat het gaat over een vergelijking die berust op statische wrijving.

• Er wordt geen enkele uitleg gegeven bij het oplossen van de oefening. In het geval van eenvoudig oefeningen, met één oplossingsmethode en die bovendien juist zijn opgelost is dit meestal geen probleem. Echter, van zodra aan één van bovenstaande voorwaarden niet voldaan is kan de oefening niet meer gevolgd worden. Om die reden wordt steeds gevraagd om te vermelden dat het bv. over een krachtenevenwicht, momentenevenwicht, het principe van behoud van impuls of dergelijke gaat.

• Op voorhand worden te veel en onjuiste veronderstellingen gemaakt, voor wat betreft de grootte en de ligging van de krachten. Meestal leidt dit tot foute antwoorden. Maak best zo weinig mogelijk veronderstellingen vooraf, en baseer je enkel op de basisevenwichtsvergelijkingen, de gekende en gegeven krachten. Elke onbekende (gevraagde) kracht zal pas gevonden worden nadat je de evenwichtsvergelijkingen uitschrijft en oplost.

• Hoeksnelheid (ω) en hoekversnelling (α) zijn twee kinematische grootheden die enkel en alleen toegekend worden aan een voorwerp, en niet aan een punt. Anderzijds kunnen de grootheden snelheid (v) en versnelling (a) enkel en alleen toegekend worden aan een punt, maar niet aan een voorwerp. Bij elke hoeksnelheid (ω) en hoekversnelling (α) moet dus steeds

69


aangegeven worden (in subscript) over welk voorwerp het gaat. Dit is absoluut noodzakelijk bij vraagstukken over meerdere stangen die scharnierend met elkaar verbonden zijn, en dus elk een verschillende ω en α hebben.

• De vrijlichaamschets wordt niet vrij van de omgeving getekend. Een vrijlichaamschets bevat dus normaal gezien geen ondergrond, geen plafond of een scharnier of iets dergelijks, enkel het voorwerp waarvan men het dynamisch of statisch evenwicht wil bestuderen.

• De begrippen massamiddelpunt en massatraagheidmoment worden met elkaar verward. Het massamiddelpunt is het punt waar de zwaartekracht aangrijpt en het massatraagheidsmoment is een grootheid van een object dat de weerstand tegen hoekversnelling weergeeft.

• Een kracht kan nooit gelijk zijn aan een energie. Dit zijn twee fundamenteel andere fysische grootheden.

• Er wordt geen aandacht geschonken aan het gebruik van vectoren versus scalairen. Elke grootheid die informatie bevat over de grootte en over de oriëntatie in de ruimte of het vlak dient aangeduid te worden met een vectorteken. Een vector kan nooit gelijk zijn aan een scalair. De grootte van een vector is wel een scalair (getal). In het bijzonder in het deel over de kinematica van een voorwerp leidt dit onherroepelijk tot fouten.

• Kleinere deelvragen worden niet gelezen en dus ook niet beantwoord.

• Er wordt te pas en te onpas gebruik gemaakt van de formules voor een cirkelbeweging. De formules mogen effectief alleen gebruikt worden wanneer een punt met zekerheid een cirkelbeweging doorloopt (bv. omdat het punt op een voorwerp ligt dat rond een vaste as draait). Bijvoorbeeld: Een punt op een rollende cilinder maakt geen cirkelbeweging, maar een cycloïde.

• De geziene formule die het vectoriële verband aangeeft tussen de snelheid (of versnelling) van twee punten mag enkel gebruikt worden op éénzelfde voorwerp, en niet op twee verschillende voorwerpen (ook al zijn deze laatste scharnierend met elkaar verbonden).

• Bij het toepassen van de wet van energiebehoud wordt niet aangegeven welke situaties men vergelijkt. Geef dus steeds aan (in woorden of op een figuur) waar/wanneer je de kinetische en potentiele energie berekend hebt. Bij potentiele energie moet ook aangegeven worden waar de referentie ligt, m.a.w. waar Epot = 0)

• Een plaatsvector wordt aanzien als een lengte/afstand. Dit is onjuist. Een plaatsvector is een vector, waarvan de grootte overeenkomt met een lengte/afstand.

• De restitutiecoëfficiënt is geen energieverhouding, maar een verband tussen relatieve snelheden voor en na een botsing.

• Impulsbehoud is niet hetzelfde als mechanisch energiebehoud. Bij bv. een botsing heb je steeds impulsbehoud, maar niet per se mechanisch energiebehoud.

• De wet van behoud van mechanische energie wordt toegepast wanneer het niet mag. In aanwezigheid van niet-conservatieve krachten (bv. wrijving) dient men het verband tussen

70


kinetische energie en arbeid te gebruiken (of eventueel de wet van behoud van energie, ook gekend als de eerste hoofdwet uit de thermodynamica)

• Het momentenevenwicht wordt rond een zelf gekozen punt berekend. De verkorte vergelijking die in de hoorcolleges werden gezien vereisen nochtans dat het dynamisch evenwicht wordt berekend rond het zwaartepunt of rond het rotatiepunt (indien het om een zuivere rotatie gaat).

• Het stelsel vergelijkingen wordt verkeerd uitgerekend. Ondanks het feit dat de evenwichtsvergelijkingen correct genoteerd staan, wordt het bijhorende stelsel van vergelijkingen foutief uitgerekend (zelf met het gebruik van de grafische rekenmachine).

VRAAG D-1. Bepaal de hoekversnellingen van staven BC en CD. Alle afmetingen staan in mm. (Antwoord: αBC = 1,783 rad/s² ↻ en αCD = 0,406 rad/s² ↺)

VRAAG D-2. Een veer wordt gebruikt om een 500 g zware bal in een cirkelvormige baan te schieten. Het plunjer-veer systeem is zo gebouwd dat de veer al 0,08 m samengedrukt is wanneer s = 0. Bepaal hoe ver aan de plunjer moet getrokken worden (d.w.z. bepaal de afstand s) om er voor te zorgen dat de bal pas los komt van de baan op θ = 135°. Het effect van wrijving mag verwaarloosd worden. (Antwoord: s = 179 mm)

Vraag D-1 Vraag D-2

VRAAG D-3. Een bal van 2 kg botst tegen een blok van 6 kg met gegeven snelheden. De restitutiecoëfficiënt van de botsing bedraagt 0,6. Hoe ver schuift B op de helling

71


vooraleer het tot stilstand komt? De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen het blok en de grond bedraagt 0,4. (Antwoord: d = 0,708 m)

VRAAG D-4. Een lange dunne homogene staaf AB met massa m en lengte L wordt vanuit rust losgelaten (vanuit de getekende positie). De grond is perfect glad! Bereken de versnelling van A, de reactiekracht bij A en de hoekversnelling van de stang. (Antwoord: aA = 0,742·g; N = 0,572· mg; α = 1,714ּ·g/L)

Vraag D-3 Vraag D-4

VRAAG D-5. Stang AB draait met een constante omwentelingssnelheid van 6 rad/s (wijzerzin). Bereken de grootte van de versnelling van punten D en E. (Antwoord: aD = 1745 mm/s² en aE = 1296 mm/s²)

VRAAG D-6. Een kist van 100 kg laat men vanuit rust van een helling naar beneden glijden en tegen een veer botsen (met gegeven veerconstante). De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen de kist en de helling is µk = 0,25. De kist mag beschouwd worden als een puntlichaam. Bepaal de maximale indrukking x van de veer. (Antwoord: x = 2,57 m)

Vraag D-5 Vraag D-6

72


VRAAG D-7. Een klein blokje met massa m glijdt met een snelheid v over een glad horizontaal

oppervlak. Hoe groot moet deze snelheid v zijn als je wil dat het blokje loskomt van

het cilindrisch oppervlak bij θ = 30°? Stel h = 0,9 m. (Antwoord: v = 2,30 m/s)

VRAAG D-8. Blok B met massa 1 kg raakt met een snelheid v0 = 2 m/s bal A (massa 0,5 kg). De

kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen B en de grond bedraagt 0,6 en de

restitutiecoëfficiënt tussen het blok en de kogel is 0,8. Bepaal de maximale hoogte h

die de bal bereikt, en de afstand x die het blok aflegt vooraleer het tot stilstand komt.

(Antwoord: h = 0,294 m en x = 54,4 mm)

Vraag D-7 Vraag D-8

VRAAG D-9. Een homogene staaf met een massa m steunt aan de ene kant op een scharnier, en

hangt aan de andere kant aan een touw. Plots breekt het touw. Bepaal, net nadat

het touw gebroken is de grootte van de reactiekracht bij A en de versnelling van B

(Antwoord: RA = 0,25mg en aB = 1,5g).

VRAAG D-10. Drie stangen zijn scharnierend met elkaar verbonden. Stang AB draait in wijzerzin met

een gegeven hoeksnelheid. Bepaal de hoeksnelheden van stangen BC en CD (a.d.h.v.

relatieve kinematica en m.b.v. de ogenblikkelijke pool) (Antwoord: ωBC = 1,386 rad/s

en ωCD = 1,732 rad/s)

73


Vraag D-9 Vraag D-10

Werkcollege 1: Krachtvectoren: grafische methode...

Documents

Transcript of Werkcollege 1: Krachtvectoren: grafische methode...