WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2015-2016 BEWIJZEN

O 5.3.1 GEMIDDELDE WAARDE VERSUS MARGINALE WAARDE (P. 133)o Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we

o ddx

( ⟨ f ⟩ ( x ) )= ddx ( f (x )x )= x ∙ f

' ( x )−f (x )x2

Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaald door de teller. Er geldt:

Als de gemiddelde functie stijgt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )≥0

Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x ) of f ' ( x )≥ f ( x )x

Als de gemiddelde functie daalt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )≤0

Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )≤ f ( x ) of f ' ( x )≤ f ( x )x

Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ddx ( ⟨ f ⟩ ( x ) )=0

Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )=f (x ) of f ' ( x )= f ( x )x

O 8.2.3. AFLEIDEN VAN IMPLICIETE FUNCTIES (P. 177)o Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een

impliciete vorm F ( x , y )=0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y= f ( x ) in

een punt x0 gevonden worden als f ' (x0 )=−Fx

' (x0 , y0 )F y' (x0 , y0 )

met y0 bepaald door F (x0 , y0 )=0,

o voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul. o Je kan dit terugvinden door te vertrekken vanuit de totale differentiaal (hier in de verkorte notatie):o F ( x , y )=0o ⇓o dF ( x , y )=0o ⇓o F x

' dx+F y' dy=0

o ⇓o F y

' dy=−Fx' dx

o ⇓

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 1

o dydx=

−F x'

F y'

O

O

O

O

O 8.2.3. AFLEIDEN VIA IMPLICIETE FUNCTIES (P. 172)O Eigenschap 8.6 (Impliciete functie F ( x , y , z )=0)O

O

O

O

O

O

O

O

O

Ook dit resultaat kan je terugvinden vanuit de totale differentiaal (hier opnieuw in verkorte notatie), nu voor de drie veranderlijken:

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O GEVOLG 8.1. (RAAKLIJN) (P. 173)o De vergelijking van de raaklijn in het punt P=( x0 , y0 ) aan de curve met impliciete vergelijking

F ( x , y )=0 luidt F x' ( x0 , y0 ) (x−x0 )+F y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )=0

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 2

Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in een impliciete vorm F ( x , y , z )=0, dan kunnen de partiële afgeleiden voor de (onbekende)

expliciete vorm z=f (x , y ) in een punt (x0 , y0 ) gevonden worden als

f x' (x0, y0 )=

−F x' (x0 , y0 , z0 )

F z' ( x0 , y0 , z0 )

f y' (x0 , y0 )=

−F y' (x0 , y0 , z0 )

F z' (x0 , y0 , z0 )

met z0 bepaald door F (x0 , y0 , z0 )=0,

F ( x , y , z )=0

⇓ dF ( x , y , z )=0

⇓F x' dx+F y

' dy+F z' dz=0

⇓ F z

' dz=−F x' dx−F y

' dy

⇓ dz=

−F x'

F z' dx−

F y'

F z' d y

⇓ ∂ z∂x=

−F x'

F z' en

∂ z∂ y

=−F y

'

F z'

o Om dit aan te duiden vertrekken we van de vergelijking voor de raaklijn zoals we ze eerder vonden:

y− y0=f' (x0 ) (x−x0 ), met f de (onbekende) expliciete functie die bij de curve hoort.

o We weten nu dat

o f ' (x0 )=−Fx

' (x0, y0 )F y' (x0 , y0 )

ooo Invullen in de vergelijking van de raaklijn geeft

o y− y0=−F x

' (x0 , y0 )F y' (x0 , y0 )

(x−x0 )

o De noemer wegwerken geeft

o F y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )=−F x

' (x0 , y0 ) (x−x0 );brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde resultaat.

O GEVOLG 8.2. (RAAKVLAK) (P. 174)O De vergelijking van het raakvlak in het punt P=( x0 , y0 , z0 ) aan het oppervlak met impliciete

vergelijking F ( x , y , z )=0 luidtO F x

' ( x0 , y0 , z0 ) (x−x0 )+F y' ( x0 , y0 , z0 ) ( y− y0 )+F z' (x0 , y0 , z0 ) ( z−z0 )=0Om dit aan te tonen vertrekken we van de vergelijking voor het raakvlak zoals we ze eerder zagen:z−z0= f x

' (x0 , y 0 ) (x−x0 )+ f y' (x0 , y0 ) ( y− y0 )met f de (onbekende) expliciete functie die bij het oppervlak hoort.We weten nu dat

f x' (x0, y0 )=

−Fx' (x0 , y0 , z0 )

F z' ( x0 , y0 , z0 )

o en dat

f y' (x0 , y0 )=

−F y' (x0 , y0 , z0 )

F z' (x0 , y0 , z0 )

o Invullen in de vergelijking van het raakvlak geeft

o z−z0=−Fx

' (x0, y0 , z0 )F z' (x0 , y0 , z0 )

(x−x0 )−F y' (x0 , y0, z0 )F z' ( x0 , y0 , z0 )

( y− y0 )

De noemer wegwerken geeft

F z' (x0 , y0 , z0 ) ( z−z0 )=−F x

' (x0, y0 , z0 ) (x−x0 )−F y' (x0 , y0, z0 ) ( y− y0 );brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde resultaat.

O

O 8.3.1. SAMENGESTELDE FUNCTIES (P. 176)O ① Eigenschap 8.7 (Samengestelde functies – Kettingregel 1)O

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 3

Als z=ϕ (t )=f ( x , y ) met x=g (t ) en y=h (t ),dan geldt (in verkorte notatie)

dzdt

=∂ z∂xdxdt

+ ∂ z∂ y

dydt

of dϕdt

=∂ f∂ xdgdt

+ ∂ f∂ yd hdt

of voluit

Dit kan verklaard worden door gebruik te maken van de totale differentiaal.

Er geldt immers (in verkorte notatie)

dz=f x' dx+ f y

' dy dx=g 'dt dy=h' dt

Invullen van de tweede en derde lijn in de eerste lijn geeft

dz= f x' ∙ (g' dt )+ f y' ∙ (h'dt )

of

dz=( f x' g '+ f y' h' )dt

Omdat ook dz=dϕdtdt

volgt het resultaat zoals geformuleerd in de eigenschap.

② Eigenschap 8.9 (Samengestelde functies – Kettingregel 3) (P. 178)

Ook dit kan verklaard worden door gebruik te maken van de totale differentiaal.

Er geldt immers

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 4

Als z=ϕ (t )=f ( x , y ) met x=g (t ) en y=h (t ),dan geldt (in verkorte notatie)

dzdt

=∂ z∂xdxdt

+ ∂ z∂ y

dydt

of dϕdt

=∂ f∂ xdgdt

+ ∂ f∂ yd hdt

of voluit

Als z=ϕ ( s , t )=f ( x , y ) met x=g (s , t ) en y=h (s , t ),dan geldt (in verkorte notatie)

∂z∂ s

= ∂z∂ x∂x∂ s

+ ∂ z∂ y

∂ y∂s

of ∂ϕ∂s

=∂ f∂ x∂g∂ s

+ ∂ f∂ y

∂h∂ s

∂ z∂ t

= ∂ z∂ x∂x∂ t

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ t

of ∂ϕ∂t

=∂ f∂ x∂g∂t

+ ∂ f∂ y

∂h∂ t

of voluit• ϕ s

' ( s , t )=f x' (g ( s , t ) , h (s ,t ) ) ∙ gs' (s , t )+ f y

' (g (s ,t ) , h (s , t ) )∙ hs' ( s , t )

• ϕt' ( s , t )=f x

' (g ( s , t ) , h ( s , t ) ) ∙ g t' (s ,t )+f y' (g ( s , t ) , h (s ,t ) ) ∙ ht' (s ,t )

dz=f x' dx+ f y

' dy dx=gs

' ds+gt' dt

dy=hs' ds+ht

' dtInvullen van de tweede en derde lijn in de eerste lijn geeft

dz=f z' ∙ (gs' ds+gt' dt )+ f y' ∙(hs' ds+ht' dt )

¿ ( f x' gs' + f y' hs' )ds+( f x' gt'+ f y' ht' ) dtOmdat ook

dz= ∂ϕ∂ sds+ ∂ϕ

∂tdt

volgt het resultaat zoals geformuleerd in de eigenschap.

O

O 8.3.2. HOMOGENE FUNCTIES (P. 179)O Eigenschap 8.10 (Homogene functies)

De identiteit wordt ook wel identiteit van Euler genoemd.

We kunnen deze eigenschappen aantonen door te vertrekken van de gelijkheid

f (tx , ty )≡ tm f ( x , y ),

en af te leiden naar t , naar x en naar y door toepassing van de kettingregels uit de vorige paragraaf.

Om verwarring te vermijden gebruiken we in dit bewijs de notaties f 1' en f 2

' wanneer we afleiden naar het eerste en tweede argument van de functie f .

Linker- en rechterlid afleiden naar t geeft∂∂ t [ f ( tx ,ty ) ]≡ ∂∂t [ tm f ( x , y ) ]

f 1' (tx , ty ) ∙ ∂ ( tx )

∂t+f 2

' ( tx , ty ) ∙ ∂ ( ty )∂t

≡mtm−1 ∙ f (x , y )

f 1' (tx , ty ) ∙ x+ f 2

' (tx ,ty ) ∙ y≡mtm−1 ∙ f ( x , y );Dit geldt voor elke waarde van t . Kiezen we nu de waarde t=1, dan vinden we

x ∙ f 1' ( x , y )+ y ∙ f 2

' ( x , y )≡m∙ f ( x , y )of

x ∙ f x' (x , y )+ y ∙ f y

' ( x , y )≡m∙ f ( x , y ),de identiteit van Euler.

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 5

Indien de functie f :R2→R homogeen is van graad m, en indien de partiële afgeleiden bestaan, dan geldt voor de partiële afgeleiden van eerste orde

de functies ∂ f∂ x en

∂ f∂ y zijn ook homogene functies, van graad m 1;

x ∙ ∂ f∂ x

(x , y )+ y ∙ ∂ f∂ y

( x , y )≡m∙ f ( x , y )

Linker- en rechterlid afleiden naar x geeft∂∂x [ f ( tx , ty ) ]≡ ∂

∂x [ tm f ( x , y ) ]

f 1' (tx , ty ) ∙ ∂ ( t x )

∂ x+ f 2

' ( tx , ty ) ∙ ∂ ( ty )∂ x

≡ tm ∙ f 1' ( x , y )

f 1' (tx , ty ) ∙ t+0≡tm ∙ (x , y )

of

f 1' ( tx , ty )≡tm−1 ∙ f 1

' ( x , y )

De functie f 1' of f x

' is dus homogeen van graad m−1.

Linker- en rechterlid afleiden naar y geeft∂∂ y [ f (tx , ty ) ]≡ ∂

∂ y [ tm f (x , y ) ]

f 1' (tx , ty ) ∙ ∂ ( tx )

∂ y+f 2

' ( tx , ty ) ∙ ∂ (ty )∂ y

≡tm f 2' (x , y )

0+ f 2' (tx ,ty ) ∙ t ≡ tm ∙ f 2

' ( x , y )

De functie f 2' of f y

' is dus homogeen van graad m−1.

O 9.1.2. VRIJE EXTREMA EXTREMA ZONDER NEVENVOORWAARDEN (P. 197)o Stelling 9.1 (Lokale extrema eerste orde voorwaarden)o

Stelling 9.2 (Lokale extrema tweede orde voorwaarde)

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 6

Een partieel afleidbare functie f :R2→R kan enkel een lokaal extremum bereiken in het punt

(x0 , y0 ), als dit punt een stationair of kritisch punt is, i.e.

{f x' (x0 , y0 )=0f y' (x0 , y 0 )=0

Beschouw een partieel afleidbare functie f en een stationair punt (x0 , y0 ). Als de Hessiaan

H f (x0 , y0 ) positief of negatief definiet is, dan bereikt de functie in (x0 , y0 ) een lokaal extremum.

Indien H f (x0 , y0 ) negatief definiet is,

dan heeft f een lokaal maximum in (x0 , y0 ); Indien H f (x0 , y0 ) positief definiet is,

dan heeft f een lokaal minimum in (x0 , y0 ).Indien H f (x0 , y0 ) nondefiniet is, dan heeft f een zadelpunt in (x0 , y0 ).

Opmerking:

In andere gevallen kunnen we geen onmiddellijk besluit trekken, en is verder onderzoek noodzakelijk, eventueel door toepassing van andere methoden.

Bewijs:

Om deze eerste en tweede orde voorwaarden uit stellingen 9.1 en 9.2 aan te tonen, kijken we naar de hulpfunctie

g ( t )=f (x0+th , y0+tk )

met h en k willekeurige (kleine) positieve waarden.

Voor deze functie kunnen we volgende verbanden vinden met f :

De functie f bereikt een stationair punt in (x0 , y0 ),⇔ de functie g een stationair punt bereikt voor t=0;

De functie f bereikt een lokaal maximum in (x0 , y0 ),⇔ de functie g een lokaal maximum bereikt voor t=0.

De functie f bereikt een lokaal minimum in (x0 , y0 ),⇔ de functie g een lokaal minimum bereikt voor t=0.

Toepassing van de eerste kettingregel geeft g' (t )= f x

' (x0+th , y0+tk ) ∙h+ f yt (x0+ th , y0+tk )∙ k g' ' ( t )= f x2

' ' (x0+ th , y0+ tk ) ∙ h2+2 f xy' ' (x0+th , y 0+tk ) ∙ hk+f y2' ' (x0+th , y0+tk )∙ k 2

zodat g' (0 )= f x

' (x0 , y0 )h+ f y' (x0 , y0 )k g' ' (0 )=f x2

' ' (x0 , y0 )h2+2 f xy' ' (x0 , y0 )hk+f y2' ' (x0 , y0 )k2

De eerste orde voorwaarde zegt dat g' (0 )=0, en dit voor elke keuze van h en k .Hieruit volgt dat beide partiële afgeleiden nul moeten zijn, of

{f x' (x0, y0 )=0f y' (x0 , y 0 )=0

De tweede orde voorwaarde zegt dat een stationair punt een lokaal maximum is als g' ' (0 )<0 en een

lokaal minimum als g' ' (0 )>0, en dit voor elke keuze van h en k .Deze tweede afgeleide komt nu overeen met een kwadratische vorm in h en k , met geassocieerde matrix gelijk aan de Hessiaan in het stationair punt, nl. H f (x0 , y0 ) (zie definitie 9.2).

Er geldt dus g' ' (0 )<0 voor elke keuze van h en k indien H f (x0 , y0 ) negatief definiet is, en g' ' (0 )>0

voor elke keuze van h en k indien H f (x0 , y0 ) positief definiet is.

O 9.1.3. GEBONDEN EXTREMA EXTREMA MET NEVENVOORWAARDEN (P. 211)o Eigenschap 9.5 (Betekenis Lagrange-multiplicator

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 7

o

Deze eigenschap zegt m.a.w. dat de waarde van de Lagrange-multiplicator overeenstemt met de helling van f indien bekeken als functie van C, of dat je de Lagrange-multiplicator kan interpreteren als de ogenblikkelijke aangroei van de doelfunctie in het optimum indien de waarde van C in de nevenvoorwaarde met één eenheid wordt verhoogd.

Bewijs:

Het optimaal punt is een stationair punt, en dus geldt

f x' (x0 , y0 )=λ0 ∙ gx' (x0 , y0 )

f y' (x0 , y0 )= λ0 ∙ g y' (x0 , y0 )

en ook g (x0 , y0 )=C

zie stelling 9.3.Schrijf nu x0 en y0 als functie van C.Uit de derde gelijkheid volgt dgdC (xO (C ) , y0 (C ) )=dCdC=1

waarbij we het linkerlid kunnen herschrijven als (toepassing van kettingregel 1)

dgdC (x0 (C ) , y0 (C ) )=∂ g∂ x (x0 (C ) , y0 (C ) ) ∙

d x0dC

(C )+ ∂g∂ y (x0 (C ) , y0 (C ) ) ∙

d y0dC

(C )

Berekenen we nu de afgeleide van de functie f 0 naar C, dan vinden we achtereenvolgens d f 0dC

(C )= dfdC (x0 (C ) , y0 (C ) )

¿ ∂ f∂x ( x0 (C ) , y0 (C )) ∙

d x0dC

(C )+ ∂ f∂ y ( x0 (C ) , y0 (C )) ∙

d y0dC

(C )

toepassing kettingregel 1

¿ λ0 ∙∂ g∂x (x0 (C ) , y0 (C ) )∙

d x0dC

(C )+λ0 ∙∂g∂ y ( x0 (C ) , y0 (C ) ) ∙

d y0dC

(C )

voorwaarde stationair punt

¿ λ0( ∂g∂x (x0 (C ) , y0 (C ) )∙d x0dC

(C )+ ∂ g∂ y (x0 (C ) , y0 (C ) )∙

d y 0dC

(C )) ¿ λ0

MERVE POYRAZ WISKUNDE BEWIJZEN 8

Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een optimaal punt (x0 , y0 , λ0 ) met

functiewaarde f 0= f ( x0 , y0 ) voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de extrema van f onder de voorwaarde g ( x , y )=C .Als de waarde van C varieert, dan hangt ook het optimum af van C, of x0=x0 (C ), y0= y0 (C ),

en f 0=f 0 (C )=f (x0 (C ) , y0 (C ) ) . Er geldt λ0=d f 0dC

(C )

↳=1