thptquangtrung.vnthptquangtrung.vn/assets/thuvien/TAI_LIEU_ON_THI_HKI_MON... · Web viewVẽ đồ...

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG

A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:I. Một số hàm số đa thức:1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) và y = ax4 + bx2 + c a ≠ 0) a) Tập xác định D = R b) Khảo sát sự biến thiên: + Tìm các giới hạn của hàm số tại vô cực. + Tính y’ + Lập bảng biến thiên. + Kết luận các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số. c) Vẽ đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm bậc ba :y = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0)

Đồ thị có hai cực trị và a > 0 Đồ thị có hai cực trị và a < 0

Đồ thị không có cực trị và a > 0 Đồ thị không có cực trị và a < 0

Đồ thị hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c ( a 0)

Đồ thị có ba cực trị và a > 0 Đồ thị có ba cực trị và a < 0

Trang 1


Đồ thị có một cực trị và a > 0 Đồ thị có một cực trị và a < 0

II. Một số hàm phân thức :

Hàm số và y =Các bước khảo sát: a) Tập xác định b) Khảo sát sự biến thiên: + Tìm các giới hạn của hàm số tại vô cực. + Tính y’ + Lập bảng biến thiên. + Kết luận các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số. + Tìm tiệm cận

+ Biểu diễn các điểm cực trị và giao điểm với các trục toạ độ (nếu có)+ Vẽ đồ thị

Chú ý : Hàm số phân thức nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

+ Đồ thị hàm số có một TCĐ và một TCN

+ Đồ thị hàm số y = có một TCĐ và một TCX

Đồ thị hàm phân thức :

Đồ thị khi ad - bc < 0 Đồ thị khi ad - bc > 0( Hs nghịch biến trên các khoảng của TXĐ) ( Hs đồng biến trên các khoảng của TXĐ)III. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP :1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)a) Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C) tại điểm M(x0 ; y0 ) (C ) y = y’(x0 ) (x – x0 ) + y0

b) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết hệ số góc k = aB1: Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = a nên y’(x0 ) = a (1). Giải (1) tìm x0, thế x0 và y = f(x) tìm y0

B2:Với mỗi tiếp điểm M(x0 ; y0 ) tìm được, ta có phương trình tiếp tuyến là : y = k(x – x0 ) + y0

Chú ý : Nếu tiếp tuyến song song với y = ax + b thì có hệ số góc k = a.

Trang 2


Nếu tiếp tuyến vuông góc với y = ax + b thì có hệ số góc k =

c) Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x0 ; y0)B1 : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến . Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(x0 ; y0) có dạng y = k(x – x0 ) + y0 (d)B2: Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình sau có nghiệm

(I)B3: Giải hệ (I) tìm k, thế k vào (d) có PTTT của (C) đi qua điểm M(x0 ; y0)* Chú ý : Từ hệ (I), thay (2) và0 (1) ta có phương trình : y = f’(x)(x – x0) + y0 (3)Mỗi nghiệm của phương trình (3) cho ta một tiếp tuyến tương ứng của (C) đi qua điểm M. Do đó số tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M bằng số nghiệm của phương trình (3).*** Sự tiếp xúc của hai đường cong:Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Khi đó (C1) và (C2) tiếp xúc nhau khi hệ phương trình sau có nghiệm B. BÀI TẬP MẪUVí dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 - 3x2 + 3 Giải:1) TXĐ: D = R2) Sự biến thiên:+ Giới hạn tại vô cực: và + Chiều biến thiên : y’ = 3x2 - 6x

y’ = 0 3x2 - 6x = 0 x = 0 x = 2Bảng biến thiên :

x - 0 2 +y’ + 0 - 0 +

y 3 + - -1

Hàm số đồng biến trên khoảng ( - ; 0) và (0; + ) và nghịch biến trên khoảng (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, yCĐ = 3 và đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và yCT = -13) Điểm uốn:

y’’ = 6x - 6y’’ = 0 x = 1 y = 1

Vậy I(1; 1) là điểm uốn của (C).4) Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(1; 1) là tâm đối xứng

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + 3 Giải:1) TXĐ: D = R2) Sự biến thiên:+ Giới hạn tại vô cực: và + Chiều biến thiên : y’ = 4x3 - 4x

y’ = 0 3x4 - 4x = 0 x = 0 x = 1

Trang 3

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGBảng biến thiên :

x - -1 0 1 +y’ - 0 + 0 - 0 +

y+ 3 + 2 2

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ; -1) và (0; 1) và nghịch biến trên hai khoảng (-1; 0) và ( 1; + )Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, yCĐ = 3 và đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và yCT = 23) Điểm uốn:

y’’ = 12x2 - 4

y’’ = 0 x = y =

Vậy I( ; ) và I( ; )

là điểm uốn của (C).4) Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục là tâm đối xứng

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Giải: Tập xác định D = R \ {1} Sự biến thiên:

TCĐ: x =1 vì và ;

TCN: y =1 vì

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác

địnhXĐ. BBT:

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

B. MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆPBài 1 : Đề Tốt Nghiệp Năm 2004)

HD:1. Tự khảo sát. Trang 4

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG2.

3.

Bài 2 : Đề Tốt Nghiệp Năm 2007(lần 1)

HD: 1. Tự khảo sát.2.

Bài 3: Đề Tốt Nghiệp Năm 2007( lần 2)

1. Tự khảo sát.2.

Bài 4: Đề Tốt Nghiệp Năm 2008

Trang 5


1. Tự khảo sát.2.

Bài 5: Đề Tốt Nghiệp Năm 2008(PB lần 2)

HD:1. Tự khảo sát.2.

Bài 6 : Đề Tốt Nghiệp Năm 2008 (PB lần 1)

1. Tự khảo sát.Đồ thị:

2.

Trang 6


Bài 7: Đề Tốt Nghiệp Năm 2008

HD: 1. Tự khảo sát.

2.

Bài 8: Đề Tốt Nghiệp Năm 2009.

HD:1. Tự khảo sát.2.

Bài 9: Đề Tốt Nghiệp Năm 2009(GDTX)

Trang 7


HD: 1. Tự khảo sát:2.

C. BÀI TẬP:Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:a) b) c) d) Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) b) c) d) Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) b) c) d) Bài 4:

Cho hàm số: y = có đồ thị (C).

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C).b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tungc) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với y = 2x – 2010

Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).b/Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt .

a) Học sinh tự khảo sát.b) Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng :

(1)

Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Trang 8

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGBài 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm: x3 + 3x2 - logm = 0 c/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = - 2

Bài 7: Cho hàm số (1)1. Khảo sát (1) khi m = - 1có đồ thị (C)2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.3. Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên.4. Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài 8: Cho hàm số có đồ thị (C)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt (C) tại A(A khác O); tìm tọa độ điểm A.

1. Tiếp tuyến với (C ) tại gốc toạ độ O cắt ( C) tại A ( không trùng O): y = 9x Phương trình hoành độ x3 – 6x2 + 9x = 9x

x = 0( loại) hoặc x = 6 y = 54Vậy A(6; 54)

Bài 9: Cho hàm số :

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b/ Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của tham số m để phương trình : có bốn nghiệm thực phân biệt.Bài 10:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m đường thẳng y = -x + m (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

PTHĐGĐ

(1)

Ta có pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 1 nên (C) cắt d tại 2 điểm phân biệtBài 11: Cho hàm số có đồ thị (Cm)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .b. Tìm giá trị của m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .HD: b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành : = 0 (1)

Đặt t = x2 , t 0 . Ta có : (1) (2) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt pt (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt .

Trang 9

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGBài 12: Cho hàm số (m là tham số) (1) a/Khảo sát hàm số khi m=1 b/Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1Bài 13 : Cho hàm số , có đồ thị (C).1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.2. Xác định m sao cho phương trình có ba nghiệm phân biệt.HD:2. Phương trình . Do đó số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị và đường thẳng y = 1- m.Dựa vào đồ thị (C) ta thấy , phương trình có ba nghiệm phân biệt - 1 < m < 3 hay: 0 < m < 4Bài 14 : Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2, có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 3x – 5y – 4 = 0

Bài 15 : Cho hàm số a) Khảo sát đồ thị (C ) của hàm số khi m = - 2.b) Xác định các điểm cố định của hàm số (Cm ) đi qua.c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình d) Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C ) tại điểm M trên (C ) có hoành độ bằng 2.

Bài 16 : Cho hàm số có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Tìm trên (C ) các điểm có toạ độ nguyên.

c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận của hàm số.

Bài 17: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H):

b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:I. Định nghĩa: II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNGPhương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b).Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng xác định . Nếu hàm số có duy nhất một điểm cực trị thì cực trị đó là GTLN( hoặc GTNN) của hàm số.III. GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn : Trang 10

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGCác bước tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) xác định liên tục trên đoạn [a ; b]

B1 : Tìm các nghiệm x1 , x2 , ... trên (a ; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc y’ không xác định

B2 : Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), ...B3: Gọi M là GTLN trong các số trên và m là GTNN trong các số trên thì

và Chú ý: Khi tìm GTLN và GTNN của một hàm số, nếu đề bài không yêu cầu tìm trên khoảng cụ thể nào thì tìm GTLN và GTNN của hàm số trên tập xác định của nó:B. Bài Tập MẫuVí dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = x4 + 2x2 + 3

Giải:TXĐ: D = Ry’ = 4x3 + 4x ; y’ = 0 x = 0Bảng biến thiên :

x - 0 +y’ - 0 +

y+ + 3

Vậy,

Ví dụ 2: Tìm GTLN của các hàm số: a) b) y = 4x3 - 3x4

Giải:

a)

TXĐ: D = R

, y’ = 0 x = 0

Bảng biến thiên :x - 1 +y’ + 0 -

y 4 0 0

Vậy, b) y = 4x3 - 3x4 TXĐ: D = Ry’ = 12x2 - 12x3 ; y’ = 0 x = 0 x = 1Bảng biến thiên :

x - 0 1 + y’ + 0 - 0 -

y 1 - -

Vậy, Trang 11


Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số: a) y = |x| b) (x > 0)

Giải:a) y = |x| = TXĐ: D = R

y’ =

Bảng biến thiên :x 0 0 +y’ - || +

y+ + 0

Vậy, .

b) (x > 0)

Xét D = (0 ; + )

y’ = 1 - , y’ = 0 a = 2

Bảng biến thiên :x 0 20 +y’ - 0 +

y+ + 4

Vậy, .Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]b) trên đoạn [-1 ; 1].

Giải:a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35Xét D = [-4 ; 4].y’ = 3x2 - 6x - 9.y’ = 0 x = - 1 x = - 3f(-4) = -41, f(4) = 15, f(-1) = 40 và f(-3) = 8Do đó :

và b)

Xét D = [-1 ; 1], ta có :

f(-1) = 3 và f(1) = 1

Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = TXĐ : D = [0; 16]

Trang 12


y’ = . y’ = 0 x = 8

f(0) = 0, f(2) = 0 và f(8) = 8 Do đó : và

Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số Giải:TXĐ: D = [-1 ; 3]

y’ = 0 x = 1Ta có : y(-1) = 2, y(3) = 2 và y(1) = 2Vậy, và

Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 2sinx - x trên đoạn [0; ]Giải :Xét D = [0 ; ]Ta có y’ = 2cosx - 1

y’ = 0 2cosx - 1 = 0 cosx = x = /3 + k2 (x Z) (1)

Nghiệm của y’ = 0 trên khoảng (0 ; ) là : x = /3 Ta có : y(0) = 0, y( ) = - và y( /3) = - /3

Do đó : và

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG :Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) b) c) ( x > 0) d)

(x > 0) e) f) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) b) c) d) e) f) Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) y = sin4 x + cos4 x b) y = 2sin2 x + 2sinx - 1 c) y = cos2 2x - sinx.cosx + 4 d) y = sin4 x + cos2 x + 2e) y = x - sin2x trên đoạn f)

g) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) trên đoạn [- 4; 4] b) trên đoạn [-2; 2]c) trên đoạn [- 1; 1]d) trên đoạn [0; 3] e) trên đoạn [- 1; 3] f) trên đoạn [0; 2]

Trang 13


Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: trên

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Bài 7 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số

a) b)

Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

Bài 9: (Đề thi đại học khối A năm 2008)Timg m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Khái niệm lôgarit: Cho 2 số dương a, b với a 1. Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là

2. Tính chất: Với a > 0, b > 0, a 1, ta có: = 0, = 1

= b, = 3. Qui tắc tính lôgarit

Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 1, ta có :

Cho 2 số dương a, b với a 1, , ta có:

Cho 3 số dương a, b, c với ta có

Trang 14

= +

= -

; ;


4. Lôgarit thập phân- Lôgarit tự nhiên= lgb = logb = lnb

BÀI TẬPBài 1:a) Cho , . Tính theo a, b.b) Cho . Tính c) Cho biết tính

Giải:a) Ta có

b)

Ta có:

Vậy:

c) Ta có:

Bài 2: a) Cho , , . Hãy tính theo a, b, c.

b) Cho = và = . Tính theo và

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT TÓM TẮT LÝ THUYẾTI. Phương trình mũ.1. Phương trình mũ cơ bản :

ax = b, (a > 0, a ≠ 1)• b > 0, có nghiệm duy nhất x = logab • b 0, phương trình vô nghiệm.

Minh hoạ bằng đồ thị:

4

2

5

b

logab

y = ax

y =b

4

2

5logaby = ax

y = b

* Với a > 1 * Với 0 < a < 1 Trang 15

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.2.1. Áp dụng các phương pháp:a. Đưa về cùng cơ số. Nếu a > 0, a ≠ 1 ta luôn có: aA(x) = aB(x) A(x) = B(x)b. Đặt ẩn phụ- Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ.- Giải pt tìm nghiệm của bài toán khi đã biết ẩn phụ.c. Logarit hoá (lấy lôgarit hai vế).

Nếu (a > 0, a ≠ 1) ; A(x), B(x) > 0 tacó :A(x)=B(x) logaA(x)=logaB(x)

2.1. Giải bằng phương pháp đồ thị2.2. Giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ.II. Phương trình logarit 1. Phương trình logarit cơ bản

logax = b, (a > 0, a ≠ 1)Phương trình logax = b, (a > 0, a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab, với mọi b Minh hoạ bằng đồ thị

4

2

-2

5ab

y = logax

y = b

2

-2

5ab

y = logax

y = b

* Với a > 1 * Với 0 < a < 1.

2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.2.1. Áp dụng các phương phápa. Đưa về cùng cơ số.b. Đặt ẩn phụ.- Đặt ẩn phụ, tìm ĐK ẩn phụ.- Giải phương trình tìm nghiệm của bài toán khi đã biết ẩn phục. Mũ hoá.2.2. Giải bằng phương pháp đồ thị

BÀI TẬPI. BÀI TẬP MẪUBài 1: Giải các phương trình mũ sau:

a) 32x + 1 - 9x = 4 b)

c) d)

Giải:a) Áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số:

32x + 1 - 9x = 4 3.9x – 9x = 4 9x = 2 x = log92

Trang 16

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGVậy phương trình đã cho có nghiệm x = log92.b) Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ:Tập xác định: D = [-1; +∞)Đặt: t = , Đk t ≥ 1. Khi đó, phương trình trở thành: t2 - 4t - 45 = 0Giải được t = 9, t = -5.+ Với t = -5 không thoả ĐK+ Với t = 9, ta được x = 3Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.c) Áp dụng phương pháp logarit hoá

Giải phương trình ta được x = 0, x = - log23.Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0, x = - log23d) Áp dụng phương pháp đồ thị:

Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy, ta thấy chúng

cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Thử lại, ta thấy giá trị này thoả mãn phương trình đã cho. Mặt

khác, là hàm số nghịch biến, là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho có

nghiệm duy nhất là x = 1.

Bài 2: Giải các phương trình mũ a) b) 22x+5 = 24x+1.3-x-1 c)

Giải:a)

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

Phương trình này có nghiệm .

+ Với : không thỏa điều kiện.

+ Với

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -2.

Trang 17

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGb) 22x+5 = 24x+1.3-x-1

22x+5 = 3x+1.8x+1.3-x-1

22x+5 = 8x+1

22x+5 = 23(x+1)

2x + 5 = 3x + 3 x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.c)

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

Phương trình này có nghiệm .

+ Với

+ Với : không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Bài 3: Giải các phương trình lôgarit sau:

a) log2x + log4x + log8x = 11 b) c)log2(5 – 2x) = 2 – x

Giải:a) Áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số:Điều kiện: x > 0

log2x + log4x + log8x = 11

log2x+ log2x+ log2x =11 log2x = 6 x = 26 = 64 (thỏa)

Vậy phương trình có nghiệm x = 64.b) Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ:

ĐK : x >0, log3x ≠ 5, log3x ≠ - 1Đặt t = log3x, (t ≠5 ; t ≠-1)

Ta được phương trình : t2 - 5t + 6 = 0

Giải phương trình ta được t = 2 ; t = 3 (thoả ĐK)Vậy log3x = 2, log3x = 3Do đó phương trình đã cho có nghiệm : x1 = 9, x2 = 27c) Áp dụng phương pháp mũ hoálog2(5 – 2x) = 2 – xĐK : 5 – 2x > 0

Trang 18

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG+ Phương trình đã cho tương đương 5 – 2x = 4/2x. 22x – 5.2x + 4 = 0.Đặt t = 2x ;( ).Phương trình trở thành:t2 - 5t + 4 = 0. Phương trình này có nghiệm: t = 1 (thỏa); t = 4 (thỏa).Vậy 2x = 1; 2x = 4, nên phương trình đã cho có nghiệm : x = 0, x = 2.Bài 4: Giải các phương trình lôgarit sau:

a) b)

c)

Giải:

a) (*)

Đk:

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.b) (2)Điều kiện : x > 0

Vậy phương trình có nghiệm x =

LƯU Ý: Ở đây, nên chia 2 vế pt cho hoặc để đưa pt đã cho về phương trình mà ta nhận ra ngay cách đặt ẩn phụ.

c) ĐK: x > 0; x ≠ ; x ≠

pt(7)

Đặt ; ( t ≠ -1, t ≠ -3), ta được pt: t2 +3t - 4 =0 (thoả ĐK)

- Với t = 1, ta giải được x = 2

Trang 19


- Với t = -4, ta giải được x =

Vậy pt đã cho có hai nghiệm x = 2 ; x = 1/16.II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN2.1 Giải các pt mũ sau:

a) b) 2x.3x-1=125x-7

c) 2x = 3 – x d) e) f) g) h)i) j)2.2 Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

a) b)

2.3 Giải các phương trình sau:a) b) c) d)

e) f)

h) i)

j)

2.4 Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:a) b)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

TÓM TẮT LÝ THUYẾTI. Bất phương trình mũ :a) Bất phương trình mũ cơ bản:Dạng 1:

- Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là R- Nếu b > 0 và

+ a > 1, tập nghiệm là + 0 < a < 1, tập nghiệm là

Dạng 2: - Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là R- Nếu b > 0 và


Dạng 3: - Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là

Trang 20

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG- Nếu b > 0 và


Dạng 4: - Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là - Nếu b > 0 và


b) Bất phương trình mũ đơn giảnĐể giải các bất phương trình mũ, ta có thể biến đổi để đưa về bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số.2. Bất phương trình lôgarita) Bất phương trình lôgarit cơ bảnDạng 1:

- Nếu a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là - Nếu 0 < a < 1 tập nghiệm là

Dạng 2: - Nếu a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là - Nếu 0 < a < 1 tập nghiệm là



b) Bất phương trình lôgarit đơn giảnĐể giải các bất phương trình lôgarit, ta có thể biến đổi để đưa về bất phương trình lôgarit cơ bản hoặc bất phương trình lôgarit đại số.LƯU Ý :

Trước khi giải pt hay bpt lôgarit thì công việc đầu tiên là đặt điều kiện cho lôgarit có nghĩa, sau đó đối chiếu với điều kiện trước khi kết luận nghiệm.

B. BÀI TẬPI. BÀI TẬP MẪUBài 1: Giải các bpt mũ saua) (1) b) 9x + 6.3x – 7 > 0 (2)c) 4x +3.6x – 4.9x < 0 (3) d) (4)

e)

Giải:a) (1) 022 xx Vậy bpt có nghiệm b) Đặt t = 3x, ( t > 0)

Khi đó bpt trở thành: t 2 + 6t -7 > 0

Kết hợp với điều kiện t > 0 ta được t > 1. Vậy bpt có nghiệm x > 0. Trang 21


c) (3)

Đặt t = bpt trở thành t2 + 3t – 4 < 0

Do t > 0 ta được 0 < t < 1Vậy bpt có nghiệm x > 0.d) Ta có bất phương trình đã cho

Vậy bpt có nghiệm x < -1.

e)

Bpt đã cho tương đương với

Đặt t = , ta có bpt với nghiệm là .

Vì t > 0 nên ta có

Vậy bpt có nghiệm .

Bài 2: Giải các bất phương trình lôgarit sau:

a) log0,2(5x +10) < log0,2 (x2 + 6x +8 ) b)

c) d)

Giải:a) log0,2(5x +10) < log0,2 (x2 + 6x +8 ) (1)

Điều kiện:

Với điều kiện trên, (1) Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bpt .b) Đk:

Trang 22


Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm

c) Với điều kiện x > 0, đặt t = log0,2 x, ta có bpt ,Suy ra hay Vì cơ số 0,2 < 1 nên ta có 0,008 < x < 0,04.Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bpt 0,008 < x < 0,04.d) ĐK: . Khi đó bpt được viết dưới dạng:

Vì cơ số nên với điều kiện trên, bpt tương đương với

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bpt đã cho là II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN2.1 Giải các bpt mũ sau

a) b) c)

d) e) f)

2.2 Giải các bpt lôgarit saua) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

Trang 23


A .Çc kiÕn thøc cÇn nhí :1 .§Þnh nghÜa : Hµm sè F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn ko¶ng (a;b) nÕu mäi x thuéc (a;b) ta cã : F’(x) = f(x) . NÕu thay kho¶ng (a;b ) b»ng §o¹n [a ;b] th× ta ph¶i cã thªm : F(a ) = f(a) vµ F(b ) = f(b)2 . §Þnh lý:NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a;b) th× :a , Víi mäi h»ng sè C , F(x) +C còng lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng ®ãb , Ngîc l¹i mäi nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a;b) ®Òu cã thÓ viÕt díi d¹ng F(x) +C víi C lµ h»ng sè.Ngêi ta ký hiÖu hä tÊt c¶ çc nguyªn hµm cña hµm sè f(x) lµ .Do ®ã viÕt

= F(x) +C*Bæ ®Ò : NÕu F’(x) = 0 trªn kho¶ng (a ; b) th× F(x) kh«ng ®æi trªn kho¶ng ®ã3 .Çc tÝnh chÊt cña nguyªn hµm :. ( )’ = f(x). = a (a 0). = +. = F(t) +C = +C = F(u) + C (u=u(x))4 . B¶ng çc nguyªn hµm :

Nguyªn hµm cña çc hµm sè s¬ cÊp thêng gÆp

Nguyªn hµm cña çc hµm sè Hîp (u=u(x))

= x+C = u+C

( -1) ( -1)

= ln +C (x 0) = ln +C (u=u(x) 0)

B. Çc çch x¸c ®Þnh nguyªn hµm :Çch 1: x¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng ®Þnh nghÜa :*Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc R ta cã :1)

Trang 24


2)

3) (a 0) CM :1, ThËt vËy tacã :( ) = cos(ax+b)Chøng minh t¬ng tù cho ý 2,vµ3, .Cã thÓ coi kÕt qu¶ cña vÝ dô 1 lµ çc c«ng thøc bæ xung ®Ó tÝnh nguyªn hµm* Bµi 2 : CMR hµm sè F(x)= ln (x+ ) víi a>0

lµ mét nguyªn hµm cña f(x)= trªn R Gi¶i :Ta cã

F’(x)= [ln (x+ )]’= = ( x+ )= = f(x)

* Bµi 3 : T×m mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) BiÕt : a , f(x) = e2x+1 BiÕt F(- )= b, f(x) = BiÕt F(8) = 2

c, f(x)= BiÕt F(0) = 8

Gi¶i : a , Ta cã F(x) = = e2x+1 +C

V× F(- )= e2(- )+1 +C = +C = C =1

VËy mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) lµ: F(x) = e2x+1 +1 ý b, c Gi¶i t¬ng tù

Çch 2 : X¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng viÖc sö dông b¶ng nguyªn hµm cña hµm sè s¬ cÊp VÝ dô : T×m nguyªnhµm cña hµm sè f(x)=

Ta cã dx = = ln +

Bµi tËp t¬ng t. t×m nguyªnhµm cña çc hµm sèa, f(x)=3x2-4x+5 Híng dÉn : ViÕt l¹i f(x)= b,f(x)=(x3-2)2 Híng dÉn : ViÕt l¹i f(x)= x6 –4x+4c,f(x)= Híng dÉn : ViÕt l¹i f(x)=

Çch 3 :X¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng viÖc sö dông b¶ng nguyªn hµm cña hµm hîp :

Trang 25

CB

A

H

A

B C


VÝ dô : T×m I=

Ta cã = -4sin x dx sin xdx= - VËy I =- = - ln +C Bµi tËp t ¬ng t : TÝnha, J= Híng dÉn : Ta cã J= d (3x+5)

b, k= Híng dÉn : Ta cã k=

c, m= Híng dÉn : Ta cã m=

d , n = Híng dÉn : Ta cã n=

f , p = Híng dÉn : Ta cã p=2

g , q = Híng dÉn : Ta cã q=

I. DIỆN TÍCH_THỂ TÍCHA. Công thức

Khối chóp: Lăng trụ:Khối nón:

Khối trụ:

Khối cầu: ,

B.Một số kết quả cần nhớ

Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao

* Diện tích: .

Tam ABC vuông tại A: .Hình vuông ABCD: * Đường chéo . Trang 26

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG * S=AB2

C.Tứ diện đều,lăng trụ đều,hình chóp đều

1.Tứ diện đều :Là tứ diện có 4 mặt là những tam giác đều2.Lăng trụ đều :là lăng trụ đứng có đáy là 1 đa giác đều3.Hình chóp đều :là hình chóp có đáy là 1 đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Chú ý : Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau,các mặt bên đều là những tam giác cân bằng nhau ,các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

B. Bài tậpBài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung

điểm của BC.a. Chứng minh SA vuông góc với BC.

b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: b.

Giải:a. Gọi H là tâm tgiác ABC , ta có: SH (ABC) nên SH BC

AH BC ( do H là trực tâm)Vậy BC (SAH) suy ra BC SA

b.

Diện tích đáy=1/4(AI.BC) h = SH (Áp dụng Pitago trong tgSHA vuông tại H )

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, , SA=3a.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.

ĐS: a. , b.

Giải:

a.

Diện tích đáyS = 1/2(AB.BC) và h = SAb.Tam giác SBC vuông tại B (HÌnh chiêú BC nên đường xiên BC)Như vậy BI=1/2 SCTính SC ( theo định lí pitago trong tg vuông SBC tại B)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết

SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và

SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS:

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh .

Trang 27 C

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGa. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

ĐS: a.

Bài 5. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC= . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC.

ĐS: ; ; .Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại

tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS:

Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, góc . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300.

a. Tính độ dài đoạn AC’.b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. .

Bài 9.Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = AC= AD = 2a. a. Tính thể tích khối tứ diện.b. Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

Bài 10:Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. a. Tính thể tích khối chóp S. ABCDb. Gọi M là trung điểm SC. Tính thể tích khối S. ABM theo a.

Bài 11:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AA’B’D’ là tứ diện đều cạnh a. Tính thể tích của hình

hộp đó. ( ĐS: )

Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.Bài 13 :Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên gấp đôi cạnh đáy và bằng a ? Bài 14 :Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a;góc SAB bằng 30 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Bài 15: Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c.

Hai điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho . Mặt phẳng (SMN) chia

khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C. Hãy tính thể tích của (H) và (H’)Bài 16 :Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a >0). Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 600 ,(SAC) (ABC) . Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a.Bài 17 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với đáy, cạnh bên SC bằng .

1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.2. Chứng minh trung điểm của cạnh SD là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 18 : Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a và hình chiếu của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm của BC.Tính thể tích của khối lăng trụ đó.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB = a, BC = 2a, SC = 3a và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Trang 28

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGBài 19 :Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB = a, BC = 2a, SC = 3a và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.Bài 20 :Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600 .1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD2/ Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp.

Vấn đề 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước1. Phương pháp giải Muốn xác định tâm và bán kính của mặt cầu chúng ta cần dựa vào các mệnh đề sau:

a) Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng r cho trước là mặt cầu tâm O bán kính r;

b) Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB;

c) Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2 là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn thẳng AB và bán

kính ;

d) Mặt cầu là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục là đường kính AB của nửa đường tròn đó.

2. Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau :

a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương;b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương;c) Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.

Giải Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Khi đó O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương cạnh a có tâm O và bán kính

a) Gọi H là trung điểm của AA’. Khi đó ta có

Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương là mặt cầu có tâm O và bán kính

c) Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có . Vậy mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt

bên của hình lập phương là mặt cầu có tâm O và có bán kính bằng khoảng cách từ O tới 6 mặt bên

của hình lập phương. Ta có

Vấn đề 2. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng 1. Phương pháp giải Cần xác định khoảng cách d từ tâm O của mặt cầu đến mặt phẳng (P) và so sánh d với bán kính r của mặt cầu cho trước. + Nếu d > r thì mp (P) không cắt mặt cầu; + Nếu d = r thì mp (P) tiếp xúc với mặt cầu tại duy nhất một điểm;

Trang 29

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG + Nếu d < r thì mp (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính . Đặc biệt, nếu d = 0 thì mp (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn. Vấn đề 3. Xét vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng

1. Phương pháp giải * Xét khoảng cách d từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ cho trước : a) Nếu d < r thì Δ cắt mặt cầu tại hai điểm; b) Nếu d = r thì Δ tiếp xúc với mặt cầu; c) Nếu d > r thì Δ không cắt mặt cầu. * Có thể sử dụng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và hệ thức lượng trong đường tròn trong mặt phẳng để giải toán.2. Ví dụCho mặt cầu S(O; r) và một điểm A biết OA=2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD= .

a) Tính độ dài đoạn AB.b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.

Giải

A

a) Ta có AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB OB. Do đó .

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên CD. Khi đó OH chính là khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.Ta có: OC = OD = r nên tam giác OCD cân tại O và do đó H là trung điểm của CD, nghĩa là

.

Vậy .

Vấn đề 4. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ1. Phương pháp giải Muốn chứng minh mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp hoặc một hình lăng trụ ta cần chứng minh mặt cầu đó đi qua tất cả các đỉnh của hình chóp hoặc hình lăng trụ. Sau đó cần xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp. Chú ý rằng điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp đó có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Trang

O

BC

D

30

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG1, Kiểm tra điều kiện : đáy của hình chóp có nội tiếp 1 đường tròn2, Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy3, Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy4, Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên là (P)Tâm O=(P) Ç dNhưng thông thường: Chọn một mặt phẳng (P) thuận lợi thỏa mãn đồng thời :Chứa trục đường tròn d, chứa cạnh bên SATrong (P) dựng đường thẳng trung trực của SA cắt trục d tại O, O là tâm mặt cầuGhi chú : Cách xác định góc giữa 2 mp cắt nhau Tìm giao tuyến c của 2 mp (α) và (β)Qua điểm I thuộc c dựng 2 đường thẳng a và b sao cho

Ta có góc giữa 2 đường thẳng a,b chính là góc giữa 2 mp cắt nhau (P) và (Q)Vi dụ 1Bài 1:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc jXác định tâm ,bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với các cạnh là 3cm và 4cm. Cạnh bên SA có độ dài 11 cm và vuông góc với đáy.Chứng minh rằng tất cả các đỉnh của hình chóp đều nằm trên mặt cầu đường kính SC.1, Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.2,Tính thể tích,Sxq của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD

HD:S,A,B,C,D cùng nằm trên một mặt cầu đường kính SC,độ dài bán kính là R=3 cm

Khi đó ta nói rằng mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp hình chóp SABCD và hình chóp SABCD nội tiếp mặt cầu đường kính SC

Bài 3:Chãp tøgi¸c®Òu.T×mt©m mÆtcÇungo¹i tiÕph×nhchãp

A D

CB

• H

• S

Tâm phải nằmtrên trục SH

O

Trong(SAH):Tâmphải nằm trên đt

trung trực của SA

M

Một mp chứa trục đường trònvà một cạnh bên

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có 9 cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó và tính thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu ngoại tiếp đó.

Giải

Trang 31

I B

A’I’

C’

B’

A


Gọi I và I’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đáy lăng trụ. Như vậy I và I’ đồng thời cũng là tâm của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng II’. Do đó trung điểm O của II’ chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đã cho.Mặt cầu này có bán kính r = OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’.

Ta có :

Vậy

Từ đó ta tính được diện tích của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:

Gọi V là thể tích của khối cầu. Ta có:

C. BÀI TẬP LUYỆN THÊM1. Trong mp (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy

một điểm S tuỳ ý, dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mp (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

a) Chứng minh các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.b) Tính diện tích của mặt cầu đó và thể tích của khối cầu được tạo thành.Đáp án:a) A, B, C, D, B’, C’, D’ thuộc mặt cầu đường kính AB. b) S = 2 Лa2 ; V = 1/3 Лa3√2.

2. Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Đáp án: Tâm I đi qua các đỉnh của hình chóp. Bán kính bằng a2/ (2h). Diện tích bằng Лa4/h2

3. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.

Đáp án: r = (a√11)/24. Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định

tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.Đáp án: r = (a√6)/4

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II

1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD

và A’B’C’D’.b) Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.

Trang 32

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGc) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục và sinh ra

bởi cạnh AB.Đáp án :

a) Sxq = Лa2√2b) S = 3Лa2 c) Sxq = (Лa2√6)/3

2. Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc

với tất cả các đường sinh của mặt trụ.b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng r/2.

Tính diện tích thiết diện thu được.c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đườngkính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán

kính của đường tròn đó.Đáp án:

b) S = 2 r2√3c) (r√3)/2

3. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mp(SBC) tạo với mp

(ABC) một góc bằng 300. Đáp án:

r = (a√42)/6

Trang 33


MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I THAM KHẢO

ĐỀ SỐ 1

Bài 1: (3, 5 điểm)a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) củahàm số y = - x3 + 3x2

b) Dự và đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:x3 - 3x2 - m = 0

Bài 2: (2 điểm)a) Giải phương trình: 16x - 17.4x + 16 = 0b) Cho a = log315, b = log310. Tính theo a và b.

Bài 3: (1,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số;

Bài 4: (3,5 điểm)Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a và SA vuông góc mặt phẳng (ABCD).a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b) b) Xác định tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính bán kính mặt cầu (S).c) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SB, mặt phẳng (ACM) cắt khối chóp S.ABCD thành

hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần đó và tính theo a diện tích tam giác AMC

ĐỀ SỐ 2Bài 1: (3,5 điểm)Cho hàm số y = x3 - (m + 4) x2 - 4x + m (1)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị m hàm số (1) luôn có cực trịb) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ( 1) khi m = 0c) Xác định k để đường (d) y = kx cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

Bài 2 : (2,0 điểm)

a) Giải bất phương trình : .

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x trên đoạn [-1; 2].

Bài 3: (1,0 điểm)Xác định giá trị của b để hàm số y = sinx - bx + 2008 nghịch biến trên toàn trục số.

Bài 4: (3, 5 điểm) Trang 34

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) cạnh bên SB = a .a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Tính tỷ số thể tích hai khối chóp

S.AHK và S.ABD.

ĐỀ SỐ 3Bài 1(2,5 điểm ) : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Bài 2(1 điểm ) : Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;

] .Bài 3 : (2 điểm )

a) Giải phương trình :

b) Giải bất phương trình :

Bài 4 : (2 điểm)a) Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x)= sin4x. cos22x.

b) Tính tích phân sau :

Bài 5:(2,5 điểm) :Cho hình chóp tam giác O.ABC có 3 cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a,OB=b,OC=c.

a) Tính thể tích khối chóp O.ABC.b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.c) Tính diện tích mặt cầu ,thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

ĐỀ SỐ 4

Bài 1(2,5 điểm ) :Cho hàm số ,gọi là đồ thị của hàm số (C).1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)

Bài 2 (2 điểm ) :a) Giải phương trình :

b) Tìm tập xác định của hàm số

Bài 3 (1 điểm ) :Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2].

Bài 4 (1 điểm ) : Tính tích phân :

Trang 35

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN – TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGBài 5 (3,5 điểm ): Cho hình chóp tứ giác đều đáy ABCD có tất cả các cạnh bằng a

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCDb) Gọi H là tâm của đáy, tính khoảng cách từ H đến các mặt bên.

c)Xác định tâm ,bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện .

Trang 36

thptquangtrung.vnthptquangtrung.vn/assets/thuvien/TAI_LIEU_ON_THI_HKI_MON... · Web viewVẽ đồ...

Documents

Transcript of thptquangtrung.vnthptquangtrung.vn/assets/thuvien/TAI_LIEU_ON_THI_HKI_MON... · Web viewVẽ đồ...