WDA in de examens Ruud Stolwijk (Cito)

NVvW – SLO - conferentie | 25 september 2017

Even voorstellen: Ruud Stolwijk

• docent wiskunde sinds 1987

• toetsdeskundige bij Cito sinds 2007

• voorzitter Alympiadecommissie

• lid syllabuscommissie wiskunde B

• wiskunde (havo B en vwo A/B/C)

• internationale ervaring: PISA, Kazachstan, IMMC

Optimaal voorbereid naar het eindexamen

• Op maandag 25 september organiseert de NVvW samen met SLO de conferentie ‘Optimaal voorbereid naar het eindexamen’ voor en door docenten bovenbouw havo/vwo. Hoe kun je je leerlingen het beste voorbereiden op de vernieuwde examens wiskunde A, B,C en D met optimaal resultaat?

Eindexamens 2018 www.cito.nl www.examenblad.nl

Pilot - eindexamens tot en met 2017 www.examenblad.nl

WDA – in de syllabus

• Subdomein A3 Wiskundige vaardigheden (vwo B)

• De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende wiskundige denkactiviteiten - waaronder modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen - en kan daarbij ICT functioneel gebruiken.

• NB: op dezelfde plek bij wiskunde A staat vaardigheden in plaats van denkactiviteiten…

WDA – definitie(s)

• “Mathematical thinking is a whole way of looking at things, of striping them down to their numerical, structural, or logical essentials, and of analyzing the underlying patterns” (Devlin, 2011)

• “Wiskundig denken is bedenken hoe je wiskundig gereedschap kunt gebruiken om een probleem aan te pakken” (Drijvers, 2015)

WDA – geschiedenis • cTWO: Wiskundige Denkactiviteiten

Eén van de speerpunten van cTWO uit haar visie-

document betreft wiskundige denkactiviteiten (WDA). • Tussendoelen

Op 10 september 2010 is de Werkgroep Wiskundige

DenkActiviteiten van start gegaan. Op 15 juni 2011 zijn

de bevindingen voorgelegd aan een aantal experts.

Op de studiedag van de NVvW wordt er rond dit thema

een workshop georganiseerd.

WDA – geschiedenis

• Aanbeveling 8: Zorg dat de toetsen bij de Tussendoelen onderbouw wiskunde en de referentieniveaus rekenen zich niet alleen richten op het product, maar ook op het proces van het oplossen van vraagstukken, door open vragen en onderzoeksopdrachten op te nemen die een beroep doen op wiskundig redeneren en noteren.

Denken en Doen

• Kennis en vaardigheden

• Procedurele en conceptuele kennis

• Om de balans tussen deze twee typen kennis en vaardigheid te waarborgen heeft cTWO in haar visiedocument zes wiskundige denkactiviteiten benoemd die de kernconcepten uit de schoolwiskunde (getal, formule, functie, verandering, ruimte en toeval) met elkaar verbinden.

Zes WDA’s

• Modelleren en algebraïseren.

• Ordenen en structureren.

• Analytisch denken en probleemoplossen.

• Formules manipuleren.

• Abstraheren.

• Logisch redeneren en bewijzen.

Zes WDA’s in beeld

Zes WDA’s – nader bekeken

Let wel…

• Constructie van examens gebeurt onder de vlag van het CvTE

• Betrokkenen: constructiegroep (docenten), Cito (toetsdeskundige), CvTE (vaststellingscommissie)

• In een examen natuurlijk minder ‘vrijheid’ dan op school en in de klas

Zes WDA’s – nader bekeken

• Examens havo (2011-1015) en vwo (2012-2015) bekeken

• Vooral probleemoplossen

• Modelleren en abstraheren minder vaak

Een WDA in havo B 2011-1

• Bushalte:

• Regulier versus pilot

• Introductie gelijk

• Bij pilot formule zelf opstellen (dus minder gegeven)

• Nog denkactiever zou kunnen, maar…

Een WDA in havo A 2017-1

• Uit de syllabus voorbeeldopgaven): “(…) zogeheten korte-onderzoeksopgaven, opgaven waarbij een probleemsituatie wordt geschetst gevolgd door één vraag. Het aantal scorepunten hiervan varieert van 6 tot 8.”

• Bioscoopbezoek

Een WDA in havo A 2017-1

• Vraag vertalen

• Informatie organiseren

• Aanpak bedenken, kiezen en formuleren

• ‘Wiskundig rekenwerk’

• Conclusie trekken

• Eigenlijk een klein onderzoekje binnen het examen

Een WDA in vwo A 2016-1

• Aalscholvers en vis, vraag 3

• Voor de blankvoorn kunnen we de twee formules in de tabel herleiden tot één formule waarmee we het gewicht van deze vis uit de kauwplaatlengte kunnen berekenen.

• Deze formule heeft de vorm: log(G) = a + b ⋅ log(K).

• 3p 3 Bereken de waarden van a en b in deze formule. Geef je antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.

• 3p 3 Stel een formule op waarmee het gewicht G van de blankvoorn wordt uitgedrukt in de kauwplaatlengte K.

Een WDA in havo B 2015-2

Een WDA in havo A 2013-1

• Een voorbeeld van abstraheren: Frisbee werpen, vraag 6

• Ook:

• L lichaamslengte, M lichaamsgewicht, S lichaamsoppervlakte.

• Toon aan dat bij verdubbeling van lengtematen de lichaamsoppervlakte 4 keer zo groot wordt.

WDA - abstraheren

• Beredeneer met behulp van de formule voor de afgeleide…

• Toon aan met behulp van de formule…

• vwo B 2013-1 vraag 2

Een WDA in havo B 2011-1

• Logarithmentafel

• Zowel in regulier als in pilot

• Bekend onderwerp, maar andere aanpak

• Productie in plaats van reproductie

• vwo B 2015-1

• Hardheid

• Vraag 14 regulier

• Vraag 13 pilot

• Verschillende aanpakken

Een WDA in vwo B 2015-1

• Hardheid, vraag 14/13

• Opstellen formule

• Zowel in regulier als in pilot

• p-waarde: 61 om 35

• Zijn pilotleerlingen meer gewend aan WDA?

WDA - modelleren

• cTWO omschrijft modelleren als “een praktisch en creatief proces waarbij realistische problemen in wiskundige vorm worden vertaald.”

• Probleem analyseren, variabelen kiezen, verbanden opstellen, strategie bepalen, wiskunde (algebra) inzetten

Modelleren in havo B 2016-1

• Grote wijzer 12,5 cm

• Kleine wijzer 8,5 cm

• Gevraagd werd de afstand tussen uiteinden wijzers

Modelleren in havo B 2016-1

• Mogelijke oplossingsstrategie:

Hoek tussen wijzers bepalen

Afstand x noemen

Driehoek, cosinusregel

Vergelijking oplossen

x gevonden

Modelleren in examens algemeen

• Model opstellen kan, maar daarna kun je natuurlijk niks meer vragen

• Relevantie van het gegeven model

• Vergelijken van verschillende modellen

• Aanpassen van een gegeven model

Model in vwo B 2011-2 en 2012-1

• Het ontwerp van een brug

• (tweede tijdvak regulier, vraag 7-8-9)

• Het standaard proefglas, vraag 4, pilotversie

In vwo B 2014-1

• Cirkels in een driehoek, vraag 3 (pilot):

• AB = 4, BC = 3 P, Q en R raakpunten Bewijs: straal cirkel is 1

Kortom:

• WDA niet alleen in examens...

• WDA is een “way of life”

• Aandacht voor WDA in lessen (in alle klassen)

• WDA inderdaad ook in examens

• Specifiek bij wiskunde A: KOO (aan eind examen)

Bedankt voor uw aandacht!

Vragen?

ruud.stolwijk@cito.nl