Vier kleuren volstaan Het kaartkleuringsprobleem

Click here to load reader

download Vier kleuren volstaan Het kaartkleuringsprobleem

of 48

  • date post

    04-Feb-2016
  • Category

    Documents

  • view

    59
  • download

    0

Embed Size (px)

description

wiki. Vier kleuren volstaan Het kaartkleuringsprobleem. Gerhard Post 25 augustus 2008. Vier kleuren zijn genoeg om te voorkomen dat aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen (Vier kleuren stelling). Geschiedenis van het probleem. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Vier kleuren volstaan Het kaartkleuringsprobleem

  • Vier kleuren volstaanHet kaartkleuringsprobleemGerhard Post25 augustus 2008wiki

  • Vier kleuren zijn genoeg om te voorkomendat aangrenzende landen dezelfde kleurkrijgen (Vier kleuren stelling)

  • Geschiedenis van het probleem1852: De vraag verschijnt voor het eerst (op papier) in een brief van De Morgan aan Hamilton (twee bekende wiskundigen).1879: Bewijs van Kempe verschijnt.1889: Heawood publiceert een voorbeeld waaruit blijkt dat het bewijs onjuist is.1976: Appel en Haken publiceren een bewijs, gebaseerd op 1482 configuraties.

  • Geschiedenis van het probleem1852: De vraag verschijnt voor het eerst (op papier) in een brief van De Morgan aan Hamilton (twee bekende wiskundigen).1879: Bewijs van Kempe verschijnt.Het bewijs van Kempe is onjuist. Wel volgt uit zijn bewijs de Vijf kleuren stelling.Hier bekijken we eerst de Zes kleuren stelling.Als het kan qua tijd ook de Vijf kleuren stelling.

  • Kan het met drie kleuren?

  • Kan het wel met vier kleuren?Martin Gardner (Scientific American, 1975): The most sensational of last yearsdiscoveries in pure mathematicswas surely the finding of a counter-example to the notorious four-colormap conjecture. 1 april1 april

  • AannamesAls landen in een punt grenzen, mogen ze wel dezelfde kleur hebben.

  • AannamesEen land bestaat uit n stuk.Baarle

  • AannamesAlle landen zitten aan elkaar.Dus niet twee of meer groepen van landen

  • De zes kleuren stelling gaat als volgt: * Verzamel alle kaarten die je niet met zes kleuren kunt kleuren. * Kies hieruit een kaart met zo weinig mogelijk landen. We laten zien dat ook deze kaart met zes kleuren kan worden gekleurd. * N.B. Kleine kaarten met zes of minder landen, kunnen zeker met zes kleuren. * Er is n kleine voor-onderstelling

  • Stel elke kaart heeft een land met maximaal 5 buren Verzamel alle kaarten die je niet met 6 kleuren kunt Kies hieruit een kaart met zo weinig mogelijk landen Voeg land A met 5 (of minder) buren samen met een buurland Kleur deze kaart met 6 kleuren Zet land A terug De buren hebben hoogstens 5 verschillende kleuren Kleur land A met een overgebleven kleur!

  • Land A heeft 5 buren12345A

  • Voeg land A samen met een buurland 3

  • Kleur deze kaart met 6 kleuren3

  • Zet land A terug, en kleur met een kleur die niet bij de buurlanden voorkomt.3A

  • StellingVeronderstel dat elke kaart een land met 5 buren (of minder) heeft.Dan is elke kaart met 6-kleurbaar.Dus om de zes kleuren stelling te bewijzen, hoeven we slechts aan te tonen dat elke kaart een land met vijf of minder buren heeftVoor we dit gaan we bewijzen, herformuleren we ons probleem in (de wiskundige structuur van) een graaf.

  • Wiskundige modelleringElk land geven we weer door een punt.Als twee landen een verschillende kleur moeten hebben (door een gemeen-schappelijke grens), dan verbinden we de twee bijbehorende punten met een lijn.De figuur die ontstaat noemen we een graaf.

  • VoorbeeldenLijnen hoeven niet recht te zijn.

  • VoorbeeldenMerk op dat lijnen nooit (hoeven te) kruisen. Daarom heet de graaf planair.

  • Enkele termen De punten direct verbonden met punt A door een lijn heten de buren van A; Als vanuit A elk ander punt te bereiken is via bestaande lijnen, dan heet de graaf samenhangend.A

  • Enkele termenDe graaf die ontstaat uit de kaarten die wij bekijken, is samenhangend en planair.We noemen zon graaf een kaartgraaf.

  • Punten, lijnen en vlakken van kaartgraaf G.PG: het aantal puntenLG: het aantal lijnenVG: het aantal vlakken (inclusief het vlak om G heen)PG = 6; LG = 9; VG = 5, dus E(G) = 2.Euler getal van G: E(G) = PG LG + VG

  • Formule van EulerVoor elke kaartgraaf G geldt:E(G) = 2.Dit gaan we later bewijzen.

  • Elke kaartgraaf G heeft een punt met 5 (of minder) buren.Bewijs. Stel vanuit elke punt vertrekken 6 of meer lijnen. Dan: 2 LG 6 PG, (elk punt heeft 6 lijnen, en elke lijn wordt dubbel geteld), dus PG 1/3 LG.

  • Elke kaartgraaf G heeft een punt met 5 (of minder) buren.Bewijs (vervolg) Ook: 2 LG 3 VG, (elk vlak wordt begrensd door 3 lijnen, elke lijn wordt dubbel geteld), dus VG 2/3 LG. elke lijn wordt dubbel geteld ??? )

  • Elke kaartgraaf G heeft een punt met 5 (of minder) buren.Bewijs (vervolg) Er geldt dus:PG 1/3 LG en VG 2/3 LG.Maar dan: E(G) = PG LG + VG 1/3 LG LG + 2/3 LG 0.Maar (Euler): E(G) = 2! Tegenspraak.

  • Heeft elke kaartgraaf G niet een punt met 4 (of minder) buren?

  • Hoe bewijzen we de formule van Euler?Stel we willen de formule bewijzen een voor graaf Gn met n lijnen.Er zijn twee gevallen: Gn bevat een punt van graad 1; Gn bevat geen punt van graad 1.

  • Hoe bewijzen we de formule van Euler?Geval I: Gn bevat een punt van graad 1;Verwijder dit punt met de lijn.Dus E(Gn-1) = E(Gn).

  • Hoe bewijzen we de formule van Euler?Geval II: Gn bevat geen punt van graad 1;Alle punten hebben graad 2 of hogerVerwijder een lijn.Maar niet deze!Verwijder een lijn uit een cykel.Een cykel heeft een binnengebied en een buitengebied.

  • Hoe bewijzen we de formule van Euler?Geval II: Gn bevat geen punt van graad 1;Alle punten hebben graad 2 of hogerDus E(Gn-1) = E(Gn).

  • Hoe bewijzen we de formule van Euler?Zo vinden we een rij van grafen: Gn , Gn-1 , Gn-2 , , G2 tot G1met E(Gn) = E(Gn-1) = = E(G2) = E(G1).Maar G1 = , zodat E(G1) = 2.Dus ook E(Gn) = 2.

  • De zes kleuren stelling is bewezenDe formule van Euler geldt Elke kaartgraaf heeft een land met 5 (of minder) buren De kaartgraaf is 6-kleurbaar.MaarDoel was 5-kleurbaarheid van kaartgrafen.

  • De vijf kleuren stelling gaat als volgt: * Verzamel alle kaarten die je niet met vijf kleuren kunt kleuren. * Kies hieruit een kaart met zo weinig mogelijk landen. We laten zien dat ook deze kaart met vijf kleuren kan. * N.B. Kleine kaarten met vijf of minder landen, kunnen zeker met vijf kleuren.

  • Neem een kleinste kaart met zes kleurenEr is een land met vijf of minder buren

  • Laat dit land weg, en kleur met vijf kleuren

  • Zet het land terug. Welke kleur moet dit land krijgen?

  • Methode: we zorgen voor vier buurkleuren.Kies twee buren niet naast elkaar (groen en rood)

  • Kempe ketens: volgt deze kleuren verder

  • Geval I: de rode en groene lijnen zijn NIET verbonden. Verwissel dan de kleuren in de rode keten.

  • Geval I: de rode en groene lijnen zijn NIET verbonden. Het witte punt kan nu rood gekleurd worden.

  • Geval II: de rode en groene lijnen zijn WEL verbonden. Kijk nu naar de buurkleuren blauw en geel...

  • Geval II: de rode en groene lijnen zijn WEL verbonden. Maak ook vanuit geel en blauw ketens

  • Omdat blauw buiten de rood-groene cykel ligt, en geel erbinnen, worden deze ketens nooit verbonden.

  • De kleuren in de gele (of blauwe) keten kunnen daarom verwisseld worden...

  • En het witte punt kan geel gekleurd worden...

  • De vijf kleuren stelling is bewezen:Alle kaarten hebben een land met 1, 2, 3, 4 of 5 buren.In al deze gevallen kan het kleuren met 5 kleuren teruggebracht worden tot een kleinere kaart, waaraan weer dit ene land toegevoegd wordt.Uiteindelijk heeft de kaart zo weinig landen, dat het zeker met 5 kleuren kan!Het toegevoegde land kan rechtstreeks een kleur krijgen (als er 4 buren of minder zijn), of via de Kempe ketens bij 5 buren.

  • We proved:Five colours suffice!Sinds 1879. Pas 97 jaar later: