Video Cours 105 1000

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Dérivation

Xavier Hallosserie

Lycée Blaise Pascal

novembre 2015

Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 1 / 41

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Sommaire

1. Activité : Tangente à une courbe

2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0

3. Comment calculer les fonctions dérivées ?

4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit

4.2 Inverse et quotient

5. Dérivation et vitesse instantanée


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Tangente à un cercle

C

×A

×O

1 Comment construire précisément la tangente (T) en A au cercle C .

2 Combien existe-t-il de points de contact entre C et (T)?


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C

×A

×O

(T )




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C

×A

×O

(T )

×M




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Tangente à une courbe

x

y

×A

I

J

O

C f

3 Parmi les trois droites suivantes laquelle semble être la tangente en A à C f ?


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x

y

×A

I

J

O

C f

d1



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x

y

×A

I

J

O

C f

d1

d2



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x

y

×A

I

J

O

C f

d1

d2

d3



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x

y

C f

×A

×B

×C

I

J

O

4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.

5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).

Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.



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x

y

C f

×A

×B

×C

I

J

O






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x

y

C f

×A

×B

×C

I

J

O






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x

y

C f

×A

×B

×C

I

J

O





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x

y

C f

×A

×B

×C

f (2) = 0

I

J

O





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x

y

C f

×A

×B

×C

f (2) = 0

f (5) = −1I

J

O





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x

y

C f

×A

×B

×C

f (2) = 0

f (5) = −1 f (10) = 2I

J

O






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17/119


x−

3 −

2 −

1 1 2 3 4

y

−4

−3−2−1

1

23

×A ×B

×C

C f

I

J

O

6 Lire graphiquement les valeurs de : f (−2) et f (−2), f (0) et f (0), f (1) et f (1).7 Retrouver ces valeurs par le calcul sachant que :

f (x) = 1

2

x3

−2x

−1 et f (x) =

3

2

x2

−2 ( f est appelée fonction dérivée de f .)


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x−

3 −

2 −

1 1 2 3 4

y

−4

−3−2−1

1

23

×A ×B

×C

f (−2) = 4

C f

I

J

O


f (x) = 1

2

x3

−2x

−1 et f (x) =

3

2

x2



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x−

3 −

2 −

1 1 2 3 4

y

−4

−3−2−1

1

23

×A ×B

×C

f (0) = −2

C f

I

J

O


f (x) = 1

2

x3

−2x

−1 et f (x) =

3

2

x2




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x−

3 −

2 −

1 1 2 3 4

y

−4

−3−2−1

1

23

×A ×B

×C

f (1) = −12

C f

I

J

O


f (x) = 1

2

x3

−2x

−1 et f (x) =

3

2

x2



Sommaire

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Sommaire








Sommaire

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Sommaire








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Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle

I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le de f en x0 est égal à :

x

y

A×

M×

x0

f (x0)

x0 + h

f (x0 + h)

C f

D


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Définition 1


I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le taux d’accroissement de f en x0 est égal à :

x

y

A×

M×

x0

f (x0)

x0 + h

f (x0 + h)

C f

D


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Définition 1



τ (h) = f (x0 + h) − f (x0)

h

x

y

A×

M×

x0

f (x0)

x0 + h

f (x0 + h)

C f

D


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Définition 1



τ (h) = f (x0 + h) − f (x0)

h

x

y

A×

M×

x0

f (x0)

x0 + h

f (x0 + h)

C f

D

Remarque :

Le taux d’accroissement de f en x0 représente le de la droite

(AM). Sa valeur dépend de h.



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Définition 1



τ (h) = f (x0 + h) − f (x0)

h

x

y

A×

M×

x0

f (x0)

x0 + h

f (x0 + h)

C f

D

Remarque :

Le taux d’accroissement de f en x0 représente le coefficient directeur de la droite

(AM). Sa valeur dépend de h.


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Exercice 1

Calculer le taux d’accroissement en 1 de la fonction f (x) = x2 + 1.

Calculer le taux d’accroissement en 1 de la fonction f (x) = x2 + x.


Sommaire

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Lorsque h tend vers zéro . . .

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la droite (AM) se rapproche de la tangente en A à C f .


x

C f

(T )

A

×

x0

f (x0)

M

×

x0 + h

f (x0 + h)

Lorsque h tend vers zéro . . .


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la droite (AM) se rapproche de la tangente en A à C f .

le coefficient directeur τ (h) de la droite (AM) tend vers le coefficient directeur de latangente en A à C f .


x

C f

(T )

A

×

x0

f (x0)

M

×

x0 + h

f (x0 + h)

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Définition 2

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :

Le nombre L est le . On note .


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Définition 2

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :



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Définition 2


limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

= L



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Définition 2


limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

= L

Le nombre L est le nombre dérivé de f en x0 . On note .


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Définition 2


limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

= L

Le nombre L est le nombre dérivé de f en x0 . On note f (x0) = L .



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Définition 2

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.

f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :

limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

= L

Le nombre L est le nombre dérivé de f en x0 . On note f (x0) = L .

Exercice 2

Montrer que la fonction f (x) = x2 + 1 est dérivable en 1.


Sommaire

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4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient



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Définition 3

Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f

d’abscisse x

0.La en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur .

x

C f

A×

x0

f (x0)


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Définition 3

Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x

0.

La tangente en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur .

x

C f

A×

x0

f (x0)



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Définition 3

Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x

0.

La tangente en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur f (x0) .

x

C f

A×

x0

f (x0)


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Définition 3

Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.


x

C f

(T )

A×

x0

f (x0)



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Définition 3

Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.


x

C f

(T )

f (x0)

A×

x0

f (x0)



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Exercice 3

On considère la fonction f (x) = x2 + x.

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x0 = 1 à C f ?

Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x0 = 0 à C f ?



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Exercice 4

x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

y

−3−2

−1

1

2

3

4

5

67

×A

×B

×C

×D

C f

Lire graphiquement les valeurs des coefficients directeurs f (−2), f (−1), f (0) et f (1).


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Propriété 1

Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.La tangente en A à C f a pour équation :


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Propriété 1


y = f (x0)(x− x0) + f (x0)


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Propriété 1


y = f (x0)(x− x0) + f (x0)

Démonstration :

Vérifier que La droite d’équation y = f (x0)(x− x0) + f (x0) passe bien par le pointA(x0 ; f (x0)) et qu’elle admet comme coefficient directeur le nombre f (x0).


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Exercice 5

On considère la fonction f (x) = 1

2x2.

Déterminer l’équation La tangente au point d’abscisse x0 = 1 à C f .


Sommaire

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51/119

x−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

y

−1

1

2

34

5

C f

A• B•


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52/119

x−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

y

−1

1

2

34

5

C f

A• B•

Remarque :

On a représenté ci-dessus la fonction f (x) = |x2

− 4|.f n’est pas dérivable en x0 = −2 et en x0 = 2 car C f n’admet pas de tangente auxpoints A et B.


Sommaire

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Défi


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Définition 4

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .

f est si et seulement si, f est dérivable en tout réel x0 de I .Si f est dérivable sur I , la fonction qui à tout réel x de I associe f (x) est la

de f . Cette fonction est notée f .


Défi i i 4

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Définition 4


f est dérivable sur I si et seulement si, f est dérivable en tout réel x0 de I .Si f est dérivable sur I , la fonction qui à tout réel x de I associe f (x) est la

de f . Cette fonction est notée f .


Défi iti 4

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Définition 4


f est dérivable sur I si et seulement si, f est dérivable en tout réel x0 de I .Si f est dérivable sur I , la fonction qui à tout réel x de I associe f (x) est la

fonction dérivée de f . Cette fonction est notée f .


Exemple de la fonction carrée

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y

M

×

f (x0) = −4.00x0 = −2.00

x0 = −2.00

f (x0) = 4.00

f (x0) = −4.00

Exemple de la fonction inverse

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x

y

M×

f (x0) = −4.00x0 = 0.50

x0 = 0.50

f (x0) = 2.00

f (x0) = −4.00

Propriété 2

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Propriété 2

Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :

f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité


Propriété 2

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Propriété 2



k


Propriété 2

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61/119

Propriété 2



k 0


Propriété 2

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62/119

Propriété 2



k 0 R


Propriété 2

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63/119

Propriété 2



k 0 R

x


Propriété 2

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64/119

p



k 0 R

x 1


Propriété 2

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65/119

p



k 0 R

x 1 R


Propriété 2

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66/119

p



k 0 R

x 1 R

x2


Propriété 2

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67/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x


Propriété 2

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68/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R


Propriété 2

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69/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1)


Propriété 2

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70/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1


Propriété 2

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71/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R


Propriété 2

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72/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x


Propriété 2

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73/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2


Propriété 2

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74/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗


Propriété 2

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k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗

1

xn (n 1)


Propriété 2

Dé é d f ll bl d dé b l é

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k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗

1

xn (n 1) − n

xn+1


Propriété 2

Dé i é d f i ll bl d dé i bili é

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77/119



k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗

1

xn (n 1) − n

xn+1R∗


Propriété 2

Dé i é d f ti ll t bl d dé i bilité

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k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗

1

xn (n 1) − n

xn+1R∗

√ x


Propriété 2

Déri ées de fonctions s elles et ensemble de déri abilité


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k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗

1

xn (n 1) − n

xn+1R∗

√ x 1

2√ x


Propriété 2


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k 0 R

x 1 R

x2 2x R

xn (n 1) nxn−1 R

1

x − 1

x2R∗

1

xn (n 1) − n

xn+1R∗

√ x 1

2√ x

0 ; +∞


Démonstrations :

Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.


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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.

Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;


Démonstrations :



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Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;


Démonstrations :


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Pour f (x) = x2 on vérifiera que τ (h) = 2x + h ;


Démonstrations :


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Pour f (x) = xn

le résultat est admis ;


Démonstrations :

Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.L f dé é b f d h

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Pour f

(x

) = xn

le résultat est admis

;

Pour f (x) = 1

x on vérifiera que τ (h) = − 1

x(x + h) ;


Démonstrations :

Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.L f i dé i é i b f i d h 0

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Pour f

(x

) = xn

le résultat est admis

;

Pour f (x) = 1


x(x + h) ;

Pour f (x) =√ x on vérifiera que τ (h) =

1√ x + h +

√ x

.


Démonstrations :

Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.L f ti dé i é t it bt f i t t d h 0

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Pour f (x) = xn le résultat est admis ;

Pour f (x) = 1


x(x + h) ;

Pour f (x) =√ x on vérifiera que τ (h) =

1√ x + h +

√ x

.

Remarque :

La fonction racine carrée est définie en 0 mais elle n’est pas dérivable en 0 !


Sommaire


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Sommaire


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Propriété 3

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .

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La fonction u + v est dérivable sur I et .


Propriété 3



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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .


Propriété 3


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La fonction uv est dérivable sur I et .


Propriété 3


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La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = uv + uv .


Propriété 3


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Démonstrations :

Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.


Propriété 3


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Démonstrations :


Pour f (x) = u(x) + v(x) on vérifiera que

τ (h) = u(x + h) − u(x)

h − v(x + h) − v(x)

h

;


Propriété 3


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Démonstrations :


Pour f (x) = u(x) + v(x) on vérifiera que

τ (h) = u(x + h) − u(x)

h − v(x + h) − v(x)

h

;

Pour f (x) = u(x)v(x) on vérifiera que :

τ (h) = u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x + h) + u(x)v(x + h) − u(x)v(x)

h .


Propriété 4

Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.

L f i k dé i bl I

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La fonction ku est dérivable sur I et .


Propriété 4


L f ti k t dé i bl I t (k ) k

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La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u .


Propriété 4


L f ti k st dé i bl s I t (k ) k

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La fonction u2 est dérivable sur I et .

X i H ll ss i (L é Bl is P s l) Ch it 5 b 2015 31 / 41

Propriété 4


La fonction ku est dérivable sur I et (ku) k u

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La fonction u2 est dérivable sur I et u2

= 2uu .

X i H ll i (L é Bl i P l) Ch it 5 b 2015 31 / 41

Propriété 4


La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u

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La fonction u2 est dérivable sur I et u2

= 2uu .

Démonstrations :

Il s’agit d’un cas particulier de la propriété 3.


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Propriété 5

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1

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La fonction

1

v est dérivable sur I et .

X i H ll i (L é Bl i P l) Ch i 5 b 2015 33 / 41

Propriété 5

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v

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La fonction

1

v est dérivable sur I et 1u

= −v

v2 .


Propriété 5


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105/119

La fonction

1


= −v

v2 .

La fonction u

v est dérivable sur I et .


Propriété 5


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106/119

La fonction

1


= −v

v2 .

La fonction u

v est dérivable sur I et

u

v

= uv − uv

v2 .


Propriété 5


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107/119

La fonction

1


= −v

v2 .

La fonction u


u

v

= uv − uv

v2 .

Démonstrations :



Propriété 5


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108/119

La fonction

1


= −v

v2 .

La fonction u


u

v

= uv − uv

v2 .

Démonstrations :


Pour f (x) = 1v(x)

on vérifiera que τ (h) = −v(x + h) − v(x)h

× 1v(x + h)v(x)

.


Propriété 5


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109/119

La fonction

1


= −v

v2 .

La fonction u


u

v

= uv − uv

v2 .

Démonstrations :


Pour f (x) = 1v(x)

on vérifiera que τ (h) = −v(x + h) − v(x)h

× 1v(x + h)v(x)

.

Pour f (x) = u(x)

v(x) = u(x) × 1

v(x) on peut appliquer les propriétés 3)2. et 5)1.


Propriété 6

Toute fonction polynôme est dérivable sur R.

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Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition.


Exercice 6

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

f(x) 2x3 5x2 + 7x 9


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f (x) = 2x−

5x + 7x−

9

g(x) = (5x4 − 1)(17x2 − 5x)

h(x) =√ x(2x + 1)

k(x) = 1

x2 + 3

l(x) = 3x− 1x2 + 1


Sommaire


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Vitesse instantanée

Un véhicule se rend, sur une route rectiligne, d’une ville A à une ville B.À chaque instant t, on note f (t) la distance parcourue depuis la ville A.

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113/119

A B

M (t0) M (t0 + h)f (t0)

f (t0 + h)

La vitesse moyenne du véhicule entre les instants t0 et t0 + h est le taux d’accroissementde f entre t0 et t0 + h :



Un véhicule se rend, sur une route rectiligne, d’une ville A à une ville B.À chaque instant t, on note f (t) la distance parcourue depuis la ville A.


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114/119

A B

M (t0) M (t0 + h)f (t0)

f (t0 + h)

La vitesse moyenne du véhicule entre les instants t0 et t0 + h est le taux d’accroissementde f entre t0 et t0 + h :

vmoy = f (t0 + h) − f (t0)

h



Lorsqu’on représente graphiquement f enfonction de t, la vitesse moyenne est le Df (t0 + h) )

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115/119

coefficient directeur de la sécante (CD).Lorsque les deux instants t0 et t0 + h sontinfiniment proches, c’est-à-dire lorsque htend vers zéro, la vitesse moyenne« devient » alors la vitesse instantanée duvéhicule à l’instant t0.

0

C

t0 t0 + h

f (t0)

f( 0 + )

h

f ( t 0

+

h ) −

f ( t 0

Lorsqu’on représente graphiquement f en fonction de t, la vitesse instantanée est lecoefficient directeur de la tangente T à C f au point d’abscisse t0.

La vitesse instantanée du véhicule à l’instant t0 est donc f (t0).



Lorsqu’on représente graphiquement f enfonction de t, la vitesse moyenne est le Df (t0 + h)

0

)

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116/119

coefficient directeur de la sécante (CD).Lorsque les deux instants t0 et t0 + h sontinfiniment proches, c’est-à-dire lorsque htend vers zéro, la vitesse moyenne« devient » alors la vitesse instantanée duvéhicule à l’instant t0.

v(t0) = limh→0

f (t0 + h) − f (t0)h

0

C

t0 t0 + h

f (t0)

f( )

h

f ( t 0

+

h ) −

f ( t 0

Lorsqu’on représente graphiquement f en fonction de t, la vitesse instantanée est lecoefficient directeur de la tangente T à C f au point d’abscisse t0.

La vitesse instantanée du véhicule à l’instant t0 est donc f (t0).


Exercice 7

Un mobile M se déplace sur un axe gradué en centimètres. Son abscisse est donnée enfonction du temps t (exprimé en secondes) par f (t) = 3t2 + 2t + 1 où 0 t 3.

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117/119

1 Quelle est l’abscisse de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

2 Quelle est la vitesse moyenne de M entre les instants t = 1 et t = 3 ?

3 Quelle est la vitesse instantanée de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?


Exercice 8

Du haut d’une tour, on laisse tomber une balle à l’instant t = 0.Sa hauteur, en mètres, par rapport au sol est donnée en fonction du temps t (en

2

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secondes) par h(t) = −4, 9t2

+ 16.1 Quelle est la hauteur de la tour ?

2 À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?

3 Quelle est la vitesse instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?


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FIN

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