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Dérivation
Xavier Hallosserie
Lycée Blaise Pascal
novembre 2015
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 1 / 41
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Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit
4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 2 / 41
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Tangente à un cercle
C
×A
×O
1 Comment construire précisément la tangente (T) en A au cercle C .
2 Combien existe-t-il de points de contact entre C et (T)?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 3 / 41
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Tangente à un cercle
C
×A
×O
(T )
1 Comment construire précisément la tangente (T) en A au cercle C .
2 Combien existe-t-il de points de contact entre C et (T)?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 3 / 41
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Tangente à un cercle
C
×A
×O
(T )
×M
1 Comment construire précisément la tangente (T) en A au cercle C .
2 Combien existe-t-il de points de contact entre C et (T)?
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Tangente à une courbe
x
y
×A
I
J
O
C f
3 Parmi les trois droites suivantes laquelle semble être la tangente en A à C f ?
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Tangente à une courbe
x
y
×A
I
J
O
C f
d1
3 Parmi les trois droites suivantes laquelle semble être la tangente en A à C f ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 4 / 41
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Tangente à une courbe
x
y
×A
I
J
O
C f
d1
d2
3 Parmi les trois droites suivantes laquelle semble être la tangente en A à C f ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 4 / 41
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Tangente à une courbe
x
y
×A
I
J
O
C f
d1
d2
d3
3 Parmi les trois droites suivantes laquelle semble être la tangente en A à C f ?
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
f (2) = 0
I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
f (2) = 0
f (5) = −1I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x
y
C f
×A
×B
×C
f (2) = 0
f (5) = −1 f (10) = 2I
J
O
4 Sur le graphique tracer - au juger, et à la règle - les tangentes à C f aux points A,B et C.
5 Estimer leurs coefficients directeurs que l’on notera f (2), f (5) et f (10).
Ces nombres sont appelés nombres dérivés de f aux points d’abscisses 2, 5 et 10.
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Tangente à une courbe
x−
3 −
2 −
1 1 2 3 4
y
−4
−3−2−1
1
23
×A ×B
×C
C f
I
J
O
6 Lire graphiquement les valeurs de : f (−2) et f (−2), f (0) et f (0), f (1) et f (1).7 Retrouver ces valeurs par le calcul sachant que :
f (x) = 1
2
x3
−2x
−1 et f (x) =
3
2
x2
−2 ( f est appelée fonction dérivée de f .)
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Tangente à une courbe
x−
3 −
2 −
1 1 2 3 4
y
−4
−3−2−1
1
23
×A ×B
×C
f (−2) = 4
C f
I
J
O
6 Lire graphiquement les valeurs de : f (−2) et f (−2), f (0) et f (0), f (1) et f (1).7 Retrouver ces valeurs par le calcul sachant que :
f (x) = 1
2
x3
−2x
−1 et f (x) =
3
2
x2
−2 ( f est appelée fonction dérivée de f .)
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Tangente à une courbe
x−
3 −
2 −
1 1 2 3 4
y
−4
−3−2−1
1
23
×A ×B
×C
f (0) = −2
C f
I
J
O
6 Lire graphiquement les valeurs de : f (−2) et f (−2), f (0) et f (0), f (1) et f (1).7 Retrouver ces valeurs par le calcul sachant que :
f (x) = 1
2
x3
−2x
−1 et f (x) =
3
2
x2
−2 ( f est appelée fonction dérivée de f .)
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Tangente à une courbe
x−
3 −
2 −
1 1 2 3 4
y
−4
−3−2−1
1
23
×A ×B
×C
f (1) = −12
C f
I
J
O
6 Lire graphiquement les valeurs de : f (−2) et f (−2), f (0) et f (0), f (1) et f (1).7 Retrouver ces valeurs par le calcul sachant que :
f (x) = 1
2
x3
−2x
−1 et f (x) =
3
2
x2
−2 ( f est appelée fonction dérivée de f .)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 6 / 41
Sommaire
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Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit
4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 7 / 41
Sommaire
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Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit
4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 8 / 41
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Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le de f en x0 est égal à :
x
y
A×
M×
x0
f (x0)
x0 + h
f (x0 + h)
C f
D
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 9 / 41
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Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le taux d’accroissement de f en x0 est égal à :
x
y
A×
M×
x0
f (x0)
x0 + h
f (x0 + h)
C f
D
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 9 / 41
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Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le taux d’accroissement de f en x0 est égal à :
τ (h) = f (x0 + h) − f (x0)
h
x
y
A×
M×
x0
f (x0)
x0 + h
f (x0 + h)
C f
D
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 9 / 41
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Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le taux d’accroissement de f en x0 est égal à :
τ (h) = f (x0 + h) − f (x0)
h
x
y
A×
M×
x0
f (x0)
x0 + h
f (x0 + h)
C f
D
Remarque :
Le taux d’accroissement de f en x0 représente le de la droite
(AM). Sa valeur dépend de h.
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Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.Le taux d’accroissement de f en x0 est égal à :
τ (h) = f (x0 + h) − f (x0)
h
x
y
A×
M×
x0
f (x0)
x0 + h
f (x0 + h)
C f
D
Remarque :
Le taux d’accroissement de f en x0 représente le coefficient directeur de la droite
(AM). Sa valeur dépend de h.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 9 / 41
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Exercice 1
Calculer le taux d’accroissement en 1 de la fonction f (x) = x2 + 1.
Calculer le taux d’accroissement en 1 de la fonction f (x) = x2 + x.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 10 / 41
Sommaire
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1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit
4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 11 / 41
Lorsque h tend vers zéro . . .
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la droite (AM) se rapproche de la tangente en A à C f .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 12 / 41
x
C f
(T )
A
×
x0
f (x0)
M
×
x0 + h
f (x0 + h)
Lorsque h tend vers zéro . . .
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la droite (AM) se rapproche de la tangente en A à C f .
le coefficient directeur τ (h) de la droite (AM) tend vers le coefficient directeur de latangente en A à C f .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 12 / 41
x
C f
(T )
A
×
x0
f (x0)
M
×
x0 + h
f (x0 + h)
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Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :
Le nombre L est le . On note .
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Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :
Le nombre L est le . On note .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 13 / 41
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Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :
limh→0
f (x0 + h) − f (x0)h
= L
Le nombre L est le . On note .
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Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :
limh→0
f (x0 + h) − f (x0)h
= L
Le nombre L est le nombre dérivé de f en x0 . On note .
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Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :
limh→0
f (x0 + h) − f (x0)h
= L
Le nombre L est le nombre dérivé de f en x0 . On note f (x0) = L .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 13 / 41
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Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , x0 et x0 + h deux réels de I avec h = 0.
f est dérivable en x0 signifie que τ (h) tend vers un réel L quand h tend vers 0.On écrit :
limh→0
f (x0 + h) − f (x0)h
= L
Le nombre L est le nombre dérivé de f en x0 . On note f (x0) = L .
Exercice 2
Montrer que la fonction f (x) = x2 + 1 est dérivable en 1.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 13 / 41
Sommaire
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1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 14 / 41
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Définition 3
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f
d’abscisse x
0.La en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur .
x
C f
A×
x0
f (x0)
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Définition 3
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x
0.
La tangente en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur .
x
C f
A×
x0
f (x0)
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Définition 3
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x
0.
La tangente en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur f (x0) .
x
C f
A×
x0
f (x0)
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Définition 3
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.
La tangente en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur f (x0) .
x
C f
(T )
A×
x0
f (x0)
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Définition 3
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.
La tangente en A à C f est la droite passant par A, de coefficient directeur f (x0) .
x
C f
(T )
f (x0)
A×
x0
f (x0)
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 15 / 41
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Exercice 3
On considère la fonction f (x) = x2 + x.
Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x0 = 1 à C f ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x0 = 0 à C f ?
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Exercice 4
x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
y
−3−2
−1
1
2
3
4
5
67
×A
×B
×C
×D
C f
Lire graphiquement les valeurs des coefficients directeurs f (−2), f (−1), f (0) et f (1).
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Propriété 1
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.La tangente en A à C f a pour équation :
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 18 / 41
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Propriété 1
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.La tangente en A à C f a pour équation :
y = f (x0)(x− x0) + f (x0)
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Propriété 1
Soit f une fonction dérivable en x0, C f sa courbe représentative et A le point de C f d’abscisse x0.La tangente en A à C f a pour équation :
y = f (x0)(x− x0) + f (x0)
Démonstration :
Vérifier que La droite d’équation y = f (x0)(x− x0) + f (x0) passe bien par le pointA(x0 ; f (x0)) et qu’elle admet comme coefficient directeur le nombre f (x0).
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 18 / 41
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Exercice 5
On considère la fonction f (x) = 1
2x2.
Déterminer l’équation La tangente au point d’abscisse x0 = 1 à C f .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 19 / 41
Sommaire
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1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 20 / 41
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x−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
y
−1
1
2
34
5
C f
A• B•
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 21 / 41
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x−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
y
−1
1
2
34
5
C f
A• B•
Remarque :
On a représenté ci-dessus la fonction f (x) = |x2
− 4|.f n’est pas dérivable en x0 = −2 et en x0 = 2 car C f n’admet pas de tangente auxpoints A et B.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 21 / 41
Sommaire
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1. Activité : Tangente à une courbe
2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 22 / 41
Défi
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Définition 4
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
f est si et seulement si, f est dérivable en tout réel x0 de I .Si f est dérivable sur I , la fonction qui à tout réel x de I associe f (x) est la
de f . Cette fonction est notée f .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 23 / 41
Défi i i 4
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Définition 4
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
f est dérivable sur I si et seulement si, f est dérivable en tout réel x0 de I .Si f est dérivable sur I , la fonction qui à tout réel x de I associe f (x) est la
de f . Cette fonction est notée f .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 23 / 41
Défi iti 4
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Définition 4
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
f est dérivable sur I si et seulement si, f est dérivable en tout réel x0 de I .Si f est dérivable sur I , la fonction qui à tout réel x de I associe f (x) est la
fonction dérivée de f . Cette fonction est notée f .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 23 / 41
Exemple de la fonction carrée
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Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 24 / 41
y
M
×
f (x0) = −4.00x0 = −2.00
x0 = −2.00
f (x0) = 4.00
f (x0) = −4.00
Exemple de la fonction inverse
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Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 25 / 41
x
y
M×
f (x0) = −4.00x0 = 0.50
x0 = 0.50
f (x0) = 2.00
f (x0) = −4.00
Propriété 2
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Propriété 2
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
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Propriété 2
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Propriété 2
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
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Propriété 2
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
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Propriété 2
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
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Propriété 2
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x
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Propriété 2
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p
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1
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Propriété 2
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p
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
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p
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1)
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
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Propriété 2
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
1
xn (n 1)
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Propriété 2
Dé é d f ll bl d dé b l é
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
1
xn (n 1) − n
xn+1
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Propriété 2
Dé i é d f i ll bl d dé i bili é
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
1
xn (n 1) − n
xn+1R∗
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Propriété 2
Dé i é d f ti ll t bl d dé i bilité
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
1
xn (n 1) − n
xn+1R∗
√ x
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Propriété 2
Déri ées de fonctions s elles et ensemble de déri abilité
http://goforward/http://find/http://goback/
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
1
xn (n 1) − n
xn+1R∗
√ x 1
2√ x
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Propriété 2
Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
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Dérivées de fonctions usuelles et ensemble de dérivabilité :
f (x) f (x) Ensemble de dérivabilité
k 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (n 1) nxn−1 R
1
x − 1
x2R∗
1
xn (n 1) − n
xn+1R∗
√ x 1
2√ x
0 ; +∞
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 26 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.
http://goforward/http://find/http://goback/
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.
http://goforward/http://find/http://goback/
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;
Pour f (x) = x2 on vérifiera que τ (h) = 2x + h ;
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;
Pour f (x) = x2 on vérifiera que τ (h) = 2x + h ;
Pour f (x) = xn
le résultat est admis ;
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.L f dé é b f d h
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;
Pour f (x) = x2 on vérifiera que τ (h) = 2x + h ;
Pour f
(x
) = xn
le résultat est admis
;
Pour f (x) = 1
x on vérifiera que τ (h) = − 1
x(x + h) ;
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.L f i dé i é i b f i d h 0
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;
Pour f (x) = x2 on vérifiera que τ (h) = 2x + h ;
Pour f
(x
) = xn
le résultat est admis
;
Pour f (x) = 1
x on vérifiera que τ (h) = − 1
x(x + h) ;
Pour f (x) =√ x on vérifiera que τ (h) =
1√ x + h +
√ x
.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.L f ti dé i é t it bt f i t t d h 0
http://find/
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Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = k on vérifiera que τ (h) = 0 ;
Pour f (x) = x on vérifiera que τ (h) = 1 ;
Pour f (x) = x2 on vérifiera que τ (h) = 2x + h ;
Pour f (x) = xn le résultat est admis ;
Pour f (x) = 1
x on vérifiera que τ (h) = − 1
x(x + h) ;
Pour f (x) =√ x on vérifiera que τ (h) =
1√ x + h +
√ x
.
Remarque :
La fonction racine carrée est définie en 0 mais elle n’est pas dérivable en 0 !
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 27 / 41
Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
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2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 28 / 41
Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
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2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 29 / 41
Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et .
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Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 30 / 41
Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .
La fonction uv est dérivable sur I et .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 30 / 41
Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .
La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = uv + uv .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 30 / 41
Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .
La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = uv + uv .
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 30 / 41
Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .
La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = uv + uv .
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = u(x) + v(x) on vérifiera que
τ (h) = u(x + h) − u(x)
h − v(x + h) − v(x)
h
;
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 30 / 41
Propriété 3
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I .
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La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v .
La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = uv + uv .
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = u(x) + v(x) on vérifiera que
τ (h) = u(x + h) − u(x)
h − v(x + h) − v(x)
h
;
Pour f (x) = u(x)v(x) on vérifiera que :
τ (h) = u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x + h) + u(x)v(x + h) − u(x)v(x)
h .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 30 / 41
Propriété 4
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.
L f i k dé i bl I
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La fonction ku est dérivable sur I et .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 31 / 41
Propriété 4
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.
L f ti k t dé i bl I t (k ) k
http://find/
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La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u .
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 31 / 41
Propriété 4
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.
L f ti k st dé i bl s I t (k ) k
http://find/
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La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u .
La fonction u2 est dérivable sur I et .
X i H ll ss i (L é Bl is P s l) Ch it 5 b 2015 31 / 41
Propriété 4
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.
La fonction ku est dérivable sur I et (ku) k u
http://find/
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La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u .
La fonction u2 est dérivable sur I et u2
= 2uu .
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Propriété 4
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.
La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u
http://find/
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La fonction ku est dérivable sur I et (ku) = k u .
La fonction u2 est dérivable sur I et u2
= 2uu .
Démonstrations :
Il s’agit d’un cas particulier de la propriété 3.
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Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
http://find/
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2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
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Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et .
X i H ll i (L é Bl i P l) Ch i 5 b 2015 33 / 41
Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et 1u
= −v
v2 .
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Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et 1u
= −v
v2 .
La fonction u
v est dérivable sur I et .
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Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et 1u
= −v
v2 .
La fonction u
v est dérivable sur I et
u
v
= uv − uv
v2 .
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Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et 1u
= −v
v2 .
La fonction u
v est dérivable sur I et
u
v
= uv − uv
v2 .
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
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Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et 1u
= −v
v2 .
La fonction u
v est dérivable sur I et
u
v
= uv − uv
v2 .
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = 1v(x)
on vérifiera que τ (h) = −v(x + h) − v(x)h
× 1v(x + h)v(x)
.
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 33 / 41
Propriété 5
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I , v(x) = 0 pour tout x de I .1 1 v
http://find/
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La fonction
1
v est dérivable sur I et 1u
= −v
v2 .
La fonction u
v est dérivable sur I et
u
v
= uv − uv
v2 .
Démonstrations :
Pour chaque fonction f on calcule son taux d’accroissement en x.Les fonctions dérivées sont ensuite obtenues en faisant tendre h vers 0.
Pour f (x) = 1v(x)
on vérifiera que τ (h) = −v(x + h) − v(x)h
× 1v(x + h)v(x)
.
Pour f (x) = u(x)
v(x) = u(x) × 1
v(x) on peut appliquer les propriétés 3)2. et 5)1.
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Propriété 6
Toute fonction polynôme est dérivable sur R.
http://find/
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Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition.
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Exercice 6
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
f(x) 2x3 5x2 + 7x 9
http://goforward/http://find/http://goback/
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f (x) = 2x−
5x + 7x−
9
g(x) = (5x4 − 1)(17x2 − 5x)
h(x) =√ x(2x + 1)
k(x) = 1
x2 + 3
l(x) = 3x− 1x2 + 1
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 35 / 41
Sommaire
1. Activité : Tangente à une courbe
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2. Comment calculer les nombres dérivés ?2.1 Taux d’accroissement2.2 Fonction dérivable en x02.3 Tangente à C f au point d’abscisse x02.4 Fonction non dérivable en x0
3. Comment calculer les fonctions dérivées ?
4. Opérations sur les dérivées4.1 Somme et produit4.2 Inverse et quotient
5. Dérivation et vitesse instantanée
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 36 / 41
Vitesse instantanée
Un véhicule se rend, sur une route rectiligne, d’une ville A à une ville B.À chaque instant t, on note f (t) la distance parcourue depuis la ville A.
http://find/
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A B
M (t0) M (t0 + h)f (t0)
f (t0 + h)
La vitesse moyenne du véhicule entre les instants t0 et t0 + h est le taux d’accroissementde f entre t0 et t0 + h :
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Vitesse instantanée
Un véhicule se rend, sur une route rectiligne, d’une ville A à une ville B.À chaque instant t, on note f (t) la distance parcourue depuis la ville A.
http://find/http://goback/
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A B
M (t0) M (t0 + h)f (t0)
f (t0 + h)
La vitesse moyenne du véhicule entre les instants t0 et t0 + h est le taux d’accroissementde f entre t0 et t0 + h :
vmoy = f (t0 + h) − f (t0)
h
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 37 / 41
Vitesse instantanée
Lorsqu’on représente graphiquement f enfonction de t, la vitesse moyenne est le Df (t0 + h) )
http://find/
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coefficient directeur de la sécante (CD).Lorsque les deux instants t0 et t0 + h sontinfiniment proches, c’est-à-dire lorsque htend vers zéro, la vitesse moyenne« devient » alors la vitesse instantanée duvéhicule à l’instant t0.
0
C
t0 t0 + h
f (t0)
f( 0 + )
h
f ( t 0
+
h ) −
f ( t 0
Lorsqu’on représente graphiquement f en fonction de t, la vitesse instantanée est lecoefficient directeur de la tangente T à C f au point d’abscisse t0.
La vitesse instantanée du véhicule à l’instant t0 est donc f (t0).
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Vitesse instantanée
Lorsqu’on représente graphiquement f enfonction de t, la vitesse moyenne est le Df (t0 + h)
0
)
http://find/
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coefficient directeur de la sécante (CD).Lorsque les deux instants t0 et t0 + h sontinfiniment proches, c’est-à-dire lorsque htend vers zéro, la vitesse moyenne« devient » alors la vitesse instantanée duvéhicule à l’instant t0.
v(t0) = limh→0
f (t0 + h) − f (t0)h
0
C
t0 t0 + h
f (t0)
f( )
h
f ( t 0
+
h ) −
f ( t 0
Lorsqu’on représente graphiquement f en fonction de t, la vitesse instantanée est lecoefficient directeur de la tangente T à C f au point d’abscisse t0.
La vitesse instantanée du véhicule à l’instant t0 est donc f (t0).
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 38 / 41
Exercice 7
Un mobile M se déplace sur un axe gradué en centimètres. Son abscisse est donnée enfonction du temps t (exprimé en secondes) par f (t) = 3t2 + 2t + 1 où 0 t 3.
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1 Quelle est l’abscisse de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?
2 Quelle est la vitesse moyenne de M entre les instants t = 1 et t = 3 ?
3 Quelle est la vitesse instantanée de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?
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Exercice 8
Du haut d’une tour, on laisse tomber une balle à l’instant t = 0.Sa hauteur, en mètres, par rapport au sol est donnée en fonction du temps t (en
2
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secondes) par h(t) = −4, 9t2
+ 16.1 Quelle est la hauteur de la tour ?
2 À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?
3 Quelle est la vitesse instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?
Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 5 novembre 2015 40 / 41
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FIN
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