Faculteit Wetenschappen en Bio-IngenieurswetenschappenDepartement Wiskunde

Van Latijns tot magisch vierkant

Carlo Emerencia

Promotor: Prof. Dr. Philippe Cara

28 januari 2016

Inhoudsopgave

1 Inleiding 2

2 Latijnse Vierkanten 42.1 Latijnse vierkanten (in standaardvorm) . . . . . . . . . . . . 42.2 Orthogonale Latijnse vierkanten . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Dubbel diagonale Latijnse vierkanten . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Magische Vierkanten 153.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Constructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Verbanden Met Andere CombinatorischeStructuren 184.1 Steinersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Projectieve Vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

1 Inleiding

Deze bachelorproef gaat over magische vierkanten, objecten die vooral wor-den bestudeerd in een tak van de wiskunde, genaamd “recreatieve wis-kunde”. Hier bestudeert men, in tegenstelling tot zeer fundamentele proble-men, zoals fysische bewegingen en symmetrie van bijvoorbeeld moleculen,meer problemen die ontstaan uit puzzels en raadsels, die niet meteen eenantwoord geven op moeilijke vragen, zoals eerder geformuleerd. Meestal zijnvoor onderwerpen binnen de recreatieve wiskunde niet zeer gevorderde tech-nieken nodig om de theorie erachter te begrijpen, maar kan het wel nuttigzijn om kinderen en/of volwassenen die niet dagelijks met wiskunde bezigzijn te motiveren dat dat wel interessant kan zijn.

Maar wat zijn nu deze “magische”vierkanten, en wat maakt ze zo “ma-gisch”? Om dat uit te leggen, keren we terug naar het oude China: inhet jaar 2800 voor Christus, waar de rivier Lo, volgens de legende, dikwijlsoverstroomde. Men geloofde dat er offers aan de riviergod gebracht moestenworden om de rivier te kalmeren, maar ieder offer was echter tevergeefs.

Op een dag merkte een kind na een overstroming op dat er een schildpadaanspoelde op het land, met negen opmerkelijke tekens op haar schild, ineen drie bij drie raster. Deze tekens leken op graffen met elk een bepaaldaantal toppen. Wordt het aantal toppen per graf in een nieuw raster (ofvierkant) gezet, krijgt men dit:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Op het allereerste zicht, ziet zelfs iemand met wat getalleninzicht misschienniet echt iets opvallends. Maar kijk je er wat langer naar, zie je met watexperimenteerwerk dat voor iedere rij in het vierkant geldt dat de som vande getallen gelijk is aan 15. Net hetzelfde voor de drie kolommen en dehoofd- en nevendiagonaal.

Dat was dus de oplossing: er moest niet een, maar 15 offers aan de riviergodgebracht worden, om de rivier te kalmeren. Dit vierkant werd voortaan “LoShu”genoemd, wat betekent: “Boek van de rivier Lo”, en het getal 15 had

2

nu een zeer speciale betekenis gekregen. 1

Een magisch vierkant is zelfs te vinden in de kerk van de Sagrada Fami-lia in Spanje:

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

De som van de rijen, kolommen en diagonalen in dit vierkant is 33, deleeftijd van Jezus toen hij gekruisigd werd. 2

Dit leidt nu tot een aantal andere vragen, namelijk: “Bestaan er nog anderemagische vierkanten van dezelfde orde?”, “Bestaan er anders nog groteremagische vierkanten?”, “Hoe construeert men, indien ze bestaan, deze vier-kanten?” en “Zijn er misschien verbanden met andere interessante wiskun-dige objecten?”. In deze bachelorproef zal er naar constructies toegewerktworden met behulp van Latijnse vierkanten, wat meteen in het volgendehoofdstuk besproken wordt.

1http://plaza.ufl.edu/ufkelley/magic/history.htm2http://www.taliscope.net/Sagrada en.html

3

2 Latijnse Vierkanten

Dit hoofdstuk zal gewijd worden aan mogelijke bouwstenen voor magischevierkanten, namelijk Latijnse vierkanten, en speciale klassen ervan: de paars-gewijs orthogonale. Alle definities en eigenschappen die nodig zullen zijn,staan opgesomd. Eerst uiteraard de definitie van een Latijns vierkant.

2.1 Latijnse vierkanten (in standaardvorm)

Definitie 2.1.1 [5] Een Latijns vierkant van orde n met n verschillendesymbolen (bijvoorbeeld: 0, 1, . . . , n−1) is een n×n raster, waarbij op iedererij en iedere kolom ieder symbool juist een keer voorkomt.

Voorbeeld 2.1.2

0 1 22 0 11 2 0

is een Latijns vierkant van orde 3.

Voorbeeld 2.1.3 [8] ∀n ∈ N0 : de Cayley-tabel van (Zn,+) is eenLatijns vierkant van orde n.

Bewijs:

+ 0 1 . . . n− 1

0 0 1 . . . n− 11 1 2 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .n− 1 n− 1 n ... n− 2

Stel dat er twee getallen op een rij gelijk zijn, of ook: ∃a, b, c ∈ Zn :a+ b = a+ c. We trekken van beide leden a af en we zien dat b = c. Wegenscommutativiteit van de groep Zn, geldt hetzelfde voor de kolommen en deCayley-tabel is dus een Latijns vierkant van orde n.

Opmerking: In het algemeen geeft iedere Cayley-tabel van een groep vanorde n aanleiding tot een Latijns vierkant van orde n, maar niet omgekeerd.

Definitie 2.1.4 [5] Een Latijns vierkant van orde n noemt men in stan-daardvorm, indien de symbolen op eerste rij van het vierkant in een voorafafgesproken volgorde staan.

4

Zo is het Latijns vierkant uit voorbeeld 2.1.2 ook een Latijns vierkant instandaardvorm: de eerste rij is 0, 1, 2, volgens de orde van N.

In wat volgt, zullen we in alle Latijnse vierkanten de symbolen0, 1, 2, · · · , n− 1 gebruiken.

Stelling 2.1.5 [5] Ieder Latijns vierkant van orde n kan in standaardvormgezet worden.

Bewijs: Zij L = (li,j) een Latijns vierkant, niet noodzakelijk in standaard-vorm. Zij verder σ ∈ Sn de permutatie die de rij l1,1, l1,2, . . . , l1,n op derij 0, 1, . . . , n − 1 stuurt. Beschouw dan het vierkant: L∗ = (σ(li,j)), enstel dat in een bepaalde rij i van L∗ geldt: σ(li,k) = σ(li,m). Omdat σ eenpermutatie is, kan de inverse permutatie toegepast worden en vinden we:li,k = li,m. Maar nu is L een Latijns vierkant, waaruit volgt: k = m. Eenanaloog argument kan toegepast worden op de kolommen van L∗, en dus isL∗ een Latijns vierkant in standaardvorm.

We noteren dus voortaan voor een willekeurig Latijns vierkant L het er-mee geassocieerde Latijns vierkant in standaardvorm als L∗.

Voorbeeld 2.1.6: Stel dat we

0 2 3 12 0 1 31 3 2 03 1 0 2

in standaardvorm willen

brengen. Als we de permutatie (0)(1 3 2) op ieder element van het

vierkant toepassen, krijgen we:

0 1 2 31 0 3 23 2 1 02 3 0 1

, wat weer een Latijns

vierkant is, deze keer in standaardvorm.

2.2 Orthogonale Latijnse vierkanten

De Latijnse vierkanten die interessant zullen zijn om uiteindelijk magischevierkanten te construeren, zijn de paren die orthogonaal zijn. Het magischvierkant dat we willen bekomen, zal namelijk een bepaalde lineaire combi-natie van de twee Latijnse vierkanten zijn. Eerst een definitie van wat er

5

bedoeld wordt met orthogonaliteit van twee Latijnse vierkanten.

Definitie 2.2.1 [5] Men noemt twee Latijnse vierkanten L1 en L2 van orden orthogonaal, indien het vierkant gevormd door koppels van overeenkom-stige elementen van L1 en L2 alle n2 mogelijke koppels bevat.

Voorbeeld 2.2.2:

0 3 1 4 21 4 2 0 32 0 3 1 43 1 4 2 04 2 0 3 1

en

0 2 4 1 31 3 0 2 42 4 1 3 03 0 2 4 14 1 3 0 2

zijn twee orthogonale Latijnse

vierkanten van orde 5.

Stelling 2.2.3 [5] Als L1 en L2 orthogonale Latijnse vierkanten van orde nzijn, dan zijn L∗

1 en L∗2 dat ook.

Bewijs: Verloopt analoog aan het bewijs van Stelling 2.1.5

Stelling 2.2.4 Zij n een priemmacht (n = ph, p priem, h ∈ N). Dan ishet maximaal aantal Latijnse vierkanten van orde n, waarvan iedere tweeorthogonaal zijn, gelijk aan n− 1.

Bewijs: Hiervoor bewijzen we eerst een lemma:

Lemma 2.2.5 Zij n een willekeurig niet-nul natuurlijk getal. Dan is hetmaximaal aantal Latijnse vierkanten van orde n, waarvan iedere twee ortho-gonaal zijn, hoogstens n− 1.

Bewijs: Zij L1, L2, . . . , Lk een verzameling van k Latijnse vierkanten, diepaarsgewijs orthogonaal zijn. We veronderstellen dat k > 0 en we mogenwegens Stelling 2.2.3, zonder de algemeenheid te schaden, veronderstellendat ze in standaardvorm staan (door achteraf een inverse permutatie toe tepassen). Neem Li en Lj zo twee vierkanten. We beschouwen nu het elementli2,1 uit het vierkant Li.

6

Li =

0 1 . . . n− 1li2,1

Omdat Li een Latijns vierkant is, kan het niet dat li2,1 = 0.

Verder kan het ook niet dat li2,1 = lj2,1 voor j verschillend van i, want wegenshet in standaardvorm staan van Li en Lj , zou daaruit volgen dat eenzelfdekoppel meer dan een keer voorkomt in het vierkant gevormd door de kop-pels. Er blijven dus n− 1 mogelijkheden over voor li2,1, waardoor k ook tenhoogste n− 1 kan zijn.

Bewijs van Stelling 2.2.4: Als n een priemmacht is, bestaat er een veldF van orde n [1] . Noteer voor de elementen van F : {f1, f2, . . . , fn }. Wespreken af dat fn = 0. Zij nu voor alle 1 ≤ k ≤ n − 1 het vierkant Lk alsvolgt gedefinieerd:

lki,j = fi · fk + fj

Er moet nu bewezen worden dat Lk een Latijns vierkant is, en dat Lk1 enLk2 orthogonaal zijn voor willekeurige 1 ≤ k1, k2 ≤ n− 1.

Voor de rijen: zij lki,j = lki,m, dan:

fi · fk + fj = fi · fk + fm⇐⇒ fj = fm⇐⇒ j = m

Voor de kolommen: zij lki,j = lkm,j , dan:

fi · fk + fj = fm · fk + fj⇐⇒ fi · fk = fm · fk⇐⇒ fi = fm (omdat k 6= n, is fk 6= 0)⇐⇒ i = m

Zij (lk1i,j , lk2i,j) = (lk1q,r, l

k2q,r), dan:

lk1i,j = lk2q,r en lk1i,j = lk2q,r⇐⇒ fi · fk1 + fj = fq · fk1 + fr en fi · fk2 + fj = fq · fk2 + fr⇐⇒ fi · (fk1 − fk2) = fq · (fk1 − fk2) (aftrekken van beide gelijkheden)⇐⇒ fi = fq (k2 6= k1, en dus fk2 6= fk1 en (fk1 − fk2) inverteerbaar)⇐⇒ i = q

7

⇐⇒ fi · fk1 + fj = fi · fk1 + fr (vorig resultaat invullen in de eerste verge-lijking)⇐⇒ fj = fr⇐⇒ j = r

Dit bewijst de orthogonaliteit van Lk1 en Lk2We weten dus dat er voor n een priemmacht minstens n − 1 paarsgewijsorthogonale Latijnse vierkanten bestaan. Wegens het lemma hiervoor, is ditaantal dus juist n− 1.

Uit deze stelling blijkt nu dat n = 6 het kleinste natuurlijk getal is, waarvoorer niet noodzakelijk n − 1 = 5 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkantenbestaan. Men kan zelfs meer zeggen: [5] Voor n = 6 bestaan er zo niet eenstwee. Dit houdt verband met het volgende probleem waar Euler zich meebezighield: “Is het mogelijk om 36 officieren van 6 verschillende rangen envan iedere rang 6 verschillende afdelingen, in een zes bij zes opstelling tekrijgen, zodat op iedere rij en iedere kolom van de opstelling iedere officiereen verschillende afdeling en rang heeft?”. Euler vermoedde in 1782 dat ditprobleem geen oplossing had, waardoor er dus ook geen paar orthogonalelatijnse vierkanten bestaat van orde 6. Hij vermoedde zelfs meer: voor geenenkel natuurlijk getal n, met n ≡ 2 (mod 4) bestond dit paar van orde n.Dit is nu een van de vermoedens in de wiskunde, dat niet bewezen, maarontkracht werd in 1960 door Bose, Shrikhande en Parker.

Een tegenvoorbeeld van 2 orthogonale latijnse vierkanten van orde 10:0 4 1 7 2 9 8 3 6 58 1 5 2 7 3 9 4 0 69 8 2 6 3 7 4 5 1 05 9 8 3 0 4 7 6 2 17 6 9 8 4 1 5 0 3 26 7 0 9 8 5 2 1 4 33 0 7 1 9 8 6 2 5 41 2 3 4 5 6 0 7 8 92 3 4 5 6 0 1 8 9 74 5 6 0 1 2 3 9 7 8

0 7 8 6 9 3 5 4 1 26 1 7 8 0 9 4 5 2 35 0 2 7 8 1 9 6 3 49 6 1 3 7 8 2 0 4 53 9 0 2 4 7 8 1 5 68 4 9 1 3 5 7 2 6 07 8 5 9 2 4 6 3 0 14 5 6 0 1 2 3 7 8 91 2 3 4 5 6 0 9 7 82 3 4 5 6 0 1 8 9 7

[3] Wat Euler beweerde was niet helemaal fout, want voor het geval n = 6werd in 1900 door Tarry bewezen dat zulk een paar van orde 6 wel degelijkniet bestaat.

8

De constructie van orthogonale Latijnse vierkanten zal echter niet genoegzijn om magische vierkanten te construeren, met de reden dat het niet nood-zakelijk zo is dat de som van de rijen en de kolommen ook de som van dehoofd- en nevendiagonaal is. Hieraan wijden we de volgende paragraaf.

2.3 Dubbel diagonale Latijnse vierkanten

Definitie 2.3.1 [2] Een dubbel diagonaal Latijns vierkant van orden, is een Latijns vierkant van orde n, waarbij bovendien op de hoofd- ennevendiagonaal ervan ook alle n verschillende symbolen staan.

Voorbeeld 2.3.2:

0 1 2 33 2 1 01 0 3 22 3 0 1

is een dubbel diagonaal Latijns vier-

kant van orde 4.Voorbeeld 2.3.3: Er bestaan geen dubbel diagonale Latijnse vierkantenvan orde 3.

Bewijs: Laten we proberen er een te construeren. We vullen de hoofd-diagonaal in met de symbolen 0,1,2 (zie figuur onderaan). Merk op dat wede algemeenheid niet schaden, omdat we altijd permutaties op de symbolenkunnen toepassen. Op rij 1 kolom 2 moet een 2 staan, omdat 0 in dezelfderij, en 1 in dezelfde kolom staat. Om een analoge reden moet op rij 2 kolom1 een 2 staan. Met deze informatie kunnen we de ontbrekende symboleninvullen:

0 2 12 1 01 0 2

We zien nu dat op de nevendiagonaal enkel het symbool 1 staat, waardoorwe geen dubbel diagonaal Latijns vierkant bekomen.

Merk op dat indien we in het begin de nevendiagonaal zouden ingevuldhebben, we wegens symmetrie een probleem zouden gekregen hebben metde hoofddiagonaal.

Ook belangrijk om op te merken is dat als L een dubbel diagonaal Latijnsvierkant is, dat dan ook L∗ er een is. Dit volgt uit een redenering analoogaan Stellingen 2.1.5 en 2.2.3.

9

Het volgende dat we willen bespreken is hoeveel van deze vierkanten erbestaan die opnieuw paarsgewijs orthogonaal zijn, maar dan ook hoe ze ge-construeerd kunnen worden. Een bovengrens geven op dit aantal is niet ergmoeilijk:

Stelling 2.3.4 [4] Zij n ∈ N \ {0, 1}. Als n even is, is het maximaal aan-tal dubbel diagonale paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten hoogstensn− 2. Voor n oneven is dit aantal hoogstens n− 3.

Bewijs: Zij n een natuurlijk getal, oneven, en niet 1. Zij L1, L2, . . . , Lkeen stel dubbel diagonale Latijnse vierkanten, zodanig dat ieder paar ortho-gonaal is. Neem Li en Lj met i 6= j. We mogen weer veronderstellen datde twee vierkanten in standaardvorm staan. Omdat n oneven is, is er eenelement op de n+1

2 -de rij en op de n+12 -de kolom van Li. Noem dit lin+1

2,n+1

2

.

0 ... n+12 . . . n− 1

lin+12 ,n+1

2

Dit symbool mag niet 0 of n − 1 zijn, omdat het vierkant dan anders nietdubbel diagonaal is. Bovendien mag dit ook niet n+1

2 zijn, omdat het vier-kant dan anders niet Latijns is. Er zijn blijven dus n − 3 mogelijkhedenover voor lin+1

2,n+1

2

. Vanwege de orthogonaliteit van Li en Lj kan k dus ook

hoogstens n− 3 zijn.

Zij nu n even, en niet 0. Omdat n even is, bestaat er geen symbool datop zowel de hoofd- als de nevendiagonaal ligt. Met dezelfde notatie als inhet oneven geval, beschouwen we het symbool li2,2. Dit symbool ligt op dehoofddiagonaal van het vierkant en mag niet gelijk zijn aan 0 of 1. Bijgevolgzijn er voor dit symbool dus slechts n− 2 mogelijkheden en kan k dus hierten hoogste n− 2 zijn.

In feite willen we ook een ondergrens aantonen voor dit aantal voor n groterdan 1. In het geval dat n een priemmacht is, zullen deze grenzen samen-vallen, wat ideaal is. Hiervoor hebben we een extra operatie nodig die weop Latijnse vierkanten kunnen toepassen om nieuwe Latijnse vierkanten teverkrijgen met dezelfde eigenschappen.

10

Definitie 2.3.5: [7] Zij A, B een Latijnse vierkanten van orde respectievelijkn en m, dan definieren we het Kronecker-product (soms ook direct pro-

duct genoemd) vanA enB als: A⊗B =

a1,1 ⊗B a1,2 ⊗B . . . a1,n ⊗Ba2,1 ⊗B a2,2 ⊗B . . . a2,n ⊗B. . . . . . . . . . . .

an,1 ⊗B an,2 ⊗B . . . an,n ⊗B

Of concreter:

(a1,1, b1,1) (a1,1, b1,2) . . . (a1,1, b1,n) . . . (a1,n, b1,1) (a1,n, b1,2) . . . (a1,n, b1,n)(a1,1, b2,1) (a1,1, b2,2) . . . (a1,1, b2,n) . . . (a1,n, b2,1) (a1,n, b2,2) . . . (a1,n, b2,n)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(a1,1, bn,1) (a1,1, bn,2) . . . (a1,1, bn,n) . . . (a1,n, bn,1) (a1,n, bn,2) . . . (a1,n, bn,n)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(an,1, b1,1) (an,1, b1,2) . . . (an,1, b1,n) . . . (an,n, b1,1) (an,n, b1,2) . . . (an,n, b1,n)(an,1, b2,1) (an,1, b2,2) . . . (an,1, b2,n) . . . (an,n, b2,1) (an,n, b2,2) . . . (an,n, b2,n)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(an,1, bn,1) (an,1, bn,2) . . . (an,1, bn,n) . . . (an,n, bn,1) (an,n, bn,2) . . . (an,n, bn,n)

Deze notatie is alleen ter verduidelijking en is voor bewijzen omslachtig enneemt veel plaats in beslag. Daarom zal de eerste notatie gebruikt worden.

Voorbeeld 2.3.6: Zij A =0 11 0

en B =0 1 21 2 02 0 1

Dan is A⊗B =

(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)(0,1) (0,2) (0,0) (1,1) (1,2) (1,0)(0,2) (0,0) (0,1) (1,2) (1,0) (1,1)(1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,1) (0,2)(1,1) (1,2) (1,0) (0,1) (0,2) (0,0)(1,2) (1,0) (1,1) (0,2) (0,0) (0,1)

Misschien is het de aandachtige lezer al opgevallen dat:

Stelling 2.3.7: [4] Als A en B Latijnse vierkanten zijn van orde respec-tievelijk n en m, dan is A⊗B een Latijns vierkant van orde n ·m

Bewijs: Neem: (ai1,j1 , bi2,j2) en (ai1,j3 , bi2,j4) op dezelfde rij, en elk in eenverschillende kolom in het vierkant A⊗B (een analoge bewering kan toege-past worden indien “rij” en “kolom” omgewisseld worden). Als ai1,j1 6= ai1,j3 ,dan zijn de koppels niet gelijk, en is het bewijs klaar. Als ai1,j1 = ai1,j3 , danweten we dat (ai1,j1 , bi2,j2), (ai3,j3 , bi2,j4) ∈ ai1,j1 ⊗B, omdat A eenLatijns vierkant is. Maar hieruit volgt meteen dat bi2,j2 6= bi2,j4 , aangezienB ook een Latijns vierkant is. Hieruit volgt weer dat de koppels niet gelijkkunnen zijn, en dus dat A⊗B een Latijns vierkant is.

Stelling 2.3.8: [4]

11

1. Als A en B dubbel diagonale Latijnse vierkanten zijn, dan is A ⊗ Bdat ook.

2. Als A en B een constante diagonaal hebben, dan heeft A⊗B dat ook.

3. Als A en B orthogonale Latijnse vierkanten zijn, en C en D ook, danzijn A⊗ C en B ⊗D dat ook.

Bewijs:

1. Analoog aan Stelling 2.3.7.

2. Stel: a het constante element op de hoofddiagonaal van A en b datvan B. Dan zal het constante hoofddiagonaalelement van A⊗ B, hetkoppel (a, b) zijn. Hetzelfde argument kan toegepast worden op denevendiagonaal.

3. Stel: ((ai1,j1 , ci2,j2), (bi1,j1 , di2,j2)) = ((ai3,j3 , ci4,j4), (bi3,j3 , di4,j4)), dan:(ai1,j1 , ci2,j2) = (ai3,j3 , ci4,j4) en (bi1,j1 , di2,j2) = (bi3,j3 , di4,j4) ⇐⇒ai1,j1 = ai3,j3 en bi1,j1 = bi3,j3 en ci2,j2 = ci4,j4 en di2,j2 = di4,j4 ⇐⇒(ai1,j1 , bi1,j1) = (ai3,j3 , bi3,j3) en (ci2,j2 , di2,j2) = (ci4,j4 , di4,j4) ⇐⇒i1 = i3 en i2 = i4 en j1 = j3 en j2 = j4.Hieruit volgt de orthogonaliteit van A⊗ C en B ⊗D.

Merk op dat deze eigenschappen uitgebreid kunnen worden voor niet alleenhet product van twee, maar ook voor een product van een willekeurig eindigaantal vierkanten.

Stelling 2.3.9: [4] Zij n ∈ N \ {0, 1}, n = pα11 · p

α22 · . . . · pαr

r en zijP (n) = min{pαi

i − xi|i ∈ {1, . . . , r} met xi = 2 als pi = 2, en xi = 3 alspi 6= 2}. Dan geldt dat het maximaal aantal dubbel diagonale paarsgewijsorthogonale Latijnse vierkanten minstens P (n) is.

Bewijs: We tonen eerst aan dat voor een priemmacht de bovengrens, zoalser in stelling 2.3.4 staat, bereikt wordt, en vervolgens dat voor n willekeurigde ondergrens klopt. Om het voor priemmachten te kunnen bewijzen, kijkenwe eerst naar een priemmacht van een priemgetal groter dan 2.

We weten dat er juist p − 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkantengeconstrueerd kunnen worden met de elementen van het veld F van orde p(zie stelling 2.2.4). Waar eerst de volgorde van de elementen vrij gekozenkon worden, leggen we nu de volgorde van de elementen zodanig vast, zoda-nig dat: f p+1

2= 0 en ∀i ∈ {1, . . . , p} : fi + fp−i+1 = 0. Neem het vierkant

12

Li, 1 ≤ i ≤ n− 1. Stel: la,a = lb,b voor a, b ∈ {1, . . . , p}, dan geldt:

fa · fi + fa = fb · fi + fb ⇐⇒ fa · (fi + 1) = fb · (fi + 1).

Hier kunnen we fi + 1 enkel schrappen als fi 6= p− 1. In dat gevalkrijgen we dat fa = fb en dus a = b. In het geval dat fi = p − 1 is, bevatde hoofddiagonaal van Li overal het getal 0, en is het dus geen dubbel dia-gonaal Latijns vierkant.

Stel: la,p−a+1 = lb,p−b+1 voor a, b ∈ {1, . . . , p}, dan geldt, dankzij de volg-orde die we opgelegd hebben:

fa · fi + fp−a+1 = fb · fi + fp−b+1 ⇐⇒ fa · (fi − 1) = fb · (fi − 1).

Hier kunnen we fi − 1 enkel schrappen als fi 6= 1. In dat geval krijgenwe dat fa = fb en dus a = b. In het geval dat fi = 1 is, bevat de nevendia-gonaal van Li overal het getal 0, en is het dus geen dubbel diagonaal Latijnsvierkant.

In het geval waar p = 2, zijn zowel de hoofd- als de nevendiagonaal vanhet enige Latijnse vierkant van orde 2 gelijk. Dan bevat de ene diagonaalhet getal 0, en de andere het getal 1. Er bestaan dus geen dubbel diagonaleLatijnse vierkanten van orde 2.

We gaan de p − 1 dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten vanorde p nu gebruiken om dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkantenvan orde ph te construeren. Neem het Latijns vierkant L van orde p met deconstante nevendiagonaal. Uit stelling 2.3.8 weten we dat, indien we h keerhet Kronecker-product van L met zichzelf nemen, het resulterende vierkantvan orde ph de constante nevendiagonaal behoudt. Het vierkant dat we danbekomen bevat h-tupels van elementen uit het veld met p elementen, dieopgevat kunnen worden als vectoren in F h, wat als additieve groep isomorfis met het veld met ph elementen, wegens het feit dat dit veld, als additievegroep, h voortbrengers heeft. We kunnen met iedere vector (h-tupel) opde eerste rij van het vierkant een element uit het veld met ph elementenassocieren als volgt: het inwendig product van deze vector met de vectorvan de h voortbrengers (een lineaire combinatie van de voortbrengers vanhet veld van orde ph met als coefficienten de elementen uit het h-tupel metelementen uit het priemveld). Als we dit toepassen op de eerste rij van hetnet geconstrueerde vierkant, kunnen we stelling 2.2.4 opnieuw toepassen,

13

waardoor we ph − 1 orthogonale vierkanten krijgen, waarvan er ph − 3 dub-bel diagonale tussen zijn als p oneven is (zie bovenstaande berekeningen),en ph − 2 als p even is (omdat dan de vierkanten met constante hoofd- ennevendiagonaal gelijk zijn).

Nu kunnen we het algemeen geval bewijzen: zij n een willekeurignatuurlijk getal. Voor iedere priemmacht pαi

i die n deelt, bestaan er pαii −xi

(herinner dat xi = 2 als pi = 2 en xi = 3 als pi > 2) dubbel diagonaleorthogonale Latijnse vierkanten. Kies dan voor iedere priemmacht P (n)vierkanten Li1, L

i2, . . . , L

iP (n). De Kronecker-producten L1

j ⊗ L2j ⊗ · · · ⊗ Lrj

zullen wegens stelling 2.3.4 een stel dubbel diagonale orthogonale Latijnsevierkanten van orde n vormen voor iedere j tussen 1 en P (n).

14

3 Magische Vierkanten

We keren nu terug naar hoe we magische vierkanten zoals de Lo Shu kunnenconstrueren. Eerst een aantal definities.

3.1 Definities

Definitie 3.1.1: [8] Een magisch vierkant van orde n, is een vierkantvan n bij n (in dit geval gehele) getallen, zodanig geplaatst dat de som vaniedere rij getallen gelijk is aan de som van iedere kolom getallen, gelijk aande som van de getallen op de hoofd- en nevendiagonaal, gelijk aan een vastgetal k.k noemt men het magisch getal van dat vierkant.Een magisch vierkant heet zuiver (of normaal) indien het de getallen van 1tot en met n2 bevat (en dus niet gewoon willekeurige getallen).Een vierkant heet semi-magisch, indien men enkel eist dat de som van derijen en de kolommen gelijk is aan k.

De Lo Shu is dus een zuiver magisch vierkant van orde 3, met k = 15.Voor zuivere magische vierkanten is er slechts een mogelijkheid voor k.

Stelling 3.1.2: [8] Voor een zuiver magisch vierkant geldt: k = n·(n2+1)2

Bewijs: We nemen de som van alle getallen van alle rijen. Enerzijds is ditk ·n, anderzijds is dit de som van alle gehele getallen van 1 tot en met n2. Als

we dit gelijkstellen, krijgen we:n2∑i=1

i = n2·(n2+1)2 = n · k ⇒ k = n·(n2+1)

2

Zo hebben alle zuivere magische vierkanten van orde 4, 5 en 6 respectie-velijk als magisch getal 34, 65 en 111.

3.2 Constructies

In dit gedeelte leggen we onder andere de link tussen Latijnse vierkantenvan orde n en (zuivere) semi-magische vierkanten van orde n.

Stelling 3.2.1: [8] Zij n ∈ N en A en B, indien ze bestaan, twee ortho-gonale Latijnse vierkanten van orde n met symbolen 0, . . . , n − 1 , dan isM = n ·A+B + Jn altijd een semi-magisch vierkant van orde n.

15

Jn is notatie voor de matrix (1)i,j van orde n. Jn =

1 1 . . . 11 1 . . . 1

. . . . . . . . . . . .1 1 . . . 1

Bewijs: Laten we een willekeurige rij beschouwen in M . Als we de somvan de getallen op die rij nemen, krijgen we:

n∑j=1

(n · ai,j + bi,j + 1) =n∑j=1

n · ai,j +n∑j=1

bi,j +n∑j=1

1 = n ·n∑j=1

ai,j +n∑j=1

bi,j + n

= (n+ 1) ·n∑j=1

(j − 1) + n (A en B zijn Latijnse vierkanten)

= (n+ 1) · n·(n−1)2 + n = n · (n2−1

2 + 1) = n · n2+12 .

We weten dus dat de rijsom constant is. Met dezelfde redenering is ookde kolomsom constant.

We moeten nog aantonen dat M alle getallen bevat tussen 1 en n2. Ditdoen we door aan te tonen dat alle getallen verschillend zijn, en geen enkelgetal in M kleiner kan zijn dan 1, of groter dan n2.

We weten dat het kleinste getal in A gelijk is aan 0, net als in B, en isdus het kleinste getal in M is: n · 0 + 0 + 1 = 1. Het grootste getalin A is n − 1, net als in B, en is dus het grootst mogelijke getal in M :n · (n− 1) + (n− 1) + 1 = n2 − n+ n− 1 + 1 = n2.

Stel: ∃i1, j1, i2, j2 ∈ {1, . . . , n} : n · ai1,j1 + bi1,j1 + 1 = n · ai2,j2 + bi2,j2 + 1,dan: n ·ai1,j1 +bi1,j1 = n ·ai2,j2 +bi2,j2 ⇐⇒ n ·(ai1,j1−ai2,j2) = bi2,j2−bi1,j1 .

Omdat ai1,j1 , ai2,j2 , bi1,j1 , bi2,j2 ∈ {0, . . . , n− 1}, geldt:|ai1,j1−ai2,j2 |, |bi1,j1−bi2,j2 | ≤ n−1, maar het kan niet dat: |ai1,j1−ai2,j2 | > 0,omdat anders: |bi1,j1 − bi2,j2 | ≥ n. Hieruit volgt dat: ai1,j1 = ai2,j2 , en dusook dat bi1,j1 = bi2,j2 . Uit de orthogonaliteit van A en B volgt dat i1 = i2en j1 = j2, waardoor in M getallen op een verschillende positie verschillendzijn.

Stelling 3.2.2: [8] Met dezelfde notaties als in Stelling 3.2.1 geldt datM een magisch vierkant is van orde n, als voldaan is aan een van deze tweevoorwaarden:

1. A en B zijn dubbel diagonaal

16

2. n is oneven, de hoofddiagonaal van A bevat alleen n−12 en de

nevendiagonaal van B bevat alleen n−12 .

Bewijs: In beide gevallen weten we dat M al een semi-magisch vierkant is,dus het volstaat om na te gaan dat de som van de hoofd- en nevendiago-

naalelementen gelijk is aan n·(n2+1)2 .

Geval 1:

n∑i=1

(n · ai,i + bi,i + 1) =n∑i=1

n · ai,i +n∑i=1

bi,i +n∑i=1

1 = n ·n∑i=1

ai,i +n∑i=1

bi,i + n

= (n+ 1) ·n∑i=1

(i− 1) + n (A en B zijn dubbel diagonaal)

= (n+ 1) · n·(n−1)2 + n = n · (n2−1

2 + 1) = n · n2+12 .

Voor de nevendiagonaal kan exact dezelfde berekening uitgevoerd worden,maar met ai,n−i+1, bi,n−i+1 in plaats van ai,i, bi,i.

Geval 2:

Hier geven we ook alleen een bewijs voor de hoofddiagonaal.

n∑i=1

(n · ai,i + bi,i + 1) =n∑i=1

n · ai,i +n∑i=1

bi,i +n∑i=1

1 = n ·n∑i=1

ai,i +n∑i=1

bi,i + n =

n2 · n−12 +

n∑i=1

(i− 1) + n

= n2 · n−12 + n·(n−1)

2 + n = n · (n2−12 + 1) = n · n2+1

2 .

In de berekening ook wordt gebruikt dat omdat n oneven is, de nevendi-agonaal van A, en de hoofddiagonaal van B wel alle symbolen 0, . . . , n − 1bevatten.

17

4 Verbanden Met Andere CombinatorischeStructuren

Niet alleen zijn Latijnse vierkanten en magische vierkanten aan elkaar ge-relateerd, maar er zijn nog andere objecten te construeren met Latijnsevierkanten, en omgekeerd.

4.1 Steinersystemen

Definitie 4.1.1: [1] Zij V een verzameling met v elementen (die men pun-ten noemt), en zij R ⊂P(V ) met b elementen (die men blokken noemt).Men noemt (V,R) een (t,k,v)-Steinersysteem als aan volgende twee voor-waarden voldaan is:

1. Ieder blok bevat juist k punten

2. Iedere t punten in V komen voor in juist 1 blok

Voorbeeld 4.1.2: Zij V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.Samen met {{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{2,4,6},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}}is dit een (2, 3, 7)-Steinersysteem.

4.2 Projectieve Vlakken

Definitie 4.2.1: [5] Zij P een niet-lege, eindige verzameling “punten”,R ⊂P(P ) een verzameling “rechten”. Dan noemt men (P,R) eenprojectief vlak indien voldaan is aan deze drie voorwaarden:

1. Door iedere twee punten gaat juist een rechte.

2. Ieder paar rechten snijdt in juist een punt.

3. Er bestaan vier punten, waarvan geen drie collineair zijn.

Stelling 4.2.2: [6] Voor ieder punt p, en iedere rechte L die dat punt nietbevat zijn volgende eigenschappen equivalent:

1. L bevat juist n− 1 punten.

2. Er gaan juist n− 1 rechten door p.

Bewijs: Van 1 naar 2: Stel dat L juist n − 1 punten bevat. Omdat p nietop L ligt, gaan er minstens n−1 rechten door p (iedere rechte, bepaald doorp en een punt op L). Stel dat er een andere rechte door p gaat. Dan moet

18

deze rechte L snijden in een ander punt dan de n− 1 die oorspronkelijk opL lagen, wegens het feit dat het snijpunt tussen twee verschillende rechtenuniek is. Dit is onmogelijk.

Van 2 naar 1: Stel dat er juist n− 1 rechten door het punt p gaan. Omdatp niet op L ligt, snijdt de rechte L iedere rechte door p in juist een punt.Stel dat er nog een ander punt op L ligt. Dan bepalen dat punt en p nogeen andere rechte door p, wat ook onmogelijk is.

Stelling 4.2.3: [6] Er bestaat een n ∈ N, zodat alle rechten juist n + 1punten bevatten (en er dus door ieder punt ook juist n+ 1 rechten gaan).

Bewijs: Er bestaan vier punten waarvan er geen drie collineair zijn. Noemdeze punten p1, p2, p3, p4. We weten dus dat, indien deze n bestaat, ze min-stens 2 moet zijn (door het punt p1 gaan minstens 3 rechten: die door p1 enp2, die door p1 en p3 en die door p1 en p4).

Laat n het getal zijn, zodanig dat er juist n+1 rechten door het punt p1 gaan.Vanwege Stelling 4.2.2 bevatten de rechten door pi en pj (i, j ∈ {2, 3, 4}) juistn+ 1 punten. Zij q nu een willekeurig punt in het projectief vlak. Minstenseen van de drie rechten door pi en pj (i, j ∈ {2, 3, 4}), bevat het punt q niet(omdat anders p2, p3 en p4 collineair zijn). Hieruit volgt weer (wegens Stel-ling 4.2.2) dat er door q juist n+ 1 rechten gaan, en het bewijs is klaar.

We noemen deze n de orde van het projectief vlak.

Stelling 4.2.4: [6] Een projectief vlak van orde n, bevat juist n2 + n + 1punten.

Bewijs: Zij p een punt in het projectief vlak. We weten er door p juistn+ 1 rechten gaan, en dat elk van deze rechten juist n punten bevat, naastp. Al deze punten zijn verschillend, omdat het snijpunt tussen twee verschil-lende rechten uniek is. Het aantal punten in het projectief vlak is dus juistn · (n+ 1) + 1 = n2 + n+ 1.

Op een analoge manier kan er bewezen worden dat er juist n2+n+1 rechtenin een projectief vlak liggen.

We hebben al deze voorgaande stellingen nodig voor het volgend resultaat:

19

Stelling 4.2.5: [1] Een projectief vlak van orde n is een(2, n+ 1, n2 + n+ 1)-Steinersysteem, en omgekeerd.

Bewijs: Van 1 naar 2: Dit volgt onmiddelijk uit Stellingen 4.2.2 en 4.2.4

Van 2 naar 1: Zij S = {({x, y}, B)|x, y ∈ B, B een blok}.

Dubbeltellen op |S| geeft, met k het aantal blokken dat een paar punten

bevat: k ·(n2+n+1

2

)= (n2 + n+ 1) ·

(n+12

)⇐⇒ k · (n2 + n+ 1) · (n2 + n) =

(n2 + n + 1) · n · (n + 1) ⇐⇒ k = 1. Een analoge berekening geeft dat erjuist een punt op twee verschillende rechten ligt .

Als n ≥ 2, dan is n2 + n+ 1 ≥ 7, waardoor er minstens 4 punten aanwezigzijn. Bovendien bestaan er drie niet-collineaire punten, aangezien n+1 ≥ 3,en er dus minstens twee verschillende rechten zijn. Kies dan een punt p1,rechten L1 en L2 door p1, een punt p2 ∈ L1 \ L2 en p2 ∈ L2 \ L1. Dit kanomdat iedere rechte minstens 3 punten bevat. De drie gekozen punten zijnniet collineair.

Nu deze begrippen ingevoerd zijn, kunnen we een verband leggen tussenprojectieve vlakken van orde n en orthogonale Latijnse vierkanten van orden en dus ook, minder rechtstreeks, met magische vierkanten van orde n.

Stelling 4.2.6: [3] Zij n ∈ N. Dan zijn volgende eigenschappen equiva-lent:

1. Er bestaat een projectief vlak van orde n.

2. Er bestaan n−1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten van orden.

Bewijs: Van 1 naar 2: Neem twee verschillende punten a en b uit het pro-jectief vlak. Er bestaat juist een rechte R door a en b. Zij A de verzamelingvan alle rechten die R snijden in a (we noteren A = {A1, A2, . . . An}),B de verzameling van alle rechten die R snijden in b (we noteren B ={B1, B2, . . . Bn}).

Zij nu si,j telkens het snijpunt van de rechten Ai en Bj . De rechte R bestaatnog uit n− 1 punten, naast a en b. Noem deze r1, r2, . . . rn−1. Definieer nuvoor 1 ≤ m ≤ n − 1 de verzameling Rk van alle rechten die R snijden inrk (we noteren Rk = {Rk1 , Rk2 , . . . Rkn}). Nu maken we de n− 1 orthogonale

20

Latijnse vierkanten Lk als volgt: kies i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Indien het snijpuntvan Ai en Rkj het punt si,x is, dan stellen we Lki,j = x.

Er moet nog bewezen worden dat deze vierkanten Latijns zijn en paars-gewijs orthogonaal.Zij Lki,j1 = Lki,j2 , dan geldt dat Ai ∩ Rkj1 = Ai ∩ Rkj2 = {si,x} = Ai ∩ Bx.

Hieruit volgt: Rkj1 ∩ Rkj2

= {si,x} = {rk}, en dus si,x = rk. Maar omdatsi,x ∈ Bx en rk ∈ R, geldt nu: Bx ∩ R = {rk} = {b}, wat een tegenspraakoplevert, tenzij j1 = j2.

Stel: Lki1,j = Lki2,j , dan geldt dat Ai1 ∩ Rkj = Ai2 ∩ Rkj = {si,x} = Ai ∩ Bx.Hieruit volgt: Ai1 ∩ Ai2 = {si,x} = {a}, en dus a = si,x. Maar omdata ∈ Bx en a ∈ R, geldt nu: Bx∩R = {a} = {b}, wat alweer een tegenspraakoplevert, tenzij i1 = i2.

Stel: (lki1,j1 , lmi1,j1

) = (lki2,j2 , lmi2,j2

), dan: lki1,j1 = lki2,j2 en lmi1,j1 = lmi2,j2 ⇐⇒Ai1 ∩Rkj1 = Ai2 ∩Rkj2 = {si,x} = Ai∩Bx en Ai1 ∩Rmj1 = Ai2 ∩Rmj2 = {sj,y} =

Aj ∩ By ⇐⇒ {si,x} = Rkj1 ∩ Rkj2

= {rk} en {si,x} = Ai1 ∩ Ai2 = {a} (wehebben slechts een van de twee gelijkheden nodig om de orthogonaliteit tebewijzen) ⇐⇒ si,x = rk = a, wat een contradictie oplevert, tenzij j1 = j2(of i1 = i2, maar we mogen het eerste veronderstellen zonder de algemeen-heid te schaden). Maar dan geldt nog steeds: si,x = a, en aangezien dansi,x ∈ R en si,x ∈ Bx, krijgen we: R ∩ Bx = {b} = {si,x}, zodat a = b, eentegenspraak.

Van 2 naar 1: Zij L1, L2, . . . , Ln−1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vier-kanten gegeven. Beschouw de n + 1 symbolen: a, b, r1, . . . , rn−1. Beschouwvervolgens een vierkante matrix L van orde n met n2 andere en ook on-derling verschillende symbolen. Om een projectief vlak te construeren vanorde n is het wegens Stelling 4.2.5 voldoende om een (2, n+ 1, n2 + n+ 1)-Steinersysteem te construeren. Dit doen we als volgt:

We moeten n2 +n+1 blokken maken met elk n+1 punten. We maken eerst2n blokken met elk n punten. De matrix L heeft n rijen en n kolommen, metdie symbolen vullen we de eerste 2n blokken (noem deze B1, B2, . . . , B2n).

Om de overige n2−n+ 1 = n · (n− 1) + 1 blokken te maken, kijken we vooriedere 1 ≤ k ≤ n−1 en 1 ≤ i ≤ n in het Latijns vierkant Lk naar alle vakjeswaar het symbool x voorkomt. In L kijken we dan naar de overeenkomstige

21

vakjes, en de symbolen die daarin staan zetten we telkens in een nieuw blok.Deze blokken noemen we Bk

x.

Vervolgens voegen we aan iedere Bj (1 ≤ j ≤ n) het symbool a toe,aan iedere Bj (n + 1 ≤ j ≤ 2n) het symbool b toe en aan iedere Bk

j

(1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ n) het symbool rk toe. Het laatste blok B zaldan bestaan uit de symbolen a, b, r1, . . . , rn−1.

Wegens constructie zijn er juist n2+n+1 punten. Een punt uit de matrix L(li,j) komt voor op juist een rij in L (en dus in het blok Bi), juist een kolomin L (en dus in het blok Bn+j). Voor de rest komt dit punt in juist n − 1andere blokken voor, namelijk: Bk

x met 1 ≤ k ≤ n− 1 en x het symbool inLk op de i-de rij en de j-de kolom. Deze x is uniek, omdat iedere Lk eenlatijns vierkant is.

Nu rest er enkel nog te bewijzen dat twee verschillende punten tot juisteen blok behoren (of dat twee verschillende blokken juist een punt gemeen-schappelijk hebben). Wegens constructie is de doorsnede van het blok B eneen blok Bi (1 ≤ i ≤ 2n) juist het punt a of het punt b. De doorsnede vanB met Bk

x (1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ x ≤ n) is juist het punt rk en de doorsnedevan Bi en Bj (1 ≤ i ≤ j ≤ 2n) is juist het punt li,j , het punt a of het puntb. De doorsnede van Bi en Bk

x is het punt li,j .

Om de doorsnede van Bk1x1 en Bk2

x2 te bepalen, zoeken we een rij-index ien een kolomindex j, zodanig dat x1 op de i-de rij en de j-de kolom vanLk1 ligt, en x2 op de i-de rij en de j-de kolom van Lk2 ligt. De orthogo-naliteit van Lk1 en Lk2 zorgt ervoor dat er zo juist een rij- en kolomindexbestaan.

22

Referenties

[1] Cara Philippe, Codetheorie, VUB, 2014

[2] Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H., The CRC handbook ofcombinatorial designs, Chapter 2: Latin Squares, MOLS and orthogonalarrays, CRC Press, pp. 97-110, 2006

[3] Connelly Robert, Orthogonal Latin squares and finite projective pla-nes, http://www.math.cornell.edu/ web4520/CG9-0.pdf, 2015

[4] Gergely, E., A remark on doubly diagonalized orthogonal Latin squa-res., Discrete Math. 10 (1974), 185188

[5] Grimaldi Ralph P. , Discrete And Combinatorial Mathematics, Chap-ter 17: Finite Fields and Combinatorial Designs, Fifth Edition, Addison-Wesley, pp. 815-829, 2004

[6] Kahrstrom Johan, On Projective Planes,http://kahrstrom.com/mathematics/documents/OnProjectivePlanes.pdf,2002

[7] Klyve, Dominic; Stemkoski, Lee , Graeco-Latin squares and a mista-ken conjecture of Euler., College Math. J. 37 (2006), no. 1, 215.

[8] Vanpoucke Jordy, Mutually orthogonal latin squares andtheir generalizations, http://homepages.vub.ac.be/ jvpou-cke/MasterThesisMOLS.pdf, 2012

23