Universite Joseph Fourier DLST

UE MAP110/120 Annee 2013-14

Theme Signal

TP2 : serie de Fourier et Transformee de Fourier discrete

1 - Calcul theorique des coefficients de Fourier

On rappelle la definition suivante des coefficients de Fourier d’une fonction periodique s T -periodiqueet continue par morceaux :

an =1

T

∫ T/2

−T/2

s(t) cos (2πnf0t) dt et bn =1

T

∫ T/2

−T/2

s(t) sin (2πnf0t) dt (1)

avec f0 = 1/T , la frequence fondamentale. Sous les hypotheses vues en cours, pour tout reel t ou s(t)est continue, on a alors la convergence de la serie de Fourier de s et

s(t) = a0 + 2

(

+∞∑

n=1

(an cos (2πnf0t) + bn sin (2πnf0t))

)

(2)

On rappelle que :– si la fonction s(t) est paire, tous les coefficients bn sont nuls– si la fonction s(t) est impaire, tous les coefficients an sont nuls

Par la suite, on utilisera les trois signaux suivants de periode T = 2π :• s1(t) = cos(t)• s2(t) = 8cos(t)3 + 3 cos(5t)

• s3 est la fonction 2π-periodique, paire et definie par : s3(t) = s3(−t) =

{

1 pour t ∈ [0, π/2]0 pour t ∈]π/2, π]

Exercice 1 :

Pour le signal s1, en utilisant directement la formule de reconstruction (2), que valent les coeffi-cients an et bn.Pour quelle(s) valeur(s) de n maximale a-t-on an 6= 0, en deduire la (ou les) frequence(s)presente(s) dans le signal (correspondant aux valeurs an 6= 0) et la frequence maximale presentedans le signal s1 ?

Exercice 2 :

En utilisant la formule cos(t) =eit + e−it

2, transformer l’expression cos(t)3 en une somme de

fonctions trigonometriques, puis refaire l’exercice precedent avec s2.

Exercice 3 :

Pour le signal s3, en utilisant les proprietes sur la parite et les formules de calcul (1), calculer lescoefficients an et bn.En deduire les frequences presentes dans le signal.

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Le spectre du signal s est la fonction σ definie de la maniere suivante :

σ(f) =

{

an + i bn pour f = n f0, n ∈ Z

0 sinon

On rappelle que sous les hypotheses vues en cours, on a

s(t) =n=+∞∑

n=−∞

σ(n f0) exp(2iπ n f0 t) (3)

Le spectre d’amplitude est la fonction f −→ |σ(f)|.Pour representer avec Scilab le spectre d’amplitude pour f ∈ [0, p × f0] avec p entier, il suffit dedefinir :

– le vecteur des frequences f = [ 0, f0, 2× f0 . . . , (p− 1)× f0, p× f0 ]– le vecteur des amplitudes sA = [ |a0 + i b0|, |a1 + i b1|, |a2 + i b2|, . . . , |ap−1 + i bp−1|, |ap + i bp| ]

puis de faire la representation graphique avec l’instruction bar(f,sA) (si on veut les frequences en

abscisse) ou bien bar(0:p,sA) (si on veut les indices correspondants en abscisse).

Exercice 4 :

Pour chacune des trois fonctions s1, s2 et s3, en utilisant les valeurs de an et bn calculeesprecedemment, tracer avec Scilab (en utilisant la procedure bar) le graphe du spectre d’am-plitude pour les frequences f comprises entre 0 Hertz et 2 Hertz .

2 - Calcul numerique des coefficients de Fourier

On souhaite maintenant calculer la TFD de chacun des signaux precedents en faisant varierl’echantillonnage pour en comprendre l’influence.Soit s un signal T -periodique. On se donne un nombre N de points echantillonnes par periode. Onappelle alors periode d’echantillonnage la valeur Te = T/N .La frequence d’echantillonnage est alors Fe = 1/Te .Le theoreme de Shannon dit que pour qu’un signal ne soit pas perturbe par l’echantillonnage, lafrequence d’echantillonnage doit etre superieure au double de la plus haute frequence contenue dansle signal. L’objectif de ce qui suit est d’illustrer sur des exemples numeriques le theoreme de Shannon.

Pour echantillonner un signal s(t) T -periodique avec N valeurs, on calcule les N valeurs

y(1) = y0 = s(0)y(2) = y1 = s(Te)y(3) = y2 = s(2 Te)

...y(N− 1) = yN−2 = s((N − 2)Te)

y(N) = yN−1 = s((N − 1)Te)

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Exercice 5 :

Ecrire et completer le script Scilab suivant afin qu’il affiche le signal s1 et l’echantillon correspon-dant de taille N

T = 2*%pi; // la periode

N = 20; // la taille de l’ echantillon

// afficher le signal sur [0,T] en rouge

u = linspace (0,T ,1000);

s1u = s1(u);

figure ();

plot(u,s1u ,’r’)

// calculer l’ echantillon avec N valeurs

// COMPLETER les parties avec ...

t = ...; // les valeurs du temps pour l’ echantillon

y1 = ...; // l’ echantillon de s1 correspondant aux valeurs de t

// afficher l’ echantillon en bleu , chaque valeur sous forme

// d’une barre verticale issue de l’axe horizontal

plot(t,y1 ,’o’) // point

plot ([t;t],[ zeros(y1);y1],’b’) // barre verticale

puis completer ce script afin d’obtenir les graphiques similaires pour les signaux s2 et s3.

On rappelle que la Transformee de Fourier discrete d’un signal echantillonne y = (y0, y1, ..., yN−1) estla sequence Y = (Y0, Y1, ..., YN−1) definie par :

Yk =N−1∑

n=0

yn exp

(

−i 2πk n

N

)

Si le signal echantillonne [yk = s(k T/N)] provient d’un signal s de periode T , la frequence fonda-mentale du signal echantillonne est f0 = 1/T , la frequence d’echantillonnage est Fe = N/T , et lecoefficient Yk represente la somme des contributions des differentes frequences du signal s egales a

. . . , k f0 − 3 Fe , k f0 − 2 Fe , k f0 − Fe , k f0 , k f0 + Fe , k f0 + 2 Fe , k f0 + 3 Fe , . . .

c’est a dire toutes les frequences egales a k f0 +m Fe = (k +m N)f0 avec m ∈ Z.Si de plus le signal s est pair alors la sequence Y est formee de valeurs reelles et YN−k = Yk pour

tout k entre 1 et N−1, et il suffit de representer uniquement les coefficients Yk pour k entre 0 et N/2.

On rappelle que la Transformee de Fourier Discrete (TFD) d’un signal echantillonne y se calculea l’aide de la fonction Scilab fft (cf. TP1).

Exercice 6 :

Pour le signal s1, calculer le signal echantillonne y1 pour N = 20, Y1 = fft(y1) etYM1 = abs(Y1) puis faire une representation graphique du signal echantillonne y1 et une representationgraphique du module YM1 similaire au spectre d’amplitude.Comparer ce graphique avec celui du spectre d’amplitude.

Refaire le meme exercice avec le signal s2 puis le signal s3.

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Pour N = 20, la frequence d’echantillonnage Fe est strictement superieure aux frequences maximalesrespectives de s1 et s2 donc pour ces signaux le module de Y1 est identique au spectre d’amplitude(a un coefficient multiplicatif pres).

Par contre pour le signal s3, une valeur Y3(k) correspond a une contribution de differentesfrequences d’ou le graphe de YM3 different de celui du spectre d’amplitude.

Exercice 7 :

Refaire l’exercice precedent mais en choisissant N = 8 : qu’observe-t-on pour le signal s2 (com-parer la frequence d’echantillonnage avec la frequence maximale de s2) ?

Si on echantillonne un signal s T -periodique avec une frequence d’echantillonnage Fe qui n’estpas un multiple de f0 = 1/T alors la TFD ne permet pas de retrouver a l’identique les differentesfrequences du signal.

Exercice 8 :

Pour les signaux s1 et s2, refaire l’exercice 6 mais en choisissant Fe = 3 Hertz ≃ 18, 85 × f0 etN = 20. Qu’observe-t-on ?

3 - Phenomene de Gibbs

Pres d’un point ou une fonction s presente une discontinuite, la somme partielle

SN(t) = a0 + 2

(

N∑

n=1

(

an cos (2πnf0t) + bn sin (2πnf0t))

)

(4)

de la serie de Fourier de s peut presenter un ecart important par rapport a la fonction s vers laquelleelle converge. Lorsqu’on est proche d’un point de discontinuite, les valeurs prises par les sommespartielles de la serie de Fourier oscillent autour de la valeur vers laquelle elles doivent convergerd’apres la theorie.

Par ailleurs, une augmentation de N ne reduira pas l’amplitude de l’oscillation contrairementa ce que l’intuition pourrait suggerer. Au contraire, l’ecart reste superieur a une valeur seuil, aussigrand soit l’ordre de la somme partielle. Toutefois, l’oscillation s’effectuera sur des intervalles de plusen plus petits. Ce phenomene, appele phenomene de Gibbs, est l’objet de l’etude effectuee dans cettepartie. Ce phenomene reflete les difficultes qu’il y a a approcher une fonction discontinue par unesomme de fonctions continues sinusoıdales. Ce phenomene est egalement lie au fait que la decroissancequand N tend vers l’infini des coefficients de Fourier d’une fonction est controlee par la regularitede cette fonction. Les fonctions tres regulieres ont des coefficients de Fourier qui decroissent tresrapidement quand N augmente, tandis que les fonctions discontinues ont des coefficients de Fourierqui decroissent tres lentement.

On considere la fonction s3(t) definie dans la partie 1.

Exercice 9 :

1. Tracer le graphe de la fonction sur [−3π, 3π].

2. En utilisant les resultats de l’exercice 3, determiner les expressions des fonctions SN pourN = 6, N = 12 et N = 18.

3. Faire trois graphiques permettant de visualiser la fonction somme partielle SN et la fonctions3 pour N = 6, N = 12 et 18 respectivement. Que constate-t-on ?

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