Thema 1Wiskunde,rekenen

of problemen oplossen?

Bruno Sagaert - OVSG

Fien Depaepe – K.U.Leuven

Jos Willems – AKOV

Bruno Sagaert

Begeleiding OVSG

HOOFDSTUK 1ONDERZOEK

READER 2010HOOFDREKENEN

1 Onderzoeksvragen

1 OVSG-toets 2010 hoofdrekenen

Hanteren leerlingen standaardprocedures? Hanteren ze flexibele procedures waar dit is aangewezen? Gebruiken ze visuele hulpmiddelen? Welke procedures leiden tot correcte resultaten? Is er een correlatie tussen bepaalde procedures en goede resultaten? Waarop maken leerlingen veel fouten? Welke fouten maken die leerlingen dan?

Kwantitatieve analyse van 15 hoofdrekenoefeningen bij 490 leerlingenKwalitatieve analyse van 10 oefeningen bij 292 leerlingen

2 Analyse

1 OptellenVraag 2 0,125 + 2 = 5

LegendaP1: breuk kommagetalP2: kommagetal breuk via kgv (40)P3: idem 2, maar andere noemerP4: idem 2, maar tiendelige breukP5: idem 2, 3 of 4 maar uitkomst omzetten naar kommagetalP6: geen tussenuitkomstenP7: andere

Meer dan de helft van de leerlingen zet de breuk om naar een kommagetal. Rekenen de leerlingen liever met kommagetallen dan met breuken?

2 Analyse

1 OptellenVraag 2 0,125 + 2 = 5

LegendaF1: niet opgelostF2: geen tussenuitkomstenF3: fout in goed gekozen procedureF4: keuze van verkeerde procedureF5: fout tegen nauwkeurigheid

Een eenvoudige oefening, toch maakt 30% van de leerlingen een fout. Wie een fout maakt, kiest meestal een goede procedure maar maakt daarbij een rekenfout. Het niet noteren van tussenuitkomsten leidt ook tot fouten. Maken leerlingen rekenfouten omdat ze geen tussenuitkomsten noteren?

2 Analyse

1 OptellenVraag 2 0,125 + 2 = 5

2 Analyse

2 AftrekkenVraag 4 1 000 000 – 100 100 =

Bijna 44% maakt een fout Moeilijke oefening? Is aftrekken moeilijker dan optellen?

2 Analyse

LegendaP1: aftrekker splitsenP2: geen tussenuitkomsten genoteerdP3: andere

2 AftrekkenVraag 4 1 000 000 – 100 100 =

2 Analyse

2 AftrekkenVraag 4 1 000 000 – 100 100 =

2 Analyse

Vooral veel rekenfouten in goed gekozen procedure (splitsen aftrekker) Niet noteren van tussenuitkomsten leidt tot fouten!? Rekenen met grote getallen met nullen is moeilijk.

LegendaF1: niet opgelostF2: geen tussenuitkomstenF3: fout in goed gekozen procedureF4: keuze van verkeerde procedureF5: fout tegen nauwkeurigheid

2 AftrekkenVraag 4 1 000 000 – 100 100 =

2 Analyse

3 VermenigvuldigenVraag 8 1 x 4 = 4

2 Analyse

LegendaP1: toepassen commutativiteitP2: visuele voorstelling gebruikenP3: toepassen gelijkwaardigheid ¼ x 4 = ¼ van 4P4: breuk kommagetalP5: geen tussenuitkomstenP6: andere

Ruim ¼ van de leerlingen ‘ziet’ direct de uitkomst. Ruim ¼ van de leerlingen vervangt ¼ door 0,25. Ruim ¼ van de leerlingen past de commutativiteit toe.

3 VermenigvuldigenVraag 8 1 x 4 = 4

2 Analyse

40% noteert geen tussenuitkomsten. Ruim ¼ maakt een fout in een goed gekozen procedure, vooral dan bij breuk vervangen door kommagetal. 1/5 kiest een verkeerde procedure.

LegendaF1: niet opgelostF2: geen tussenuitkomstenF3: fout in goed gekozen procedureF4: keuze van verkeerde procedureF5: fout tegen nauwkeurigheid

3 VermenigvuldigenVraag 8 1 x 4 = 4

2 Analyse

3 VermenigvuldigenVraag 9 0,5 x 0,5 =

2 Analyse

LegendaP1: kommagetallen breukenP2: gebruik van visuele voorstellingP3: toepassen gelijkwaardigheid 0,5 x 0,5 = ½ x ½ = ½ van ½P4: toepassen rekenvoordeel: vermenigvuldigen met 0,5 = delen door 2P5: compenseren (5 x 5) P6: waarde getallen behouden (5t x 5t)P7: geen tussenuitkomstenP8: andere

Ruim 40% noteert geen tussenuitkomsten Daarnaast vooral: compenseren en toepassen rekenvoordeel

3 VermenigvuldigenVraag 9 0,5 x 0,5 =

2 Analyse

Het niet noteren van tussenuitkomsten leidt tot fouten. Ruim 1/5 maakt een fout in een goed gekozen procedure: vooral het compenseren (komma’s wegdenken) leidt tot fouten.

LegendaF1: niet opgelostF2: geen tussenuitkomstenF3: fout in goed gekozen procedureF4: keuze van verkeerde procedureF5: fout tegen nauwkeurigheid

3 VermenigvuldigenVraag 9 0,5 x 0,5 =

Het Bronnenboek

2 Analyse

4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ?

15 x 49 =

2 Analyse

LegendaP1: vermenigvuldiger splitsenP2: vermenigvuldigtal splitsenP3: beide factoren splitsenP4: werken met ‘mooie’ getallen (compenseren)P5: geen tussenuitkomstenP6: andere

Bijna de helft splitst de vermenigvuldiger. Veel minder: splitsen vermenigvuldigtal of splitsen beide factoren. Maar 17% ‘compenseert’ (bv. 15 x (50 – 1) ) komt toch veelvuldig voor in de methodes.

4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ?

25% fouten bij niet noteren van tussenuitkomsten 18 % kiest een verkeerde procedure. 27,9% hanteert een juiste procedure (vooral splitsen van de vermenigvuldiger), maar gaat in de fout.

2 Analyse

LegendaF1: niet opgelostF2: geen tussenuitkomstenF3: fout in goed gekozen procedureF4: keuze van verkeerde procedureF5: fout tegen nauwkeurigheid

4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ?

2 Analyse

4 Bronnenboek Vraag 14 Tussen 14 uur en 15 uur draait ‘De Vierkante molen’ 15 ritten. Alle plaatsen zijn bezet. Hoeveel passagiers zitten tijdens dat uur op de molen ?

3 Wat hebben we geleerd?

Noteren van tussenuitkomsten

Gemiddeld 30% van de leerlingen noteert geen tussenuitkomsten.

Bij 7,5% leidt dit tot fouten.

Zijn de leerlingen het niet gewoon om tussenuitkomsten te noteren?

Vragen / eisen we dit van de leerlingen?

3 Wat hebben we geleerd?

Standaardprocedures

Ruim 50% van de leerlingen hanteert standaardprocedures.

Meestal leidt dit tot een correct antwoord (84%).

Flexibel rekenen zien we veel minder toegepast worden.

Is het aanleren van en werken met standaardprocedures ‘standaard’ in ons wiskundeonderwijs?

3 Wat hebben we geleerd?

Procedures die vlugger leiden tot een correct resultaat

Standaardprocedures

Breuk omzetten naar kommagetal

Toepassen van de commutativiteit

3 Wat hebben we geleerd?

Gebruik van visuele hulpmiddelen

Wordt nagenoeg niet toegepast

Niet echt ingeburgerd?

Vinden leerlingen dit moeilijk?

Eerder in de lagere leerjaren?

Fien Depaepe

Wetenschappelijk onderzoek, KULeuven

Problemen oplossen in het BaO

▪Positieve resultaten▪Gewenste veranderingen

▫Zoekstrategieën▫Betekenisvolle

toepassingssituaties▫Opvattingen en attitudes

1. Zoekstrategieën

▪Goed ingeburgerd op alle niveaus

▪Suggestie: niet enkel “wat”, maar ook “hoe” en “waarom”

Illustratie

Om een vierkant grasplein met een zijde van 40 meter te maaien, heeft tuinman Jef 3 uur nodig. Hoeveel uur zal hij ongeveer nodig hebben om een ander vierkant grasplein te maaien met een zijde die dubbel zo lang is?

2. Betekenisvolle toepassingssituaties

▪Realistische contexten▪Suggestie:

▫Naast standaardopgaven ook “probleem”opgaven

▫Valoriseren van ervaringskennis–Opbouw wiskundig model– Interpretatie uitkomst

Illustratie

Illustratie

3. Opvattingen en attitudes

▪Meerdere oplossingswegen per opgelost vraagstuk

▪Suggestie: ▫Expliciteren van gewenste

opvattingen/attitudes▫Installeren van overeenkomstige

praktijken

Contactgegevens

▪Fien DepaepeCentrum voor onderwijsbeleid, -vernieuwing en lerarenopleidingKULeuvenfien.depaepe@ped.kuleuven.be

Jos Willems

AKOV

Rekenen, wiskunde of problemen oplossen?

▪Aandachtspunten▫betekenisvolle herleidingen▫omtrek, oppervlakte en volume

▪Oplossen problemen in het secundair onderwijs

Betekenisvolle herleidingen (1)

▪2009: 41% , 2002: 56%

▪Basisopgave (67%) 1 ananas 400 ml

sap; ? ananassen 2 liter sap

▪Bijkomende opgave (29%) 23 140 000 m² = … km²

Betekenisvolle herleidingen (2)

Oorzaken : systematiek?▪ hm, dam▪ herleidingstabel

▫onvolledig▫zelf opstellen

km 100 m

10 m m dm cm mm

Omtrek, oppervlakte, volume (1)

▪Dimensieprobleem▪Illusie van lineariteit (De Bock

e.a.)

X 3

6 ml ? ml

Omtrek, oppervlakte, volume (2)

▪ Oorzaken illusie van lineariteit:▫ intuïtie▫overtuiging ‘elke toename is lineair’▫hiaten in de kennis▫puur baseren op formules

▪ Hoe hieraan werken? ▫uittesten▫verspreiden in de tijd

▪ Ook voor omtrek, oppervlakte, volume?

Oplossen van problemen (1)

▪Van Nijlen (2010): ▫B-stroom, vragen

peilingsonderzoek▫kale opgaven en contextopgaven

meten niet dezelfde wiskunde▫andere vaardigheden zijn vereist

Oplossen problemen (2): BaOVerschaffel e.a. (1998)

Oplossen problemen (3): Singapore

Oplossen problemen: SeO

▪B-stroom: instrumentele vaardigheden

▪A-stroom: algebraïsche methoden▪Leerlijn vanuit basisonderwijs

doortrekken?▫B-stroom: wiskundig redeneren?▫A-stroom: alternatief voor / motiveren

van algebraïsche methoden?▫gemengde oefeningen,

oplossingswijzen?

Elementen voor het debat1a Probleemoplossen voor

iedereen?

1b Gemengde oefeningen

1c Zoekstrategieën

1d Reflecteren

1e Betekenisvolle herleidingen

1f Omtrek, oppervlakte en volume