Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf ·...

Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes

Szamıtogepes Grafika

Valasek [email protected]

Eotvos Lorand TudomanyegyetemInformatikai Kar

2016/2017. tavaszi felev

Tartalom

1 Motivacio

2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban

3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes

4 Projektıv transzformacio

5 Osszegzes

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Motivacio

A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...)

→ az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben

Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.

A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk

→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk

Motivacio

A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben

Motivacio

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Transzformaciok altalaban

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Transzformaciok

Az elvarasaink

minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato

Transzformaciok

Az elvarasaink

minden pontot lehessen transzformalni

pont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato

Transzformaciok

Az elvarasaink

minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sık

illeszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato

Transzformaciok

Az elvarasaink

minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsa

legyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato

Transzformaciok

Az elvarasaink

minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato

Megjegyzes

A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk

→ a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek

A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel

Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3

ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk

Megjegyzes

A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek

Megjegyzes

Linearis lekepezesek

Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)

Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)

φ(λa) = λφ(a) (homogen)

Projektıv es affin transzformaciok - definıciok

Az idealis sıkkal kibovıtett euklideszi ter onmagara valo,kolcsonosen egyertelmu, pont-, egyenes-, sık-, es illeszkedesttarto lekepezeseit kollineacioknak, vagy projektıvtranszformacioknak nevezzuk.

Affin transzformaciok a projektıv transzformacioknak az azalcsoportja, amelyek a (kibovıtett) ter ”kozonseges”,euklideszi reszet onmagara kepezik le, es az idealis sıkot isonmagara kepezi le.

Projektıv es affin transzformaciok - definıciok

Az idealis sıkkal kibovıtett euklideszi ter onmagara valo,kolcsonosen egyertelmu, pont-, egyenes-, sık-, es illeszkedesttarto lekepezeseit kollineacioknak, vagy projektıvtranszformacioknak nevezzuk.

Affin transzformaciok a projektıv transzformacioknak az azalcsoportja, amelyek a (kibovıtett) ter ”kozonseges”,euklideszi reszet onmagara kepezik le, es az idealis sıkot isonmagara kepezi le.

Tulajdonsagok

A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel

→ ez mit jelent?

a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)

Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!

Tulajdonsagok

A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?

Tulajdonsagok

a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)

letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)

Tulajdonsagok

a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)

a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)

Tulajdonsagok

Affin transzformaciok tulajdonsagai

Az affin transzformaciok megadhatoak egy linearistranszformacio es egy eltolas segıtsegevel, azaz haϕ : R3 → R3 affin transzformacio, akkor letezik A ∈ R3×3 esb ∈ R3, hogy ∀x ∈ R3-ra

ϕ(x) = Ax + b

A matrix-vektor szorzast ilyen sorrendben vegezzuk el, azaz: amatrix a bal-, a vektor a jobboldalon all

Az affin transzformaciok megadhatoak egy linearistranszformacio es egy eltolas segıtsegevel, azaz haϕ : R3 → R3 affin transzformacio, akkor letezik A ∈ R3×3 esb ∈ R3, hogy ∀x ∈ R3-ra

ϕ(x) = Ax + b

A matrix-vektor szorzast ilyen sorrendben vegezzuk el, azaz: amatrix a bal-, a vektor a jobboldalon all

A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:

[0, 0, 0] 1

]∈ R4×4

Ugyanis ekkor[A b

[0, 0, 0] 1

]·[x1

[A · x + b · 10 · x + 1 · 1

[A · x + b

[0, 0, 0] 1

]∈ R4×4

Ugyanis ekkor[A b

[0, 0, 0] 1

]·[x1

[A · x + b · 10 · x + 1 · 1

[A · x + b

[0, 0, 0] 1

]∈ R4×4

Ugyanis ekkor[A b

[0, 0, 0] 1

]·[x1

[A · x + b · 10 · x + 1 · 1

[A · x + b

Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)

Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(

∑ni=0 αixi )

= (A∑n

i=0 αixi ) + b= A

∑ni=0 αixi +

∑ni=0 αib

i=0 αi (Axi + b) =∑n

i=0 αiϕ(xi )

∑ni=0 αixi )

= (A∑n

i=0 αixi ) + b= A

∑ni=0 αixi +

∑ni=0 αib

i=0 αiϕ(xi )

∑ni=0 αixi )

= (A∑n

i=0 αixi ) + b

= A∑n

i=0 αixi +∑n

i=0 αib=∑n

i=0 αiϕ(xi )

∑ni=0 αixi )

= (A∑n

i=0 αixi ) + b= A

∑ni=0 αixi +

∑ni=0 αib

i=0 αiϕ(xi )

∑ni=0 αixi )

= (A∑n

i=0 αixi ) + b= A

∑ni=0 αixi +

∑ni=0 αib

i=0 αiϕ(xi )

Affin transzformaciok megadasa

En-ben egy affin transzformaciot egyertelmuen meghatarozn + 1 altalanos allasu pont es annak kepe

Azaz, peldaul sıkban ha adott harom altalanos allasu

, i = 0, 1, 2

pont es ezek kepei, rendre

x ′iy ′i1

, i = 0, 1, 2

akkor pi -ket qi -kbe atvivo R ∈ R3×3 transzformaciora

R · [p0,p1,p2] = [q0,q1,q2]⇒ R = [q0,q1,q2] · [p0,p1,p2]−1

Affin transzformaciok megadasa

En-ben egy affin transzformaciot egyertelmuen meghatarozn + 1 altalanos allasu pont es annak kepeAzaz, peldaul sıkban ha adott harom altalanos allasu

, i = 0, 1, 2

pont es ezek kepei, rendre

x ′iy ′i1

, i = 0, 1, 2

akkor pi -ket qi -kbe atvivo R ∈ R3×3 transzformaciora

R · [p0,p1,p2] = [q0,q1,q2]⇒ R = [q0,q1,q2] · [p0,p1,p2]−1

Projektıv transzformaciok megadasa

En-ben egy projektıv transzformaciot egyertelmuenmeghataroz n + 2 altalanos allasu pont es annak kepe

Tehat sıkban 4: legyen P ∈ R3×3 es α0, α1, α2, α3 ∈ R, ekkormegoldando P-re

P · [p0,p1,p2,p3] = [α0q0, α1q1, α2q2, α3q3]

Projektıv transzformaciok megadasa

En-ben egy projektıv transzformaciot egyertelmuenmeghataroz n + 2 altalanos allasu pont es annak kepe

Tehat sıkban 4: legyen P ∈ R3×3 es α0, α1, α2, α3 ∈ R, ekkormegoldando P-re

P · [p0,p1,p2,p3] = [α0q0, α1q1, α2q2, α3q3]

Transzformaciok osztalyozasa

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Eltolas

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Eltolas

Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:

x′ = x + d

Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk

Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

Eltolas

x′ = x + d

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

Eltolas

x′ = x + d

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

Eltolas

Hiszen ha homogen koordinatait hasznaljuk az x pontnak,akkor

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

1 · x + 0 · y + 0 · z + 1 · dx0 · x + 1 · y + 0 · z + 1 · dy0 · x + 0 · y + 1 · z + 1 · dz

Eltolas

Tulajdonsagok

Az affin transzformaciok egy kommutatıv reszcsoportjatalkotjak

A T(a, b, c) inverze T−1(a, b, c) = T(−a,−b,−c)

Eltolas

Tulajdonsagok

Az affin transzformaciok egy kommutatıv reszcsoportjatalkotjak

A T(a, b, c) inverze T−1(a, b, c) = T(−a,−b,−c)

Forgatas

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Forgatas

Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:

x ′ = x cos θ − y sin θ

y ′ = x sin θ + y cos θ.

Matrix alakban:[x ′

[cos θsin θ

[− sin θcos θ

[cos θ − sin θsin θ cos θ

Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.

Forgatas

[cos θsin θ

[− sin θcos θ

Forgatas

[cos θsin θ

[− sin θcos θ

Forgatas

Forgatas matrixok

Z tegely menten

RZ (θ) =

c −s 0 0s c 0 00 0 1 00 0 0 1

,Y tegely menten

RY (θ) =

c 0 s 00 1 0 0−s 0 c 00 0 0 1

,X tegely menten

RX (θ) =

1 0 0 00 c −s 00 s c 00 0 0 1

,ahol c = cos θ es s = sin θ.

Forgatas

Tulajdonsagok

Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak

A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)

Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!

A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas

Forgatas

Tulajdonsagok

Forgatas

Tulajdonsagok

Forgatas

Tulajdonsagok

Forgatas

Tetszoleges forgatas

Tetszoleges orientacio eloallıthato a harom forgatas egymas utanihasznalataval.

R(α, β, γ) =cosα − sinα 0sinα cosα 0

· cosβ 0 sinβ

0 1 0− sinβ 0 cosβ

·1 0 0

0 cos γ − sin γ0 sin γ cos γ

Forgatas

Tetszoleges tengely koruli forgatas

Az eddigieket felhasznalva:

toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)

forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit

Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1

Y RXRYRZT)x

Forgatas

toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)

ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit

Y RXRYRZT)x

Forgatas

toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )

vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit

Y RXRYRZT)x

Forgatas

toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)

alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit

Y RXRYRZT)x

Forgatas

toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit

Y RXRYRZT)x

Forgatas

toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit

Y RXRYRZT)x

Forgatas

Tetszoleges tengely koruli forgatas - Rodrigues formula

Tetszoleges tengely kozuli forgatas megadhato egy zegysegvektorral, ami a forgatas tengelyet adja, es egy θ szoggel.Ezt ırja le a Rodrigues formula, aminek felhasznalasaval:

v′ = Rodrigues(θ, z)v

Forgatas

Yaw, pitch, roll

Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.

Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.

Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.

Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.

Legtobb API tamogatja.

Forgatas

Yaw, pitch, roll

Forgatas

Yaw, pitch, roll

Forgatas

Yaw, pitch, roll

Forgatas

Yaw, pitch, roll

Forgatas

Mozgas-transzformaciok

Az eltolasok es tengely koruli elforgatasmozgas-transzformaciok

A targyak alakjat es meretet nem valtoztatjak

Forgatas

Mozgas-transzformaciok

Az eltolasok es tengely koruli elforgatasmozgas-transzformaciok

A targyak alakjat es meretet nem valtoztatjak

Meretezes

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Meretezes

Az x , y , z tengelyek menten ”szethuzzuk”, vagy”osszenyomjuk” az alakzatot, azaz mas lepteket valasztunk -egymastol fuggetlenul is akar

Matrix alakban:

S(sx , sy , sz) =

sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1

Meretezes

Az x , y , z tengelyek menten ”szethuzzuk”, vagy”osszenyomjuk” az alakzatot, azaz mas lepteket valasztunk -egymastol fuggetlenul is akar

Matrix alakban:

S(sx , sy , sz) =

sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1

Meretezes

Specialis eset: tukrozes

Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv

ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes

Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!

Meretezes

ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkra

ha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes

Meretezes

ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyre

ha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes

Meretezes

Sodrasirany?

Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor

ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)

→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik

Meretezes

Sodrasirany?

Meretezes

Sodrasirany?

Meretezes

Specialis eset: vetıtes

Ha sx , sy , sz valamelyike nulla

ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...

Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!

Meretezes

ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunk

ha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...

Meretezes

ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”

ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...

Meretezes

Eszrevetel: a determinans nulla!

→ nincs inverz!

Meretezes

Nyıras

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Nyıras

Ha egy pakli kartyat lerakunk az asztalra es a lapokat egyenletesenszetcsusztatjuk, de ugy, hogy a pakli meg ”allva” maradjon, az anyıras.

Nyıras

Ha peldaul minden pontban az x , y ertekeket z-vel aranyosmertekeben modosıtjuk:

1 0 a 00 1 b 00 0 1 00 0 0 1

Nyıras

Altalanosan:

1 a b 00 1 c 00 0 1 00 0 0 1

Atteres uj koordinata-rendszerre

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).

Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?

x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x

Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku

ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1

Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)

Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban?

Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?

x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x

x = [u, v,w]x′ = Bx′

→ x′ = B−1x

x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x

Attekintes

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Attekintes

Kommutativitas

A matrix szorzas nem kommutatıv, ugyhogy altalaban nemigaz, hogy

ABv = BAv

Ez jo, mivel altalaban a transzformaciok sem kommutatıvak

Attekintes

Forgatas majd eltolas Eltolas majd forgatas

Attekintes

Transzformacios matrixok determinansai

A meretezesnel lattuk, hogy ha egy vagy harom egyutthatojanegatıv a transzformacionak, akkor az megfordıtja asodrasiranyt.

Altalanos esetre megfogalmazva:

Ha det(A) > 0, akkor a sodras irany valtozatlan marad

Ha det(A) < 0, akkor a sodras irany megfordul

Attekintes

Normalvektorok transzformacioja

Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.

Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?

Attekintes

Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?

Attekintes

Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?NEM!

Attekintes

Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?NEM!

Attekintes

Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!

Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha

〈x− p,n〉 = 0

Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:

〈A−1A(x− p),n〉 = 0

A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy

〈A(x− p),(A−1

)Tn〉 = 0

Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!

Attekintes

〈x− p,n〉 = 0

〈A−1A(x− p),n〉 = 0

〈A(x− p),(A−1

)Tn〉 = 0

Attekintes

〈x− p,n〉 = 0

〈A−1A(x− p),n〉 = 0

〈A(x− p),(A−1

)Tn〉 = 0

Attekintes

〈x− p,n〉 = 0

〈A−1A(x− p),n〉 = 0

〈A(x− p),(A−1

)Tn〉 = 0

Attekintes

〈x− p,n〉 = 0

〈A−1A(x− p),n〉 = 0

〈A(x− p),(A−1

)Tn〉 = 0

Attekintes

Megjegyzes

A sık affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaharom fuggetlen pont es azok kepe

A ter affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozza negyfuggetlen pont es azok kepe

Attekintes

Megjegyzes

A sık affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaharom fuggetlen pont es azok kepe

A ter affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozza negyfuggetlen pont es azok kepe

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Motivacio

A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra

Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.

Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.

Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”

Motivacio

Altalanos eset

Ha egy homogen transzformacios matrix utolso sora nem[0, 0, 0, 1], akkor az olyan homogen linearis transzformacio, ami azeuklideszi ternek nem linearis transzformacioja.

Parhuzamos vetıtes

A matrix ami megadja egyszeru, peldaul az XY sıkra valovetıtes

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

Perspektıv transzformacio

Kozponti vetıtest valosıt meg.

Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.

A latoternek egy csonkagula felel meg.

A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.

Parameterei:

a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga

Parameterei:

a gula fuggoleges nyılasszoge,

a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga

Parameterei:

a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,

a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga

Parameterei:

a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsaga

a tavoli vagosık tavolsaga

Parameterei:

Homogen osztas

Mivel egy M ”valodi” projektıv transzformacio utolso soranem [0, 0, 0, 1]T , ezert

[x , y , z ,w ]T = Mv

transzformacio utan, w 6= 1 altalanos esetben.

Ha ezt a pontot az eukleideszi terbe szeretnenk atvinni (mertpl. meg akarjuk jelenıteni), akkor vegig kell osztanunk w -vel.

(Persze csak akkor, ha w 6= 0)

Ezt nevezzunk homogen osztasnak.

Kozeppontos vetıtes

Vagyis:

x ′ =x

y ′ =y

z ′ =z

zd = d

Az origo, mint vetıtesi kozeppont es egy, attol a Z tengelymenten d egysegre talalhato, XY sıkkal parhuzamosvetıtosıkra valo vetıtes matrixa:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1

Homogen osztas utan ( z

d -vel) a fentit kapjuk

Megjegyzes

A sık projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzanegy fuggetlen pont es azok kepe

A ter projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaot fuggetlen pont es azok kepe

Megjegyzes

A sık projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzanegy fuggetlen pont es azok kepe

A ter projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaot fuggetlen pont es azok kepe

Tartalom

1 Motivacio

5 Osszegzes

Transzformacios matrixok

Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?

Az eltolas resz nem hat ra!

Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!

Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf ·...

Documents

Transcript of Sz am t og epes Gra ka - Eötvös Loránd Universitycg.elte.hu/~bsc_cg/EA/BSc_EA_03.pdf ·...